高等數(shù)學(xué)同濟(jì)版D110連續(xù)函數(shù)性質(zhì)

1、第十節(jié)一一、最值定理、最值定理 二、介值定理二、介值定理 *三、一致連續(xù)性三、一致連續(xù)性 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 注意注意: 若函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .一一、最值定理、最值定理定理定理1.1.在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明略)點(diǎn) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例如例如,)1,0(,xxy無(wú)最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfx

2、oy1122也無(wú)最大值和最小值 又如又如, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mM推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界 .二、介值定理二、介值定理定理定理2. ( 零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( 證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 定理定理3. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(baCxf且,)(Aaf,)(B

3、ABbf則對(duì) A 與 B 之間的任一數(shù) C ,一點(diǎn), ),(ba證證: 作輔助函數(shù)Cxfx)()(則,)(baCx 且)()(ba)(CBCA0故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使.)(Cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 證明方程01423 xx一個(gè)根 .證證: 顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(f即01423說(shuō)明說(shuō)明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程

4、的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則則0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例2. 設(shè))(xf在,ba對(duì)任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使

5、,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff當(dāng))()(21xfxf時(shí), 取1x或2x, 則有)()()(21xfxff證明:小結(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *三三. 一致連續(xù)性一致連續(xù)性已知函數(shù))(xf在區(qū)間 I 上連續(xù), 即:,0Ix ,0,0,0時(shí)當(dāng) xx)()(0 xfxf一般情形,.,0都有關(guān)與x,0無(wú)關(guān)時(shí)與若x就引出了一致連續(xù)的概念 .定義定義:, I, )(xxf對(duì),0若,0存在, I,21xx對(duì)任意的都有,)()(21xfxf)(xf則稱在在 I 上一致連續(xù)上一致連續(xù) .顯然

6、:上一致連續(xù)在區(qū)間 I)(xf上連續(xù)在區(qū)間 I)(xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,21時(shí)當(dāng) xx例如例如,xxf1)(, 1,0(C但不一致連續(xù) .因?yàn)? ) 10(0取點(diǎn), )N(,11211nxxnn則 21xx 111nn) 1(1nn可以任意小但)()(21xfxf) 1( nn1這說(shuō)明xxf1)(在 ( 0 , 1 上不一致連續(xù) .定理定理., ,)(baCxf若,)(baxf在則上一致連續(xù).(證明略)思考思考: P73 題 6提示提示:設(shè))(, )(bfaf存在, 作輔助函數(shù))(xFaxaf, )(bxaxf, )(bxbf, )(,)(baCxF顯然機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下

7、頁(yè) 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)則設(shè), ,)(baCxf在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)0)()(bfaf時(shí), ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 任給一張面積為 A 的紙片(如圖), 證明必可將它思考與練習(xí)思考與練習(xí)一刀剪為面積相等的兩片.提示提示: 建立坐標(biāo)系如圖.xoy則面積函數(shù),)(CS因,0)(SAS)(故由介值定理可知:, ),(0.2)(0AS使機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(S則, 2,0)(aCxf, )2()0(aff證明至少存在, ,0a使. )()(aff提示提示: 令, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 易證0)()0(a2. 設(shè)作業(yè)作業(yè)P73 題 2 ; 3; 4一點(diǎn)習(xí)題課 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf備用題備用題 13x