高階導數(shù)的運算法則ppt課件

1、山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂二、高階導數(shù)的運算法那么一、高階導數(shù)的概念 2.3 高階導數(shù)山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂一、高階導數(shù)的概念一、高階導數(shù)的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例：變速直線運動引例：變速直線運動山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂定義定義.假設函數(shù))(xfy 的導數(shù))(xfy可導,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy類似地 , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù) ,1n階導數(shù)的導數(shù)稱為 n 階導數(shù) ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf

2、的二階導數(shù) , 記作y )(xf 的導數(shù)為依次類推 ,分別記作那么稱山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂證明 因為22212222xxxxxxy所以y 3y10 y(y) f (x)f (x) )(22dxdydxddxyd 22222222)1 (2xxxxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 證明證明 例例1 22212222xxxxxxy )2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx)2()2()1 (22222xxxxxxx32321)2(1yxx 證明 函數(shù)22xxy滿

3、足關系式013 yy 山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂設( )fx存在，求以下函數(shù)的二階導數(shù)22.d ydx解解:1dydx例例2.1();xyf e2( ).f xye()xxfe e()()xxfee22d ydx()()()xxxxfeefee()()()xxxxxfeeef e e2()()xxxxfe efe e2dydx( )( )f xefx22d ydx( )2( )( )( )f xf xefxefx山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂設,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212 ayxa3232) 1(nnxann依次類推

4、 ,nnany!)(233xa例例3.思索思索: 設設, )(為任意常數(shù)xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(問可得山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂nx)1 ( ,3xaeay 例例4. 設設求解解:特別有:解解:! ) 1( n規(guī)定 0 ! = 1,xaey .)(ny,xaeay ,2xaeay xanneay)(xnxee)()(例例5. 設設, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n,山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例6. 設設,sinxy 求.)(ny解解: xycos)sin(2

5、x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x普通地 ,xxnsin()(sin)(類似可證:xxncos()(cos)()2n)2n山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂例例7. 設設,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx206lim0 )0(fxxx2012lim0 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x階數(shù)山東

6、農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂二、高階導數(shù)的運算法那二、高階導數(shù)的運算法那么么都有 n 階導數(shù) , 那么)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C為常數(shù))()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu萊布尼茲萊布尼茲(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 設函數(shù)vunn) 1(山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu )( vuvu vu 3vu 用數(shù)學歸納法可證萊布尼茲公式成立 .山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人：

7、 蘇本堂例例8. ,22xexy 求.)20(y解解: 設設,22xveux那么xkkeu2)(2,2xv ,2 v0)(kv代入萊布尼茲公式 , 得)20(yxe22022xxe219220 x2!219202xe2202)9520(2xxxe2182)20,2,1(k)20,3(k山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂(1) 逐階求導法(2) 利用歸納法(3) 間接法 利用知的高階導數(shù)公式(4) 利用萊布尼茲公式高階導數(shù)的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxan)(1nxa1)(!nxan如,山東農(nóng)業(yè)大學 高等數(shù)學 主講人： 蘇本堂xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn例例9. 如何求以下函數(shù)的如何求以下函數(shù)的 n 階導數(shù)階導數(shù)?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 2312xxy(3)1121xx1(2)(1)xx解:(1)(2)(2)(1)xxxx( )1111(