數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)

1、數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)總結(jié)1統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布1.1基本概念：統(tǒng)計(jì)量、樣本矩、經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 總體X的樣本Xi, X2,，Xn ,則T(Xl, X2,Xn)即為統(tǒng)計(jì)量樣本均值X2樣本方差S； - n (Xi X)i 1修正樣本方差S*2n 1嚴(yán)2X)樣本k 階原點(diǎn)矩Ak- nXik,(k 1,2,.)n i 1樣本k 階中心矩Bk1 n(Xi X)k,(k1,2,.)n i 1經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)罟,(x )其中Vn(x)表示隨機(jī)事件X x出現(xiàn)的次數(shù)，顯然Vn(x)B( n, F(x),則有 EFn(x) F(x) DFn(x) 7F(x)1 F(x)補(bǔ)充：2 n 1*222ESnDX E& DX

2、 EX DX (EX)n1 n 一S；- Xi2 X2n i 1k kCn PEX=np DX=n p(1-p)擴(kuò)k泊松分布 P( )： PX k e ,(k 0,1,.) k!EXDX均勻分布 U(a,b): f(x)丄,(a x b) b aEXDX (b a)22 12指數(shù)分布:f(X)e x,(x0)F(x) 1e X,(x0)EX 1 DX1正態(tài)分布N(,2)：1f(x) v;2r (xeXp2)22 EXDX2nS；E(T) n 1ES；n 1n2nS：DT)2(n 1)DSn22(n21)4n當(dāng) 0 時(shí)， EX 0 EX22EX 4 3 4 EXD X (1)21.2統(tǒng)計(jì)量：充分

3、統(tǒng)計(jì)量、因子分解定理、完備 統(tǒng)計(jì)量、指數(shù)型分布族T是B的充分統(tǒng)計(jì)量f(Xl,X2,.,XnT t)與B無(wú)關(guān)T是e的完備 統(tǒng)計(jì)量 要使Eg(T)=0,必有 g(T)=0L( )f (Xi； ) h(Xi,X2，Xn)g(T(Xi,X2，,Xn)；) 且h非負(fù)T是ei 1的充分統(tǒng)計(jì)量t是e的充分nf(Xi; ) C( )expb( )T(X1,X2，Xn)h(X1,X2，Xn)完備統(tǒng)計(jì)量f(Xi； ) C( )ex3b!( )Ti(Xi,X2，Xn) b2( )丁2(人，X?，Xn) h(Xi, X?，Xn)(T1,T2)是(1, 2)的充分完備統(tǒng)計(jì)量1.3抽樣分布：2分布，t分布，F(xiàn)分布，分位數(shù)

4、, 正態(tài)總體樣本均值和方差的分布，非正態(tài)總 體樣本均值的分布2分布:2 X12 X；2 2 1 2 1Xn (n) f (X) e 2x2 (x 0)2互(弓)22nT分布:Xt(n)Y/n當(dāng) n>2 時(shí)，ET=0nDTn 2F分布:1F F(n 2,m)補(bǔ)充：Z=X+Yf(x,y)是X和丫的聯(lián)合概率密度Z Y的概率密度f(wàn)z(z)的概率密度f(wàn)z(z)f (x, z x)dxf(z y, y)dyf (x, xz) XdXy g(X)的概率密度 fy(y) fx(g 1(y)g 1(y)' 函數(shù)：()B函數(shù)：B(,)1 Xx e dx 01 10X (1 X)(1)( )(n)(n

5、 1)!, (1) 11dx B(,)尸1.4次序統(tǒng)計(jì)量及其分布: 位數(shù)X、樣本極差RJ)次序統(tǒng)計(jì)量、樣本中X(k)分 布 密 度n!k 1n kfx(k)(x) (k 1)!(n k)!F(x) 1 F(x)f(x),(k 1Z., n)X(1)的分布密度：fx(1)(x) nf(x)1 F(x)n1 X(n)的分布密度:f“(x) nf (x)F(x)n 1 2參數(shù)估計(jì)2.1點(diǎn)估計(jì)與優(yōu)良性：概念、無(wú)偏估計(jì)、均方誤差準(zhǔn)則、相合估計(jì)(一致估計(jì))、漸近正態(tài)估計(jì) $的均方誤差：MSE($, ) E($ )2 D$ (E$)2若$是無(wú)偏估計(jì)，則MSE($, ) D$ 對(duì)于 的任意一個(gè)無(wú)偏估計(jì)量$，有

6、D$* D$，則$*是 的最小方差無(wú)偏估計(jì)，記MVUE 相合估計(jì)(一致估計(jì))：Hm E nnim D$n 02.2點(diǎn)估計(jì)量的求法：矩估計(jì)法、最大似然估計(jì)法矩估計(jì)法： 求出總體的 k 階原點(diǎn)矩:ak EXkxkdF(x; 1, 2，m) 解方程組 ak 1" Xik(k=1,2,.,m)，得n i 1$k $k(X1,X2,.,Xn)即為所求 最大似然估計(jì)法：寫出似然函數(shù)l( ) n f(x;)，求出lnL及似然方程也 0 i=1,2,mi $解似然方程得到$i(x1,x2,.，xl)，即最大似然估 計(jì) $(Xi,x2，,X”)i=1,2,.,m補(bǔ)充：似然方程無(wú)解時(shí)，求出的定義域中使得

7、似然函數(shù)最大的值，即為最大似然估計(jì)2.3MVUE和有效估計(jì)：最小方差無(wú)偏估計(jì)、有 效估計(jì)T是的充分完備統(tǒng)計(jì)量，$是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì) $* E($|T)為的惟一的 MVUE最小方差無(wú)偏估計(jì)的求解步驟： 求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計(jì)量T 求出ET g()，則$ g 1(T)是 的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)或求出一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，然后改寫成用T表示的函數(shù) 綜合，Eg 1(T)T g 1(T)是 的 MVUE或者：求出 的矩估計(jì)或ML估計(jì)，再求效率， 為1則必為MVUET是g()的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，則滿足信息不等式' 2 2DT(X) _g汁，其中 1() E ln f(X;)或 I( ) E "lnf(2X;)

8、 0， f(X;)為樣本的聯(lián)合分布。最小方差無(wú)偏估計(jì)達(dá)到羅-克拉姆下界有效估計(jì)量效率為1無(wú)偏估計(jì)$的效率：卅)/)D$是 的最大似然估計(jì)，且$是 的充分統(tǒng)計(jì)量$是的有效估計(jì)2.4區(qū)間估計(jì)：概念、正態(tài)總體區(qū)間估計(jì) 方差、均值差、方差比 總體參數(shù)和區(qū)間估計(jì) 一個(gè)總體的情況：X N(,)及單側(cè)估計(jì)、(期望、非正態(tài)2已知，求的置信區(qū)間：X00Tn2未知求的置S* pt(nSn . Vn1)X 0*% (n 1)Jn已知求2的置2) N(0,1)n2(Xi )2ni 12未知，求n(Xii 1n(Xi )2 -2(n)27_(n)22的置信區(qū)間:X)22(n 1)n(Xii 122(Xii 121 一X

9、)2(n 1)兩個(gè)總體的情況：12, 2均已知時(shí)X N(，求信)2(n)2I )， Y N(2的區(qū)n(Xi X)2i 1:(n 1)2,2)間估計(jì)：X Y2(122)N(0,1)；n1n222121n2uX Y ( 12)12;2未知時(shí)，求X Y (12)(n 1，_的區(qū)間估計(jì):ng n?2)t(nA I、 I1)S1： (n 1)S2n：12 V n1 n221 :"2 22 2*2S2n2 1S mF( n?1,m 1)-*i-F (nS1n12S2n22非正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)： 當(dāng) n 時(shí)，：一N©1)Sn / Vn&代替Sn-1X m n N(0,1)1 m

10、1 m ,nn 1 n1，2未知時(shí)，求n2 2)Sn znu2S*21T 罟 F_(n2 1,n1 1)2S2nc 2ni*2S2n2im 1，故用n Sn 11 mm-1n nn3統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯估計(jì)三要素、統(tǒng)計(jì)決策函3.1統(tǒng)計(jì)決策的基本概念： 數(shù)及風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)三要素：樣本空間和分布族、行動(dòng)空間(判決空 間)、損失函數(shù)L( ,d)統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)d(X):本質(zhì)上是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，可用 來(lái)估計(jì)未知參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)：R( ,d) EL( ,d(X)是關(guān)于的函數(shù)3.2貝葉斯估計(jì)：先驗(yàn)分布與后驗(yàn)分布、貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)、貝葉斯估計(jì) 求樣本 X=(Xl,X2，,X n)的分布：nq(x| )f(Xi | )i 1 樣本X與的

11、聯(lián)合概率分布：f(x, ) h( |x)m(x) q(x| )() 求f(x,)關(guān)于X的邊緣密度m(x) f(x, )d 的后驗(yàn)密度為：h( |x)斗屮 m(x)取 L( ,d) (d)2 時(shí)的貝葉斯估計(jì)為：$ E( |x) h( |x)d2貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)為:R( ,d) E ( d)$ E ( ) |x E ( )|xRB(d) ER( ,d) E (d)2h( |x)d取L( ,d) ( )( d)2時(shí)，貝葉斯估計(jì)為:補(bǔ)充:C()的貝葉斯估計(jì)：取損失函數(shù)L( ,d) (C( ) d)2 ,C( ) EC( )|x C( )h( |x)dE( |x) h( |x)d3dm(x)f(x, )df(

12、x, )d3.3minimax 估計(jì)對(duì)決策空間中的決策函數(shù)di（X）,d2（X），,分別求 出在上的最大風(fēng)險(xiǎn)值maxR（ ,d）在所有的最大風(fēng)險(xiǎn)值中選取相對(duì)最小值，此值對(duì) 應(yīng)的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。4假設(shè)檢驗(yàn)4.1基本概念：零假設(shè)（Ho）與備選假設(shè)（Hi）、檢驗(yàn) 規(guī)則、兩類錯(cuò)誤、勢(shì)函數(shù)零假設(shè)通常受到保護(hù)，而備選假設(shè)是當(dāng)零假設(shè)被 拒絕后才能被接受。檢驗(yàn)規(guī)則：構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T（Xi,X2,.,X3），當(dāng)Ho服從某一分布，當(dāng)H0不成立時(shí)，T的偏 大偏小特征。據(jù)此，構(gòu)造拒絕域 W第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤） :PT W|H° 為真第二類錯(cuò)誤（存?zhèn)五e(cuò)誤） :PT W|H。為假勢(shì)函數(shù)：()E(

13、X) PX W (X)鳥(niǎo) W.、/當(dāng)1時(shí)，1 （）為犯第二類錯(cuò)誤的概率4.2正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)：t檢驗(yàn)、X2檢驗(yàn)、F檢驗(yàn)、單邊檢驗(yàn) 一個(gè)總體的情況：X N( , 2)2已知，檢驗(yàn)H。：0 H-XU 0 N(0,1)0 ，- n2未知，檢驗(yàn)H0：Hi：已知，檢驗(yàn)H0：Hi：X 0*0 t(n 1)Snn2(Xi )i 122(n)未知，檢驗(yàn)H。:Hi :n2(Xi X)i 122(n 1)兩個(gè)總體的情況：12 22未知時(shí)，檢驗(yàn)H。:X N(),YN(I)2 H1 ： 1X Y*2*2n1 1)S1n1( n2 1)S2n.t(mn2 2)2未知時(shí)，檢驗(yàn)H0：2212H1：*2Slni

14、F (n單邊檢驗(yàn):舉例說(shuō)明，*2S2n2已知，1,n2 1)H 0:0 H1:構(gòu)造U10 ?；N(0,1)，給定顯著性水平PUi u X X 0 defu1 U 0. Un 0. Un PU1 u 。故拒絕域?yàn)閃 U u。當(dāng)Ho成立時(shí)u此PU4.3非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法：2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)、 爾莫戈羅夫檢驗(yàn)、斯米爾諾夫檢驗(yàn)Ho : PiPioHi : p Pio擬合優(yōu)度檢驗(yàn)W m(Ni 叭)22(m r 1)i i npo其中Ni表示樣本中取值為i的個(gè)數(shù)，r表示 分布中未知參數(shù)的個(gè)數(shù)科爾莫戈羅夫檢驗(yàn)：Ho:F(x) Fo(X)H1：F(X) Fo(X) 實(shí)際檢驗(yàn)的是Fn(X)Fo(X)W lim su

15、pnXFn(X)Fo(X)Dn, 斯米爾諾夫檢驗(yàn)：Ho： F(x) G(x) H1：F(X) G(x)實(shí)際檢驗(yàn)的是 Fn(X)Gn(X)W lim supnXFm(X)Gn2(x)Dn1,n2, 4.4似然比檢驗(yàn)明確零假設(shè)和備選假設(shè):H o :oH1 :1Ix )SUpL(Xi，Xn；)構(gòu)造似然比:Li ( X| ,Xn丿 Lo(Xi,Xn) SUpL(Xi，Xn；)0拒絕域：W (Xi,Xn)5方差分析5.1單因素方差分析：數(shù)學(xué)模型、離差平方和分解、顯著性檢驗(yàn)、參數(shù)估計(jì)X iji ij數(shù) 學(xué)模型 jN(0, 2),(i=1,2,.,m;j=1,2,.,n i)各耳相互獨(dú)立總離差平方和 Qt(

16、Xij X)2 Qt Qe QAi 1 j 1 m niqQe(Xij Xi)2E(A)2i 1 j 1nr組內(nèi)離差平方和組間離差平方和QA mni(滅X)2當(dāng)H0成立時(shí)，i 1QA(r 1)Qe(n r)時(shí)，有偏大特征k,(丄丄)2)且字 %構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量FXi XkN( iT r “r)碁Fr)，當(dāng)Ho不成立2(n r)應(yīng)用：若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中，可減去同一數(shù)值 Xi' Xij k再解題 輔助量：P 丄(m n' Xij)2,Qi 1 j 1ijij'丄(Xj)2,Ri 1j im mX 2iji 1 j 1QA Q P,Qe R Q,QtR5.2兩因素方差分析：

17、解、顯著性檢驗(yàn)Xijij N(0,數(shù)學(xué)模型、離差平方和分?jǐn)?shù)學(xué)模型i ij2),(i=1,2,r；j = 1,2,s)各耳相互獨(dú)立H01 : 1 2H02 : 1 2總離差平方和 Qt(Xij X)2 Qt Qe Qb Qai 1 j 1組內(nèi)離差平方和m nQe(Xji 1 j 1Xi?Xj X)2Qe2EV)因素B引起的離差平方和Qbs r(X X)2j 1Ho成立時(shí)，嘩）2因素A引起的離差平方和r s(X； X)2i 1Ho成立時(shí)，E(rQA_)21)Xiji 1 j 1,QiXjj 1,Qiir,Rsx2iji 1 j 1Qa QiP, QbQiiP,QeR Qi Qii構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量:FbQ

18、a (r 1)Qe (r 1)(s 1)Qb/(s)Qe (r 1)(s 1)A - E - A E Q-Q -Q Q6回歸分析6.1 一元線性回歸：回歸模型、未知參數(shù)的估計(jì)（卩、a、a 2）、參數(shù)估計(jì)量的分布（pa Y0a 2 a *2)的估計(jì)：Ln_(X X)(Yi Y)i 1n(Xii 1UXX)2U N(，-)_ 2 (Xi X)i 1UN(卩工 n / (Xii 1X)22)2的估計(jì):U21n i2(Y Y)(Xix)2)回歸模型：YXi iin(0, 2)i=1,2,.,n.各i相互獨(dú)立*2E U6.2多元線性回歸：回歸模型、參數(shù)估計(jì)、分布回歸模型:Y XiiiN(o, 2j)i=1,2,，n.各i相互獨(dú)立參數(shù)估計(jì):xty (xtx)卩 卩(XTX)1xty7多元分析初步7.1定義及性質(zhì)：定義、性質(zhì)XNp(,