投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型表2中每一行可建立一個(gè)等式

1、第五章第五章 線性經(jīng)濟(jì)模型簡(jiǎn)介線性經(jīng)濟(jì)模型簡(jiǎn)介 5.15.1 投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型5.1.1 5.1.1 投入產(chǎn)出表投入產(chǎn)出表 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系可以用投入產(chǎn)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)之間的投入產(chǎn)出關(guān)系可以用投入產(chǎn)出表來(lái)描述。出表來(lái)描述。 投入產(chǎn)出表分為投入產(chǎn)出表分為實(shí)物型表實(shí)物型表和和價(jià)值型表價(jià)值型表兩種類(lèi)型。兩種類(lèi)型。 (1) 實(shí)物型表實(shí)物型表采用實(shí)物計(jì)量單位編制，其特點(diǎn)是經(jīng)采用實(shí)物計(jì)量單位編制，其特點(diǎn)是經(jīng) 濟(jì)意義明確，適合于實(shí)際工作的需要；濟(jì)意義明確，適合于實(shí)際工作的需要； (2) 價(jià)值型表價(jià)值型表采用貨幣計(jì)量單位編制，其特點(diǎn)是單采用貨幣計(jì)量單位編制，其特點(diǎn)是單位統(tǒng)一，適合

2、于對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行全面的分析研究。位統(tǒng)一，適合于對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)進(jìn)行全面的分析研究。一、投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)一、投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu) 引例引例 設(shè)某個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)劃分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其設(shè)某個(gè)地區(qū)的經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)劃分為工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)。上一年度三個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)與消耗情他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)。上一年度三個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)與消耗情況如表況如表5-15-1所示。所示。消消 耗耗 部部 門(mén)門(mén)最終產(chǎn)品最終產(chǎn)品 總產(chǎn)品總產(chǎn)品工業(yè)工業(yè)農(nóng)業(yè)農(nóng)業(yè)其他其他生生產(chǎn)產(chǎn)部部門(mén)門(mén)工工 業(yè)業(yè)19610270192560農(nóng)農(nóng) 業(yè)業(yè)846842146340其其 他他1123428106280凈凈 產(chǎn)產(chǎn) 值值168136140總總 產(chǎn)產(chǎn) 值值5603402

3、80表表5 51 1 生產(chǎn)與消耗情況表生產(chǎn)與消耗情況表案例案例 5.1案例案例 5.3產(chǎn)產(chǎn)出出部部門(mén)門(mén)間間流流量量投投 入入消耗部門(mén)消耗部門(mén)最終產(chǎn)品最終產(chǎn)品總產(chǎn)總產(chǎn)品品1 12 2合合計(jì)計(jì)合合計(jì)計(jì)消消費(fèi)費(fèi)積積累累合合計(jì)計(jì)生生產(chǎn)產(chǎn)部部門(mén)門(mén)1 12 2合合 計(jì)計(jì)凈凈產(chǎn)產(chǎn)值值勞動(dòng)報(bào)酬勞動(dòng)報(bào)酬純收入純收入合合 計(jì)計(jì)總產(chǎn)值總產(chǎn)值11x21x1nxn1iix 1v1m1z1x12x22x2nx2iix 2v2m2z2x1nx2nxnnxinix nvnmnznx1 jjx 2 jjx njjx ijijx jjv jjm jjz jjx 1y2ynyiiy 1x2xnxiix 表表5 52 2 價(jià)值型投入

4、產(chǎn)出表價(jià)值型投入產(chǎn)出表 一般經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的價(jià)值型投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)一般經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的價(jià)值型投入產(chǎn)出表的結(jié)構(gòu)(表表5-2)二二、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型 表表5-2中每一行可建立一個(gè)等式，反映一個(gè)部門(mén)的總中每一行可建立一個(gè)等式，反映一個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)品分配情況。個(gè)部門(mén)的產(chǎn)品分配情況構(gòu)成線性方產(chǎn)品分配情況。個(gè)部門(mén)的產(chǎn)品分配情況構(gòu)成線性方程組程組1111211221222212nnnnnnnnxxxxyxxxxyxxxxy l ll llllllllllllll l(5.1) 或表示為或表示為1niijijxxy (1,2, )in l l(5.1) 此方程組稱(chēng)為此方程組稱(chēng)為產(chǎn)品分配方程組產(chǎn)品分配方程組，

5、簡(jiǎn)稱(chēng)為，簡(jiǎn)稱(chēng)為產(chǎn)品方程組產(chǎn)品方程組。 表表52中消耗部門(mén)的列，也可構(gòu)成個(gè)等式，反映這中消耗部門(mén)的列，也可構(gòu)成個(gè)等式，反映這些部門(mén)的總產(chǎn)值構(gòu)成情況。表示為些部門(mén)的總產(chǎn)值構(gòu)成情況。表示為1112111212222212nnnnnnnnxxxxzxxxxzxxxxz l ll ll ll ll ll ll ll ll l(5.2) 或表示為或表示為1(1,2, )njijjixxzjn l l (5.2) 此方程組稱(chēng)為此方程組稱(chēng)為產(chǎn)值構(gòu)成方程組產(chǎn)值構(gòu)成方程組，簡(jiǎn)稱(chēng)為，簡(jiǎn)稱(chēng)為產(chǎn)值方程組產(chǎn)值方程組。 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的產(chǎn)品方程組經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的產(chǎn)品方程組(5.1)與產(chǎn)值方程組與產(chǎn)值方程組(5.2)之間之間存在如下關(guān)系

6、：存在如下關(guān)系：(1)由于某一個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)品價(jià)值就是該部門(mén)的總產(chǎn)由于某一個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)品價(jià)值就是該部門(mén)的總產(chǎn)值，故有值，故有11(1,2, )nnrjrirrjixyxzrn l l 但是，一個(gè)部門(mén)在生產(chǎn)過(guò)程中所提供給其他部門(mén)的但是，一個(gè)部門(mén)在生產(chǎn)過(guò)程中所提供給其他部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值與該部門(mén)所消耗的其他部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值通產(chǎn)品價(jià)值與該部門(mén)所消耗的其他部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值通常并不相等，因而常并不相等，因而11(1,2, )nnrjirjixxrn l l于是于是 (1,2, )rryzrn l l這表明某一個(gè)部門(mén)的最終產(chǎn)品價(jià)值一般并不等于該這表明某一個(gè)部門(mén)的最終產(chǎn)品價(jià)值一般并不等于該部門(mén)的新創(chuàng)造價(jià)值。部門(mén)的新創(chuàng)

7、造價(jià)值。(2)由于整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總產(chǎn)品價(jià)值就是該系統(tǒng)的總產(chǎn)由于整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總產(chǎn)品價(jià)值就是該系統(tǒng)的總產(chǎn)值，故有值，故有因而因而 1111()()nnnnijiijjijjixyxz 111111nnnnnnijiijjijijijxyxz 由于由于1111nnnnijijijjixx 于是于是 11nniiijyz 這表明整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品價(jià)值等于該系統(tǒng)這表明整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的最終產(chǎn)品價(jià)值等于該系統(tǒng)的新創(chuàng)造價(jià)值。的新創(chuàng)造價(jià)值。5.1.2 利用直接消耗系數(shù)表示的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型一、直接消耗系數(shù)的概念一、直接消耗系數(shù)的概念計(jì)劃期內(nèi)第計(jì)劃期內(nèi)第j j部門(mén)生產(chǎn)的總產(chǎn)品價(jià)值部門(mén)生產(chǎn)的總產(chǎn)品價(jià)值 jx生產(chǎn)

8、過(guò)程中直接消耗第生產(chǎn)過(guò)程中直接消耗第i i部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值 ijx第第j j部門(mén)平均生產(chǎn)一個(gè)單位價(jià)值產(chǎn)品部門(mén)平均生產(chǎn)一個(gè)單位價(jià)值產(chǎn)品直接直接消耗第消耗第i i部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值 ijjxx短期內(nèi)相對(duì)穩(wěn)定短期內(nèi)相對(duì)穩(wěn)定. .反映了部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)水平反映了部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)水平. . 定義定義5.15.1 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第j部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品所直接部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品所直接消耗第消耗第i部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量，稱(chēng)為第部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量，稱(chēng)為第j部門(mén)對(duì)第部門(mén)對(duì)第i部門(mén)部門(mén)的的直接消耗系數(shù)直接消耗系數(shù)，記作，記作( ,1,2, )ijijjxai jnx l l(5.3) 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)

9、系統(tǒng)n n個(gè)部門(mén)相互之間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成的個(gè)部門(mén)相互之間的直接消耗系數(shù)構(gòu)成的n n階方陣，稱(chēng)為階方陣，稱(chēng)為直接消耗系數(shù)矩陣直接消耗系數(shù)矩陣，記作，記作111212122212nnnnnnaaaaaaaaaa l ll llllllllll l(5.4) 只需將投入產(chǎn)出表中的各部門(mén)間流量分別除以同列只需將投入產(chǎn)出表中的各部門(mén)間流量分別除以同列最后一行的總產(chǎn)值，即可得到直接消耗系數(shù)矩陣。最后一行的總產(chǎn)值，即可得到直接消耗系數(shù)矩陣。 案例案例 5.15.1 求求引例引例所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣。所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣。 解：解：根據(jù)表根據(jù)表5.1中的各列部門(mén)間流量及總產(chǎn)值數(shù)據(jù)，中的各

10、列部門(mén)間流量及總產(chǎn)值數(shù)據(jù)， 可求得該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為可求得該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為196102705603402800.350.30.258468420.150.20.155603402800.20.10.11123428560340280a(5.5) 二、直接消耗系數(shù)的性質(zhì)二、直接消耗系數(shù)的性質(zhì)(3)設(shè)設(shè)a為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣，為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣，i為同階為同階的單位矩陣，則的單位矩陣，則(ia)是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且01( ,1,2, )ijai jn l l11(1,2, )nijiajn l l12()riaiaaa l ll l(5.6) (1)(2

11、)三、三、 利用直接消耗系數(shù)表示的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型利用直接消耗系數(shù)表示的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型1產(chǎn)品分配方程組產(chǎn)品分配方程組根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義（根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義（5.3）可以得到關(guān)系式）可以得到關(guān)系式( ,1,2, )ijijjxa xi jnl l將關(guān)系式將關(guān)系式(5.7)代入產(chǎn)品分配平衡方程組代入產(chǎn)品分配平衡方程組(5.1)，可得，可得111112211122112222221122nnnnnnnnnxa xa xa xyxa xa xaxyxa xaxaxy l ll ll ll ll lll lll ll ll lll lll l(5.8) (5.7) 或表示為或表示為 1(1,2

12、, )niijjjjxa xyin l l(5.8) 如果將整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)的總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品如果將整個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)的總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品分別記成向量形式分別記成向量形式 1122nnxyxyxyxy m mm m 則可得用直接消耗系數(shù)矩陣則可得用直接消耗系數(shù)矩陣a，將產(chǎn)品分配方程組，將產(chǎn)品分配方程組(5.8)表示為矩陣形式表示為矩陣形式 xaxy(5.8) 其中其中x和和y分別稱(chēng)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分別稱(chēng)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量總產(chǎn)品向量和和最終產(chǎn)最終產(chǎn)品向量品向量。2 2產(chǎn)值構(gòu)成方程組產(chǎn)值構(gòu)成方程組 將關(guān)系式將關(guān)系式(5.7)代入產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組代入產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組(5.2)，可得，可得 111

13、1211111212222222212nnnnnnnnnnnxa xa xa xzxa xa xa xzxa xa xa xz l ll ll l l ll l l ll l l ll ll l l ll ll l(5.9) (5.9) 1(1,2, )njijjjixa xzjn l l或或 產(chǎn)品分配方程組產(chǎn)品分配方程組(5.8)(5.8)反映了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)的總產(chǎn)品與最反映了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)的總產(chǎn)品與最終產(chǎn)品之間的關(guān)系終產(chǎn)品之間的關(guān)系. . 產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組(5.9)(5.9)反映了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)的總產(chǎn)值反映了經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各部門(mén)的總產(chǎn)值與凈產(chǎn)值之間的關(guān)系。與凈產(chǎn)值之間的關(guān)系。

14、 案例案例5.25.2 建立引例所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型。建立引例所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型。 解：解：在例在例5.1中已求得該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為中已求得該系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣為0.350.30.250.150.20.150.20.10.1a 據(jù)此建立該系統(tǒng)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型如下：據(jù)此建立該系統(tǒng)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型如下： 產(chǎn)品分配方程組為產(chǎn)品分配方程組為 1111122222333330.350.30.250.150.20.150.20.10.1xxxxyxxxxyxxxxy (5.10) 其中其中 和和 分別表示該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、分別表示該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)的總

15、產(chǎn)品和最終產(chǎn)品。其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品。 123,xxx123,yyy產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組為產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組為 1111122222333330.350.150.20.30.20.10.250.150.1xxxxzxxxxzxxxxz (5.11) 其中其中 和和 分別表示該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、分別表示該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)值和凈產(chǎn)值。其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)值和凈產(chǎn)值。123,xxx123,z zz四、模型的應(yīng)用四、模型的應(yīng)用 投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型反應(yīng)了近期的生產(chǎn)技術(shù)水平，利投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型反應(yīng)了近期的生產(chǎn)技術(shù)水平，利用該模型可對(duì)近期的經(jīng)濟(jì)量作出預(yù)測(cè)。用該模型可對(duì)近期的經(jīng)

16、濟(jì)量作出預(yù)測(cè)。 設(shè)設(shè)a是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣;12,tnxxxx l l12,tnyyyy l l(1)由總產(chǎn)品向量，根據(jù)由總產(chǎn)品向量，根據(jù)(5.8 )可求得系統(tǒng)的最終產(chǎn)可求得系統(tǒng)的最終產(chǎn)品向量品向量()yia x (5.12) (5.13) (2)由最終產(chǎn)品向量，根據(jù)定理由最終產(chǎn)品向量，根據(jù)定理5.2可求得系統(tǒng)的總可求得系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量產(chǎn)品向量1()xiay 分別表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量和最終產(chǎn)品向量。分別表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的總產(chǎn)品向量和最終產(chǎn)品向量。(3)由第由第 部門(mén)的總產(chǎn)值部門(mén)的總產(chǎn)值 ，根據(jù)，根據(jù)(5.9)可求得該部門(mén)可求得該部門(mén)的凈產(chǎn)值的凈產(chǎn)值jjx1(

17、1)(1,2, )njijjizaxjn l l(5.14) (4)由第由第 部門(mén)的凈產(chǎn)值部門(mén)的凈產(chǎn)值 ，由，由(5.14)可求得該部門(mén)可求得該部門(mén)的總產(chǎn)值的總產(chǎn)值jjz1(1,2, )1jjnijizxjna l l(5.15) 案例案例5.35.3 根據(jù)案例根據(jù)案例5.2中的直接消耗系數(shù)，并假設(shè)工中的直接消耗系數(shù)，并假設(shè)工業(yè)、農(nóng)業(yè)及其它部門(mén)的總產(chǎn)品分別為業(yè)、農(nóng)業(yè)及其它部門(mén)的總產(chǎn)品分別為 123560340280 xxx 解解: : 已知三個(gè)部門(mén)總產(chǎn)品，根據(jù)已知三個(gè)部門(mén)總產(chǎn)品，根據(jù)(5.13)式有式有1()xiay 即即 1230.7050.2950.24519256010.1650.535

18、0.1351463400.3650.1750.1250.475106280 xxx 所以，三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)品所以，三個(gè)部門(mén)的總產(chǎn)品(總產(chǎn)值總產(chǎn)值)分別為分別為123560340280 xxx 求這三個(gè)部門(mén)的最終產(chǎn)品求這三個(gè)部門(mén)的最終產(chǎn)品. 再用總產(chǎn)品分別乘直接消耗系數(shù)矩陣中對(duì)應(yīng)列的元再用總產(chǎn)品分別乘直接消耗系數(shù)矩陣中對(duì)應(yīng)列的元素，即可得到反映該系統(tǒng)部門(mén)間流量的矩陣素，即可得到反映該系統(tǒng)部門(mén)間流量的矩陣560 0.35340 0.3280 0.25560 0.15340 0.2280 0.15560 0.2340 0.1280 0.1196102708468421123428 工工業(yè)業(yè)農(nóng)農(nóng)業(yè)業(yè)其其

19、他他工工業(yè)業(yè)農(nóng)農(nóng)業(yè)業(yè)其其他他 只要經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)條件沒(méi)有變只要經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)條件沒(méi)有變化，就可將調(diào)查期的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型直接應(yīng)用于化，就可將調(diào)查期的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型直接應(yīng)用于計(jì)劃期的經(jīng)濟(jì)工作。計(jì)劃期的經(jīng)濟(jì)工作。 但某些部門(mén)可能改進(jìn)更新技術(shù)，降低消耗，就需但某些部門(mén)可能改進(jìn)更新技術(shù)，降低消耗，就需要重新測(cè)定這些部門(mén)的直接消耗系數(shù)，并對(duì)報(bào)告期的要重新測(cè)定這些部門(mén)的直接消耗系數(shù)，并對(duì)報(bào)告期的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型作出相應(yīng)的修正，然后再將其應(yīng)用投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型作出相應(yīng)的修正，然后再將其應(yīng)用于計(jì)劃期的經(jīng)濟(jì)工作于計(jì)劃期的經(jīng)濟(jì)工作. .5.1.3 5.1.3 完全消耗系數(shù)完全消耗系數(shù) 一、

20、完全消耗系數(shù)的概念一、完全消耗系數(shù)的概念 定義定義5.25.2 經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第j部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品所完部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品所完全消耗第全消耗第i部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量，稱(chēng)為第部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量，稱(chēng)為第j部門(mén)對(duì)第部門(mén)對(duì)第i部部門(mén)的門(mén)的完全消耗系數(shù)完全消耗系數(shù)，記作，記作 ( ,1,2, )ijci jn l l 由經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所有個(gè)部門(mén)相互之間的完全消耗系數(shù)構(gòu)由經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)所有個(gè)部門(mén)相互之間的完全消耗系數(shù)構(gòu)成的階方陣，稱(chēng)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的成的階方陣，稱(chēng)為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣完全消耗系數(shù)矩陣，記作記作 111212122212nnnnnncccccccccc l ll ll ll ll ll ll l(5

21、.16) 完全消耗系數(shù)矩陣的求法完全消耗系數(shù)矩陣的求法 根據(jù)直接消耗系數(shù)與完全消耗系數(shù)的定義，經(jīng)濟(jì)系根據(jù)直接消耗系數(shù)與完全消耗系數(shù)的定義，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)第統(tǒng)第j部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品時(shí)，對(duì)第部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品時(shí)，對(duì)第i部門(mén)產(chǎn)品的部門(mén)產(chǎn)品的消耗情況如下：消耗情況如下：(1)第第j j部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品完全消耗第部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品完全消耗第i i部門(mén)產(chǎn)品部門(mén)產(chǎn)品價(jià)值量為價(jià)值量為 ；ijc(2)第第j j部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品直接消耗第部門(mén)生產(chǎn)單位價(jià)值產(chǎn)品直接消耗第i i部門(mén)產(chǎn)品部門(mén)產(chǎn)品價(jià)值量為價(jià)值量為 ；ija(3)第第j j部門(mén)直接消耗第部門(mén)直接消耗第r r部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量為部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量為 ，而

22、第而第r r部門(mén)為生產(chǎn)這價(jià)值量為部門(mén)為生產(chǎn)這價(jià)值量為 的產(chǎn)品所完全消的產(chǎn)品所完全消耗第耗第i i部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量為部門(mén)的產(chǎn)品價(jià)值量為 。即第。即第j j部門(mén)通過(guò)部門(mén)通過(guò)第第r r部門(mén)間接消耗第部門(mén)間接消耗第i i部門(mén)的全部產(chǎn)品價(jià)值量為部門(mén)的全部產(chǎn)品價(jià)值量為 rjarjairrjc a(1,2, )irrjc arn l l完全消耗就是直接消耗與所有的間接消耗之和，故完全消耗就是直接消耗與所有的間接消耗之和，故1122ijijijijinnjcac ac ac a l l將上面關(guān)系式用矩陣形式表示為將上面關(guān)系式用矩陣形式表示為caca 即即 ()c iaa 其中其中a和和c分別是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的分別是

23、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣直接消耗系數(shù)矩陣和和完完全消耗系數(shù)矩陣全消耗系數(shù)矩陣。由。由(5.17)(5.17)即可由直接消耗系數(shù)矩陣即可由直接消耗系數(shù)矩陣得到完全消耗系數(shù)矩陣得到完全消耗系數(shù)矩陣 (5.17) 111()()()()ca iaiiaiaiai (5.18) 1( ,1,2, )nijirrjrac ai jn l l案例案例5.35.3 求求引例引例所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣。所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣。 解：解：根據(jù)根據(jù)(5.17)，關(guān)于該系統(tǒng)有，關(guān)于該系統(tǒng)有10.7050.2950.2451()0.1650.5350.1350.3650.1750.1250.475i

24、a 由此可求得該系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣為由此可求得該系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣為 10.340.2950.2451()0.1650.170.1350.3650.1750.1250.11ciai (5.19) 111()()()()ca iaiiaiaiai (5.18) 完全消耗系數(shù)矩陣完全消耗系數(shù)矩陣由由直接消耗系數(shù)矩陣直接消耗系數(shù)矩陣決定決定完全消耗系數(shù)矩陣完全消耗系數(shù)矩陣由由生產(chǎn)技術(shù)條件生產(chǎn)技術(shù)條件決定決定 如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)各個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)條件沒(méi)有變?nèi)绻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)各個(gè)部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)條件沒(méi)有變化，則各部門(mén)之間的直接消耗系數(shù)不會(huì)改變，各部化，則各部門(mén)之間的直接消耗系數(shù)不會(huì)改變，各部門(mén)之間的完全消耗系

25、數(shù)也不會(huì)改變。門(mén)之間的完全消耗系數(shù)也不會(huì)改變。值得注意的是值得注意的是 直接消耗系數(shù)是直接消耗系數(shù)是部門(mén)性部門(mén)性的，某個(gè)部門(mén)對(duì)各個(gè)部門(mén)的的，某個(gè)部門(mén)對(duì)各個(gè)部門(mén)的直接消耗系數(shù)僅取決于本部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)水平。直接消耗系數(shù)僅取決于本部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)水平。 完全消耗系數(shù)是完全消耗系數(shù)是系統(tǒng)性系統(tǒng)性的，某個(gè)部門(mén)對(duì)各個(gè)部門(mén)的的，某個(gè)部門(mén)對(duì)各個(gè)部門(mén)的完全消耗系數(shù)不僅取決于本部門(mén)，而且取決于其他完全消耗系數(shù)不僅取決于本部門(mén)，而且取決于其他部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)水平。部門(mén)的生產(chǎn)技術(shù)水平。 因?yàn)榻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)中任何一個(gè)部門(mén)生產(chǎn)技術(shù)條件的變化，因?yàn)榻?jīng)濟(jì)系統(tǒng)中任何一個(gè)部門(mén)生產(chǎn)技術(shù)條件的變化，都會(huì)通過(guò)由完全消耗所形成的連鎖關(guān)系，影響到整

26、都會(huì)通過(guò)由完全消耗所形成的連鎖關(guān)系，影響到整個(gè)系統(tǒng)所有部門(mén)相互之間的完全消耗系數(shù)。個(gè)系統(tǒng)所有部門(mén)相互之間的完全消耗系數(shù)。二、消耗系數(shù)矩陣的經(jīng)濟(jì)意義二、消耗系數(shù)矩陣的經(jīng)濟(jì)意義 設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的計(jì)劃期總產(chǎn)品為設(shè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的計(jì)劃期總產(chǎn)品為 最終產(chǎn)品為最終產(chǎn)品為12,tnxxxx l l 則則x-yx-y就是系統(tǒng)在生產(chǎn)過(guò)程中所完全消耗的本系統(tǒng)就是系統(tǒng)在生產(chǎn)過(guò)程中所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品。產(chǎn)品。12,tnyyyy l l這些產(chǎn)品是如何消耗掉的這些產(chǎn)品是如何消耗掉的? ? 對(duì)整個(gè)系統(tǒng)個(gè)部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗量可以用向量形對(duì)整個(gè)系統(tǒng)個(gè)部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗量可以用向量形式表示為式表示為11121112122222111nn

27、nnnnnnaaayyaaayyyayaaayyl ll lllllmllllmm ml l(5.20) 其中，其中，a是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣，是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的直接消耗系數(shù)矩陣，1y 是系統(tǒng)生產(chǎn)最終產(chǎn)品所需的直接消耗產(chǎn)品。是系統(tǒng)生產(chǎn)最終產(chǎn)品所需的直接消耗產(chǎn)品。首先從最終產(chǎn)品考慮首先從最終產(chǎn)品考慮 根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義，系統(tǒng)在生產(chǎn)最終產(chǎn)品根據(jù)直接消耗系數(shù)的定義，系統(tǒng)在生產(chǎn)最終產(chǎn)品y的的過(guò)程中，對(duì)本系統(tǒng)第部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗量為過(guò)程中，對(duì)本系統(tǒng)第部門(mén)產(chǎn)品的直接消耗量為11122(1,2, )iiinnya ya ya yinllll再?gòu)闹苯酉漠a(chǎn)品再?gòu)闹苯酉漠a(chǎn)品 考慮考慮1y 仿照上面的分析即

28、可知道，系統(tǒng)在生產(chǎn)直接消耗產(chǎn)仿照上面的分析即可知道，系統(tǒng)在生產(chǎn)直接消耗產(chǎn)品品 的過(guò)程中，對(duì)本系統(tǒng)產(chǎn)品的直接消耗量為的過(guò)程中，對(duì)本系統(tǒng)產(chǎn)品的直接消耗量為1y221yaya y 這里，這里， 就是系統(tǒng)為生產(chǎn)最終產(chǎn)品就是系統(tǒng)為生產(chǎn)最終產(chǎn)品 所需的一次間接所需的一次間接消耗產(chǎn)品。消耗產(chǎn)品。2yy二次間接消耗產(chǎn)品為二次間接消耗產(chǎn)品為33ya y 44ya y 三次間接消耗產(chǎn)品為三次間接消耗產(chǎn)品為rrya y (5.21) r-1次間接消耗產(chǎn)品為次間接消耗產(chǎn)品為(1,2,)r l l 其中，其中， 時(shí)表示直接消耗產(chǎn)品；時(shí)表示直接消耗產(chǎn)品； 時(shí)表示各次間時(shí)表示各次間接消耗產(chǎn)品。接消耗產(chǎn)品。1r 1r 經(jīng)濟(jì)系

29、統(tǒng)在生產(chǎn)過(guò)程中所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)在生產(chǎn)過(guò)程中所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品，應(yīng)是上述直接消耗產(chǎn)品與各次間接產(chǎn)品之和。于是有應(yīng)是上述直接消耗產(chǎn)品與各次間接產(chǎn)品之和。于是有12222()()rrrrxyyyyaya ya yaaayiaaai y llllllllllllllllrrya y (5.21) (1,2,)r l l再根據(jù)再根據(jù)(5.6)和和(5.18)即可得到即可得到1()xyiai ycy (5.22) 其中其中c是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣。是經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的完全消耗系數(shù)矩陣。 以上得到的以上得到的(5.20)和和(5.46)分別表明了直接消耗系數(shù)分別表明了直接消耗系數(shù)矩陣矩陣a

30、和完全消耗系數(shù)矩陣和完全消耗系數(shù)矩陣c的經(jīng)濟(jì)意義。即如果經(jīng)濟(jì)的經(jīng)濟(jì)意義。即如果經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的計(jì)劃期最終產(chǎn)品為系統(tǒng)的計(jì)劃期最終產(chǎn)品為 ，那么系統(tǒng)為生產(chǎn)最終產(chǎn)，那么系統(tǒng)為生產(chǎn)最終產(chǎn)品品 所直接消耗的本系所直接消耗的本系統(tǒng)統(tǒng)產(chǎn)品為產(chǎn)品為 ，所完全消耗的本，所完全消耗的本系統(tǒng)產(chǎn)品為系統(tǒng)產(chǎn)品為 。yaycyy5.1.5 5.1.5 投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)應(yīng)用案例投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型經(jīng)濟(jì)應(yīng)用案例一、在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用一、在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 案例案例5.45.4 假定根據(jù)引例所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的生產(chǎn)發(fā)展情假定根據(jù)引例所示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的生產(chǎn)發(fā)展情況，預(yù)計(jì)該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部門(mén)的況，預(yù)計(jì)該系統(tǒng)工業(yè)、農(nóng)業(yè)、其他產(chǎn)業(yè)三個(gè)部

31、門(mén)的計(jì)劃期總產(chǎn)品將在報(bào)告期總產(chǎn)品的基礎(chǔ)上分別增長(zhǎng)計(jì)劃期總產(chǎn)品將在報(bào)告期總產(chǎn)品的基礎(chǔ)上分別增長(zhǎng)9%、7%、6%。由于在生產(chǎn)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)部存在著。由于在生產(chǎn)過(guò)程中系統(tǒng)內(nèi)部存在著復(fù)雜的產(chǎn)品消耗關(guān)系，故一般說(shuō)來(lái)，各個(gè)部門(mén)最終復(fù)雜的產(chǎn)品消耗關(guān)系，故一般說(shuō)來(lái)，各個(gè)部門(mén)最終產(chǎn)品的增長(zhǎng)幅度與總產(chǎn)品的增長(zhǎng)幅度并不一致。試產(chǎn)品的增長(zhǎng)幅度與總產(chǎn)品的增長(zhǎng)幅度并不一致。試預(yù)測(cè)該系統(tǒng)最終產(chǎn)品的增長(zhǎng)情況。預(yù)測(cè)該系統(tǒng)最終產(chǎn)品的增長(zhǎng)情況。 解解 計(jì)劃期總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品分記別為計(jì)劃期總產(chǎn)品和最終產(chǎn)品分記別為 和和 。根據(jù)表。根據(jù)表5.1中的報(bào)告期總產(chǎn)品數(shù)據(jù)中的報(bào)告期總產(chǎn)品數(shù)據(jù)以及預(yù)計(jì)的計(jì)劃期總產(chǎn)品增長(zhǎng)幅度，該系統(tǒng)三個(gè)部以及預(yù)計(jì)的

32、計(jì)劃期總產(chǎn)品增長(zhǎng)幅度，該系統(tǒng)三個(gè)部門(mén)的計(jì)劃期總產(chǎn)品應(yīng)分別為門(mén)的計(jì)劃期總產(chǎn)品應(yīng)分別為123,txx xx 123,tyyyy 工業(yè)部門(mén)：工業(yè)部門(mén)： 農(nóng)業(yè)部門(mén)：農(nóng)業(yè)部門(mén)： 其他產(chǎn)業(yè)部門(mén)：其他產(chǎn)業(yè)部門(mén)： 1560(19%)610.4x 億億元元2340(17%)363.8x 億億元元3280(16%)296.8x 億億元元將這些數(shù)據(jù)代入產(chǎn)品分配平衡方程組將這些數(shù)據(jù)代入產(chǎn)品分配平衡方程組(5.16)，可求得，可求得 123()0.650.30.25610.4213.420.150.80.15363.8154.960.20.10.9296.8108.66yiaxyyy 即即 由此可對(duì)該系統(tǒng)三個(gè)部門(mén)的計(jì)劃

33、期最終產(chǎn)品及其相由此可對(duì)該系統(tǒng)三個(gè)部門(mén)的計(jì)劃期最終產(chǎn)品及其相對(duì)于報(bào)告期最終產(chǎn)品的增長(zhǎng)幅度作出預(yù)測(cè)。對(duì)于報(bào)告期最終產(chǎn)品的增長(zhǎng)幅度作出預(yù)測(cè)。工業(yè)部門(mén)：工業(yè)部門(mén)： 農(nóng)業(yè)部門(mén)：農(nóng)業(yè)部門(mén)： 其他產(chǎn)業(yè)部門(mén)：其他產(chǎn)業(yè)部門(mén)： 1213.42y 億億元元2154.96y 億億元元3108.66y 億億元元增長(zhǎng)增長(zhǎng) 增長(zhǎng)增長(zhǎng) 增長(zhǎng)增長(zhǎng) 213.4219211.2%192 154.961466.1%146 108.661062.5%106 根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果，可對(duì)該系統(tǒng)的計(jì)劃期最終產(chǎn)品與實(shí)根據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果，可對(duì)該系統(tǒng)的計(jì)劃期最終產(chǎn)品與實(shí)際需要是否相符作出判斷，避免出現(xiàn)大的偏差。際需要是否相符作出判斷，避免出現(xiàn)大的偏差。二、在制訂計(jì)劃中的應(yīng)用二、