信號與系統(tǒng)課件6

1、2.3 2.3 卷積積分卷積積分2.3 2.3 卷積積分卷積積分一、信號的時(shí)域分解與卷積積分一、信號的時(shí)域分解與卷積積分1 . .信號的時(shí)域分解信號的時(shí)域分解(1) (1) 預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)p(t)1t022(a)f1(t)At022(b)問問 f1(t) = ? p(t)直觀看出直觀看出)(A)(1A)(1tptptf面積為面積為12.3 2.3 卷積積分卷積積分(2) (2) 任意信號分解任意信號分解22f(t)t023-1 0 1 2)(tff(0)(f)( f“0”號脈沖高度號脈沖高度f(0) ,寬度為寬度為，用用p(t)表示為表示為：f(0) p(t)“1”號脈沖高度號脈沖高度f()

2、 ,寬度為寬度為，用，用p(t - - )表示為：表示為： f() p(t - - )“- -1”號脈沖高度號脈沖高度f(- -) 、寬度為、寬度為，用，用p(t + +)表示為表示為： f ( - - ) p(t + + )nntpnftf)()()(d)()()()(lim0tftftf2.3 2.3 卷積積分卷積積分2 . .任意任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)yf(t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義：(t) h(t) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t

3、 - -)由疊加性：由疊加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf(t)d)()()(thftyf卷積積分卷積積分2.3 2.3 卷積積分卷積積分3 . .卷積積分的定義卷積積分的定義已知定義在區(qū)間（已知定義在區(qū)間（ ，）上的兩個(gè)函數(shù)）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和和f2(t)，則定義積分則定義積分 dtfftf)()()(21為為f1(t)與與f2(t)的的卷積積分卷積積分，簡稱，簡稱卷積卷積；記為；記為 f(t)= f1(t)*f2(t)注意注意：積分是在虛設(shè)的變量：積分是在虛設(shè)的變量下進(jìn)行的，下進(jìn)行的，為積分變量，為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為為參變量。結(jié)果仍為t 的函數(shù)。的函數(shù)。

4、)(*)(d)()()(thtfthftyf積分限問題積分限問題2.3 2.3 卷積積分卷積積分例例1：f (t) = e t,（- -t)，h(t) = (6e- -2t 1)(t)，求求yf(t)。解解： yf(t) = f (t) * h(t)d)( 1e6e)(2tt當(dāng)當(dāng)t t時(shí)，時(shí)，(t -) = 0ttttftyd)eee6(d 1e6e)(32)(2tttttttttteeee2ee2eded)e6(e3232322.3 2.3 卷積積分卷積積分二、卷積的圖解法二、卷積的圖解法dtfftftf)()()(*)(2121卷積過程可分解為卷積過程可分解為四步四步：（1）換元換元： t

5、換為換為得得 f1()， f2()（2）反轉(zhuǎn)平移反轉(zhuǎn)平移：由：由f2()反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn) f2()右移右移t f2(t-)（3）乘積乘積： f1() f2(t-) （4）積分積分： 從從 到到對乘積項(xiàng)積分。對乘積項(xiàng)積分。注意：注意：t為參變量。為參變量。下面舉例說明。下面舉例說明。演示演示2.3 2.3 卷積積分卷積積分th( )f (t - )201321例2 f (t) ,h(t) 如圖所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。解 采用圖解法求卷積 。 f ( t - -)f ()反折反折f (- -)平移平移t t 0時(shí)時(shí) , f ( t - -)向左移向左移f ( t - -) h()

6、 = 0，故故 yf(t) = 0 0t 1 時(shí)時(shí), f ( t - -)向右移向右移2041d21)(ttytf 0t 1時(shí)時(shí)4121d21)(1ttyttf 2t 3時(shí)時(shí)f ( t - -) h() = 0，故故 yf(t) = 0f ( t )t0211th ( t )22h(t)函數(shù)形式復(fù)雜函數(shù)形式復(fù)雜 換元為換元為h()。 f (t)換元換元 f ()f (- )f (t - )t-1 tt-1 t t-1 ttyf (t )20134143tt-1 tt-1 1t 2 時(shí)時(shí)432141d21)(221tttytf02.3 2.3 卷積積分卷積積分圖解法圖解法一般比較繁瑣，但一般比較

7、繁瑣，但若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)若只求某一時(shí)刻卷積值時(shí)還是比較方便的。還是比較方便的。確定積確定積分的上下限是關(guān)鍵。分的上下限是關(guān)鍵。例例3：f1(t)、 f2(t)如圖所示，已如圖所示，已知知f(t) = f2(t)* f1(t)，求，求f(2) =？tf 2( t )-1131-1f 1( t )t2-22f1(- -)f1(2- -)f 1(2- - ) f 2( )22-2解解：d)2()()2(12fff（1）換元）換元（2） f1()得得f1()（3） f1()右移右移2得得f1(2)（4） f1(2)乘乘f2()（5）積分，得）積分，得f(2) = 0（面積為（面積為0）2.4 2

8、.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì) 卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)卷積積分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，它有許多重要的性質(zhì)（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。下（或運(yùn)算規(guī)則），靈活地運(yùn)用它們能簡化卷積運(yùn)算。下面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。面討論均設(shè)卷積積分是收斂的（或存在的）。 一、卷積代數(shù)一、卷積代數(shù)1 1 滿足乘法的三律：滿足乘法的三律：（1） 交換律交換律： f1(t)* f2(t) =f2(t)* f1(t)（2） 分配律分配律： f1(t)* f2(t)+ f3(t) =f1(t)* f2(t)+ f1(t)* f3(t)

9、（3） 結(jié)合律結(jié)合律： f1(t)* f2(t)* f3(t) =f1(t)* f2(t) * f3(t)2. 2. 復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)復(fù)合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)二、奇異函數(shù)的卷積特性二、奇異函數(shù)的卷積特性1. f(t)*(t)=(t)*f(t) = f(t) 證：證：)(d)()()(*)(tftftftf(t)*(t t0) = f(t t0)2. f(t)*(t) = f(t) 證：證：)( d)()( )(*)( tftftftf(t)*(n)(t) = f (n)(t)3. f(t)*(t)tftfd)(

10、d)()(t) *(t) = t(t)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)三、卷積的微積分性質(zhì)1.nnnnnnttftftfttftftftd)(d*)()(*d)(d)(*)(dd212121證：上式證：上式= (n)(t) *f1(t)* f2(t) = (n)(t) *f1(t) * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t) 2.d)(*)()(*d)(d)(*)(212121tttftftffff證：上式證：上式= (t) *f1(t)* f2(t) = (t) *f1(t) * f2(t) = f1(1)(t) * f2(t) 3. 在在f1( )

11、 = 0或或f2(1)() = 0的前提下，的前提下， f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) 2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)例例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求求f1(t)* f2(t) 解解：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得：通常復(fù)雜函數(shù)放前面，代入定義式得 f2(t)* f1(t)=1eded)(e00注意：套用注意：套用 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) = 0* f2(1)(t) = 0 顯然是錯(cuò)誤的顯然是錯(cuò)誤的。例例2：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f

12、2(t) )()e1 ()(e)(ded)(e)(00)1(2ttttfttttf 1(t)t201解法一解法一： f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)解解： f1(t) = (t) (t 2) f1(t)* f2(t)= (t) * f2(t) (t 2) * f2(t) (t) * f2(t)= f2 (-1)(t)四、卷積的時(shí)移特性四、卷積的時(shí)移特性若若 f(t) = f1(t)* f2(t)，則則 f1(t

13、 t1)* f2(t t2) = f1(t t1 t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t t1 t2) = f(t t1 t2) 前例前例：f1(t) 如圖如圖, f2(t) = et(t)，求，求f1(t)* f2(t) f 1(t)t201利用時(shí)移特性，有利用時(shí)移特性，有 (t 2) * f2(t)= f2 (-1)(t 2)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2) 2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)例例：f1(t), f2(t)如圖，求如圖，求f1(t)* f2(t) t11-1f 1(t)t102f 2(t)0解解： f1(t)

14、= 2 (t) 2 (t 1) f2(t) = (t+1) (t 1) f1(t)* f2(t) = 2 (t)* (t+1) 2 (t)* (t 1) 2 (t 1)* (t+1) 2 (t 1)* (t 1) 由于由于 (t)* (t) = t (t) 據(jù)時(shí)移特性，有據(jù)時(shí)移特性，有f1(t)* f2(t) = 2 (t+1) (t+1) - 2 (t 1) (t 1) 2 t (t) 2 (t 2) (t 2)常見的卷積公式常見的卷積公式1212( 1)( 1)( 1)1221( ) ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )(

15、)( )( )( )( )1( )( )() ( )(atatata ta ta ta tKf tKf tf ttf tf ttf ttf tf ttf ttfttftttttetetteteteteetaaaa波形的凈面積值)1( )( )(1) ( )( )( )( )()()atatTmmtetetaf ttf ttmTf tmT2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)五、相關(guān)函數(shù)五、相關(guān)函數(shù) 為比較某信號與另一延時(shí)為比較某信號與另一延時(shí)的信號之間的相似度，的信號之間的相似度，需要引入需要引入相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)的概念。相關(guān)函數(shù)是鑒別信號的有力

16、的概念。相關(guān)函數(shù)是鑒別信號的有力工具，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)回波的識(shí)別，通信同步信號的工具，被廣泛應(yīng)用于雷達(dá)回波的識(shí)別，通信同步信號的識(shí)別等領(lǐng)域。識(shí)別等領(lǐng)域。相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)也稱為相關(guān)積分，它與卷積的運(yùn)也稱為相關(guān)積分，它與卷積的運(yùn)算方法類似。算方法類似。 實(shí)函數(shù)實(shí)函數(shù)f1(t)和和f2(t)，如為能量有限信號，它們之間的，如為能量有限信號，它們之間的互相關(guān)函數(shù)定義為：互相關(guān)函數(shù)定義為：121212211212( )( )()()( )( )()( )( )()Rf t f tdtf tf t dtRf tf t dtf t f tdt 可見，互相關(guān)函數(shù)是兩信號之間時(shí)間差可見，互相關(guān)函數(shù)是兩信號之間時(shí)

17、間差的函數(shù)。需要的函數(shù)。需要注意，一般注意，一般R12() R21()。不難證明，它們之間的關(guān)系是。不難證明，它們之間的關(guān)系是12212112( )()( )()RRRR 如果如果f1(t)和和f2(t)是同一信號，即是同一信號，即f1(t)f2(t) f (t) ，這時(shí)，這時(shí)無需區(qū)分無需區(qū)分R12與與R21，用，用R()表示，稱為表示，稱為自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)。即。即 ：( )( ) ()() ( )Rf t f tdtf tf t dt 容易看出，對自相關(guān)函數(shù)有：容易看出，對自相關(guān)函數(shù)有：( )()RR 可見，實(shí)函數(shù)可見，實(shí)函數(shù)f(t)的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)移的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)移 的偶函數(shù)。的偶函

18、數(shù)。2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)函數(shù)函數(shù)f1(t)和和f2(t)卷積的表達(dá)式為：卷積的表達(dá)式為：1212( )*( )( )()f tf tff td 為了便于與互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行比較，我們將互相關(guān)為了便于與互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行比較，我們將互相關(guān)函數(shù)定義式中的變量函數(shù)定義式中的變量t t和和進(jìn)行互換，可將實(shí)進(jìn)行互換，可將實(shí)函數(shù)函數(shù)f1(t)和和f2(t)的互相關(guān)函數(shù)寫為：的互相關(guān)函數(shù)寫為：1212( )( )()Rtfft d 比較以上兩式可見，卷積積分和相關(guān)函數(shù)的運(yùn)算比較以上兩式可見，卷積積分和相關(guān)函數(shù)的運(yùn)算方法有許多相似之處。兩種運(yùn)算的不同之處僅在于，方法有許多相似之處。兩種運(yùn)算的不

19、同之處僅在于，卷積運(yùn)算開始時(shí)需要將卷積運(yùn)算開始時(shí)需要將f2()進(jìn)行反折為進(jìn)行反折為f2(- )，而相關(guān)，而相關(guān)運(yùn)算則不需反折，仍為運(yùn)算則不需反折，仍為f2()。其他的移位、相乘和積分的運(yùn)算。其他的移位、相乘和積分的運(yùn)算方法相同。方法相同。2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)根據(jù)卷積的定義根據(jù)卷積的定義121212( )*()( ) ()( )()f tftfftdfft d可見可見1212( )( )*()Rtf tft 由上式可知，若由上式可知，若f1(t)和和f2(t)均為均為實(shí)偶函數(shù)，實(shí)偶函數(shù)，則則卷卷積與相關(guān)完全相同。積與相關(guān)完全相同

20、。2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)求卷積是本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)。求卷積是本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)。求解求解卷積的方法卷積的方法可歸納為：可歸納為：（1）利用定義式，直接進(jìn)行積分利用定義式，直接進(jìn)行積分。對于容易求積分的。對于容易求積分的函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)等。函數(shù)比較有效。如指數(shù)函數(shù)，多項(xiàng)式函數(shù)等。（2）圖解法圖解法。特別適用于求某時(shí)刻點(diǎn)上的卷積值。特別適用于求某時(shí)刻點(diǎn)上的卷積值。（3）利用性質(zhì)利用性質(zhì)。比較靈活。比較靈活。三者常常結(jié)合起來使用。三者常常結(jié)合起來使用。2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)（1 1）)()()()

21、(),()(21221tftfttftetft。求卷積積分解法I(定義)：)()1 (21)()()()()(202221tetdedtetftftt例 求下列函數(shù)的卷積積分。2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)卷積積分的性質(zhì)220121(1)0( )( )200ttedetf tf tt22( 1)122( 1)22( )( )( )*( )( )*( )1( )( )(1) ( )2tttttf tf ttettetetedet 解法II(圖解)：解法IV(常用公式)：解法III(性質(zhì))：22121( )( )( )*( )(1) ( )2ttf tf ttetet2.4 2.4 卷積積分的性質(zhì)

22、卷積積分的性質(zhì)(2)(2)等于則的波形如圖所示，設(shè)和信號)6(),()()()()(2121ytftftytftf(6)2 1 12 2 16y 解解: :2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法2.52.5* * P P算子分析法算子分析法一、微分算子及系統(tǒng)的描述一、微分算子及系統(tǒng)的描述y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)LTI連續(xù)系統(tǒng)用連續(xù)系統(tǒng)用線性常系數(shù)微分方程線性常系數(shù)微分方程描述。描述。1 1、微分算子的定義、微分算子的

23、定義積分算子積分算子：1( . . )tdP dPdt微分算子微分算子：nnndPdt注意：這里的注意：這里的P只只是代表微分運(yùn)算的是代表微分運(yùn)算的一個(gè)算子（一個(gè)算子（1/P是是代表積分運(yùn)算），代表積分運(yùn)算），P 并 不 是 變 量 。并 不 是 變 量 。例例1 1： )()(tfdtdtPf)()(tfdtdtfPnnntdftfP)()(1例例2 2： ( )3 ( )2 ( )2( )5 ( )y ty ty tf tf t微分算子方程：微分算子方程：)(5)(2)(2)(3)(2tftPftytPytyP或：或：)()52()()23(2tfPtyPP 2.5 P2.5 P算子分析法

24、算子分析法2 2微分算子的性質(zhì)（規(guī)定）：微分算子的性質(zhì)（規(guī)定）：（1 1）P P的的正冪正冪多項(xiàng)式可以因式分解；多項(xiàng)式可以因式分解；)()2()()23(22tfPPtyPP可表示為：可表示為：)() 12()()2)(1(tfPPtyPP（2 2）設(shè)）設(shè)A(P)A(P)、B(P)B(P)為為P P的的正冪正冪多項(xiàng)式；多項(xiàng)式；（3 3）微分算子方程兩邊的公因子不能隨意消去；）微分算子方程兩邊的公因子不能隨意消去；)()()()(PAPBPBPA則：則：例：例：)()(tPftPy，不，不等于等于)()(tfty)()3)(2()()2)(1(tfPPtyPP, ,不不等于等于)()3()()

25、1(tfPtyP2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法例：例：(4) A(P)(4) A(P)、B(P)B(P)、D(P)D(P)為為P P的的正冪正冪多項(xiàng)式多項(xiàng)式：)()()()()()()()(tfPBPAtfPBPDPAPD)()()()()()()()(tfPBPAtfPDPDPBPA2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法但但例：例：)()(1tftfPP)()(1tftPfP但但二階系統(tǒng)微分方程：二階系統(tǒng)微分方程：)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty二階系統(tǒng)微分算子方程：二階系統(tǒng)微分算子方程：)()()()(0122012tfbPbPbtyaPaP

26、系統(tǒng)傳輸算子：系統(tǒng)傳輸算子：則則 ( )( ) ( )( ) ( ),( )( )( ) ( )( )B PA P y tB P f ty tf tH P f tA P2210210( )( )( )b Pb PbB PH PA PPa PaH(P)H(P)稱為稱為系統(tǒng)的傳輸算子系統(tǒng)的傳輸算子。2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法3 3、系統(tǒng)的傳輸算子：、系統(tǒng)的傳輸算子：（1）微分算子方程：）微分算子方程：2210210( ),( )A PPa PaB Pb Pb Pb令令 演示演示對對n n階系統(tǒng)階系統(tǒng)的的微分方程：微分方程：)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tfbtf

27、btfbtyatyatymmmmnnn2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法微分算子方程：微分算子方程： tfbpbpbtyapapmmmmnnn011011傳輸算子傳輸算子：110110( )( )( )mmmmnnnb PbPbB PH PA PPaPa 算子模型：算子模型：R R：( )( )U tRi t( )( )U tRi t 算子模型：算子模型：L：)()(tidtdLtU)()(tpLitU2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法4 4RLC微分算子方程的建立微分算子方程的建立：（1 1） R R、L L、C C元件的算子模型：元件的算子模型：C C：tdiCtU)(1)(1

28、( )( )U ti tpC算子模型：算子模型：例1： 12( )( )( )( )ssi tU ti tU t求與和與的關(guān)系。解：解：建立系統(tǒng)微分算子方程的方法建立系統(tǒng)微分算子方程的方法： 把把R,PL,1/PCR,PL,1/PC看成阻抗，用正弦穩(wěn)電路分析法中所采用看成阻抗，用正弦穩(wěn)電路分析法中所采用的網(wǎng)孔分析法，節(jié)點(diǎn)分析法，阻抗分析法，戴維南定理等的網(wǎng)孔分析法，節(jié)點(diǎn)分析法，阻抗分析法，戴維南定理等建立系統(tǒng)微分算子方程。建立系統(tǒng)微分算子方程。以下以下用網(wǎng)孔分析法建立方程：用網(wǎng)孔分析法建立方程： 2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法（2 2）系統(tǒng)微分算子方程的建立：）系統(tǒng)微分算子方程的建立

29、：0)() 112()(1)()(1)()11 (2121tiPPtiPtUtiPtiPPs)() 2432 (12)(12321tUPPPPPPtiPs)() 2432 (1)(1232tUPPPPtiPs)(243212)(2321tUPPPPPtis243212)(2321PPPPPPH)(24321)(232tUPPPtis2321( )2342H PPPP)() 12()() 2432(2123tUPPtiPPPs)()()2432(223tUtiPPPs0)(1)12()(1)()(1)(1)1(221212tiPPPtiPtUtiPtiPPPs)(1),(121tiPtiP令變量

30、為令變量為得得: :用克萊姆法則解得：用克萊姆法則解得：，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法二、二、零輸入響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)的求解設(shè)二階系統(tǒng)的方程為設(shè)二階系統(tǒng)的方程為: :算子方程為算子方程為: :)()()()()(0101tfbtfbtyatyaty)()()()(01012tfbPbtyaPaP01201)()()(aPaPbPbPAPBPH1 1、零輸入響應(yīng)的方程、零輸入響應(yīng)的方程傳輸算子傳輸算子：0)()(012tyaPaPx)(tyx零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)滿足的算子方程：滿足的算子方程：0)()(tyPAx 或或( )xyt 的 方

31、程 ：0)()(tyPx0)()(tytyxx)(tyx2 2、零輸入響應(yīng)、零輸入響應(yīng)的計(jì)算：的計(jì)算： （1 1）簡單情況）簡單情況 1 1： PPA)( (為常數(shù)）為常數(shù)）2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法00t設(shè)初始時(shí)刻設(shè)初始時(shí)刻te上式兩邊乘以得：0)()(tyetyextxt0)(txetydtd 即：即：2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法00( )( )0ttttxxdyt edtd yt edt( )(0 )0txxyt eyt0( )(0 )ttxxy tyeC e上式兩邊積分：上式兩邊積分：0( )|0ttxy t e得：得：所以：所以：2)()(PPA（2 2）簡

32、單情況）簡單情況2 2：2( )()( )0 xxy tPy t的方程：0)()(tyPPx即：即： txxeCtyty1)()(即：即：)()()(1tyPtyxxtxeCty11)(，則，則令令 txeCtyP1)()(得：得：te1)(Ctyedtdxt上式兩邊乘以上式兩邊乘以，得得：2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法101( ) (0 )()0ttxxy tyCt eCCt et，01( )|ttxey tCt1( )(0 )txxey tyC t對上式積分：對上式積分：，所以：所以：210121( )(),0rtxrytCC tC tCtet221)()(PPPA0)()(22

33、1tyPPx推論推論：（3 3）一般情況：）一般情況：0)()(1tyPAx即即：0)()(2221tyPPx0)()(2tyPAx則則即即：0)()(22tyPxtxetCCty2212)()( 解為解為設(shè)設(shè)2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法rPPA)()(0)()(tyPxr即即 01txyp txeCty101設(shè)設(shè) 解為解為例：例：1212012( )( )( )(),0ttxxxy ty tytCeCCt et所以：所以：)(tyx求零輸入響應(yīng)求零輸入響應(yīng) 的一般方法：的一般方法：第一步第一步 對對A(P)A(P)進(jìn)行因式分解；進(jìn)行因式分解；第三步第三步 yx(t) 等于各因式對

34、應(yīng)的零輸入響應(yīng)之和；等于各因式對應(yīng)的零輸入響應(yīng)之和；)(tyx0)()(tyPAx的微分算子方程為：的微分算子方程為：設(shè)設(shè)第二步第二步 求每個(gè)因式對應(yīng)的零輸入響應(yīng)；求每個(gè)因式對應(yīng)的零輸入響應(yīng)；第四步第四步 用初始條件確定系數(shù)。用初始條件確定系數(shù)。的系數(shù)：的系數(shù)：n)(tyx110,nCCCn)(tyx(1)(0 ),(0 ),(0 )nxxxyyy階系統(tǒng)階系統(tǒng)階系統(tǒng)階系統(tǒng)的初始條件：的初始條件：)()()(tytytyfx( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfjjjxfyyyyyy( )( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )(0 )xfjjjxfy

35、yyyyy三、三、 LTI 連續(xù)系統(tǒng)的初始條件連續(xù)系統(tǒng)的初始條件 初始時(shí)刻t0=0 ，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法()()(0 )(0 )(0 )(0 )xxjjxxyyyy對因果系統(tǒng)，因果輸入對因果系統(tǒng)，因果輸入: :當(dāng)當(dāng)t0t0時(shí)，時(shí)，f(t) =0.( )( )(0 )(0 )(0 )(0 )xjjxyyyy所以：所以：()(0 )0(0 )0fjfyy有：有：注意：注意：零輸入響應(yīng)只與零輸入響應(yīng)只與A（P）有關(guān)，與）有關(guān)，與B（P）無關(guān)，）無關(guān)，故故H(P)中分子與分母的公共因式不能相約。中分子與分母的公共因式不能相約。2.5 P2.

36、5 P算子分析法算子分析法1 1、任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)、任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)yf(t)f (t)根據(jù)根據(jù)h(t)的定義：的定義： (t) h(t) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：(t - -)h(t - -)f ()(t - -)由齊次性：由齊次性：f () h(t - -)由疊加性：由疊加性：d)()(tfd)()(thff (t)yf (t)四、零狀態(tài)響應(yīng)的求解四、零狀態(tài)響應(yīng)的求解)(*)(d)()()(thtfthftyf卷積積分卷積積分2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法2 2、零態(tài)響應(yīng)的另一種計(jì)算公式、零態(tài)響應(yīng)的另一種計(jì)算公式（1 1）信號的

37、時(shí)域分解）信號的時(shí)域分解(1) ()( )()()nnnf nf nf tft nt n 把激勵(lì)分解把激勵(lì)分解為一系列階為一系列階躍響函數(shù)躍響函數(shù)2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法0( )( )( ) ()dlimf tf tft )(*)( d)()( )(ttftftf( )()()nf tf ntn （2 2）任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)）任意信號作用下的零狀態(tài)響應(yīng)LTI系統(tǒng)LTI系統(tǒng)零狀態(tài)零狀態(tài)yf(t)f (t)杜阿密爾積分杜阿密爾積分2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法根據(jù)根據(jù)g(t)的定義：的定義： g(t) 由時(shí)不變性：由時(shí)不變性：g(t - -)由齊次性：由齊次性：f

38、 () g(t - -)由疊加性：由疊加性：f (t)yf (t)(t)(td)()( tf)()( tf( )( ) ()d( )*( )fytfg tftg td)()( tgf杜阿密爾積分杜阿密爾積分五、由五、由H(P)H(P)求求h(t)h(t) )(tyf的方程的方程：) () () () () () (01201tfbtfbtfbtyatyatyfffh(t)h(t)的方程的方程：)()()()()()(01201tbtbtbthathath設(shè)二階系統(tǒng)的方程為設(shè)二階系統(tǒng)的方程為)()()()()()(01201tfbtfbtfbtyatyaty對對n n階因果系統(tǒng)階因果系統(tǒng)：( 1

39、)(0 )(0 )(0 ) 0nhhh系統(tǒng)的傳輸算子系統(tǒng)的傳輸算子：2210210()()()b Pb PbB PHPA PPa Pa，)()()()(0120122tPHtaPaPbPbPbth2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法1 1、h(th(t) )的方程的方程2 2 由由H(P)H(P)求求h(t)h(t) ( )( ),Kh ttP)()()(tKthP)()()(tKthth即：即： )()(tKthetddt即即：0( )|( ),tteh tKt(0 )0,h)()(tKthet)()(tKethtPKPH)()()(tKethtPKPH)(，K，為常數(shù)為常數(shù)簡單情況簡單

40、情況1：te，得：，得：)()()()(tKtkethethettt上式乘以上式乘以)()()(00tKdttKdtthedtdttt上式兩邊積分：上式兩邊積分：2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法即即：)()()(tKthPP1() ( )( )Ph tKt1( )( )th tKet( )( )ttdeeh tKtdt上式兩邊乘以得：2)()(PKPH 簡單情況簡單情況2 2：則則設(shè)設(shè)1( )() ( )( )th tPh tKet得得2)()(PKPH)()(tKtethtrPKPH)()()()!1()(1tetrKthtr0( ) |( )tteh tKtt，)()(tKtthet上上式積分得：式積分得：推論：推論：，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法nKPPH)( )( )() ( )( )( )nnh tH PtKPtKt)()()(tKthn 簡單情況簡單情況3 3：，2.5 P2.5 P算子分析法算子分析法)()()()()()()()()(2122211ththtPKtPKtPHth1212212( )( )( )( )()KKh tth ttPP，121122( )( )( )( )tth tK eth tK tet，一般情況：一般情況：由情況由情況1 1，情況，情況2 2得：得：12212( )()()KKH PPP設(shè)例例：)()()(