高等數(shù)學(xué)A(二)試題答案濟(jì)南大學(xué)()

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:2440rr 特征方程：濟(jì)南大學(xué)1314高等數(shù)學(xué)A(二)參考解答一、填空題（每小題一、填空題（每小題2分，共分，共10分）分）1微分方程微分方程的通解為_.440yyy 有重根122,rr因此原方程的通解為212()exyCC x注注: :微分方程不必復(fù)習(xí)微分方程不必復(fù)習(xí), ,肯定不考肯定不考目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極限 解: 原式22011limxyxyxy22( , )(0,1)1lim_.x yxyxy1.2代入法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 設(shè)二元函數(shù)則sin(),zxy解解:zx dcos()dcos()dzxyxxyyzy cos()

2、,xycos(),xyd_.z目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.113nnnnx的收斂半徑為_.解解:1limlim nnnnaRa1(2)3nn13nn3(1)lim2nnn3.故收斂半徑為 3.R 冪級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.113nnnnx的收斂半徑為_ .解解:比值審斂法求收斂半徑.1( ) limlim( )nnnnuxux11(2)3nnnx(1)3nnnx2lim3(1)nnxn13x11,3x 當(dāng)時級數(shù)收斂時級數(shù)發(fā)散 故收斂半徑為 3.R 3x 即11,3x 當(dāng)3x 即冪級數(shù)直接由看作任意項級數(shù),目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5.( )f x，則 分析分析. 為周期

3、的周期函數(shù),設(shè)函數(shù) 是以 2 在區(qū)間 , ) 上的表達(dá)式為 ( )f xx的傅里葉級數(shù)在 ( )f xx處收斂于 . 1 ()()2ff端點(diǎn)處收斂于1()20.yxO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè) f (x) 是周期為2 的周期函數(shù), 并滿足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )條件條件:1) 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點(diǎn);2) 在一個周期內(nèi)只有有限個極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級數(shù)收斂 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 為間斷點(diǎn)其中nnba ,為 f (x) 的傅里里

4、葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二選擇題(每小題2分,本大題滿分10分)1. 極限 C( , )(0,2)sin()limx yxyx 則（則（ )( ) 0( ) 1AB，分析分析: : ( ) 2(D)C，不存在.( , )(0,2)sin()limx yxyyxy 1 2 2等價無窮小替換,重要極限目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 二元函數(shù) 處的全微分存在是( , ),f x y在點(diǎn)00(,),xy是它在該點(diǎn)兩個一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的( )A(A) 充分條件. (B) 必要條件. (C) 充分必要條件. (D) 既非充分也非必要條件.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微

5、分的定義全微分的定義 定義定義: 如果函數(shù) z = f ( x, y )在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz可表示成, )(oyBxAz其中 A , B 不依賴于 x , y , 僅與 x , y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn) (x, y) 的全微分全微分, 記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)( x, y) 可微可微，處全增量則稱此函數(shù)在D 內(nèi)可微.AxBy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(oyBxAzyBxAfz dd(2) 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA

6、下面兩個定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1) 函數(shù)可微函數(shù) z = f (x, y) 在點(diǎn) (x, y) 可微),(lim00yyxxfyx當(dāng)函數(shù)可微時 :得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 若z=f (x,y)在(x0,y0)處取得極大值, 則g(y)=f(x0,y)A. g(y)在y0取得最大值; B. g(y)在y0取得極大值MTC. y0是g(y)的駐點(diǎn) D.以上都不對.B則( )目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21111111111()()().().nnnnnnnnnABCDnnnn;

7、.;.4 4. . C分析分析111( 1)( 1) nnnnnnuu 或或(0)nu 其其中中如果 滿足條件: 1(1)(1,2,3,),nnuun(2) lim0,nnu則級數(shù)收斂. A的一般項不趨于零，級數(shù)發(fā)散重要參考級數(shù): 幾何級數(shù), p -級數(shù), 調(diào)和級數(shù). B，D 條件收斂C絕對收斂01,11,pnpnp 當(dāng)當(dāng)時時 收收斂斂當(dāng)當(dāng)時時 發(fā)發(fā)散散01,nn 發(fā)發(fā)散散10( 1),nnn 收收斂斂01 ,1 ,nnqaqq 當(dāng)當(dāng)時時收收斂斂當(dāng)當(dāng)時時發(fā)發(fā)散散下列級數(shù)中,絕對收斂的是( )知識點(diǎn):條件收斂,絕對收斂,交錯級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的特解形式的特解形式為為( )C5.

8、微分方程微分方程24xyyye2( )xAAx e ；2( )(4)xBAxe ；( )xCAxe ；().xDAe 特征方程特征方程特征根為特征根為1212.rr ，1 由由于于是是特特征征根根，因此因此設(shè)非齊次方程特解設(shè)非齊次方程特解為為*.xyAxe 220,rr:Ckey1, 解：解：本題本題目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、計算題（每小題三、計算題（每小題8分，共分，共40分）分）22cos3,zxyxy222,.zzzzxyxx y 1. 設(shè)設(shè)求求解解 :22 cos3,zxyyx222cos,zyx2sin6zxyxyy2 sin6zxyyx y 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 是

9、由方程 確定的隱函數(shù) 求求z10exyz ( , )zz x y解：解：知識點(diǎn):隱函數(shù)求導(dǎo)公式,xFyz ,yFxz ,zzFexy,xzzFzyzxFexy .yzzFzxzyFexy 令令z1.Fexyz2. 設(shè)設(shè) ,.zzxy 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.的通解.求微分方程2d1dyxyx 2d1dyxyx 4.滿足初始條件求微分方程1122xyye 的特解.01xy .xye 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 還是條件收斂？還是條件收斂？ 11( 1)ln(1)nnn解解: :11nn發(fā)散,1nnu發(fā)散.,原級數(shù)收斂1,ln(1)nun設(shè)1ln(1)lim1.1nnn 111ln(1

10、)ln(11)nnuunn ，1lim0,ln(1)nnun且(1,2,);n 由萊布尼茨定理知從而知其條件收斂.5.的斂散性的斂散性, ,并指出是絕對收斂并指出是絕對收斂判斷級數(shù)判斷級數(shù)知識點(diǎn):條件收斂,絕對收斂,交錯級數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 計算,ddd)(222zyxzyx2221xyz解解: 在球面坐標(biāo)系下:zyxzyxddd)(222所圍的閉區(qū)域.001r20其中 是由球面 dddsind2rrv 140drr 4.5 0sind 20d四、計算下列積分（每小題10分，共20分）1r Ozxy02sind502cos5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 計算22()

11、d dxyz x y介于z=0和z=1之間部分的下側(cè).解解: : 22()xyDxy其中 是旋轉(zhuǎn)拋物面22zxy1zyx1O在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?2:1,xyDxy原式=:22zxy,01,z取下側(cè).22()d dxyxy 126 21500ddrr .3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、綜合題1. 證明曲線積分 242422ddLxyxxyxyxy在右半平面 x 0 內(nèi)與路徑無關(guān),并計算積分證證: 令242422,xyxPQxyxy 則5242222(0)()PxxyQxyxyx所以2(2,4)4242(1,0)2ddxyxxyxyxy2421040dd16xyyxy40arctan4

12、y (2,0)0 , 1(2,4)O2(2,4)4242(1,0)2ddxyxxyxyxy242422ddLxyxxyxyxy在右半平面x 0內(nèi)與路徑無關(guān),:AB0:12,yx取直線段:BC,:04xxy直線段.4 ABC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 設(shè)平面區(qū)域D是由曲線( )yy x11( 1),nnnxn和直線五、綜合題（每小題10分，共20分）的和函數(shù).計算二重積分0,1yx所圍成的閉區(qū)域，其中( )yy x是冪級數(shù)Dxdxdy.11x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解解:11( 1)( ),nnnxy xn( )y x11( 1)()nnnxn111( 1)nnnnxn11()n

13、nx11+x( 1,1)在內(nèi),n在分母上先導(dǎo)后積0( )(0)( )dxy xyy xx01d1xxx(0)0,yln(1).x( 1,1.x 1nxx首項目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 取D 為X - 型域 :10)1ln(0:xxyDln(1)0dxy10ln(1)dxxx1410dx x說明說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序.Dxdxdy11dyex xln2201()d2yyeex14ln20dyDxdxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 全微分,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),隱函數(shù)求導(dǎo), 連續(xù),可導(dǎo)和全微分的關(guān)系,函數(shù)的極值 二重積分的幾何意義,直角坐標(biāo)系下的二重積分,球坐標(biāo)系下的三重

14、積分,第二類曲面積分,格林公式,曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件去年高數(shù)A( 二)考點(diǎn)總結(jié) 交錯級數(shù)的萊布尼茲判別法,條件收斂和絕對收斂,求冪級數(shù)的收斂半徑以及和函數(shù).收斂定理去年高數(shù)B( 二)考點(diǎn) 函數(shù)展成冪級數(shù),極坐標(biāo)系下的二重積分.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求函數(shù)的極限,全微分,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),隱函數(shù)求導(dǎo),連續(xù),可導(dǎo)和全微分的關(guān)系,函數(shù)的極值和最值,拉格朗日乘數(shù)法. 二重積分的幾何意義,直角坐標(biāo)系下的二重積分計算,極坐標(biāo)系下的二重積分,直角坐標(biāo)系下的三重積分,柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系下的三重積分,第二類曲線積分和第二類曲面積分,格林公式,曲線積分與路徑無關(guān)的充要條件,高斯公式考試重點(diǎn) 交錯級數(shù)的

15、萊布尼茲判別法,條件收斂和絕對收斂,阿貝爾定理,冪級數(shù)的收斂半徑以及和函數(shù).函數(shù)展成冪級數(shù).傅立葉級數(shù)的收斂定理目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 口訣分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)后積先定限，限內(nèi)畫條線，先交為下限，后交為上限.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)二重積分計算(交換積分次序)三重積分計算先一后二,先二后一對弧長的曲線積分一代二換三定限對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲線積分一投二代三換一投二代三定號(上正下負(fù))求和函數(shù) 先導(dǎo)后積,先積后導(dǎo),求導(dǎo)去分母積分去分子展成冪級數(shù) 先導(dǎo)再展后積(間接展開法)1n首項二重,三重,第一類積分:你對稱，我奇偶目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 Dyxfd)

16、,(ddrrDrrf)sin,cos(2( sinsin , sincos , cos)sin d d df rrrrr ( , , )d d df x y zx y z (cos ,sin , ) d d dfzz 22( , )d ( ),( )( )( )dLf x ysfttttt ( , )d( , )dLP x yxQ x yy )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ( , , ( , )x yDf x y z x y Szyxfd),(yxyxzyxzyxdd ),(),(122yxzyxRdd),( , , ( , )x yDR x yz x y yxdd(上正下負(fù))

17、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4.D所圍閉區(qū)域，則 _.解解. 積分域如圖. 01r02:Dd dDx y2100drdr將是由221xyd dDx y .一、填空題（每小題一、填空題（每小題2分，共分，共10分）分）二重積分的幾何意義 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 處( )DA、發(fā)散 B、條件收斂 C、絕對收斂 D、不能確定則它在 5. 如果冪級數(shù)1nnna x2x 的收斂半徑是2， 定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若冪級數(shù)0nnnxa,0點(diǎn)收斂在xx 則對滿足不等式0 xx 的一切 x 冪級數(shù)都絕對收斂.反之, 若當(dāng)0 xx 0 xx 的一切 x , 該冪級數(shù)也發(fā)散 . 時該冪級

18、數(shù)發(fā)散 , 則對滿足不等式，那么此級數(shù)在 2 R( 2, 2) 內(nèi)收斂,在(, 2)( 2,) 內(nèi)發(fā)散， 在分界點(diǎn)的斂散性無法確定.二選擇題(每小題2分,本大題滿分10分)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5.將函數(shù)將函數(shù)1( )arctan,1xf xx解解:21( )11()1fxxx1()1xx2(1) (1)(1)(1)(1)xxxxx222(1)x 222(1)(1)(1)xxx2(1)(1)(1)xxx22(1)22xx211x 展開成x的冪級數(shù)，并寫出他的收斂域.方法:求導(dǎo)展開積分三、計算題（每小題8分，共40分）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21( )1fxx 120( 1)( 1

19、1)nnnxx 從 0 到 x 積分, 得1200( )(0)( 1)dxnnnf xfxx1210( 1),21nnnxn定義且連續(xù), 域?yàn)?1.x 11x上式右端的冪級數(shù)在 x 1 收斂 ,( )1f xx 而在有所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂方法:求導(dǎo)展開積分(0)arctan14f( )f x1210( 1),421nnnxn11x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 間接展開法間接展開法211x x11(1) 展成x的冪級數(shù),也就是在點(diǎn) 處展開.例例. 將函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù).解解: 因?yàn)閚nxxx) 1(12)11(x把 x 換成2x211xnnxxx242) 1(1)11(x, 得0 x ( )0(0)!nnnfxn把 x 換成x,