數(shù)學(xué)論文數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美及應(yīng)用

1、談數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美與在解題中的應(yīng)用吳戀，數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院摘要 本文首先討論了數(shù)和式中的對(duì)稱美.其次運(yùn)用對(duì)稱思想來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解題過(guò)程中，巧妙地構(gòu)造對(duì)稱美，從整體上把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，優(yōu)化解題過(guò)程.先是就對(duì)稱在微積分中的應(yīng)用，列舉了一些重要的結(jié)論及其在解題中的具體應(yīng)用.再研究了幾何圖形中的對(duì)稱美.然后討論了數(shù)學(xué)中其它方面的對(duì)稱美.特別是對(duì)稱在記憶數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)方法中的應(yīng)用.最后探討了對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，通過(guò)在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實(shí)對(duì)稱的數(shù)學(xué)美的思想方法，從而促進(jìn)學(xué)生形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的良好的、積極的情感行為，更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.關(guān)鍵詞：對(duì)稱；數(shù)學(xué)美；輪換對(duì)稱性

2、；積分區(qū)間；對(duì)稱性原理；數(shù)學(xué)思想1引言1.1對(duì)稱美對(duì)稱性的感受逐慚成為一項(xiàng)美學(xué)準(zhǔn)則，廣泛應(yīng)用于建筑、造型藝術(shù)、繪畫以及工藝美術(shù)的裝飾之中.你可以從許多中、外著名的建筑、藝術(shù)珍品中看到.天壇的建筑、天安門的建筑、頤和園長(zhǎng)廊的建筑以及各種花瓶、古人飲酒的爵和各種花邊等等是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱、左右對(duì)稱和平移對(duì)稱的典型例子.這些對(duì)稱美給人以勻稱、均衡、連貫、流暢的感受，因而體現(xiàn)著一種嫻靜、穩(wěn)重、莊嚴(yán).在現(xiàn)實(shí)世界中,既有形態(tài)各異的自然對(duì)稱,又有巧奪天工的人工對(duì)稱,它們構(gòu)成了一幅人與自然和諧的優(yōu)美畫卷.因此,對(duì)稱是宇宙和自然界的基本屬性,也是事物適應(yīng)周圍環(huán)境而生存發(fā)展和繁衍生息的自然規(guī)律,充分展現(xiàn)出事物協(xié)調(diào)環(huán)境、自

3、我完善的、和諧的自然美.1.2數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美美，不僅存在于藝術(shù)、文學(xué)中，存在于大自然以及社會(huì)生活中，而且也存在于自然科學(xué)中，存在于數(shù)學(xué)之中.早在兩千多年前，古代哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家普洛克拉斯曾說(shuō)過(guò)：“哪里有數(shù)，哪里就有美.”這就是說(shuō)，數(shù)學(xué)中也充滿了美的因素.作為一門科學(xué)，數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上和方法上都具有自身的某種美，即數(shù)學(xué)美.數(shù)學(xué)美的內(nèi)容非常豐富，包括普適美、對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美、比例美、和諧美、奇趣美等特性.其中對(duì)稱性是數(shù)學(xué)美的重要特性之一，正如德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家魏爾所說(shuō)的：“美和對(duì)稱性緊密相連”.數(shù)學(xué)對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分,它普遍存在于初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支，在數(shù)學(xué)研究中有著重要的

4、作用,一直是數(shù)學(xué)們長(zhǎng)期追求的目標(biāo)，有時(shí)甚至把它作為一種尺度，是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與發(fā)現(xiàn)的美學(xué)方法之一.在數(shù)學(xué)中，不少的概念與運(yùn)算，都是由人們對(duì)于“對(duì)稱”問(wèn)題的探討派生出來(lái)的.數(shù)學(xué)中眾多的軸對(duì)稱，中心對(duì)稱圖形和等量關(guān)系都被賦予了平衡、協(xié)調(diào)的對(duì)稱美.對(duì)于數(shù)學(xué)概念，也是一分為二地成對(duì)出現(xiàn)的：整分，奇偶，和差，曲直，方圓，分解組合，平行交叉，正比例反比例，都顯得那么的穩(wěn)定、和諧、協(xié)調(diào)、平衡，如此地奇妙動(dòng)人.2數(shù)和式的對(duì)稱美2.1數(shù)的對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中，如果一個(gè)整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對(duì)稱的，我們就稱這個(gè)數(shù)是對(duì)稱數(shù).例如：1234321、123321等.對(duì)稱數(shù)可以分為奇位對(duì)稱數(shù)和偶位對(duì)稱數(shù).奇位對(duì)稱數(shù)是指位數(shù)是奇數(shù)的

5、對(duì)稱數(shù)，奇位對(duì)稱數(shù)位數(shù)最中間的那個(gè)數(shù)字稱為對(duì)稱軸數(shù).偶位對(duì)稱數(shù)是指位數(shù)是偶數(shù)的對(duì)稱數(shù)，偶位對(duì)稱數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸數(shù).產(chǎn)生對(duì)稱數(shù)的方法有很多種：(1) 形如11、111、1111、的數(shù)的平方數(shù)是對(duì)稱數(shù).如：1×9+2=1112×9+3=111.123456789×9+10=1111111111(2)某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進(jìn)行下去，也可得到對(duì)稱數(shù).如：475475+574=10491049+9401=1045010450+05401=1585115851也是對(duì)稱數(shù).美的主要形式就是秩序，勻稱和確定性，上面的幾個(gè)式子就巧妙的體現(xiàn)了數(shù)和式中

6、的對(duì)稱美.可以看出，數(shù)學(xué)與美學(xué)是緊密相連，相輔相成的.2.2式的對(duì)稱美如果在代數(shù)式中，把任意的兩個(gè)字母對(duì)換，代數(shù)式仍然保持不變，像這樣的代數(shù)式就稱為是對(duì)稱代數(shù)式或?qū)ΨQ式.如：,互換式子中的,得到的式子仍然成立.在對(duì)稱式中，字母是對(duì)稱的，地位是平等的.在二項(xiàng)式定理：中，如果把當(dāng)?shù)亩?xiàng)式展開(kāi)式的系數(shù)列成如下：1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 這就是著名的“楊輝三角”，它是宋朝數(shù)學(xué)家楊輝的杰作.楊輝三角是我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)成就，它反映的就是數(shù)學(xué)美的對(duì)稱性.在代數(shù)學(xué)中，也存在著漂亮的對(duì)稱式，如：初等對(duì)稱多項(xiàng)式：

7、，它在解題中也有廣泛的應(yīng)用.其中在運(yùn)用初等對(duì)稱多項(xiàng)式解題時(shí)聯(lián)系最緊密的就是根與系數(shù)的關(guān)系定理：對(duì)于n次多項(xiàng)式的n個(gè)根有如下關(guān)系：由此定理可以非常簡(jiǎn)便的求出關(guān)于多項(xiàng)式根的對(duì)稱多項(xiàng)式的值.例1.設(shè)，是方程的三個(gè)根，計(jì)算：（*）的值.解：令. ， ，則 ,.再將（*）式化為初等對(duì)稱多項(xiàng)式的多項(xiàng)式，得：=-.由上面的例子可以看出，對(duì)稱性在數(shù)學(xué)中是廣泛存在的，數(shù)學(xué)與對(duì)稱是緊密相連的.3對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用3.1對(duì)稱在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用解題是一門藝術(shù)，對(duì)稱性是藝術(shù)的一個(gè)非常重要的要素，如果在解題的過(guò)程中注意到對(duì)稱性，那么就可以減少一些繁瑣的計(jì)算，化難為易，提高解題的效率，達(dá)到事半功倍的效果.微分與積分也是一

8、對(duì)具有對(duì)稱美的事物，而對(duì)稱性的方法也是微積分計(jì)算中常用的方法.3.1.1對(duì)稱在微分學(xué)中的一些結(jié)論與應(yīng)用定理：（1）若，則；(2) 若，則.因此若求出，則可直接寫出，與的關(guān)系，也是如此.例2.設(shè)，求出，.解：，.對(duì)稱的有：，.3.1.2對(duì)稱在積分學(xué)中的一些結(jié)論和應(yīng)用3.1.2.1在重積分計(jì)算中，經(jīng)常利用多元函數(shù)的輪換對(duì)稱性來(lái)解題.輪換對(duì)稱性的定義:若積分區(qū)域或被積函數(shù)的表達(dá)式中,將其變量x,y,z按下列次序:xy;yz;zx后,其表達(dá)式均不變,則稱積分區(qū)域或被積函數(shù)關(guān)于變量x,y,z具有輪換對(duì)稱性.定理1：(二重積分的坐標(biāo)輪換對(duì)稱性)如果區(qū)域D的邊界曲線方程是關(guān)于x,y地位對(duì)稱，在上連續(xù),則定理

9、2：(三重積分的坐標(biāo)輪換對(duì)稱性)如果有界閉區(qū)域的邊界曲面的方程關(guān)于x,y,z地位對(duì)稱,在上連續(xù),則.由此，可以推廣到：定理3：(n重積分的坐標(biāo)輪換對(duì)稱性)如果n維有界閉區(qū)域V的邊界曲面的方程關(guān)于地位對(duì)稱，在V上連續(xù),則=例3.計(jì)算三重積分，其中是所圍成正方形(為一大于0的實(shí)數(shù)).解：中被積函數(shù)及積分區(qū)域都有輪換對(duì)稱性.所以 ，故.3.1.2.2 利用積分區(qū)間的對(duì)稱性和被積函數(shù)的奇偶性，可簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算.定理：設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，則通過(guò)變換，可得：=這就是積分區(qū)間的對(duì)稱原理.特別地，當(dāng)時(shí)，有.例4.求積分.解：由于在上有界，且只有可去間斷點(diǎn),故定積分存在.由積分區(qū)間對(duì)稱原理可得：原積分.若被積函

10、數(shù)是非奇非偶時(shí)，通過(guò)適當(dāng)?shù)膿Q元或拆項(xiàng)等方法也可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱區(qū)間的積分問(wèn)題.把積分區(qū)間的對(duì)稱性原理推廣到二元函數(shù)積分中，可以得到結(jié)論：結(jié)論1：設(shè)關(guān)于y軸對(duì)稱,則其中是的右半部分:.結(jié)論2：設(shè)關(guān)于x軸對(duì)稱,則其中是的上半部分:.結(jié)論3：設(shè)關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱，且關(guān)于變量x和變量y均為偶函數(shù)，則其中是在第一象限的部分：.結(jié)論4：設(shè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則其中,.結(jié)論5：設(shè)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則特別地，當(dāng)時(shí),.例5.計(jì)算二重積分,其中.解：關(guān)于x軸和y軸均對(duì)稱,而分別關(guān)于變量x和y為奇函數(shù),故,所以：.同樣地，將它應(yīng)用到三重積分中.例6.計(jì)算三重積分,其中是由曲面與所圍成的區(qū)域.解:關(guān)于坐標(biāo)面x=0對(duì)稱,且關(guān)于

11、變量x為奇函數(shù),故.所以.例10.計(jì)算三重積分,其中.解:積分區(qū)域V是以原點(diǎn)O(0,0,0)為中心的單位球域,所以V關(guān)于xoy平面對(duì)稱，被積函數(shù)是關(guān)于z的奇函數(shù),故由對(duì)稱性知.由上可見(jiàn)，在解決微積分問(wèn)題時(shí)，巧妙應(yīng)用對(duì)稱性的觀點(diǎn)去解題，可以使運(yùn)算過(guò)程更加的快捷、流暢，計(jì)算結(jié)果更加的精確.3.2 對(duì)稱在數(shù)學(xué)中的其他應(yīng)用對(duì)稱是形式美的顯著特征,就數(shù)學(xué)而言,不僅讓枯燥抽象的數(shù)學(xué)公式變得容易記憶,而且也是數(shù)學(xué)命題證明必不可少的一種方法.3.2.1利用對(duì)稱性記憶公式在數(shù)學(xué)分析中,斯托克斯公式有一種形式表示法:其中P,Q,和R為連續(xù)可微函數(shù),S為逐片光滑的有界雙側(cè)曲面,C為包圍S的逐段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線,為曲

12、面S在點(diǎn)處的單位法向量,方向?yàn)槟鏁r(shí)針,這個(gè)公式的右邊是用第一型曲面積分表示的,被積函數(shù)是一個(gè)三階行列式.若取平面上的平面區(qū)域D作曲面S,并取上側(cè),則斯托克斯公式右側(cè)的三階行列式為于是斯式公式就變成了格林公式,由此可見(jiàn),格林公式是斯式公式的特例.類似地,奧式公式可表示為其中S是包圍V的逐片光滑曲面,P,Q,R在S+V上是連續(xù)可微的,為曲面S上點(diǎn)處的單位法向量.不難看出,斯式公式和奧式公式都是由三個(gè)矢量(P,Q,R),及所決定的.上述一些形式上的對(duì)稱性,是數(shù)學(xué)分析中追求對(duì)稱形式美的有利證據(jù).一些望而生怯的公式由于有了對(duì)稱美,變得非常容易記憶了.3.2.2數(shù)列解題中的的對(duì)稱思想在數(shù)列解題中,存在著大

13、量的對(duì)稱思想,無(wú)論是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,都含有豐富的對(duì)稱之美.我們知道：只要，其中，就有（）（等差數(shù)列）（）（等比數(shù)列）利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系來(lái)處理有關(guān)數(shù)列問(wèn)題，常常能化繁為簡(jiǎn).例11.（）已知為等差數(shù)列，且，求（）已知為等比數(shù)列，求解：（）,（）,例12.在等差數(shù)列中，求.解：由此可以看出，如果在等差數(shù)列中，由條件不能具體的求出和，但可以求出和的組合式，而所求的量往往可以用這個(gè)組合式來(lái)表示，那么就用“整體代值”的方法將值求出，同樣的方法也可以用在等比數(shù)列中.3.3 對(duì)稱美與數(shù)學(xué)教學(xué)人們常說(shuō)：“成功的教學(xué)給人以一種美的享受”.而長(zhǎng)期以來(lái)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，人們總是重視基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的傳授與訓(xùn)練，而

14、忽視了美育的滲透，不善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)本身所特有的美，不注意用數(shù)學(xué)美來(lái)感染誘發(fā)學(xué)生的求知欲望，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，不重視引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，鑒賞數(shù)學(xué)美，以致使一些學(xué)生感到數(shù)學(xué)抽象枯燥，失去學(xué)好的信心.心理學(xué)研究表明：沒(méi)有絲毫興趣的強(qiáng)制性學(xué)習(xí)，將會(huì)扼殺學(xué)生探求真理的欲望.因此，只有學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)，才能產(chǎn)生積極而又持久的求學(xué)勁頭.我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一是使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)的審美能力，即能增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的主觀感受能力.”數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程不僅僅是學(xué)生個(gè)體的認(rèn)識(shí)過(guò)程和發(fā)展過(guò)程，而且也是在教師指導(dǎo)下的一種特殊審美過(guò)程.因此在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)美的內(nèi)容通過(guò)教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)向?qū)W生揭示出來(lái)，從而使學(xué)

15、生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的內(nèi)容是美的，并且充分運(yùn)用數(shù)學(xué)美的誘發(fā)力引起學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣、強(qiáng)烈的求知欲望，使抽象、高深的數(shù)學(xué)知識(shí)得以形象化、趣味化，使學(xué)生從心理上愿意接近它、接受它，直到最終熱愛(ài)它.對(duì)稱美是數(shù)學(xué)中最普遍的一種美.圖形的對(duì)稱、式子的對(duì)稱和解題方法的對(duì)稱等，都能給人以勻稱的美感，用對(duì)稱的觀點(diǎn)去處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，往往可以從問(wèn)題的一部分聯(lián)想起與此對(duì)稱的另一部分，從而采取補(bǔ)全的方法，使之構(gòu)成一種整體的對(duì)稱美，使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)，化難為易.在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，充分發(fā)掘教材中的對(duì)稱式的美，運(yùn)算中的對(duì)稱美、函數(shù)中的對(duì)稱美、幾何圖形中的對(duì)稱美，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)，使學(xué)生從數(shù)學(xué)的顯性美提高到對(duì)數(shù)學(xué)隱性美的認(rèn)識(shí)，從感性

16、認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)更易于接受，便于理解，培養(yǎng)學(xué)生愛(ài)好數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的興趣.在數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解過(guò)程中，充分運(yùn)用對(duì)稱的數(shù)學(xué)美的思想方法，可以使學(xué)生感受到對(duì)稱美，增強(qiáng)求知欲，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)捷明快，從而提高了學(xué)生的直覺(jué)思維能力和形象思維能力，開(kāi)拓解題新思路，進(jìn)而提高了學(xué)生解決問(wèn)題的能力和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟，使學(xué)生由此而產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中,若能積極挖掘問(wèn)題中隱含的對(duì)稱性,巧妙地利用對(duì)稱性,可使復(fù)雜的問(wèn)題變得條理清楚,脈絡(luò)分明,能化難為易、化繁為簡(jiǎn).例如對(duì)于數(shù)列中的若干項(xiàng)的和或積的問(wèn)題,如果能對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)稱性的分析,將數(shù)學(xué)的對(duì)稱美與題目的條件或結(jié)論相結(jié)合,

17、就能構(gòu)建一組互相關(guān)聯(lián)的對(duì)偶式,從而確定解題的總體思路或入手方向.其實(shí)質(zhì)是讓美的啟示、美的追求在解題過(guò)程中成為宏觀指導(dǎo)力量,使問(wèn)題的解決過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明快.數(shù)學(xué)中蘊(yùn)涵著豐富的美，除了對(duì)稱美以外，還有很多.把數(shù)學(xué)美的和諧對(duì)稱、簡(jiǎn)單統(tǒng)一等特征融貫在教學(xué)的整個(gè)過(guò)程中，可以發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性等諸方面的能力就得到培養(yǎng)和提高.使學(xué)生在美的享受中，獲得知識(shí)，理解知識(shí)，掌握知識(shí).結(jié)術(shù)語(yǔ) 數(shù)學(xué)并不等于美學(xué)，但是數(shù)學(xué)中卻真實(shí)地蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)內(nèi)涵，而對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在美的追尋探索，又會(huì)使人們更迅速、更確切的洞悉數(shù)學(xué)的真諦.對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要特征之一，對(duì)稱美是一個(gè)廣闊的主題，數(shù)學(xué)則是它根本.我們應(yīng)該更深刻地掌握我們的所學(xué)專業(yè)知識(shí)，積極地去理解數(shù)學(xué)，學(xué)好數(shù)學(xué)，這樣才能更好的走向工作崗位，取得成功.參考文獻(xiàn)：1錢雙平.對(duì)稱性在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用-數(shù)學(xué)美學(xué)方法的應(yīng)用，云南電大學(xué)報(bào)，2004,6(2):62-63.2馬銳.數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美,昆明冶金高等專科學(xué)校學(xué)報(bào),20