晶體的對(duì)稱(chēng)性

1、固體物理學(xué)固體物理固體物理1 晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對(duì)稱(chēng)性晶體在幾何外形上表現(xiàn)出明顯的對(duì)稱(chēng)性 對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)對(duì)稱(chēng)性的性質(zhì)也在物理性質(zhì)上得以體現(xiàn)介電常數(shù)表示為二階張量介電常數(shù)表示為二階張量( , , )x y z ED電位移電位移01/341.5 1.5 晶體的晶體的宏觀(guān)宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性晶體的理想外形及其在宏觀(guān)觀(guān)察中表現(xiàn)出來(lái)的對(duì)稱(chēng)性稱(chēng)為晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性. 晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性是在晶體微觀(guān)對(duì)稱(chēng)性基礎(chǔ)上表現(xiàn)出來(lái)的.固體物理學(xué)固體物理固體物理2ED電位移電位移 對(duì)于立方對(duì)稱(chēng)的晶體對(duì)于立方對(duì)稱(chēng)的晶體0ED0介電常數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)量介電常數(shù)看作一個(gè)簡(jiǎn)單的標(biāo)量固體物理學(xué)固體物理固體物

2、理3000000/ 六角對(duì)稱(chēng)晶體六角對(duì)稱(chēng)晶體 將坐標(biāo)軸取在六角軸和垂直于六角軸的平面內(nèi)將坐標(biāo)軸取在六角軸和垂直于六角軸的平面內(nèi)介電常數(shù)介電常數(shù)固體物理學(xué)固體物理固體物理4000000/E/EDEED平行軸平行軸(六角軸六角軸)分量分量垂直于六角軸分量垂直于六角軸分量 由于六角晶體的各向異性，具有光的雙折射現(xiàn)象由于六角晶體的各向異性，具有光的雙折射現(xiàn)象 立方晶體的光學(xué)性質(zhì)則是各向同性的立方晶體的光學(xué)性質(zhì)則是各向同性的固體物理學(xué)固體物理固體物理5 原子的周期性排列形成晶格原子的周期性排列形成晶格 不同的晶格表現(xiàn)出不同的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性不同的晶格表現(xiàn)出不同的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性晶體宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性晶體宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性 考察晶體

3、在正交變換的不變性考察晶體在正交變換的不變性 三維情況下，正交變換的表示三維情況下，正交變換的表示 矩陣是正交矩陣矩陣是正交矩陣111213122223131333xaaaxyaaayzaaaz3, 2, 1,jiaij晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性的描述晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性的描述05/34固體物理學(xué)固體物理固體物理6 繞繞z軸轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn) 角的正交矩陣角的正交矩陣1000cossin0sincos固體物理學(xué)固體物理固體物理7 中心反演的正交矩陣中心反演的正交矩陣100010001 空間轉(zhuǎn)動(dòng)，矩陣行列式等于空間轉(zhuǎn)動(dòng)，矩陣行列式等于1 空間轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演，矩陣行列式等于空間轉(zhuǎn)動(dòng)加中心反演，矩陣行列式等于1固體物理學(xué)固體

4、物理固體物理8 一個(gè)晶體在某一變換后，晶體在空間的分布保持不變，這一變換稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)性操作。 對(duì)稱(chēng)操作的數(shù)目越多，晶體的對(duì)稱(chēng)性就越高，晶體的對(duì)稱(chēng)類(lèi)型是由少數(shù)基本的對(duì)稱(chēng)操作組合而成。如果包括平移，有230種對(duì)稱(chēng)類(lèi)型，稱(chēng)為空間群。若不包括平移，有32種宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)類(lèi)型，稱(chēng)為點(diǎn)群。固體物理學(xué)固體物理固體物理91.轉(zhuǎn)動(dòng) 將晶體繞某軸旋轉(zhuǎn)一定角度后，晶體能自身重合的操作。 若轉(zhuǎn)動(dòng)的角度2/n ,則稱(chēng)該軸為n重旋轉(zhuǎn)軸。 由于晶體周期性的制約，晶體只有1，2，3，4，6五種轉(zhuǎn)軸，也用C1，C2，C3，C4，C6表示。1122331000cossin0sincosxxxxxx固體物理學(xué)固體物理固體物理10為什么沒(méi)有5

5、度旋轉(zhuǎn)軸？ 設(shè)設(shè)B1ABA1是晶體中某一晶是晶體中某一晶面上的一個(gè)晶列，面上的一個(gè)晶列，AB為這一晶為這一晶列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。列上相鄰的兩個(gè)格點(diǎn)。A1ABB1 AB 若晶體繞通過(guò)格點(diǎn)若晶體繞通過(guò)格點(diǎn)A并垂直于并垂直于紙面的紙面的u軸順時(shí)針轉(zhuǎn)軸順時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重角后能自身重合，則由于晶體的周期性，通過(guò)格合，則由于晶體的周期性，通過(guò)格點(diǎn)點(diǎn)B也有一轉(zhuǎn)軸也有一轉(zhuǎn)軸u。, ,ABBA2cos1BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 固體物理學(xué)固體物理固體物理111 ,21, 0cos ,23,212,62,42相反若逆時(shí)針轉(zhuǎn)相反若逆時(shí)針轉(zhuǎn) 角后能自身重合，則角后能自身重合，則A1ABB1 AB, ,

6、ABBA2cos1BA AB是是 的整數(shù)倍，的整數(shù)倍， 1,21, 0cos ,32,222,32,42 643212, , , , ,n,n綜合上述證明得：綜合上述證明得：固體物理學(xué)固體物理固體物理12晶體對(duì)稱(chēng)定律：晶體對(duì)稱(chēng)定律：在晶體中不可能存在五次在晶體中不可能存在五次及高于六次的對(duì)稱(chēng)軸。及高于六次的對(duì)稱(chēng)軸。因?yàn)椴环峡臻g格因?yàn)椴环峡臻g格子規(guī)律，其對(duì)應(yīng)的網(wǎng)孔不能毫無(wú)間隙地布子規(guī)律，其對(duì)應(yīng)的網(wǎng)孔不能毫無(wú)間隙地布滿(mǎn)整個(gè)平面。滿(mǎn)整個(gè)平面。固體物理學(xué)固體物理固體物理132.中心反演 將任一點(diǎn)（x1,x2,x3）變成（-x1,-x2,-x3）的操作。112233100010001xxxxxx10

7、0010001A固體物理學(xué)固體物理固體物理143.鏡面反演 以x1=0的平面為鏡面，將任一點(diǎn)（x1,x2,x3）變成（-x1, x2, x3）的操作。112233100010001xxxxxx100010001A固體物理學(xué)固體物理固體物理154.旋轉(zhuǎn)反演操作（象轉(zhuǎn)操作） 若繞某軸旋轉(zhuǎn)2/n 角度后再經(jīng)中心反演，晶體能自身重合，則稱(chēng)該操作為旋轉(zhuǎn)反演操作，此軸稱(chēng)為n度旋轉(zhuǎn)反演軸。n=1,2,3,4,6.分別用 表示。3i (表示聯(lián)合操作）36i (表示聯(lián)合操作）664321,固體物理學(xué)固體物理固體物理161 立方體的對(duì)稱(chēng)操作立方體的對(duì)稱(chēng)操作 1) 繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng) 9個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)

8、稱(chēng)操作23,2固體物理學(xué)固體物理固體物理17 共有共有6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作2) 繞繞6條面對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)條面對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)固體物理學(xué)固體物理固體物理18 8個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作3) 繞繞4個(gè)立方體對(duì)角線(xiàn)個(gè)立方體對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)34,324) 正交變換正交變換(不動(dòng)不動(dòng)) 1個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作10001000110/34固體物理學(xué)固體物理固體物理19 立方體的對(duì)稱(chēng)操作共有立方體的對(duì)稱(chēng)操作共有48個(gè)個(gè)5) 以上以上24個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作 加中心反演仍是對(duì)稱(chēng)操作加中心反演仍是對(duì)稱(chēng)操作固體物理學(xué)固體物理固體物理202 正四面體的對(duì)稱(chēng)操作正四面體的對(duì)稱(chēng)操作 四個(gè)原子位于正四個(gè)原子位于正四面體的四個(gè)頂

9、角上四面體的四個(gè)頂角上 金剛石晶格金剛石晶格 對(duì)稱(chēng)操作包含在對(duì)稱(chēng)操作包含在 立方體操作之中立方體操作之中 固體物理學(xué)固體物理固體物理21 共有共有3個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作1) 繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng) 8個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作2) 繞繞4個(gè)立方體對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)個(gè)立方體對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)34,323) 正交變換正交變換 1個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作100010001固體物理學(xué)固體物理固體物理22 6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作4) 繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)繞三個(gè)立方軸轉(zhuǎn)動(dòng)23,2加中心反演加中心反演 6個(gè)對(duì)稱(chēng)操作個(gè)對(duì)稱(chēng)操作5) 繞繞6條面對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)條面對(duì)角線(xiàn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)加上中心反演加上中心反演 正四面體正四面體 對(duì)稱(chēng)操作共有

10、對(duì)稱(chēng)操作共有24個(gè)個(gè)15/34固體物理學(xué)固體物理固體物理233 正六面柱的對(duì)稱(chēng)操作正六面柱的對(duì)稱(chēng)操作 1) 繞中心軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞中心軸線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)35,34,32,3 5個(gè)個(gè) 3個(gè)個(gè)3) 繞相對(duì)面中心連線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞相對(duì)面中心連線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng) 3個(gè)個(gè)4) 正交變換正交變換5) 12個(gè)對(duì)稱(chēng)操作加中心反演個(gè)對(duì)稱(chēng)操作加中心反演 正六面柱的對(duì)稱(chēng)操作有正六面柱的對(duì)稱(chēng)操作有24個(gè)個(gè)2) 繞對(duì)棱中點(diǎn)連線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)繞對(duì)棱中點(diǎn)連線(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng) 1個(gè)個(gè)固體物理學(xué)固體物理固體物理24對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素 簡(jiǎn)潔明了地概括一個(gè)物體的對(duì)稱(chēng)性簡(jiǎn)潔明了地概括一個(gè)物體的對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素 一個(gè)物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)反演軸一個(gè)物體的旋轉(zhuǎn)軸、旋轉(zhuǎn)反演軸 物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體繞

11、某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng) 加上中心反演的聯(lián)合操作加上中心反演的聯(lián)合操作 以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時(shí)以及其聯(lián)合操作的倍數(shù)不變時(shí) 該軸為該軸為n重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為2 /nn4 對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素 物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)物體繞某一個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng) ，以及其倍數(shù)不變時(shí)，以及其倍數(shù)不變時(shí) 該軸為該軸為n重旋轉(zhuǎn)軸，計(jì)為重旋轉(zhuǎn)軸，計(jì)為2 /nn固體物理學(xué)固體物理固體物理25面對(duì)角線(xiàn)面對(duì)角線(xiàn) 為為2重軸，計(jì)為重軸，計(jì)為2( ) 立方體立方體3(,)22立方軸立方軸 為為4重軸，計(jì)為重軸，計(jì)為44同時(shí)也是同時(shí)也是4重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為2同時(shí)也是同時(shí)也是2重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為固體物理學(xué)固

12、體物理固體物理2624(,)33體對(duì)角線(xiàn)軸體對(duì)角線(xiàn)軸 為為3重軸，計(jì)為重軸，計(jì)為33同時(shí)也是同時(shí)也是3重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為重旋轉(zhuǎn)反演軸，計(jì)為固體物理學(xué)固體物理固體物理27 正四面體正四面體體對(duì)角線(xiàn)軸是體對(duì)角線(xiàn)軸是3重軸重軸 不是不是3重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 立方軸是立方軸是4重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是不是4重軸重軸面對(duì)角線(xiàn)是面對(duì)角線(xiàn)是2重旋轉(zhuǎn)反演軸重旋轉(zhuǎn)反演軸 不是不是2重軸重軸20/34固體物理學(xué)固體物理固體物理28 對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素 的含義的含義2 先繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度先繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)角度 ，再作中心反演，再作中心反演 A點(diǎn)是點(diǎn)是A點(diǎn)在通過(guò)中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面點(diǎn)在通過(guò)中心垂直于轉(zhuǎn)軸的平面M的鏡像的鏡像

13、 對(duì)稱(chēng)素對(duì)稱(chēng)素 存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)面存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)面M2 用用 表示表示m or一個(gè)物體的全部對(duì)稱(chēng)操一個(gè)物體的全部對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作群作構(gòu)成一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作群 對(duì)稱(chēng)素為鏡面對(duì)稱(chēng)素為鏡面固體物理學(xué)固體物理固體物理29旋轉(zhuǎn)-反演對(duì)稱(chēng)軸并不都是獨(dú)立的基本對(duì)稱(chēng)素。如：12i1123456i 3312m21 固體物理學(xué)固體物理固體物理30ABDCEFGH正四面體既無(wú)四正四面體既無(wú)四度軸也無(wú)對(duì)稱(chēng)心度軸也無(wú)對(duì)稱(chēng)心6=3+m12345661 2 3 4 5 123443 1 4 2 CADGFHEB固體物理學(xué)固體物理固體物理311 1，2 2，3 3，4 4，6 6 度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作。度旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作。 1 1，2 2

14、，3 3，4 4，6 6度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作。度旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作。(3)(3)中心反中心反演演：i。(4)(4)鏡象反映：鏡象反映：m。 C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符號(hào)表示）（用熊夫利符號(hào)表示）S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符號(hào)表示）（用熊夫利符號(hào)表示）點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作：點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作：(2)(2)旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作：旋轉(zhuǎn)反演對(duì)稱(chēng)操作：(1)(1)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作：旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)操作： 獨(dú)立的對(duì)稱(chēng)操作有8種, ,即即1 1，2 2，3 3，4 4，6 6，i i，m m， 。 或或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。 4固體物理學(xué)固體物理固體物理32立方體對(duì)稱(chēng)性立方體對(duì)稱(chēng)性(1)(

15、1)立方軸立方軸C4：3 3個(gè)立方軸；個(gè)立方軸；4個(gè)個(gè)3度軸；度軸；(2)體對(duì)角線(xiàn)體對(duì)角線(xiàn)C3：(3)面對(duì)角線(xiàn)面對(duì)角線(xiàn)C2：6個(gè)個(gè)2度軸；度軸；固體物理學(xué)固體物理固體物理33 所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作都可由這所有點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作都可由這8種操作或它們的組合來(lái)完成。種操作或它們的組合來(lái)完成。一個(gè)晶體的全部對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成一個(gè)群，每個(gè)操作都是群的一個(gè)，每個(gè)操作都是群的一個(gè)元素。對(duì)稱(chēng)性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、元素。對(duì)稱(chēng)性不同的晶體屬于不同的群。由旋轉(zhuǎn)、中心反演、鏡象和旋轉(zhuǎn)鏡象和旋轉(zhuǎn)-反演點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成的群，稱(chēng)作點(diǎn)群。反演點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作構(gòu)成的群，稱(chēng)作點(diǎn)群。 理論證明，所有理論證明，所有晶體只有32種點(diǎn)群，即

16、只有，即只有32種不同的點(diǎn)對(duì)種不同的點(diǎn)對(duì)稱(chēng)操作類(lèi)型。這種對(duì)稱(chēng)性在宏觀(guān)上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱(chēng)及物理稱(chēng)操作類(lèi)型。這種對(duì)稱(chēng)性在宏觀(guān)上表現(xiàn)為晶體外形的對(duì)稱(chēng)及物理性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱(chēng)性。所以又稱(chēng)宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性。性質(zhì)在不同方向上的對(duì)稱(chēng)性。所以又稱(chēng)宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)性。如果考慮平移，還有兩種情況，即如果考慮平移，還有兩種情況，即螺旋軸和滑移反映面。固體物理學(xué)固體物理固體物理34 （5 5）n度螺旋軸度螺旋軸：若繞軸旋轉(zhuǎn)：若繞軸旋轉(zhuǎn)2 / /n角以后，再角以后，再沿軸方向平移l( (T/ /n) )，晶體能自身重合，則稱(chēng)此軸為，晶體能自身重合，則稱(chēng)此軸為n度螺旋軸。其中度螺旋軸。其中T是是軸方向的周期，軸方向的周期， l

17、是小于是小于n的整數(shù)。的整數(shù)。 n只能取只能取1、2、3、4、6。 （6 6）滑移反映面滑移反映面：若經(jīng)過(guò)某面：若經(jīng)過(guò)某面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面進(jìn)行鏡象操作后，再沿平行于該面的某個(gè)方向平移的某個(gè)方向平移T/ /n后，晶體能自后，晶體能自身重合，則稱(chēng)此面為滑移反映面。身重合，則稱(chēng)此面為滑移反映面。 T是平行方向的周期，是平行方向的周期， n可取可取2或或4。固體物理學(xué)固體物理固體物理35點(diǎn)群（點(diǎn)群（32種）種） Schnflies符號(hào)：用符號(hào)：用主軸腳標(biāo)主軸腳標(biāo)表示表示 國(guó)際符號(hào)：以國(guó)際符號(hào)：以特征方向的對(duì)稱(chēng)性特征方向的對(duì)稱(chēng)性來(lái)表示來(lái)表示主軸：主軸：Cn、Dn、Sn、T和和OCn：n次旋

18、轉(zhuǎn)軸次旋轉(zhuǎn)軸 Sn : n次旋轉(zhuǎn)反映軸次旋轉(zhuǎn)反映軸 Dn：n次旋轉(zhuǎn)軸加上一個(gè)與之垂直的二次軸次旋轉(zhuǎn)軸加上一個(gè)與之垂直的二次軸T： 四面體群四面體群 O： 八面體群八面體群 腳標(biāo)：腳標(biāo)：h、v、dh：垂直于：垂直于n次軸（主軸）的次軸（主軸）的水平水平面為對(duì)稱(chēng)面面為對(duì)稱(chēng)面v：含：含n次軸（主軸）在內(nèi)的次軸（主軸）在內(nèi)的豎直豎直對(duì)稱(chēng)面對(duì)稱(chēng)面d：垂直于主軸的兩個(gè)二次軸的：垂直于主軸的兩個(gè)二次軸的平分平分面為對(duì)稱(chēng)面面為對(duì)稱(chēng)面固體物理學(xué)固體物理固體物理36晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)類(lèi)型：晶體的宏觀(guān)對(duì)稱(chēng)類(lèi)型：八類(lèi)對(duì)稱(chēng)元素按合理組合，但不能產(chǎn)生5或高于6的軸次。由此，推出晶體所屬的32個(gè)點(diǎn)群。軸 C1 C2 C3 C4

19、 C6軸面mhmv CS C2h C3h C4h C6h C2V C3V C4V C6V軸21面無(wú)面 D2 D3 D4 D6mhmv D2h D3h D4h D6h D2d D3d軸mi Ci C3i S4正四面體 T Th Td正八面體 O Oh固體物理學(xué)固體物理固體物理375 群的概念群的概念 群代表一組群代表一組“元素元素”的集合，的集合，G E, A ,B, C, D 這些這些“元素元素”被賦予一定的被賦予一定的“乘法法則乘法法則”，滿(mǎn)足下列，滿(mǎn)足下列性質(zhì)性質(zhì)1) 集合集合G中任意兩個(gè)元素的中任意兩個(gè)元素的“乘積乘積”仍為集合內(nèi)的元素仍為集合內(nèi)的元素 若若 A, B G, 則則AB=C

20、 G. 叫作群的封閉性叫作群的封閉性2) 存在單位元素存在單位元素E, 使得所有元素滿(mǎn)足：使得所有元素滿(mǎn)足：AE = A3) 對(duì)于任意元素對(duì)于任意元素A, 存在逆元素存在逆元素A-1, 有：有：AA-1=E4) 元素間的元素間的“乘法運(yùn)算乘法運(yùn)算”滿(mǎn)足結(jié)合律：滿(mǎn)足結(jié)合律：A(BC)=(AB)C固體物理學(xué)固體物理固體物理38正實(shí)數(shù)群正實(shí)數(shù)群 所有正實(shí)數(shù)所有正實(shí)數(shù)(0 除外除外)的集合，以普通乘法為的集合，以普通乘法為 運(yùn)算法則運(yùn)算法則整數(shù)群整數(shù)群 所有整數(shù)的集合，以加法為運(yùn)算法則所有整數(shù)的集合，以加法為運(yùn)算法則 一個(gè)物體一個(gè)物體全部對(duì)稱(chēng)操作全部對(duì)稱(chēng)操作的集合滿(mǎn)足上述群的定義的集合滿(mǎn)足上述群的定義

21、運(yùn)算法則運(yùn)算法則 連續(xù)操作連續(xù)操作固體物理學(xué)固體物理固體物理39單位元素單位元素 不動(dòng)操作不動(dòng)操作任意元素的任意元素的逆元素逆元素 繞轉(zhuǎn)軸角度繞轉(zhuǎn)軸角度 ，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸，其逆操作為繞轉(zhuǎn)軸角度角度 ；中心反演的逆操作仍是中心反演；中心反演的逆操作仍是中心反演；連續(xù)進(jìn)行連續(xù)進(jìn)行A和和B操作操作 相當(dāng)于相當(dāng)于C操作操作A 操作操作 繞繞OA軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) /2 S點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到T點(diǎn)點(diǎn)B 操作操作 繞繞OC軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) /2 T點(diǎn)轉(zhuǎn)到點(diǎn)轉(zhuǎn)到S點(diǎn)點(diǎn)S固體物理學(xué)固體物理固體物理40上述操作中上述操作中S和和O沒(méi)動(dòng)，而沒(méi)動(dòng)，而T點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到T點(diǎn)點(diǎn) 相當(dāng)于一個(gè)操作相當(dāng)于一個(gè)操作C：繞：繞OS軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)2

22、 /3CABBCA)()(BAC 表示為表示為 群的封閉性群的封閉性可以證明可以證明 滿(mǎn)足結(jié)合律滿(mǎn)足結(jié)合律S25/34固體物理學(xué)固體物理固體物理416 立方對(duì)稱(chēng)晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明立方對(duì)稱(chēng)晶體的介電系數(shù)為一個(gè)標(biāo)量常數(shù)的證明 1 ED, X，Y，Z軸分量軸分量 X，Y，Z軸為立方體的三個(gè)立方軸方向軸為立方體的三個(gè)立方軸方向假設(shè)電場(chǎng)沿假設(shè)電場(chǎng)沿Y軸方向軸方向EDxyxEDyyyEDzyzzyxzzzyzxyzyyyxxzxyxxzyxEEEDDD0,zxyEEEE固體物理學(xué)固體物理固體物理42將晶體和電場(chǎng)同時(shí)繞將晶體和電場(chǎng)同時(shí)繞Y軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) /2ZXYYXZ,xzzyDDE yyy

23、yDDE zxxyDDE 轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)施轉(zhuǎn)動(dòng)的實(shí)施 電場(chǎng)沒(méi)變電場(chǎng)沒(méi)變 同時(shí)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作，晶體轉(zhuǎn)動(dòng)前后沒(méi)有任何差別同時(shí)是一個(gè)對(duì)稱(chēng)操作，晶體轉(zhuǎn)動(dòng)前后沒(méi)有任何差別應(yīng)有應(yīng)有xyzyxyzy 0zyxyDDZXY固體物理學(xué)固體物理固體物理43將晶體和電場(chǎng)同時(shí)繞將晶體和電場(chǎng)同時(shí)繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng) /2假設(shè)電場(chǎng)沿假設(shè)電場(chǎng)沿Z軸方向軸方向0yzxyED zyx,所以所以 332211000000固體物理學(xué)固體物理固體物理44 再取電場(chǎng)方向沿再取電場(chǎng)方向沿111方向方向000000 xxxxyyyyzzzzDEDEDE13xxxEEEE3/EDxxx3/EDyyy3/EDzzz固體物理學(xué)固體物理固體物理45,ZXX