數(shù)值線性代數(shù)答案

1、習(xí)題11求下三角陣的逆矩陣的詳細(xì)算法。解設(shè)下三角矩陣L的逆矩陣為T(mén)我們可以使用待定法，求出矩陣T的各列向量。為此我們將T按列分塊如下:注意到我們只需運(yùn)用算法1 1 1,逐一求解方程兀二 i = 12莊我們注意考慮到內(nèi)存空間的節(jié)省，我們可以置結(jié)果矩陣 T的初始狀態(tài)為單位矩陣。這樣, 便得到如下具體的算法： 算法（求解下三角矩陣L的逆矩陣T,前代法）預(yù)置歩置T=lfor J-l.nfar A: = 1: w -1r（h+l:«,/） = T（h+l :禺J） （上J）（J + 1： »,Jt）T（nrj） =end3 證明：如果 J H曲是一個(gè)Gauss變換，則涇二宀武也是一個(gè)

2、Gauss變換 解按Gauss變換矩陣的定義，易知矩陣 W或是Gauss變換。下面我們只需證明它是Gauss 變換：二'一加 的逆矩陣。事實(shí)上Q -心+滋：- '就a曲"注意到4巾叫5，則顯然有 W 從而有4 確定一個(gè)Gauss變換L,使22L3748解比較比較向量憶陽(yáng)）和（跖閭 可以發(fā)現(xiàn)Gauss變換L應(yīng)具有功能：使向量但陽(yáng)）的第 二行加上第一行的2倍；使向量1乙9；1的第三行加上第一行的2倍。于是Gauss變換如下1L= 2 12 0 15 證明：如果衛(wèi)總尺齢有三角分解，并且是非奇異的，那么定理 1 1 2中的L和U都是唯 一的。證明設(shè) #厶巧"工6，其

3、中厶h都是單位下三角陣，少，6都是上三角陣。因?yàn)锳非 奇異的，于是注意到，單位下三角陣的逆仍是單位下三角陣， 兩個(gè)單位下三角陣的乘積仍是單位下三角陣; 上三角陣的逆仍是上三角陣，兩個(gè)上三角陣的乘積仍是上三角陣。因此，上述等將是一個(gè)單 位下三角陣與一個(gè)上三角陣相等，故此，它們都必是單位矩陣。即汕=皿1， 從而即A的LU分解是唯一的。17.證明定理1 3 1中的下三角陣L是唯一的。證明因A是正定對(duì)稱(chēng)矩陣，故其各階主子式均非零，因此A非奇異。為證明L的唯一性,不妨設(shè)有工1和厶使那么注意到：厶和心是下三角陣，舟和垃為上三角陣，故它們的逆矩陣也分別是下三角陣和上 三角陣。因此，卑厶和纖區(qū)廠'只能

4、是對(duì)角陣，即從而L2=LyD,；尸=（。黑廠打 6=可囲尸二5叫 D = Dl=l于是得知19.若，山是A的Cholesky分解，試證L的i階順序主子陣厶正好是A的i階順序主子 陣7的Cholesky因子。證明將A和L作如下分塊厘=沖AaoiAl爲(wèi)其中：卻I，厶】為矩陣A和L的i階順序主子陣。思二占12。顯然/二故有Ai = 昭即'|是i的Colicky分解。23.設(shè)1645410sA881210用平方根法證明A是正定的，并給出方程組解由 Colicky分解可得A = LL其中L =P 111 了 1顯然，L是非奇異矩陣。因此，對(duì).于是xrAx = xTLlTa = (£rx

5、)rZr > 0所以4|是正定的。由方程組G",解得J=（8A5J7，再由方程組a = y，解得"1丄1）：習(xí)題22.2證明：當(dāng)且僅當(dāng)兀和線性相關(guān)且宀王°時(shí)，才有1+7113=114+ HL.證明因?yàn)閷?duì)任意的卜+訓(xùn)；=匚+刃2片+刃=/ H + Jy+yJ + yfy |二十吐于是，當(dāng)且僅當(dāng)k+班日14+閩心二 HAIL"由等式（E2.1）可知，”JIH2當(dāng)且僅當(dāng)SStVj -y/）2 =oj-i >1?即，對(duì)任意的°生蘭心沁二沖，此式成立不外乎二種情形：或k° ；或>=0 ；或*+炒二閔屮岡汽即御和P線性相關(guān)。2.

6、3證明：如果小血S宀】是按列分塊的，那么魄十丄+瀧+十口：證明因?yàn)閂11 MY|ll = zhf=zzM2=shlCJj-i i-ij-i.2.4證明：網(wǎng)I4K同嚴(yán)関2 IK聽(tīng)證明記占二【垃禺也，那么，根據(jù)第3題的結(jié)果我們有1 _剛廠位悶：制;刼:卜皿町ji丿I 丹 丿根據(jù)Frobenius范數(shù)定義易知，對(duì)恥心41=悅杠IL = Mb .于是的f=p w/miK=惻皿=皿叫2.5設(shè)化Rg TR是由v(j4) = maxEg卩I定義的。證明引二枷是矩陣范數(shù)，并且舉例說(shuō)明卩不滿足矩陣范數(shù)的相容性證明（1）證明vi = wv是矩陣范數(shù)。因?yàn)轱@然心滿足矩陣范數(shù)定義中的前三條：正定性、齊次性、三角不等式

7、。下面我們證明必還滿足“相容性”。對(duì)任意人毗曠，記肛（中）,0 =瞅 且11卩1 (A) = a.V1(5) = -d則肌，且Vj (AB) = masJfc-l M虧廳召臥11 M11AB =3 25 3。于是= 2,穆三2傀=5，從而叫毎舟3心|（2） 個(gè)不滿足矩陣范數(shù)的相容性的例子。取2.6證明：在酎上，當(dāng)且僅當(dāng)皿是正定矩陣時(shí)，函數(shù)=是一個(gè)向量范數(shù)證明由于A是正定矩陣，不妨設(shè)盂乞人旦埜人是a的特征值，:忌空是其對(duì)應(yīng) 的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量，即丄尙二奉i . i = 1左沖- 護(hù)二jj 二 12皿顯然，匚筑是線性無(wú)關(guān)的。 因此，R" =spa n崗 $.記Q = 匍, A二盹爼易,人

8、），那么QrAQ = A. A=QAQr，且對(duì)任意衣酊,總有施疋使 “夢(mèng)， = Qr命題的充分性是很顯然的。因?yàn)榱丝诩討羰?上的向量范數(shù)，則由其正定性可知a 必為正定矩陣?，F(xiàn)在我們來(lái)證明命題的必要性。即假設(shè)衛(wèi)是正定矩陣，則函數(shù)，（巧=廳加滿足向量范 數(shù)定義的三條性質(zhì)：正定性。由A的正定性，正定性顯然成立。齊次性。對(duì)任意的篤 處R，因?yàn)樽∩?|曲加P，故有 /（旳）=|叩0）三角不等式。對(duì)于任意給定的 "穴，有“eW，使ra十戸=Jo+y/o+刃=的十邸0忑說(shuō)莎=矗+刃加+刃=g如應(yīng)用習(xí)題2.1的結(jié)果，得占人（希+月尸彳電辭:二怎益+護(hù)耳=護(hù)麗十伊而7=加+ $占F = /（町打0）即

9、有2.7設(shè)岬是時(shí)上的一個(gè)向量范數(shù)，并且設(shè)肛或叫證明：若血（&",則此=鬧是疋上的一個(gè)向量范數(shù)證明 當(dāng)鈕時(shí)，加暑當(dāng)且僅當(dāng)囚是用|上的零向量。再由假設(shè)Ml是尺和上的一個(gè) 向量范數(shù)，于是可證得忖害IM滿足：正定性。事實(shí)上，對(duì)任意施於，虬=閩"，而且陽(yáng)L=lkM二°當(dāng)且 僅當(dāng)o.齊次性。事實(shí)上，對(duì)所有的壯丈和叱尺有H|IMM-II=HIN，因此 ML = laIIK.三角不等式。事實(shí)上，對(duì)所有的2三疋有I恥+$）IH應(yīng)+朋1勻?yàn)樘铮?因此有M+九工14< +Mr2.8若兇'I且Mi,證明lu_j4>'Ill-'rpi證明 首先用

10、反證法，證明的存在性。設(shè)（i）奇異，則（I-A）x=O有非零解且曲，于是*岡二卜IMII叫從而制工1 .這與假設(shè)矛盾?，F(xiàn)在來(lái)證明命題中的不等式。注意到：皿卜1 ,且i=（Z - z）（; _衛(wèi)）=厲_4）丿_占（/_占）丿故有1=M“如-J）-1 >|（z- A）-1 |（i-|42.9設(shè)忡是由向量范數(shù) 忡誘導(dǎo)出的矩陣范數(shù)。證明：若AR非奇異，則證明因?yàn)殁缡窍蛄糠稊?shù)誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)，故 =1,且對(duì)PXRi和"疋，有|羽何于是對(duì)祇R%有惻咄|國(guó)鬥鬧，且當(dāng)制I"時(shí)，有4T*叫（E2.2）現(xiàn)在只需證明：存在用西且樹(shù)二i,使即可。根據(jù)算子范數(shù)的定義，我們 不妨假設(shè) y eRsJ

11、L|y| = l，使|小卜慣b|.再取怎=小/|鬥，顯然|忖卜1，且(E2.3)綜合(E2.2)和(E2.3)得Kir1=iM2.12證明對(duì)任意的矩陣范數(shù)都有并由此導(dǎo)出心）> I證明由定理（ 1）可知，對(duì)任意矩陣范數(shù)都有B勻同，詁曲）韻，于是|7|>1從而悩十屮卜聞blip十礦T證明因?yàn)椋ㄕ?F）"衛(wèi)"=（月+ E）-1 （7二+恵面）=（丄+矛血所以，根據(jù)矩陣范數(shù)的相容性可得|（+礦-八卜陽(yáng)+E）和砌屮習(xí)題31 設(shè)_12_TA =34156_L用正則化方法求對(duì)應(yīng)的LS問(wèn)題的解.解由定理3 .1.4可知,LS問(wèn)題的解就是下列正則化方程組解:AtAx 二44 ；：

12、 = ；2 .設(shè)_i 3 1 rTA =2 0 0 0,b =11 0 0 oj求對(duì)應(yīng)的LS問(wèn)題的全部解.解由定理3 .1.4可知,LS問(wèn)題的解就是下列正則化方程組解:_6 3 1 T_4'3 9 3 3313 1113 11円一1_經(jīng)初等行變換得其同解方程組1311"1%fa n 5 5巧2從而3=2511-J4.1533其中抵亡尺3.設(shè)兀=(1 "厲& 3勺,求一個(gè)Householder變換用和一個(gè)正數(shù)図使得禺=(1 空 4£ 00)r.解由于2范數(shù)具有正交不變性,故=1慝k于是a = JU +4亍 +6“ + ： + 4龍一4呂一6盤(pán)=壬于是

13、? = He = (1于4 &0葉令v =-(0 -1 0 0 3 4)7M -那么'門(mén)"可以驗(yàn)證滿足該題的要求4.確定和£泗9使得解由2范數(shù)具有正交不變性，故a于是ri3 5i512c護(hù)12-5sa.T .從而cr 5 12_-1PH 1'5121p26sa- 12 -5壬16912 -5= =-J-,/2L2 JL 2 JL2610.設(shè)毗叭且存在恥心使得對(duì)每一個(gè)淀宀“均極小化鮒-嘰。證明：盈4 = £和尸=AT解由矩陣奇異值分解定理知，設(shè) 肛Rg的秩 切如），則存在滋階正交陣。和岸階 正交陣尸，使A = QDPrb其中刃三胞以工忑是”衛(wèi)

14、的非零特征值全體。可以證明矩陣，且事實(shí)上,JAXb= PDQTQDPTPS"1'L o. 0_ 0_Qrb=P乙0Qrb =由定理可知，對(duì)任一比盟1是時(shí)"|3 =mi門(mén).的解。另外，yAXA = QDPrF）乙_ 0QrQDPF = QDPr = AAX = QDPtP= 0 lr 洱于是我們有AX= A, AXf = AX.12利用等于|p4(+ m) - 0|： = |禺-引|； -F 2oy/，Zri) + L|Ah?| ；證明：如果"甩，那么屮加二£咕證明令泛函如果"比，那么對(duì)*卅且= 訂且闔充分小時(shí)，"十訕“），從而

15、由/（力 連續(xù)性有to兒+如-弘=2濃f ®色）=0xrK儀?由必卅的任意性，則必有 川（加-占）=°，即ArAx=Ar習(xí)題41. 設(shè)方程組/ -的系數(shù)矩陣為證明：對(duì)A來(lái)說(shuō)，Jacobi迭代不收斂，而G-S迭代收斂；而對(duì)堆 來(lái)說(shuō)，Jacobi迭代收 斂，而G-S迭代不收斂。解對(duì)于占，則有.二_ 0 _-1 0u ='0 1 -f0 -12_-1-100從而,B = Dl(LU) =02-12 2。W 0 -1 4于是21=1 亠;)從而,即有detfAZ -0)=0012尢+丄21丸® =2 2由定理421知，Jacobi迭代法不收斂；G-S迭代收斂對(duì)于-

16、p=ro -22D = L =-1 0-2-20U =Q-10從而_ 0_-22_0 -22 _B =-10-1,c?=2-3-2-22進(jìn)而det(X/ S')汩：，det(C?j a 01 - 2'顯然，二'、匚 -故由定理421知，Jacobi迭代法收斂;2. 設(shè)吐尺滿足證明對(duì)任意的已蜜，迭代格式嚴(yán)=汕+團(tuán),i=ox最多迭代乍次就可得方程組：-的精確解。G-S迭代不收斂及矩陣證明由于噸 =°，故0的所有特征值均為零。于是存在正交矩陣0旳|053 =使Aprp；注意到r = u.于是：zuo另一方面，記：,工血-譏“0入心從而，嚴(yán)二砂z爐嚴(yán)=0 ,即3. 考

17、慮線性代數(shù)方程組這里_10叫A =CJ1Qi0（1）匚為何值時(shí)，4是正定的？（2）匚為何值時(shí)，Jacobi迭代收斂？（3）匚為何值時(shí)，G-S迭代收斂？解（1）對(duì)稱(chēng)矩陣4正定的充分必要條件是其特征值均為正數(shù)。而L川的特征多項(xiàng)式為= （乂 1尸cfd （久1）=（無(wú)1）（乂 1 - cj）（乂 十 a）于是Z的特征值為：AT，"" +務(wù) 禺=1-酩欲使它們均大于零，則-5"（2）由于Jacobi迭代矩陣為'00CEB =000Of00 _"的特征多項(xiàng)式為det（XZ - B） - cr）伉 + a）其特征值為：弘二人二務(wù)爲(wèi)二-x，于是眉譜半徑PrlT

18、.由定理421可知,Jacobi迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)戸一網(wǎng)* 1.從而當(dāng)國(guó)時(shí)，Jacobi迭代收斂。（3）由于G-S迭代矩陣為工0CEG =00000-其特征多項(xiàng)式為特征值為：忑"，從而門(mén)(恥|卸故由定理421可知，當(dāng)時(shí)， G-S迭代收斂。注意：(2)和(3)中的'可以是復(fù)數(shù)。5若是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，則G-S迭代法收斂。證明若乂是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，貝U必有印嚴(yán)°，因此D-口非奇異。現(xiàn)在來(lái)證明：G-S迭代矩陣G=JD_L)7U的譜半徑小于1。假設(shè)刃，則由同的假設(shè)D-L丄卩知，久 也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)的，因此扣)工0畑(Q-礦&#

19、187;。而由于17-0) = 461(17 -(Z)-if127)= d£t 兄(£ £)» D-L-U丸丿丿=A" iet(D - Q)det(Q-L-C/)#0乂這說(shuō)明迭代矩陣口不存在模大于等于1的特征值。因此 陽(yáng)小，從而G-S迭代收斂。8 若存在對(duì)稱(chēng)正定陣P,使B= P-Hr PH為對(duì)稱(chēng)正定陣，試證迭代法耳財(cái)=Hx* +i)rt = 0f12,.收斂。證明設(shè)久是丹的任一特征值，卩工。是用關(guān)于*的特征向量，于是pr£v =vTF-vTHrPHv = (1護(hù)/ 丹因$尸都是正定陣，故0-卅)>°,即囚V1.由岡的任

20、意性得知尸3)小,故迭代法收 斂。9. 對(duì)Jacobi方法引進(jìn)迭代參數(shù)® ：1 °，即秘二心一也"(At 一®或者xM = (/ a)D&稱(chēng)為Jacobi松馳法(簡(jiǎn)稱(chēng)JOR方法).證明：當(dāng)，-的Jacobi方法收斂時(shí)，JOR方法對(duì)'-收斂.證明對(duì)于 粧，4 0- £- 口，貝y Jacobi迭代矩陣和JOR迭代矩陣兔 分別是5=D-1(£+7) = Z-Z>-1J4?£ = r-佃切由于Jacobi迭代收斂當(dāng)且僅當(dāng)燈3)燈，即E的任一特征值.現(xiàn)設(shè)人是Jacobi迭代矩陣召的一個(gè)特征值，非零向量卩是其對(duì)應(yīng)

21、的特征向量，則有血二血二卩-0%即有(l-X)v = DlAv進(jìn)而Sav V caD -1 Av = (1 A)v即若*是Jacobi迭代矩陣拆的一個(gè)特征值，則。-忒1 一刃)便是広的一個(gè)特征值.當(dāng)取定：“恥1,并假定兄皿+燉，宀仁】，注意到=1- (I- a)2 +3-1 一 l - 2oj(l - CK)+ Q?(lOf)2 十 QJ2/?3=2a?(l- c) 一亦+ 2口少一亦(/ + j3q)> 2 a?(l- cj) - 2a + Zgsq = 2 g?(1 一 厲)N Q即曳1的所有特征值模小于1,從而帆盤(pán)y，即jor迭代收斂.10. 證明：若£是具有正對(duì)角元的實(shí)

22、對(duì)稱(chēng)矩陣，則 JOR方法收斂的充分必要條件是及 :'均為正定對(duì)稱(chēng)矩陣.證明由于4的對(duì)角元都是正數(shù)，故-的對(duì)角元為正數(shù)，故I 丄 丄= 7-閱丿甘二小 Q-顯然，矩陣卩-辺“小與Eu相似，兩者有相同的特征值。同時(shí)，它與A有著相同的 實(shí)對(duì)稱(chēng)性。因此，兩個(gè)矩陣的特征值都是實(shí)數(shù)。_2 _i必要性。設(shè)JOR迭代收斂，即"（氏）J .那么，矩陣U -曲AD節(jié)的特征值在區(qū)間（一叮1 丄_i 丄內(nèi)，于是得出 an 的特征值位于區(qū)間 LI內(nèi)，這就是說(shuō)d土是正定的，而它與 具有相同的正定性，因此I也是正定的.1 1 1 1.另外，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣-血的特征值完全由刁的特征值所生成，1 1所以（2卜聞？

23、的特征值將全部位于區(qū)間（°刀內(nèi)，因此是正定的。注意到11丄2! -（£iD AD 2 = oiD 刁（2o）lD - A）D 3 , a? > 0因此矩陣2D-A也是正定的。充分性。一方面，因?yàn)?丄 丄 1 £）口飛=辺行打口萬(wàn)所以卩一盅）與貝一樣是正定矩陣。即"-£）的特征值均大于o.即曳的特征值均小于1.另一方面，由于2丹-£正定，而且1_i11應(yīng)門(mén)= "（I + 方所以，矩陣"+氏是正定的，即特征值全部為正數(shù)，即盅的特征值均大于1.結(jié)合兩方面的結(jié)果，得知:心）白，即JOR迭代收斂.11. 證明：若系數(shù)矩

24、陣Z是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，且松馳因子 亡（叩）， 則SOF收斂。證明若矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì)角占優(yōu)的，則必有 叮一，因此D非奇 異?，F(xiàn)假定某個(gè)復(fù)數(shù)W-1，則矩陣|(尤+®-l)D-久血-少卩也是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的或不可約對(duì) 角占優(yōu)的。不妨假設(shè)X = ffi+，且/+屛-1，于是就有R Q - 1-|/|3 d?二伐 +I）3 +0” 一 異+ 屈）=/ -2城1-少）十（卜0?尸+0空后（？ + 0彳）= （1-（«3 + 儼）-2噸-切（1 - 厲尸=（1 - fi?） C£ + #” * O?（C（2 +/?2） - 2ct+l- Q?= （

25、1- fl?）（GK-l）3 + 儼 + 如 +礦-1）0.從而因此得到R + a?-1|3 > |Z|a a? > a?3|A+fl9于是由I的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)可知(兀兄泣也是嚴(yán)格 對(duì)角占優(yōu)或不可約對(duì)角占優(yōu)的。因此，+ ®7)D-久曲一血是非奇異的。而det(lZ )二 det(A/ -(D-辺"(1 十勸衛(wèi)-+=det(D 應(yīng)廣】)det(Z + 站一 1)D 兄血aU)因此，幾不是SOR迭代矩陣兀的特征值。由久的任意可知，4的特征值都將滿足 于是MG 占，從而SOF迭代收斂。習(xí)題51.證明等式tr證明考慮 姫z 也蟲(chóng)X在方程組山占的解向量?jī)禾幍腡aylor展式，則有如=您)+-扎)+ U 豊小 F=占斗-2鳥(niǎo)尸心+-注意到：c 7，于是上式可寫(xiě)為甌町+ 話旺=（JT-衛(wèi)（工一耳'的一個(gè)特3