課件-7(定積分的概念)

1、1.5 定積分的概念定積分的概念xy0直線直線xy0幾條線段連成的幾條線段連成的折線折線xyo曲線曲線探究思考問題1：你能求出下面圖像的面積嗎？問題2：第三幅圖的面積應(yīng)該怎么求呢？曲邊梯形曲邊梯形：在直角坐標系中，由連續(xù)曲線在直角坐標系中，由連續(xù)曲線y y= =f f( (x x) )，直線直線x x= =a a、x x= =b b及及x x軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。軸所圍成的圖形叫做曲邊梯形。Ox y a b y=f (x)求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x=ax=b以直代曲以直代曲逼近逼近 因此，我們可以用這條直線因此，我們可以用這條直線L來代替點來代替點P附附近的曲線，也就是說：在點近

2、的曲線，也就是說：在點P附近，曲線可以看附近，曲線可以看作直線（即在很小范圍作直線（即在很小范圍“內(nèi)以直代曲內(nèi)以直代曲” ）P放大放大再放大再放大PP“以直代曲以直代曲,無限逼近無限逼近 ”的數(shù)學(xué)思想的數(shù)學(xué)思想 y = f(x)bax yO A1A A1.用一個矩形的面積用一個矩形的面積A A1 1近似代替曲邊梯形近似代替曲邊梯形的面積的面積A A，得，得A A1+ A2用兩個矩形的面積用兩個矩形的面積 近似代替曲邊梯形近似代替曲邊梯形的面積的面積A，得，得 y = f(x)bax yOA1A2A A1+ A2+ A3+ A4用四個矩形的面積用四個矩形的面積 近似代替曲邊梯形近似代替曲邊梯形的

3、面積的面積A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4 y = f(x)bax yOA A1+ A2 + + An 將曲邊梯形分成將曲邊梯形分成 n n個小曲邊梯形，并用小矩個小曲邊梯形，并用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積，形的面積代替小曲邊梯形的面積， 于是曲邊梯于是曲邊梯形的面積形的面積A A近似為近似為A1AiAn 以直代曲以直代曲, ,無限逼近無限逼近 當(dāng)分點非常多（n非常大）時，可以認為f(x)在小區(qū)間上幾乎沒有變化（或變化非常?。?，從而可以取小區(qū)間內(nèi)任意一點xi對應(yīng)的函數(shù)值f(xi)作為小矩形一邊的長，于是f(xi) x來近似表示小曲邊梯形的面積表示了曲邊梯形面積的近

4、似值探究思考xxfxxfxxfn )()()(21例例1.1.求拋物線求拋物線y y= =x x2 2、直線、直線x x=1=1和和x x軸所圍成的曲邊軸所圍成的曲邊梯形的面積。梯形的面積。 n1n2nknnxOy解析解析: :把底邊把底邊0,10,1分成分成n n等份等份, ,然后在每個分點作底邊的垂然后在每個分點作底邊的垂線線, , 這樣曲邊三角形被分成這樣曲邊三角形被分成n n個窄條個窄條, , 用矩形來近似代替用矩形來近似代替, ,然后把這些小矩形的面積加起來然后把這些小矩形的面積加起來, , 得到一個近似值，再取得到一個近似值，再取其極限值。其極限值。2xy 探究思考把區(qū)間把區(qū)間00

5、，11等分成等分成n n個小區(qū)間個小區(qū)間：,nn,n1n ,ni,n1i ,n2,n1,n1, 0 每個區(qū)間的長度為ii-11ii-11 x =-=x =-=nnnnnn過各區(qū)間端點作過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到軸的垂線，從而得到n個小個小曲邊梯形，他們的面積分別記作曲邊梯形，他們的面積分別記作.S,S,S,Sni21 1 1n n2 2n nknnnxOy2yxi-1iffnni-1ninifni-1fn 如圖，當(dāng)如圖，當(dāng)n n很很大時，即大時，即x x很小很小時，在區(qū)間時，在區(qū)間 上可以認為函數(shù)上可以認為函數(shù) 的值變化很小的值變化很小. .i - 1i,nn2y = x 把曲邊梯形分

6、成把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形面積記個小曲邊梯形面積記做做 .用小矩形的面用小矩形的面積積 近似地替代近似地替代 即局部小范圍內(nèi)即局部小范圍內(nèi)“以以直代曲直代曲”.2ii2i-1i-1SS = fx =xnni-11=i =1,2,n .nnisi i s sis則陰影部分面積則陰影部分面積ns 2nni = 1i = 1nnii = 12222233S= S=111n - 11= 0+nnnnn1=1+ 2+n - 1nn - 1n2 n - 11=n6111=1 -i - 1i - 11f x =1 -3n2nnnnn111SS =1-1-3n2n得到得到S S（曲邊梯形面積）（曲邊梯形面

7、積）的近似值的近似值：當(dāng)當(dāng)分分割割的的份份數(shù)數(shù)無無限限增增多多, ,即即n n, ,x x0 0時時 當(dāng)當(dāng)n趨向于無窮大，即趨向于無窮大，即 趨向于趨向于0時，時， 趨向于趨向于S.從而有從而有xxn111S =1-1-3n2n nni = 1nnnS = lim S=1111= lim1 -11-=3n2i - 1limfnnn3 分割分割以曲代直以曲代直作和作和逼近逼近 在在“近似代替近似代替”中，如果認為函數(shù)中，如果認為函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上的值近似地等于上的值近似地等于右端點右端點 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 ，用這種方法能求，用這種方法能求出出S的值嗎？若能求出，這個值也是的值嗎？若能求出

8、，這個值也是 嗎？嗎？取任意取任意 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 作為近似作為近似值，情況又怎樣？值，情況又怎樣？i - 1i,i = 1, 2, nnn 2f x =xinifnii -1i,nn if 13探究！探究！p42練習(xí)：練習(xí)：求直線求直線x=0 x=0,x=2,y=0,x=2,y=0與曲線與曲線y=xy=x2 2所圍成的曲所圍成的曲邊梯形的面積邊梯形的面積小結(jié)小結(jié)求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y f(x)圍成的圍成的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法（1 1）分割分割 （2 2）近似代替近似代替 （4 4）取極限取極限 n（3 3）求和求和 1. 當(dāng)當(dāng)n很大時，函數(shù)很大時，函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間

9、 上的值，可以用上的值，可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f練 習(xí)2、在、在“近似代替近似代替”中，函數(shù)中，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間 上的近似值等于（上的近似值等于（ ）A.只能是左端點的函數(shù)值只能是左端點的函數(shù)值B.只能是右端點的函數(shù)值只能是右端點的函數(shù)值 C.可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值可以是該區(qū)間內(nèi)任一點的函數(shù)值D.以上答案均不正確以上答案均不正確)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC1,iixx練 習(xí)1、分割；、分割；2、近似代替；、近似代替；3、求和；、求和；4、取極限、取極限 用用黃色部分的面積黃

10、色部分的面積來代替曲邊梯形的面積，當(dāng)曲來代替曲邊梯形的面積，當(dāng)曲邊梯形分割的越細，藍色部分面積就越小，就越接近邊梯形分割的越細，藍色部分面積就越小，就越接近曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積. .復(fù)習(xí)：如何求曲邊梯形的面積？復(fù)習(xí)：如何求曲邊梯形的面積？以直代曲以直代曲1,iinn在區(qū)間上的左端點和右端點的函數(shù)值來計算有和區(qū)別從小于曲邊梯形的面積從小于曲邊梯形的面積來無限逼近來無限逼近從大于曲邊梯形的面積從大于曲邊梯形的面積來無限逼近來無限逼近1、分割 將區(qū)間等分成 n 個小區(qū)間2、以直代曲 對于區(qū)間i-1n,1n 作和 S=s1+s2+n=i 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)利利用用導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)我我們們解解決決了了“已已知知物

11、物體體運運動動路路程程與與時時間間的的關(guān)關(guān)系系，求求物物體體運運動動速速度度”的的問問題題反反之之，如如果果已已知知物物體體的的速速度度與與時時間間的的關(guān)關(guān)系系，如如何何求求其其在在一一定定時時間間內(nèi)內(nèi)經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程呢呢？ 引入引入探究思考nnSS lim 結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認為結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認為汽車行駛的路程汽車行駛的路程s和由直線和由直線t=0，t=1,v=0和和曲線曲線 所圍成的曲邊梯形的面所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？積有什么關(guān)系？2v(t)=-t +2 如果汽車做變速直線運動，在時刻如果汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為的速度為 (t的單位：的單位

12、：h，v的的單位：單位：km/h)，那么它在，那么它在 這段時這段時間內(nèi)行駛的路程間內(nèi)行駛的路程s（單位：（單位：km）是多少？）是多少？2v(t)=-t +20t1 求變速直線運動的路程求變速直線運動的路程 在時間區(qū)間在時間區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個分點，將它等分成個分點，將它等分成n個小區(qū)間：個小區(qū)間：112n - 10 , 1nnnn 記第記第i i個區(qū)間為個區(qū)間為 ，其長度為：其長度為：i-1 i,i =1,2,nnnii-11t =-=nnn2 2v v= = - -t t + +2 2xoya. . .把汽車在時間段把汽車在時間段 上行駛的路程分別記作：上行駛的

13、路程分別記作：112n - 10,1nnnn 12nS ,S ,S 顯然有顯然有nii=1S =S 當(dāng)當(dāng)n很大，即很大，即 很小時，在區(qū)間很小時，在區(qū)間 上，函數(shù)上，函數(shù) 的變化值很小，的變化值很小，近似地等于一個常數(shù)近似地等于一個常數(shù). 從物理意義上看，就是汽車在從物理意義上看，就是汽車在時間段時間段 上的速度上的速度變化很小，不妨認為它近似地以時變化很小，不妨認為它近似地以時刻刻 處的速度作處的速度作勻速行駛勻速行駛.i - 1i,nnt2v(t)=-t +2i - 1ni -1i,i = 1,2,nnn2ii2i-1i-11s = s = vt = -+2nnni-112= -+i =1

14、,2,nnnn在區(qū)間在區(qū)間 上，近似地認為速度為上，近似地認為速度為 即在局部小范圍內(nèi)即在局部小范圍內(nèi) “以勻速代變速以勻速代變速”.i - 1i,nn2i - 1i - 1v=-+ 2nn 由近似代替求得：由近似代替求得： 2nnnii = 1i = 122233ni = 122i - 112-+nnn111n - 11-0-i - 1ss= s=v tn=1= -1+ 2+n - 1+ 2n1(n - 1 )n (2 n - 1 )= -+ 2nn+ 2n6111= -1 -1n-+ 232 nnnnnnnni=1n1i-1s = lims = limvnn1115= lim -1-1-+

15、2 =3n2n3 當(dāng)當(dāng)n趨向于無窮大，即趨向于無窮大，即 趨向于趨向于0時，時， 趨向于趨向于s，從而有，從而有n111s =-1-1-+23n2nt一一般般地地，如如果果物物體體做做變變速速直直線線運運動動，速速度度函函數(shù)數(shù)為為 vv t， 那那么么我我們們也也可可以以采采用用分分割割、 近近似似代代替替、求求和和、取取極極限限的的方方法法，利利用用“以以不不變變代代變變”的的方方法法及及無無限限逼逼近近的的思思想想，求求出出它它在在a atb b內(nèi)內(nèi)所所作作的的位位移移S 結(jié)論結(jié)論普通高中課程標準實驗教材選修普通高中課程標準實驗教材選修2-2 從求曲邊梯形面積以及變速直線運動路程從求曲邊梯

16、形面積以及變速直線運動路程的過程可知，它們都可以通過的過程可知，它們都可以通過“四步曲四步曲”：分分割、近似代替、求和、取極限割、近似代替、求和、取極限得到解決，且都得到解決，且都可以歸結(jié)為求一個特定形式和的極限可以歸結(jié)為求一個特定形式和的極限.曲邊梯形面積變速直線運動路程niinniixfnxfS110)(1lim)(limniinniitvntvS110)(1lim)(lim 復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)一、定積分的概念一、定積分的概念bxxxxxabaxfnii110上連續(xù)，用分點，）在區(qū)間（一般地，如果函數(shù)，）（）（），作和式，（上任取一點，間個小區(qū)間，在每個小區(qū)等分成，將區(qū)間niniiiiiifnabx

17、fnixxnba11121.上的定積分，）在區(qū)間（叫做函數(shù)某個常數(shù)，這個常數(shù)時，上述和式無限接近當(dāng)baxfn.lim1niinbabafnabdxxfdxxf）（）（，即）（記作 概念概念定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnba即Oabxy)(xfy Sbaf (x)dx； 按定

18、積分的定義，有 (1) 由連續(xù)曲線yf(x) (f(x)0) ，直線xa、xb及x軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) 設(shè)物體運動的速度vv(t)，則此物體在時間區(qū)間a, b內(nèi)運動的距離s為 sbav(t)dt。 Oab( )vv ttv定積分的定義：1( )lim( )ninibaf x dxfnba即112001( )3Sf x dxx dx根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S 1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt 根據(jù)定積分的定義左邊圖形

19、的面積為正確理解定積分的概念正確理解定積分的概念(),dt();( )( )( )bbbaaaf x dxf u duf t (1)定積分是一個數(shù)值 極限值 它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上下限 而與積分變量用什么字母表示無關(guān) 即稱為積分形式的不變性 120320a,b,.( ) ( )(1)(1)baf x d xxdxxdx (2)定積分與積分區(qū)間息息相關(guān) 不同的積分區(qū)間定積分的積分限不同 所得的值也就不同 例如與的值就不同1lim.nbianibaf xdxfn（ ）（ ）（3 3）. .規(guī)定：規(guī)定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf二、定積分的幾何意義：二、定積分的幾

20、何意義：Ox yab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) ab 時，有baf (x)dx0。 當(dāng)f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yOdxxfSba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfSba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 S上述曲邊梯形面積的負值。 積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)d

21、x。 Soabxyy=f(x)y=f(x)探究根據(jù)定積分的幾何根據(jù)定積分的幾何意義，你能用定積意義，你能用定積分表示圖中陰影部分表示圖中陰影部分的面積嗎？分的面積嗎？12( )( )bbaaSf x dxfx dx 探究探究課本課本P46三三: : 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x( g)x(fba babadx)x( gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf badx)x(fk 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. 2121 ccbccabadx)x(fdx)x

22、(fdx)x(fdx)x(fOx yab yf (x) 性質(zhì)性質(zhì) 3 不論不論a，b，c的相對位置如何都有的相對位置如何都有ab y=f(x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxf (x)dx。 f (x)dx f (x)dxbcf (x)dx。 cOx ybaf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 130.x dx利用定積分的定義，計算的值例1: 3f xx解：令 在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個分點，把區(qū)間個分點，把區(qū)間0,1等分成等分成n個小區(qū)間個小區(qū)間 每個小區(qū)每個小區(qū)間的長度為間的長度為i -1 i, i =

23、 1,2,nin（）ii -11x =-=nnn (1)分割分割 例題例題（2）近似代替，作和）近似代替，作和1n3nnn133n40i=1i=1i=12224ii1x dxS =fx =innn1111 =nn+1=1+n44n213n0nn111x dx = lim S = lim1+=4n4（3）取極限）取極限ii =(i = 1,2,n)n取，例例1:用定積分表示下列陰影部分的面積用定積分表示下列陰影部分的面積. (1)S=_.4sinxdx題型一題型一 利用定積分表示曲邊梯形的面積利用定積分表示曲邊梯形的面積 (2)S=_.2242xdx (3)S=_.94()x dx例例2.用定積

24、分表示圖中四個陰影部分面積用定積分表示圖中四個陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12xfaxxf解：解：20aAx dx0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22xfxxf解：解：221Ax dx0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖

25、中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3xfbaxf解：解：baAdx0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42xfxfxxf解：解：022210(1)1(1)1Axdxxdx0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1題型二題型二 利用定積分的幾何意義求定積分利用定積分的幾何意義求定積分例例3:利用定積分的幾何意義利用定積分的幾何意義,求下

26、列各式的值求下列各式的值.222(1)4;x dx分析分析:定積分定積分 的幾何意義是的幾何意義是:介于直線介于直線x=a,x=b,x軸及軸及y=f(x)所圍成圖形面積的代數(shù)和所圍成圖形面積的代數(shù)和,其中其中x軸上方部分為正軸上方部分為正,x軸下方部分為負軸下方部分為負.( )baf x dx 222: 1y,xy4 y,40.x解由知其圖象如下圖被積函數(shù)的曲線是圓心在原點被積函數(shù)的曲線是圓心在原點,半徑為半徑為2的半圓的半圓,由定積分的幾何意義知由定積分的幾何意義知,此定積分為半圓的面積此定積分為半圓的面積,所以所以 2222242.2x dx22(2);sinxdx解：解：所以并有上，在上

27、，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf2212( )0f x dxAA222A1Axyf(x)=sinx1-1例例3:利用定積分的幾何意義利用定積分的幾何意義,求下列各式的值求下列各式的值.22(2);sinxdx1.利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分值的正、負號。值的正、負號。20sin xdx221x dx2.利用定積分的幾何意義，說明下列各式成立：利用定積分的幾何意義，說明下列各式成立：20sin0 xdx200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習(xí)練習(xí)：3.試用定積分表示下列

28、各圖中影陰部分的面積。試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x2120 xy=f(x)y=g(x)aby練習(xí)練習(xí)4（2）:1201x dx計算積分義義知知，該該積積分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面積積（見見下下圖圖）所所圍圍及及軸軸，曲曲線線10,12 xxxxyx1y面積值為圓的面積的面積值為圓的面積的4141102 dxx所所以以 ,f x(2)a,b,x,x,x,x,f xxa,xb(ab);f x,a,bf x( ),| ( )|( )|( )| ( )|abbbaababaf x dxf xdxf x dxf x dxf xdx與在幾何意義上有不同的含義絕不能等同看待由于被積函數(shù)在閉區(qū)間上可正可負也就是它的