機理分析和測試分析

1、機理分析：基于問題的特點，建立數(shù)學(xué)模型來揭示問題的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)。例：經(jīng)典力學(xué)的Newton定律，萬有引力定律，光的折射定律，計算體積的微積分方法等。機理分析的基本工具： 微分方程 差分方程 數(shù)學(xué)規(guī)劃 圖與網(wǎng)絡(luò)的方法 概率的方法 隨機過程 .測試分析的基本工具： 函數(shù)插值 最小二乘擬合 隨機模擬 統(tǒng)計分析如數(shù)據(jù)的分布等機理分析是數(shù)學(xué)建模的主要方法。機理分析是從根上分析事物，揭示事物的內(nèi)在規(guī)律和區(qū)別于其他事物的基本特征。測試分析基于實驗和觀測數(shù)據(jù)，方法具有普適性，但對事物區(qū)別于其他事物的特性難以做出深刻的刻畫。因此，能夠利用機理分析建立模型的問題，一般不要利用數(shù)據(jù)處理的一般方法進行建模。機理分析

2、和測試分析的結(jié)合是我們建模的基本方法。通過機理模型建立模型的基本結(jié)構(gòu)，然后利用測試分析確定模型中的相關(guān)參數(shù)，是完成建模的基本步驟。函數(shù)插值：我們的數(shù)學(xué)工具通常是處理連續(xù)問題的，如微積分、微分方程等。但是由于連續(xù)問題涉及到無窮個元素和無窮次運算，無法利用計算機處理，我們的通常做法為：把問題離散化。所謂離散化，就是將采集和處理的數(shù)據(jù)限制在有限個給定的點上。所謂曲線擬合，就是利用已知的離散點信息，求在這些點的附近的未知點的信息。曲線擬合的兩種基本方法：(1)插值。過已知點做光滑曲線，把離散信息轉(zhuǎn)化為連續(xù)信息。從而得到?jīng)]有給出信息的近似值。一維插值類似于數(shù)據(jù)點的曲線板連接。二維插值類似于抹膩子。插值的

3、matlab函數(shù) interp1 interp2 spline插值的應(yīng)用例1：水塔流量的估計。(美國數(shù)學(xué)建模競賽題)例2：逢山開路(全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題)例3：最小二乘逼近。在許多情況下，數(shù)據(jù)帶有隨機波動(如圖)。在這種情況下，例1：降落傘的選擇為向災(zāi)區(qū)投放救災(zāi)物質(zhì)2000kg，需選購一些降落傘。已知空投高度為500米，要求降落傘落地時速度不超過20m/s。降落傘面為半徑r的半球面，用每根長l共16根繩索連接所載重物m。(如圖)每個降落傘的價格由三部分組成。傘面的費用C1由傘的半徑r決定,規(guī)格和單價如下表繩索費用為4元/米，固定費用為200元r(m) 2 2.5 3 3.5 4C1(元)

4、65 170 350 660 1000降落傘在降落過程中受到空氣阻力，可以認為空氣阻力與降落速度及傘的面積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑r=3m，載重m=300kg從500m高度作降落試驗，測的各時刻t的高度x如下表t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30X(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1試確定降落傘的選購方案，即共需多少個，每個傘的半徑。在滿足空投條件下，費用最低。問題分析：這是一個購買降落傘的問題。決策變量：第i種傘購買xi個。記第i種傘可以載重mi，傘面價格Ci,則總費用為551511min200() 16

5、iiiiiiC xxxk xL載重量約束為513000iiix m問題分析：設(shè)空氣的阻力系數(shù)為，根據(jù)題意可以列出降落傘的運動方程(以下方為正向)(0)0dvmSvmgvdt解得：1StmmgveS問題歸結(jié)為：傘面Ci的大載重量mi是多少？由解得( )(0)0dxv txdt1StmmgmxteSS下面先確定空氣阻尼系數(shù)。代入m=300，S=2r3/3=18得到 3505050133tgxte利用最小二乘擬合函數(shù)lsqcurvefit來確定參數(shù)。其中數(shù)據(jù)為t(s)0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30X(m) 500 470 425 372 317 264 215 160 10

6、8 55 1程序：function paric tdata=0:3:30;Xdata=500-500,470,425,372,317,264,215,160,108,55,1;r0=0.1;r=lsqcurvefit(paric1,r0,tdata,Xdata)x=paric1(r,tdata);plot(tdata,Xdata,tdata,x)end function f=paric1(r,tdata)f=50*9.8/(3*r*pi)*(tdata+50/3/r/pi*(exp(-3*r*pi*tdata/50)-1);end 計算得到 =2.9377下面的圖顯示了擬合效果。0510152

7、025300501001502002503003504004505001StmmgmxteSS落地時間t0滿足且 005001StmmgmteSS00()120Stmmgv teS由上面兩個式子可以求出m。一個最直接的模型是Logistic模型(1)dxxrxdtN其精確解為 0( )1 (1)rtNx tNex利用最小二乘法可以求出參數(shù)r,x0和N。但計算得到的x(50)=650萬2011 C題題 企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革企業(yè)退休職工養(yǎng)老金制度的改革養(yǎng)老金也稱退休金，是一種根據(jù)勞動者對社會所作貢獻及其所具備享受養(yǎng)老保險的資格，以貨幣形式支付的保險待遇，用于保障職工退休后的基本生活需要。我

8、國企業(yè)職工基本養(yǎng)老保險實行“社會統(tǒng)籌”與“個人賬戶”相結(jié)合的模式，即企業(yè)把職工工資總額按一定比例（20%）繳納到社會統(tǒng)籌基金賬戶，再把職工個人工資按一定比例（8%）繳納到個人賬戶。這兩個賬戶我們合稱為養(yǎng)老保險基金。退休后，按職工在職期間每月（或年）的繳費工資與社會平均工資之比（繳費指數(shù)），再考慮到退休前一年的社會平均工資等因素，從社會統(tǒng)籌賬戶中撥出資金（基礎(chǔ)養(yǎng)老金），加上個人工資賬戶中一定比例的資金（個人賬戶養(yǎng)老金），作為退休后每個月的養(yǎng)老金。養(yǎng)老金會隨著社會平均工資的調(diào)整而調(diào)整。如果職工死亡，社會統(tǒng)籌賬戶中的資金不退給職工，個人賬戶中的余額可繼承。個人賬戶儲存額以銀行當(dāng)時公布的一年期存款利率

9、計息，為簡單起見，利率統(tǒng)一設(shè)定為3%。養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關(guān)。近30年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平?，F(xiàn)在我國養(yǎng)老保險改革正處于過渡期。養(yǎng)老保險管理的一個重要的目標(biāo)是養(yǎng)老保險基金的收支平衡，它關(guān)系到社會穩(wěn)定和老齡化社會的順利過渡。影響?zhàn)B老保險基金收支平衡的一個重要因素是替代率。替代率是指職工剛退休時的養(yǎng)老金占退休前工資的比例。按照國家對基本養(yǎng)老保險制度的總體思路，未來基本養(yǎng)老保險的目標(biāo)替代率確定為58.5%

10、. 替代率較低，退休職工的生活水準低，養(yǎng)老保險基金收支平衡容易維持；替代率較高，退休職工的生活水準就高，養(yǎng)老保險基金收支平衡較難維持，可能出現(xiàn)缺口。所謂缺口，是指當(dāng)養(yǎng)老保險基金入不敷出時出現(xiàn)的收支之差。附件1是山東省職工歷年平均工資數(shù)據(jù)；附件2是2009年山東省某企業(yè)各年齡段職工的工資分布情況，附件3是養(yǎng)老金的計算辦法。請建立數(shù)學(xué)模型，解決如下問題：問題一：對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。問題二：根據(jù)附件2計算2009年該企業(yè)各年齡段職工工資與該企業(yè)平均工資之比。如果把這些比值看作職工繳費指數(shù)的

11、參考值，考慮該企業(yè)職工自2000年起分別從30歲、40歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），計算各種情況下的養(yǎng)老金替代率。問題三：假設(shè)該企業(yè)某職工自 2000年起從30歲開始繳養(yǎng)老保險，一直繳費到退休（55歲，60歲，65歲），并從退休后一直領(lǐng)取養(yǎng)老金，至75歲死亡。計算養(yǎng)老保險基金的缺口情況，并計算該職工領(lǐng)取養(yǎng)老金到多少歲時，其繳存的養(yǎng)老保險基金與其領(lǐng)取的養(yǎng)老金之間達到收支平衡。問題一：對未來中國經(jīng)濟發(fā)展和工資增長的形勢做出你認為是簡化、合理的假設(shè)，并參考附件1，預(yù)測從2011年至2035年的山東省職工的年平均工資。197519801985199019952000200

12、5201000.511.522.533.5x 104下面的圖是題目所給出的職工工資隨時間增長數(shù)據(jù)。許多同學(xué)分析這個問題的一個誤區(qū)是把這組數(shù)據(jù)看作無法分析機理的問題，即只能見黑箱模型。因此，一眼看上去像一個3次多項式，馬上利用三次多項式擬合，并利用這個多項式做預(yù)測得到下圖1970198019902000201020202030204020500123456x 105yearincome 預(yù) 測數(shù) 據(jù)人均達到五十五萬！先不談預(yù)測的正確與否，我們來分析問題是否沒有機理可以在建模中起作用。首先讀一下題目中下面段落：養(yǎng)老金的發(fā)放與職工在職時的工資及社會平均工資有著密切關(guān)系；工資的增長又與經(jīng)濟增長相關(guān)。近

13、30年來我國經(jīng)濟發(fā)展迅速，工資增長率也較高；而發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低。我國經(jīng)濟發(fā)展的戰(zhàn)略目標(biāo)，是要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平。這一段告訴我們：(1)職工工資逐年增長；(2)發(fā)達國家的經(jīng)濟和工資增長率都較低，而要在21世紀中葉使我國人均國民生產(chǎn)總值達到中等發(fā)達國家水平，因此工資增長率要逐年降低，到2050年到較低的水平。利用數(shù)學(xué)模型描述，就是：其中r(x)是單調(diào)減函數(shù)，且r(2050)很小。由于x(1978)=566，是一個很小的數(shù)，我們可以作變換y=x-1978. ( )dxr x xdt一個最直接的模型是Logistic模型(1)(0)566dyyry

14、ydtN其精確解為 0( )1 (1)rtNy tNey利用最小二乘法可以求出參數(shù)r,y0和N。但計算得到的y(50)=200萬1975198019851990199520002005201000.511.522.533.5x 104timeincome simulationdata擬合結(jié)果(好像不錯)19701980199020002010202020302040205001234567x 106timeincome simulationdata預(yù)測結(jié)果：到2050年人均650萬！(合理嗎？)模型的修改：修改后的模型與數(shù)據(jù)產(chǎn)生偏移。所以，模型和數(shù)據(jù)擬合的不太好。是不是可以改進模型呢？可以考慮

15、更一般的模型：1(0)566dyyryydtN問題：這個方程的解比較復(fù)雜，難以寫成解析形式。那么，如何對解作最小二乘擬合呢？ ( , , )yy t N r例3：城市表層土壤中重金屬污染的傳播在微分方程模型中，我們推導(dǎo)了問題的基本模型。設(shè)重金屬濃度為w(t,x,y)，流量q(t,x,y)，地勢高度h(x,y)，則設(shè) 是初始濃度，我們的問題是求反問題：已知當(dāng)t充分大時的w(t,x,y)如何得到y(tǒng)xzqqqwtxyzkw h q(0, , )wx y(0, , )wx yyxzqqqwtxyzkw h q上面式子是以w(t,x,y)為解函數(shù)的偏微分方程。但與普通微分方程的求解不同，我們不是根據(jù)初始條件w(0,x,y)求解w(t,x,y)求初始狀態(tài)w(0,x,y)。這樣的問題稱為反問題。上面僅僅是第一步，即建立了描述重金屬傳播的機理模型。下一步是利用數(shù)據(jù)來求解，最后得到所求的結(jié)果。這里，測試分析的技術(shù)將發(fā)揮重要作用。首先，方程的自變量是(t,x,y)。在空間位置上屬于直角坐標(biāo)。在對方程離散時，需要建立矩形網(wǎng)格(如圖)xyO(xi,yj)為什么要建立網(wǎng)格呢？在實際問題中，我們通常需要把連續(xù)的模型離散化。即只考慮一些離散的點。在這種情況下