電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的帶電粒子

1、考點(diǎn)3 電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的帶電粒子知識(shí)概要帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)可分為下列幾種情況半徑公式： 周期公式：帶電粒子在電場(chǎng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)：如用電場(chǎng)加速或減速粒子偏轉(zhuǎn)：類似平拋運(yùn)動(dòng)，一般分解成兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)求解圓周運(yùn)動(dòng)：以點(diǎn)電荷為圓心運(yùn)動(dòng)或受裝置約束運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)（當(dāng)帶電粒子的速度與磁場(chǎng)平行時(shí)）圓周運(yùn)動(dòng)（當(dāng)帶電粒子的速度與磁場(chǎng)垂直時(shí)）直線運(yùn)動(dòng)：垂直運(yùn)動(dòng)方向的力必定平衡圓周運(yùn)動(dòng)：重力與電場(chǎng)力一定平衡，由洛倫茲力提供向心力一般的曲線運(yùn)動(dòng)帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、重力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，簡(jiǎn)稱帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，一般具有較復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)圖景。這類問

2、題本質(zhì)上是一個(gè)力學(xué)問題，應(yīng)順應(yīng)力學(xué)問題的研究思路和運(yùn)用力學(xué)的基本規(guī)律。分析帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，主要是兩條線索：（1）力和運(yùn)動(dòng)的關(guān)系。根據(jù)帶電粒子所受的力，運(yùn)用牛頓第二定律并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求解。（2）功能關(guān)系。根據(jù)場(chǎng)力及其它外力對(duì)帶電粒子做功引起的能量變化或全過程中的功能關(guān)系，從而可確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況，這條線索不但適用于均勻場(chǎng)，也適用于非均勻場(chǎng)。因此要熟悉各種力做功的特點(diǎn)。處理帶電粒子在場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題應(yīng)注意是否考慮帶電粒子的重力。這要依據(jù)具體情況而定，質(zhì)子、粒子、離子等微觀粒子，一般不考慮重力；液滴、塵埃、小球等宏觀帶電粒子由題設(shè)條件決定，一般把裝置在空間的方位介紹的很明確的，都應(yīng)考

3、慮重力，有時(shí)還應(yīng)根據(jù)題目的隱含條件來判斷。處理帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，還應(yīng)畫好示意圖，在畫圖的基礎(chǔ)上特別注意運(yùn)用幾何知識(shí)尋找關(guān)系。點(diǎn)撥解疑【例題1】（1999年高考全國(guó)卷）如圖1所示，圖中虛線MN是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側(cè)的半空間存在一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向外。O是MN上的一點(diǎn)，從O點(diǎn)可以向磁場(chǎng)區(qū)域發(fā)射電量為+q、質(zhì)量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度可在紙面內(nèi)各個(gè)方向。已知先后射入的兩個(gè)粒子恰好在磁場(chǎng)中給定的P點(diǎn)相遇，P到O的距離為L(zhǎng)，不計(jì)重力及粒子間的相互作用。（1）求所考察的粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑；（2）求這兩個(gè)粒子從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)的時(shí)間間隔

4、。 【點(diǎn)撥解疑】（1）設(shè)粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，由牛頓第二定律得，則（2）如圖2所示，以O(shè)P為弦可以畫兩個(gè)半徑相同的圓，分別表示在P點(diǎn)相遇的兩個(gè)粒子的軌跡。圓心分別為O1、O2，過O點(diǎn)的直徑分別為OO1Q1、OO2Q2，在O點(diǎn)處兩個(gè)圓的切線分別表示兩個(gè)粒子的射入方向，用表示它們之間的夾角。由幾何關(guān)系可知，從O點(diǎn)射入到相遇，粒子1的路程為半個(gè)圓周加弧長(zhǎng)Q1P=R，粒子2的路程為半個(gè)圓周減弧長(zhǎng)PQ2=R粒子1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 ，其中T為圓周運(yùn)動(dòng)的周期。粒子2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 兩粒子射入的時(shí)間間隔為 因?yàn)?所以 有上述算式可解得 點(diǎn)評(píng)：解帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的題，除了運(yùn)用常規(guī)的解題思路（畫草圖

5、、找“圓心”、定“半徑”）之外，更應(yīng)側(cè)重于運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析。本題在眾多的物理量和數(shù)學(xué)量中，角度是最關(guān)鍵的量，它既是建立幾何量與物理量之間關(guān)系式的一個(gè)紐帶，又是溝通幾何圖形與物理模型的橋梁?！纠}2】 如圖3所示，在直角坐標(biāo)系的第一、二象限內(nèi)有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第三象限有沿Y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第四象限內(nèi)無電場(chǎng)和磁場(chǎng)。質(zhì)量為m、帶電量為q的粒子從M點(diǎn)以速度v0沿x軸負(fù)方向進(jìn)入電場(chǎng)，不計(jì)粒子的重力，粒子經(jīng)N、P最后又回到M點(diǎn)。設(shè)OM=L，ON=2L，則：關(guān)于電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小，下列結(jié)論正確的是 （ ）A B C D（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向是 。（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是多少？ 【點(diǎn)撥解疑】 （1

6、）由帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，易知，且則E= 故選C（2）由左手定則，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的方向?yàn)榇怪奔埫嫦蚶?。?）根據(jù)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況可知，粒子帶負(fù)電。粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)到達(dá)N點(diǎn)的速度為v，運(yùn)動(dòng)方向與x軸負(fù)方向的夾角為，如圖4所示。由動(dòng)能定理得將（1）式中的E代入可得 所以=45°粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過P點(diǎn)時(shí)速度方向也與x軸負(fù)方向成45°角。則OP=OM=L NP=NO+OP=3L粒子在磁場(chǎng)中的軌道半徑為R=Npcos45°= 又解得 點(diǎn)評(píng)：帶電粒子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)常常是由一些基本運(yùn)動(dòng)組合而成的。掌握基本運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)是解決這類問題的關(guān)鍵所在。該題中，

7、粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心不在y軸上，注意到這一點(diǎn)是很關(guān)鍵的?！纠}3】 如圖5所示，在水平正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，半徑為R的光滑絕緣豎直圓環(huán)上，套有一個(gè)帶正電的小球，已知小球所受電場(chǎng)力與重力相等，小球在環(huán)頂端A點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)的圓弧為周長(zhǎng)的幾分之幾時(shí)，所受磁場(chǎng)力最大？【點(diǎn)撥解疑】 小球下滑的過程中，要使磁場(chǎng)力最大，則需要速度最大。OC為與小球受到的重力、電場(chǎng)力的合力平行的半徑。由功能關(guān)系尋找速度最大的點(diǎn)，因?yàn)槁鍌惼澚Σ蛔龉?，所以不考慮磁場(chǎng)的作用，從圖中A到C，上述合力有切向分力，且與速度同向，因此做正功，小球動(dòng)能增加；在C點(diǎn)時(shí)，該合力為徑向，沒有切向分力；此后切向分力與線速度

8、反向，動(dòng)能將減??；故在C點(diǎn)時(shí)速度最大，所受磁場(chǎng)力也最大。由受力分析知mg=qE mg=qEtan 得= 45°由圖知=+90°=135°故小球運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)與周長(zhǎng)之比為，所以運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為周長(zhǎng)的。點(diǎn)評(píng)：討論帶電粒子的運(yùn)動(dòng)，必須熟悉各種力做功的特點(diǎn)。該題也可用等效法處理。把電場(chǎng)和重力場(chǎng)合起來當(dāng)作一個(gè)新的重力場(chǎng)，這個(gè)重力場(chǎng)的豎直方向與原水平方向成45°角斜向下，這樣就很容易確定速度最大的點(diǎn)?！纠}4 】 從陰極K發(fā)射的電子經(jīng)電勢(shì)差U0=5000V的陽極加速后，沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長(zhǎng)L1=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板邊緣L2

9、=75cm處放置一個(gè)直徑D=20cm、帶有紀(jì)錄紙的圓筒。整個(gè)裝置放在真空內(nèi)，電子發(fā)射時(shí)的初速度不計(jì)，如圖6所示，若在金屬板上加一U =1000cos2t V的交流電壓，并使圓筒繞中心軸按圖示方向以n=2r/s勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分析電子在紀(jì)錄紙上的軌跡形狀并畫圖6出從t=0開始的1s內(nèi)所紀(jì)錄到的圖形?！军c(diǎn)撥解疑】 對(duì)電子的加速過程，由動(dòng)能定理得：圖7eU0=mv02得電子加速后的速度 v0=4.2×107m/s電子進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后，由于在其中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間極短，可以忽略運(yùn)動(dòng)期間偏轉(zhuǎn)電壓的變化，認(rèn)為電場(chǎng)是穩(wěn)定的，因此電子做類平拋的運(yùn)動(dòng)。如圖7所示。交流電壓在A、B兩板間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度 V/m電子飛離金

10、屬板時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離 電子飛離金屬板時(shí)的豎直速度 電子從飛離金屬板到到達(dá)圓筒時(shí)的偏轉(zhuǎn)距離 所以在紙筒上的落點(diǎn)對(duì)入射方向的總偏轉(zhuǎn)距離為圖8m可見，在紀(jì)錄紙上的點(diǎn)在豎直方向上以振幅0.20m、周期T=1s做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。因?yàn)閳A筒每秒轉(zhuǎn)2周，故轉(zhuǎn)一周在紙上留下的是前半個(gè)余弦圖形，接著的一周中，留下后半個(gè)圖形，合起來，1s內(nèi)，在紙上的圖形如圖8所示。點(diǎn)評(píng)：偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)如果不穩(wěn)定，電子在其中的運(yùn)動(dòng)將非常復(fù)雜，因此理想化處理是解答本題的關(guān)鍵。示波器是常用的電子儀器，其原理與該題的情景有相似之處。針對(duì)訓(xùn)練1（2002年廣西、河南、廣東卷）在圖9中虛線所示的區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。取坐標(biāo)如圖。一帶電粒子沿x軸正方向進(jìn)

11、入此區(qū)域，在穿過此區(qū)域的過程中運(yùn)動(dòng)方向始終不發(fā)生偏轉(zhuǎn)。不計(jì)重力的影響，電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁感強(qiáng)度B的方向可能是（）A E和B都沿x軸正方向 B E沿y軸正向，B沿z軸正向C E沿x軸正向，B沿y軸正向 D E、B都沿z軸正向BABdvv300O圖102如圖10所示，一束電子（電量為e）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿透磁場(chǎng)時(shí)速度方向與電子原來入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是 ，穿透磁場(chǎng)的時(shí)間是 。3（2000年全國(guó)卷）如圖11所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中

12、有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。一質(zhì)量為、帶電量為q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）abcdSo圖11BBELdO圖124如圖12所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場(chǎng)的左邊緣的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右

13、側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過程。求：（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d；（2）帶電粒子從O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間t。參考答案：1AB解析：E和B都沿x軸正方向，由于帶電粒子速度與磁感應(yīng)強(qiáng)度B平行或反向平行，故不受磁場(chǎng)力只受電場(chǎng)力，而不論粒子帶何種電荷，電場(chǎng)力與速度均共線，由此知粒子作直線運(yùn)動(dòng)，A正確。若E沿y軸正向則電場(chǎng)力沿y軸正向（帶正電）或負(fù)向（帶負(fù)電），而B沿z軸正向，則由左手定則知其所受洛侖茲力沿y軸負(fù)向（帶正電）或正向（帶負(fù)電），合外力可能為零，故B正確。若E沿z軸正向，則電場(chǎng)力沿z軸正向（帶正電）或負(fù)向（帶負(fù)電），B沿y軸正向，則洛侖茲力也沿z軸正向（帶正電）或

14、負(fù)向（帶負(fù)電），合力不為零，且與速度不共線，粒子必然發(fā)生偏轉(zhuǎn)，故C錯(cuò)。若E、B都沿z軸方向，則電場(chǎng)力也沿z軸方向，而洛侖茲力沿y軸方向，合力不為零，且與速度不共線，粒子必發(fā)生偏轉(zhuǎn)，故D錯(cuò)。2解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，只受洛侖茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因?yàn)閒v，故圓心在電子穿入和穿出磁場(chǎng)時(shí)受到洛侖茲力指向交點(diǎn)上，如圖10中的O點(diǎn)，由幾何知識(shí)知，AB間圓心角30°，OB為半徑。r=d/sin30°=2d，又由r=mv/Be得m=2dBe/v又AB圓心角是30°，穿透時(shí)間t=T/12，故t=d/3v。3解析：如圖13所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向穿過狹縫d.只要穿過了d，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過c、b，再回到S點(diǎn)。設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的速度大小為v，根據(jù)動(dòng)能定理，有abcdSo圖13設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有由前面分析可知，要回到S點(diǎn)