第7章連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

1、信號(hào)與系統(tǒng)學(xué)習(xí)指導(dǎo)第七章 連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析利用拉普拉氏變換得到了信號(hào)的復(fù)頻域表達(dá)式，如果將系統(tǒng)的輸入輸出信號(hào)都用拉普拉斯變換表示，并將系統(tǒng)用其復(fù)頻域模型描述，這就得到了連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析方法。7.1 基本要求1基本要求¨ 掌握傳遞函數(shù)的概念及求法；¨ 掌握在復(fù)頻域中求解連續(xù)系統(tǒng)響應(yīng)的方法；¨ 了解方框圖的復(fù)頻域分析方法；¨ 熟練系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念及判斷方法；¨ 了解系統(tǒng)的時(shí)域、頻域、復(fù)頻域模型之間的相互轉(zhuǎn)換。2重點(diǎn)和難點(diǎn)¨ 傳遞函數(shù)的求法¨ 系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域求解方法¨ 系統(tǒng)穩(wěn)定性的判斷方法7.2 知識(shí)要點(diǎn)1傳遞

2、函數(shù)傳遞函數(shù)又稱為系統(tǒng)函數(shù)、傳輸函數(shù)、或轉(zhuǎn)移函數(shù)，其定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)和外加輸入的單邊拉普拉斯變換之比，即 （7-1）或者系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的單邊拉普拉斯變換，即 （7-2）以上兩式給出了求解系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法。此外，如果已知系統(tǒng)的傳輸算子，可以由下式得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即 （7-3）2系統(tǒng)響應(yīng)的復(fù)頻域求解根據(jù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，在求出了所有極點(diǎn)后，就可以將極點(diǎn)視為特征根，而采用與時(shí)域分析類似的方法求解得到系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，將系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與輸入信號(hào)的拉普拉斯變換相乘，即得到系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換，然后取拉普拉斯反變換即可得到系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。3方框圖的復(fù)頻域模型實(shí)際分析時(shí)有

3、兩種層次的方框圖，即用基本運(yùn)算單元構(gòu)成的方框圖和用子系統(tǒng)的相互連接構(gòu)成的方框圖。（1）基本運(yùn)算單元的復(fù)頻域模型數(shù)乘器、加法器的復(fù)頻域模型與時(shí)域模型相同，而微分器、積分器、延遲器的復(fù)頻域模型分別為s、1/s、e-st。復(fù)頻域分析時(shí)，將方框圖中所有的基本運(yùn)算單元用復(fù)頻域模型表示，所有信號(hào)用拉氏變換表示，然后列寫(xiě)方程，得到傳遞函數(shù)，再進(jìn)行其它的分析（例如求解系統(tǒng)的響應(yīng)）。（2）子系統(tǒng)的連接由若干子系統(tǒng)相互連接構(gòu)成大系統(tǒng)，典型的連接方式有串聯(lián)連接、并聯(lián)連接和反饋連接。每個(gè)子系統(tǒng)都有各自的數(shù)學(xué)模型和傳遞函數(shù)。一旦知道各子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)方框圖分析各子系統(tǒng)的連接關(guān)系，即可求得大系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，再進(jìn)一

4、步對(duì)大系統(tǒng)進(jìn)行分析。4連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性（1）穩(wěn)定的概念在系統(tǒng)理論中，系統(tǒng)穩(wěn)定的確切定義為，如果在任意有界輸入作用下，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出意義下的穩(wěn)定系統(tǒng)。（2）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件對(duì)一般的因果系統(tǒng)，穩(wěn)定的充要條件是其單位沖激響應(yīng)h(t)滿足傅里葉變換的絕對(duì)可積條件，即 （7-4）（3）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的判斷方法如果系統(tǒng)函數(shù)所有極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部，即都在s平面左半平面，則連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。只要有一個(gè)極點(diǎn)在右半平面或者在虛軸上，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。實(shí)際分析時(shí)，有勞斯-霍爾維茨判據(jù)等方法。5連續(xù)系統(tǒng)各種模型之間的相互轉(zhuǎn)換 （7-5） （7-6）需要說(shuō)明的是，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，

5、其單位沖激響應(yīng)才具有傅里葉變換，因而才能得到系統(tǒng)的頻率特性。不穩(wěn)定的系統(tǒng)是不具有頻率特性的。但不穩(wěn)定的系統(tǒng)同樣存在傳遞函數(shù)、傳輸算子和單位沖激響應(yīng)。因此，根據(jù)以上關(guān)系求系統(tǒng)的頻率特性時(shí)，首先必須分析系統(tǒng)是否穩(wěn)定，否則得到的H(jw)并不是系統(tǒng)的頻率特性。7.3 補(bǔ)充例題例7-1 已知系統(tǒng)的微分方程為（1）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)、頻率特性H(jw)；（2）求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)；（3）設(shè)y(0-)=1，y¢(0-)=0，f(t)=5etu(t)，求系統(tǒng)的全響應(yīng)y(t)。解 （1）由微分方程得到則系統(tǒng)函數(shù)為由于傳遞函數(shù)的極點(diǎn)為p1=3，p2=-2，其中p1位于s平面右半平面，所以系統(tǒng)不

6、穩(wěn)定，不存在頻率特性。（2）因?yàn)閷?duì)其取拉氏反變換得到（3）由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)可設(shè)零輸入響應(yīng)為求導(dǎo)得到代入初始條件得到聯(lián)解求得C1=0.4，C2=0.6，則輸入信號(hào)的拉氏變換為則零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換為取拉氏反變換得到則全響應(yīng)為說(shuō)明：本題是比較綜合的一個(gè)題目，涉及到了本章的大多數(shù)內(nèi)容，具體包括（1）傳遞函數(shù)的定義及求法；（2）系統(tǒng)的時(shí)域、頻域和復(fù)頻域模型之間的相互轉(zhuǎn)換；（3）系統(tǒng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的復(fù)頻域求解方法。例7-2 已知系統(tǒng)在輸入作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為，在輸入作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為。（1）求系統(tǒng)函數(shù)H(s)；（2）求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)。解 （1）已知的yf2(t)的拉氏變換為 根據(jù)系

7、統(tǒng)的復(fù)頻域分析方法又有其中根據(jù)拉氏變換的時(shí)域積分性質(zhì)有則將上式代入式得到其中又有 ，代入上式求得將代入上式得到（2）對(duì)H(s)求反變換得到例7-3 已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為，在輸入信號(hào)作用下f(t)的作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為，求輸入信號(hào)f(t)。解 根據(jù)單位階躍響應(yīng)的定義，g(t)對(duì)應(yīng)的輸入信號(hào)為單位階躍信號(hào)，并且則因此由 得到將和H(s)代入得到取拉氏反變換得到說(shuō)明：以上兩例是對(duì)傳遞函數(shù)的概念以及系統(tǒng)復(fù)頻域分析方法的一個(gè)靈活應(yīng)用。主要涉及到傳遞函數(shù)的概念、傳遞函數(shù)與系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的關(guān)系等基本問(wèn)題。同時(shí)復(fù)習(xí)了單位階躍響應(yīng)的概念。例7-4 如圖7-1（a）所示電路系統(tǒng)，已知輸入信號(hào)為電流i(t)，輸

8、出信號(hào)為電壓u(t)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)分別為，z1=-2，且H(0)=0.5。求電路參數(shù)R、L、C。i(t)u(t)CRLI(s)U(s)RLs （a） （b）圖7-1 例7-4圖解 首先畫(huà)出電路系統(tǒng)的復(fù)頻域模型如圖7-1（b）所示，由此求得則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 另一方面，根據(jù)已知的零極點(diǎn)可以設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其中有求得K=1，則 比較式和得到聯(lián)解求得 R=0.5W，L=0.25H，C=1F。說(shuō)明：本例主要涉及到如下知識(shí)點(diǎn)（1）傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)。根據(jù)零極點(diǎn)求傳遞函數(shù)的表達(dá)式的方法是：首先由零點(diǎn)和極點(diǎn)分別寫(xiě)出傳遞函數(shù)中分子和分母，再乘以常數(shù)K。其中的K由題目上另外已知的條件（例如本例中的H(0

9、)）確定；（2）電路系統(tǒng)的復(fù)頻域分析。求傳遞函數(shù)時(shí)，都假設(shè)電容、電感沒(méi)有初始儲(chǔ)能，因此電容和電感直接用其復(fù)頻域模型1/(Cs)和Ls表示，同時(shí)將電路中所有的信號(hào)用其拉氏變換表示，得到電路系統(tǒng)的復(fù)頻域模型，再據(jù)此求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。如果需要求零輸入響應(yīng)，則電容、電感的復(fù)頻域模型中必須考慮初始狀態(tài)，使得問(wèn)題比較復(fù)雜，僅作一般了解。例7-5 如圖7-2所示系統(tǒng)，已知，（1）求H2(s)；（2）為使子系統(tǒng)H2(s)穩(wěn)定，求實(shí)數(shù)K的取值范圍。H1(s)-KH2(s)F(s)Y(s)圖7-2 例7-5圖解 （1）根據(jù)方框圖求得由此求得（2）H2(s)的極點(diǎn)為p=K-3，為使其穩(wěn)定，必須滿足p=K-3<

10、;0，由此求得K<3。說(shuō)明：本例主要涉及到如下知識(shí)點(diǎn)（1）方框圖的復(fù)頻域分析。已知方框圖中各子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，為求整個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，直接利用相關(guān)公式求解。本例中子系統(tǒng)H1(s)與-K串聯(lián)，再與1相并聯(lián)，然后與H2(s)反饋后得到大系統(tǒng)。（2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性。注意本例中并不是考察大系統(tǒng)的穩(wěn)定，而是考慮子系統(tǒng)H2(s)的穩(wěn)定性。不管是大系統(tǒng)還是其中的子系統(tǒng)，都分別有穩(wěn)定性的問(wèn)題。穩(wěn)定性是系統(tǒng)的一個(gè)特性。7.4 補(bǔ)充練習(xí)7.1填空1）傳遞函數(shù)定義為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)與其輸入信號(hào)的 之比，或者系統(tǒng)的 的拉普拉斯變換。2）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)= ，單位階躍響應(yīng)g(t)= 。3）在方框圖的復(fù)頻域模型中，積分器用 表示，延遲器用 表示。4）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是其單位沖激響應(yīng)滿足 條件。5）當(dāng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都在s平面的 位置上時(shí)，連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6）已知系統(tǒng)的頻率特性為，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)= 。7.2已知系統(tǒng)的微分方程為1）求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)；