數(shù)字電子技術(shù)-第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

1、 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)概述概述第第 2 章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)章邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 邏輯函數(shù)及其邏輯函數(shù)及其表示方法表示方法邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法卡諾圖化簡法本章小結(jié)本章小結(jié) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求：主要要求： 理解邏輯值理解邏輯值 1 和和 0 的含義的含義。2.1 概概 述述理解邏輯體制的含義理解邏輯體制的含義。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù)用于描述客觀事物邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，又稱布爾代數(shù) ( (Boole Algebra) )或開關(guān)代數(shù)。或開關(guān)代

2、數(shù)。邏輯指事物因果關(guān)系的規(guī)律。邏輯指事物因果關(guān)系的規(guī)律。 邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個(gè)，邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個(gè)，通常用通常用 1和和 0 表示。表示。 與普通代數(shù)比較與普通代數(shù)比較用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。用字母表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。 相似處相似處 相異處相異處運(yùn)算規(guī)律有很多不同。運(yùn)算規(guī)律有很多不同。 一、一、邏輯代數(shù)邏輯代數(shù) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)中的邏輯代數(shù)中的 1 和和 0 不表示

3、數(shù)量大小，不表示數(shù)量大小，僅表示兩種相反的狀態(tài)。僅表示兩種相反的狀態(tài)。 注意注意例如：開關(guān)閉合為例如：開關(guān)閉合為 1 晶體管導(dǎo)通為晶體管導(dǎo)通為 1 電位高為電位高為 1 斷開為斷開為 0 截止為截止為 0 低為低為 0二、邏輯體制二、邏輯體制 正邏輯體制正邏輯體制 負(fù)邏輯體制負(fù)邏輯體制 規(guī)定高電平為邏輯規(guī)定高電平為邏輯 1、低電平為邏輯、低電平為邏輯 0 規(guī)定低電平為邏輯規(guī)定低電平為邏輯 1、高電平為邏輯、高電平為邏輯 0 通常未加說明，則為正邏輯體制通常未加說明，則為正邏輯體制 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求：主要要求： 掌握掌握邏輯代數(shù)的常用運(yùn)算邏輯代數(shù)的常用運(yùn)算。理解并初步掌握理解并初

4、步掌握邏輯函數(shù)的建立和表示的方法。邏輯函數(shù)的建立和表示的方法。 2.2 邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)及其表示方法 掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點(diǎn)及其掌握真值表、邏輯式和邏輯圖的特點(diǎn)及其相相互轉(zhuǎn)換的方法互轉(zhuǎn)換的方法。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)一、基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算一、基本邏輯函數(shù)及運(yùn)算 基本邏輯函數(shù)基本邏輯函數(shù) 與邏輯與邏輯 或邏輯或邏輯 非邏輯非邏輯與運(yùn)算與運(yùn)算( (邏輯乘邏輯乘) ) 或或運(yùn)算運(yùn)算( (邏輯加邏輯加) ) 非運(yùn)算非運(yùn)算( (邏輯非邏輯非) ) 1. 與邏輯與邏輯 決定某一事件的所有條件都具備時(shí)，該事件才發(fā)生決定某一事件的所有條件都具備時(shí)，該事件才發(fā)生滅滅斷斷斷斷亮亮合合合合

5、滅滅斷斷合合滅滅合合斷斷燈燈 Y開關(guān)開關(guān) B開關(guān)開關(guān) A開關(guān)開關(guān) A、B 都閉合時(shí)，都閉合時(shí)，燈燈 Y 才亮。才亮。 規(guī)定規(guī)定:開關(guān)閉合為邏輯開關(guān)閉合為邏輯 1斷開為邏輯斷開為邏輯 0 燈亮為邏輯燈亮為邏輯 1燈滅為邏輯燈滅為邏輯 0 真值表真值表11 1YA B00 000 101 0邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 Y = A B 或或 Y = AB 與門與門 ( (AND gate) )若有若有 0 出出 0；若全；若全 1 出出 1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 開關(guān)開關(guān) A 或或 B 閉合或兩者都閉合時(shí)，燈閉合或兩者都閉合時(shí)，燈 Y 才亮。才亮。2. 或邏輯或邏輯 決定某一事件的諸條件中，只要有一個(gè)

6、決定某一事件的諸條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，該事件就發(fā)生?；蛞粋€(gè)以上具備時(shí)，該事件就發(fā)生。滅滅斷斷斷斷亮亮合合合合亮亮斷斷合合亮亮合合斷斷燈燈 Y開關(guān)開關(guān) B開關(guān)開關(guān) A若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0邏輯表達(dá)式邏輯表達(dá)式 Y = A + B 或門或門 ( (OR gate) ) 1 3. 非邏輯非邏輯決定某一事件的條件滿足時(shí)，決定某一事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。 開關(guān)閉合時(shí)燈滅，開關(guān)閉合時(shí)燈滅， 開關(guān)斷開時(shí)燈亮。開關(guān)斷開時(shí)燈亮。 AY0110Y = A 1 非非門門( (NOT gate)

7、) 又稱又稱“反相器反相器” 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、常用復(fù)合邏輯運(yùn)算二、常用復(fù)合邏輯運(yùn)算 由基本邏輯運(yùn)算組合而成由基本邏輯運(yùn)算組合而成 與非與非邏輯邏輯( (NAND) )先與后非先與后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 010 001 1YA B10 111 001 1或非邏輯或非邏輯 ( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 110 0YA B00 101 0與或非邏輯與或非邏輯 ( (AND OR INVERT) )先與后或再非先與后或再非 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)異或邏輯異或邏輯 ( (Exclusive OR) )若相異出若相異出 1若相同

8、出若相同出 0同或邏輯同或邏輯 ( (Exclusive - NOR，即異或非，即異或非) )若相同出若相同出 1若相異出若相異出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意注意：異或和同或互為反函數(shù)，即：異或和同或互為反函數(shù)，即 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例例 試對應(yīng)輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。試對應(yīng)輸入信號波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。解：解：Y1有有0出出0 全全1出出1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1Y2Y3 相同出相同出 0 相異出相異出 1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)三、邏輯符號對照三、邏輯

9、符號對照 國家標(biāo)準(zhǔn)國家標(biāo)準(zhǔn)曾用標(biāo)準(zhǔn)曾用標(biāo)準(zhǔn)美國標(biāo)準(zhǔn)美國標(biāo)準(zhǔn) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)四、邏輯函數(shù)及其表示方法四、邏輯函數(shù)及其表示方法 邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關(guān)系。邏輯函數(shù)描述了某種邏輯關(guān)系。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。常采用真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖等表示。1. 真值表真值表 列出輸入變量的各種取值組合及其對列出輸入變量的各種取值組合及其對應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。應(yīng)輸出邏輯函數(shù)值的表格稱真值表。列列真真值值表表方方法法 ( (1) )按按 n 位二進(jìn)制數(shù)遞增的方式列位二進(jìn)制數(shù)遞增的方式列 出輸入變量的各種取值組合。出輸入變量的各種取值組合。( (2) ) 分

10、別求出各種組合對應(yīng)的輸出分別求出各種組合對應(yīng)的輸出 邏輯值填入表格邏輯值填入表格。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA輸出變量輸出變量 輸輸 入入 變變 量量 4 個(gè)輸入個(gè)輸入變量有變量有 24 = 16 種取種取值組合。值組合。的的真真值值表表。例例如如求求函函數(shù)數(shù) CDABY 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2. 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式 表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的表示輸出函數(shù)和輸入變量邏輯關(guān)系的 表達(dá)式。又稱邏輯表達(dá)式，簡稱邏輯式。表達(dá)

11、式。又稱邏輯表達(dá)式，簡稱邏輯式。 邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。邏輯函數(shù)式一般根據(jù)真值表、卡諾圖或邏輯圖寫出。 ( (1) )找出函數(shù)值為找出函數(shù)值為 1 的項(xiàng)。的項(xiàng)。( (2) )將這些項(xiàng)中輸入變量取值為將這些項(xiàng)中輸入變量取值為 1 的用原變量代替，的用原變量代替， 取值為取值為 0 的用反變量代替，則得到一系列與項(xiàng)。的用反變量代替，則得到一系列與項(xiàng)。( (3) )將這些與項(xiàng)相加即得邏輯式。將這些與項(xiàng)相加即得邏輯式。真值表真值表邏輯式邏輯式例如例如 ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111 邏輯式為邏輯式為 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏

12、輯代數(shù)基礎(chǔ)3. 邏輯圖邏輯圖 運(yùn)算次序?yàn)橄确呛笈c再或，因此用三級電路實(shí)現(xiàn)之。運(yùn)算次序?yàn)橄确呛笈c再或，因此用三級電路實(shí)現(xiàn)之。由邏輯符號及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。由邏輯符號及相應(yīng)連線構(gòu)成的電路圖。 根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法根據(jù)邏輯式畫邏輯圖的方法: :將各級邏輯運(yùn)算用將各級邏輯運(yùn)算用 相應(yīng)邏輯門去實(shí)現(xiàn)。相應(yīng)邏輯門去實(shí)現(xiàn)。 例如例如 畫畫 的邏輯圖的邏輯圖 反變量用非門實(shí)現(xiàn)反變量用非門實(shí)現(xiàn) 與項(xiàng)用與門實(shí)現(xiàn)與項(xiàng)用與門實(shí)現(xiàn) 相加項(xiàng)用或門實(shí)現(xiàn)相加項(xiàng)用或門實(shí)現(xiàn) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例例 圖示為控制樓道照明的開關(guān)電路。圖示為控制樓道照明的開關(guān)電路。兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)兩個(gè)單刀雙擲開關(guān) A 和和 B 分別安裝在

13、樓上分別安裝在樓上和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后和樓下。上樓之前，在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下關(guān)燈；反之，下樓之前，在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。試畫出控制功能與之相同的邏樓后關(guān)燈。試畫出控制功能與之相同的邏輯電路。輯電路。 ( (1) ) 分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表分析邏輯問題，建立邏輯函數(shù)的真值表11YA B000 01 10 11 0( (2) ) 根據(jù)真值表寫出邏輯式根據(jù)真值表寫出邏輯式解：解：方法：方法：找出輸入變量和輸出函數(shù)，找出輸入變量和輸出函數(shù)，對它們的取值作出邏輯規(guī)定，對它們的取值作出邏輯規(guī)定，然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出真值表。然后根據(jù)邏輯關(guān)系列出

14、真值表。 設(shè)開關(guān)設(shè)開關(guān) A、B合向左側(cè)時(shí)為合向左側(cè)時(shí)為 0 狀態(tài)，合向右側(cè)時(shí)為狀態(tài)，合向右側(cè)時(shí)為 1 狀態(tài)；狀態(tài)；Y 表表示燈，燈亮?xí)r為示燈，燈亮?xí)r為 1 狀態(tài)，燈滅時(shí)狀態(tài)，燈滅時(shí)為為 0 狀態(tài)。則可列出真值表為狀態(tài)。則可列出真值表為 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)( (3) ) 畫邏輯圖畫邏輯圖 與或表達(dá)式與或表達(dá)式( (可用可用 2 個(gè)非門、個(gè)非門、 2 個(gè)與門和個(gè)與門和 1 個(gè)或門實(shí)現(xiàn)個(gè)或門實(shí)現(xiàn)) )異或非表達(dá)式異或非表達(dá)式( (可用可用 1 個(gè)異個(gè)異或門和或門和 1 個(gè)非門實(shí)現(xiàn)個(gè)非門實(shí)現(xiàn)) ) BAABY BA = B設(shè)計(jì)邏輯電路的基本原則是使電路最簡。設(shè)計(jì)邏輯電路的基本原則是使電路最簡。

15、邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2.3邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則邏輯代數(shù)的基本定律和規(guī)則 主要要求：主要要求： 掌握邏輯代數(shù)的掌握邏輯代數(shù)的基本公式和基本定律基本公式和基本定律。 了解邏輯代數(shù)的重要規(guī)則了解邏輯代數(shù)的重要規(guī)則。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)一、基本公式一、基本公式 邏輯常量運(yùn)算公式邏輯常量運(yùn)算公式 邏輯變量與常量的運(yùn)算公式邏輯變量與常量的運(yùn)算公式 0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 10 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 1 律律重迭律重迭律 互補(bǔ)律互補(bǔ)律 還原律還原律 0 + A = A1 + A = 1 1 A = A0 A = 0

16、A + A = A A A = A 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、基本定律二、基本定律 ( (一一) ) 與普通代數(shù)相似的定律與普通代數(shù)相似的定律 交換律交換律 A + B = B + A A B = B A結(jié)合律結(jié)合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C)分配律分配律 A (B + C) = AB + AC A + BC = (A + B) (A + C) 普通代數(shù)沒有！普通代數(shù)沒有！ 利用真值表利用真值表 邏輯等式的邏輯等式的證明方法證明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)111111111100 例例

17、 證明等式證明等式 A + BC = (A + B) (A + C)解：解： 真值表法真值表法公式法公式法右式右式 = (A + B) (A + C) 用分配律展開用分配律展開 = AA + AC + BA+ BC= A + AC + AB + BC= A (1 + C + B) + BC= A 1 +BC= A + BC0000A B C A + BC (A + B) (A + C)0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) ( (二二) ) 邏輯代數(shù)的特殊定理邏輯代數(shù)的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A A + AB

18、 = A (1 + B) = A 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)001 1111 0110 1110 0A+BA BA B001 1001 0000 1110 0A BA+BA B ( (二二) ) 邏輯代數(shù)的特殊定理邏輯代數(shù)的特殊定理 吸收律吸收律 A + AB = A 推廣公式：推廣公式： 思考：思考：( (1) ) 若已知若已知 A + B = A + C，則，則 B = C 嗎？嗎？ ( (2) ) 若已知若已知 AB = AC，則，則 B = C 嗎？嗎？ 推廣公式：推廣公式：摩根定律摩根定律 ( (又稱反演律又稱反演律) ) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)三、重要規(guī)則三、重要規(guī)則 ( (一一)

19、 ) 代入規(guī)則代入規(guī)則 A A A A均用均用 代替代替A均用均用 代替代替B均用均用C代替代替利用代入規(guī)則能擴(kuò)展基本定律的應(yīng)用。利用代入規(guī)則能擴(kuò)展基本定律的應(yīng)用。 將邏輯等式兩邊的某一變量均用同將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個(gè)邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。一個(gè)邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)變換時(shí)注意：變換時(shí)注意：( (1) ) 不能改變原來的運(yùn)算順序。不能改變原來的運(yùn)算順序。( (2) ) 反變量換成原變量只對單個(gè)變量有效，而長非反變量換成原變量只對單個(gè)變量有效，而長非 號保持不變。號保持不變。 可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：

20、利用反演規(guī)則或摩根定律。利用反演規(guī)則或摩根定律。 原運(yùn)算次序?yàn)樵\(yùn)算次序?yàn)?( (二二) ) 反演規(guī)則反演規(guī)則 對任一個(gè)邏輯函數(shù)式對任一個(gè)邏輯函數(shù)式 Y，將，將“”換成換成“+”+”，“+”換成換成“”，“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，原變量換成反變量，反變量，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)換成原變量，則得到原邏輯函數(shù)的反函數(shù)。Y 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) ( (三三) ) 對偶規(guī)則對偶規(guī)則 對任一個(gè)邏輯函數(shù)式對任一個(gè)邏輯函數(shù)式 Y，將，將“”換成換成“+”+”，“+”+”換成換成“”，“0”換成換成“1”，“1”換成換成“0”，則得到原邏，則得到原邏

21、輯函數(shù)式的對偶式輯函數(shù)式的對偶式 Y 。 對偶規(guī)則：兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。對偶規(guī)則：兩個(gè)函數(shù)式相等，則它們的對偶式也相等。 應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴(kuò)展。應(yīng)用對偶規(guī)則可將基本公式和定律擴(kuò)展。 變換時(shí)注意：變換時(shí)注意：( (1) ) 變量不改變變量不改變 ( (2) ) 不能改變原來的運(yùn)算順序不能改變原來的運(yùn)算順序A + AB = A A (A + B) = A 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求：主要要求： 了解邏輯函數(shù)式的常見形式及其相互轉(zhuǎn)換。了解邏輯函數(shù)式的常見形式及其相互轉(zhuǎn)換。 了解邏輯函數(shù)的了解邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法代數(shù)化簡法。2.4 邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法邏輯函數(shù)的代

22、數(shù)化簡法 理解理解最簡與最簡與 - - 或式和最簡與非式或式和最簡與非式的標(biāo)準(zhǔn)。的標(biāo)準(zhǔn)。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 邏輯式有多種形式，采用何種形式視邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。需要而定。各種形式間可以相互變換。 一、一、邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換邏輯函數(shù)式的幾種常見形式和變換 例如例如 CBBAY )(CBBA CBBA CBBA BCBA 與或表達(dá)式與或表達(dá)式 或與表達(dá)式或與表達(dá)式 與非與非 - - 與非表達(dá)式與非表達(dá)式 或非或非 - - 或非表達(dá)式或非表達(dá)式 與或非表達(dá)式與或非表達(dá)式 轉(zhuǎn)換方法舉例轉(zhuǎn)換方法舉例 與或式與或式 與非式與非式 用還原律用

23、還原律 用摩根定律用摩根定律 CBBAY CBBA CBBA 或與式或與式 或非式或非式 與或非式與或非式 用還原律用還原律 用摩根定律用摩根定律 用摩根定律用摩根定律 )(CBBAY )(CBBA CBBA BCBA 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn)二、邏輯函數(shù)式化簡的意義與標(biāo)準(zhǔn) 化化簡簡意意義義使邏輯式最簡，以便設(shè)計(jì)出最簡的邏輯電路，使邏輯式最簡，以便設(shè)計(jì)出最簡的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。高系統(tǒng)可靠性。 不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取不同形式邏輯式有不同的最簡式，一般先求取最簡

24、與最簡與 - - 或式，然后通過變換得到所需最簡式。或式，然后通過變換得到所需最簡式。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)最簡與最簡與 - - 或式標(biāo)準(zhǔn)或式標(biāo)準(zhǔn) ( (1) )乘積項(xiàng)乘積項(xiàng)( (即與項(xiàng)即與項(xiàng)) )的個(gè)數(shù)最少的個(gè)數(shù)最少( (2) )每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量數(shù)最少每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量數(shù)最少 用與門個(gè)數(shù)最少用與門個(gè)數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少 最簡與非式標(biāo)準(zhǔn)最簡與非式標(biāo)準(zhǔn)( (1) )非號個(gè)數(shù)最少非號個(gè)數(shù)最少( (2) )每個(gè)非號中的變量數(shù)最少每個(gè)非號中的變量數(shù)最少 用與非門個(gè)數(shù)最少用與非門個(gè)數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少與非門的輸入端數(shù)最少 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)三、代數(shù)化簡法三、代數(shù)化

25、簡法 運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對邏輯式進(jìn)行化簡。公式對邏輯式進(jìn)行化簡。 并項(xiàng)法并項(xiàng)法 運(yùn)用運(yùn)用 ，將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。將兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量。 ABAAB CBACBAY BA )()(CBCBACBBCAY )(CBACBA A 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ))(FEABABY AB 吸收法吸收法 運(yùn)用運(yùn)用A+AB =A 和和 ，消去多余的與項(xiàng)。消去多余的與項(xiàng)。 CAABBCCAAB BDDCDAABCY BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)消去法消去法 運(yùn)用吸收律運(yùn)用吸收律 ，消去多余因

26、子。，消去多余因子。BABAA CBCAABY CBAAB)( CABAB CAB CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBABA 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)配項(xiàng)法配項(xiàng)法 通過乘通過乘 或加入零項(xiàng)或加入零項(xiàng) 進(jìn)行配項(xiàng)，然后再化簡。進(jìn)行配項(xiàng)，然后再化簡。1 AA0 AADCBADCABCBAB CBAB ABABCCAB ABABCCABAB )(ABABCABCAB CBAABC 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)綜合靈活運(yùn)用上述方法綜合靈活運(yùn)用上述方法 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式EFBADCCAABDAADY 解：解： EFBADCCAABAY DCCAA 應(yīng)

27、用應(yīng)用BABAA DCCA DCA 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式CBDBDAACY 解：解： 應(yīng)用應(yīng)用BABAA DABCBAC DCBAC 應(yīng)用應(yīng)用 AB CBACCBAC 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例例 化簡邏輯式化簡邏輯式CAABCBAY 解：解： YCAABCBA CABA 應(yīng)用應(yīng)用BABAA CBA CBAY CBA 用摩根定律用摩根定律 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)主要要求：主要要求： 掌握掌握最小項(xiàng)的概念與編號最小項(xiàng)的概念與編號方法，了解其主要性質(zhì)。方法，了解其主要性質(zhì)。掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數(shù)的方法。掌握用卡諾圖表示和化簡邏輯函數(shù)的方法。 理解理解卡諾圖的意義和卡諾圖的意義和構(gòu)

28、成原則。構(gòu)成原則。 掌握無關(guān)項(xiàng)的含義及其在卡諾圖化簡法中掌握無關(guān)項(xiàng)的含義及其在卡諾圖化簡法中的應(yīng)用。的應(yīng)用。 2.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)代數(shù)代數(shù)化簡法化簡法 優(yōu)點(diǎn)：對變量個(gè)數(shù)沒有限制。優(yōu)點(diǎn)：對變量個(gè)數(shù)沒有限制。缺點(diǎn)：需技巧，不易判斷是否最簡式。缺點(diǎn)：需技巧，不易判斷是否最簡式。 卡諾圖卡諾圖化簡法化簡法 優(yōu)點(diǎn)：簡單、直觀，有一定的步驟和方法優(yōu)點(diǎn)：簡單、直觀，有一定的步驟和方法 易判斷結(jié)果是否最簡。易判斷結(jié)果是否最簡。 缺點(diǎn)：適合變量個(gè)數(shù)較少的情況。缺點(diǎn)：適合變量個(gè)數(shù)較少的情況。 一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。一般用于四變量以下函數(shù)的化簡。 一、

29、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點(diǎn)一、代數(shù)化簡法與卡諾圖化簡法的特點(diǎn) 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)卡諾圖是最小項(xiàng)按一定卡諾圖是最小項(xiàng)按一定規(guī)則排列成的方格圖規(guī)則排列成的方格圖。 n 個(gè)變量有個(gè)變量有 2n 種組合，可對應(yīng)寫出種組合，可對應(yīng)寫出 2n 個(gè)乘積個(gè)乘積項(xiàng)，這些乘積項(xiàng)均具有下列項(xiàng)，這些乘積項(xiàng)均具有下列特點(diǎn)：特點(diǎn)：包含全部變量，包含全部變量，且每個(gè)變量在該乘積項(xiàng)中且每個(gè)變量在該乘積項(xiàng)中 ( (以原變量或反變量以原變量或反變量) )只只出現(xiàn)一次。出現(xiàn)一次。這樣的乘積項(xiàng)稱為這這樣的乘積項(xiàng)稱為這 n 個(gè)變量的最小個(gè)變量的最小項(xiàng)，也稱為項(xiàng)，也稱為 n 變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)。1. 最

30、小項(xiàng)的定義和編號最小項(xiàng)的定義和編號 ( (一一) )最小項(xiàng)的概念與性質(zhì)最小項(xiàng)的概念與性質(zhì)二、最小項(xiàng)與卡諾圖二、最小項(xiàng)與卡諾圖 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)如何編號？如何編號？如何根據(jù)輸入變量如何根據(jù)輸入變量組組合寫出相應(yīng)最小項(xiàng)？合寫出相應(yīng)最小項(xiàng)？例如例如 3 變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)有變量邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)有 23 = 8 個(gè)個(gè) 將輸入將輸入變量取值為變量取值為 1 的代以原變的代以原變量，取值為量，取值為 0 的代以反變的代以反變量，則得相量，則得相應(yīng)最小項(xiàng)。應(yīng)最小項(xiàng)。 簡記符號簡記符號例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00

31、0 10 0 0最小項(xiàng)最小項(xiàng)A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6m5m4m3m2m1m0輸入組合對應(yīng)輸入組合對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的十進(jìn)制數(shù)76543210 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)2. 最小項(xiàng)的基本性質(zhì)最小項(xiàng)的基本性質(zhì) ( (1) ) 對任意一最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為對任意一最小項(xiàng)，只有一組變量取值使它的值為 1， 而其余各種變量取值均使其值為而其余各種變量取值均使其值為 0。三三變變量量最最小小項(xiàng)項(xiàng)表表1100000001 1 11010000001 1 01001000001 0 11000100001 0 01000010000 1 11000001000 1

32、 01000000100 0 11000000010 0 0ABCm7m6m5m4m3m2m1m0A B C 120niimFCBACBACBABCACBACBACAB( (2) ) 不同的最小項(xiàng)，使其值為不同的最小項(xiàng)，使其值為 1 的那組變量取值也不同。的那組變量取值也不同。( (3) ) 對于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為對于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為 0。( (4) ) 對于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)的和為對于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)的和為 1。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例如例如ABC+ABC=AB3. 相鄰最小項(xiàng)相鄰最小項(xiàng) 兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反

33、變量，其余變量兩個(gè)最小項(xiàng)中只有一個(gè)變量互為反變量，其余變量均相同，稱為相鄰最小項(xiàng)，簡稱相鄰項(xiàng)。均相同，稱為相鄰最小項(xiàng)，簡稱相鄰項(xiàng)。 例如例如 三變量最小項(xiàng)三變量最小項(xiàng) ABC 和和 ABC 相鄰最小項(xiàng)相鄰最小項(xiàng)重要特點(diǎn)重要特點(diǎn)： 兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)相加可合并為一項(xiàng)，兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)相加可合并為一項(xiàng)， 消去互反變量，化簡為相同變量相與。消去互反變量，化簡為相同變量相與。 ( (二二) ) 最小項(xiàng)的卡諾圖表示最小項(xiàng)的卡諾圖表示 將將 n 變量的變量的 2n 個(gè)最小項(xiàng)用個(gè)最小項(xiàng)用 2n 個(gè)小方格表示，個(gè)小方格表示，并且并且使相鄰最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰使相鄰最小項(xiàng)在幾何位置上也相鄰且循環(huán)相鄰，這

34、樣排列得到的方格圖稱為這樣排列得到的方格圖稱為 n 變量最小項(xiàng)卡諾圖，變量最小項(xiàng)卡諾圖，簡稱為變量卡諾圖。簡稱為變量卡諾圖。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)變量取變量取 0 的代以反變量的代以反變量 取取 1 的代以原變量的代以原變量AB二二變變量量卡卡諾諾圖圖010 10 00 11 01 10 00 1AB010 1m0m1m2m3 0 1 2 3ABAAB BABABABAB四四變變量量卡卡諾諾圖圖 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10三三變變量量卡卡諾諾圖圖ABC0100 0111 10 m6 m7 m4 m2 m3000 m0 m5001 m1 6 7

35、 5 4 2 3 1 0ABCD0001111000 01 11 10 以循環(huán)碼排列以保證相鄰性以循環(huán)碼排列以保證相鄰性 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)變量取變量取 0 的代以反變量的代以反變量 取取 1 的代以原變量的代以原變量ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10ABCDCDDCDCDCBABAABBAABCDCDBADCBADCBADCBADCBADBCABCDACDBADCBADCBADCBADCABDCABDABCDCBA相鄰項(xiàng)相鄰項(xiàng)在在幾何位置幾何位置上也相鄰上也相鄰卡諾圖特點(diǎn)：卡諾圖特點(diǎn)：循環(huán)相鄰性循環(huán)

36、相鄰性同一列最同一列最上與最下上與最下方格相鄰方格相鄰?fù)恍凶钔恍凶钭笈c最右左與最右方格相鄰方格相鄰 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項(xiàng)？如何寫出卡諾圖方格對應(yīng)的最小項(xiàng)？ 已知最小項(xiàng)如何找相應(yīng)小方格？已知最小項(xiàng)如何找相應(yīng)小方格？ 例如例如 原變量取原變量取 1，反變量取，反變量取 0。DCBA1001 ？ABCD0001111000 01 11 10 ABCD DCBA 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 為了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，通常需要為了用卡諾圖表示邏輯函數(shù)，通常需要先求得真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與先求得真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或者與或式或者與 - - 或或表達(dá)式。因此，下面先介

37、紹標(biāo)準(zhǔn)與表達(dá)式。因此，下面先介紹標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式?；蚴健Ｈ魏涡问降倪壿嬍蕉伎梢赞D(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)任何形式的邏輯式都可以轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與與- -或式，而且邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式，而且邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或式是唯一的。是唯一的。 ( (一一) ) 邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或式 三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)的與每一個(gè)與項(xiàng)都是最小項(xiàng)的與 - - 或邏輯式或邏輯式稱為標(biāo)準(zhǔn)與稱為標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式，又稱最小項(xiàng)表達(dá)式?；蚴剑址Q最小項(xiàng)表達(dá)式。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)如何將如何將邏輯邏輯式轉(zhuǎn)化式轉(zhuǎn)化為為 標(biāo)準(zhǔn)與標(biāo)準(zhǔn)與- -或式呢或式呢 ？ 例例

38、 將邏輯式將邏輯式 化為標(biāo)準(zhǔn)與或式?；癁闃?biāo)準(zhǔn)與或式。DCABCBAY ( (3) ) 利用利用A+A=A，合并掉相同的最小項(xiàng)。，合并掉相同的最小項(xiàng)。0000m00001m11100m121101m131111m15= m0 + m1 + m12 + m13 + m15=m (0,1,12,13,15)ABCDDCABDCABDCBADCBAY 解：解：( (1) ) 利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。利用摩根定律和分配律把邏輯函數(shù)式展開為與或式。ABCBAY DC )(DCABCBA ABDCABCBA ( (2) ) 利用配項(xiàng)法化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。利用配項(xiàng)法化為標(biāo)準(zhǔn)與或式。DCABA

39、BCDDCABDCABDCBADCBA 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)( (二二) ) 用卡諾圖表示邏輯函數(shù)用卡諾圖表示邏輯函數(shù) ( (1) ) 求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與求邏輯函數(shù)真值表或者標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或者與或式或者與 - - 或式?；蚴健?( (2) ) 畫出變量卡諾圖。畫出變量卡諾圖。 ( (3) ) 根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與根據(jù)真值表或標(biāo)準(zhǔn)與 - - 或式或與或式或與 - - 或式填圖。或式填圖。 基基本本步步驟驟用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例用卡諾圖表示邏輯函數(shù)舉例 已知已知標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)與或與或式畫式畫函數(shù)函數(shù)卡諾卡諾圖圖 例例 試畫出函數(shù)試畫出函數(shù) Y = m (0,1,12,13,15) 的卡

40、諾圖的卡諾圖解：解： ( (1) ) 畫出四變量卡諾圖畫出四變量卡諾圖( (2) ) 填圖填圖 邏輯式中的最邏輯式中的最小項(xiàng)小項(xiàng) m0、m1、m12、m13、m15對對應(yīng)的方格填應(yīng)的方格填 1，其，其余不填。余不填。ABCD0001111000 01 11 10 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 1 1 1 1 1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)已已知知真真值值表表畫畫函函數(shù)數(shù)卡卡諾諾圖圖 例例 已知邏輯函數(shù)已知邏輯函數(shù) Y 的的 真值表如下，試畫真值表如下，試畫 出出 Y 的卡諾圖。的卡諾圖。解：解：( (1) ) 畫畫 3 變量卡諾圖。變量卡諾圖。A B

41、 CY0 0 010 0 100 1 010 1 101 0 011 0 101 1 011 1 10ABC0100 0111 10 6 7 5 4 2 3 1 0m0m2m4m6 1 1 1 1( (2) )找出真值表中找出真值表中 Y = 1 對應(yīng)的最小項(xiàng)，在對應(yīng)的最小項(xiàng)，在 卡諾圖相應(yīng)方格中卡諾圖相應(yīng)方格中 填填 1，其余不填。，其余不填。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)已已知知一一般般表表達(dá)達(dá)式式畫畫函函數(shù)數(shù)卡卡諾諾圖圖解：解：( (1) ) 將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式( (2) ) 作變量卡諾圖作變量卡諾圖找出各與項(xiàng)所對應(yīng)的最小找出各與項(xiàng)所對應(yīng)的最小項(xiàng)方格填項(xiàng)方格填 1，其余

42、不填。，其余不填。 例例 已知已知 ，試畫出，試畫出 Y 的卡諾圖。的卡諾圖。)(BDCABDAY ABDAY )(BDC CBDABCD0001111000 01 11 10( (3) ) 根據(jù)與或式填圖根據(jù)與或式填圖 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB 對應(yīng)最小項(xiàng)為對應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足同時(shí)滿足 A = 1， B = 1 的方格。的方格。 ABDABCD 對應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足對應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足 B = 1，C = 0，D = 1的方格的方格AD 對應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足對應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足 A = 0，D = 1的方格。的方格。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)四、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)四、用

43、卡諾圖化簡邏輯函數(shù) 化簡規(guī)律化簡規(guī)律2 個(gè)相鄰個(gè)相鄰最小項(xiàng)有最小項(xiàng)有 1 個(gè)變量相異，相加可以個(gè)變量相異，相加可以消消去去這這 1 個(gè)變量個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；，化簡結(jié)果為相同變量的與；4 個(gè)相鄰個(gè)相鄰最小項(xiàng)有最小項(xiàng)有 2 個(gè)變量相異，相加可以消個(gè)變量相異，相加可以消去這去這 2 個(gè)變量個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；，化簡結(jié)果為相同變量的與；8 個(gè)相鄰最小項(xiàng)有個(gè)相鄰最小項(xiàng)有 3 個(gè)變量相異，相加可以消個(gè)變量相異，相加可以消去這去這 3 個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量的與；2n 個(gè)相鄰個(gè)相鄰最小項(xiàng)有最小項(xiàng)有 n 個(gè)變量相異，相加可以個(gè)變量相異，相加可以消去

44、消去這這 n 個(gè)變量個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量的與。，化簡結(jié)果為相同變量的與。消消異異存存同同 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)ABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 1 個(gè)變量，化簡結(jié)果個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10 1 1例如例如 2 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 1 個(gè)變量，化簡結(jié)果個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量相與。為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000 01 11 10例如例如 1 1 1 1 ABCD+ABC

45、D+ABCD+ABCD=ACD+ACD =AD 4 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 2 個(gè)變量，個(gè)變量，化簡結(jié)果為相同變量相與?；喗Y(jié)果為相同變量相與。8 個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去 3 個(gè)變量個(gè)變量A 1 1 1 1 1 1 1 1 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)畫包圍圈規(guī)則畫包圍圈規(guī)則 包圍圈必須包含包圍圈必須包含 2n 個(gè)相鄰個(gè)相鄰 1 方格，且必須成方形。方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重復(fù)圈，但方格可重復(fù)圈，但須每圈有新須每圈有新 1；每個(gè)；每個(gè)“1”格須圈到，孤立項(xiàng)也不能掉。格須圈到，孤立項(xiàng)也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相

46、鄰，可畫圈；同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈； 同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個(gè)角上的四個(gè)角上的 1 方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。 注意注意 ABCD+ABCD+ABCD+ABCD 卡諾卡諾 圖化圖化 簡法簡法 步驟步驟 畫函數(shù)卡諾圖畫函數(shù)卡諾圖 將各圈分別化簡將各圈分別化簡 對填對填 1 的相鄰最小項(xiàng)方格畫包圍圈的相鄰最小項(xiàng)方格畫包圍圈 將各圈化簡結(jié)果邏輯加將各圈化簡結(jié)果邏輯加 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)m15 m9 m7 m6 m5 m4 m2 m0解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用

47、卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1( (3) )畫包圍圈畫包圍圈abcd( (4) )將各圖分別化簡將各圖分別化簡圈圈 2 個(gè)可消去個(gè)可消去 1 個(gè)變量，化個(gè)變量，化簡為簡為 3 個(gè)相同變量相與。個(gè)相同變量相與。Yb = BCD圈圈 4 個(gè)可消去個(gè)可消去 2 個(gè)變量，化個(gè)變量，化簡為簡為 2 個(gè)相同變量相與。個(gè)相同變量相與。孤立項(xiàng)孤立項(xiàng) Ya=ABCDYc = AB循環(huán)相鄰循環(huán)相鄰 Yd = AD( (5) )將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最

48、簡與或式將各圖化簡結(jié)果邏輯加，得最簡與或式DABABCDDCBAY 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù) Y(A,B,C,D)=m (0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填卡諾圖填卡諾圖 1 1 1 1 1 1 1 1( (4) )求最簡與或式求最簡與或式 Y= 1BDA消消 1 個(gè)剩個(gè)剩 3 個(gè)個(gè)( (3) )畫圈畫圈BCD 消消 2 個(gè)剩個(gè)剩 2 個(gè)個(gè)DA 4 個(gè)角上的最小個(gè)角上的最小項(xiàng)循環(huán)相鄰項(xiàng)循環(huán)相鄰DB 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)找找 A

49、B =11, C = 1 的公共區(qū)域的公共區(qū)域找找 A = 1, CD = 01 的公共區(qū)域的公共區(qū)域找找 B = 1, D = 1 的公共區(qū)域的公共區(qū)域解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填圖填圖 1 1( (4) )化簡化簡( (3) )畫圈畫圈 例例 用卡諾圖化簡邏輯用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)函數(shù)BDABCDCADCBACDBAY 0011m30100m4 1 1 1 1 1 1 1 1要畫嗎？要畫嗎？CBADCA ABC CDA Y = 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例例 已知某邏輯函數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最已知某邏輯函

50、數(shù)的卡諾圖如下所示，試寫出其最 簡與或式。簡與或式。ABCD0001111000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1解：解： 0 方格很少且為相方格很少且為相鄰項(xiàng)，故用圈鄰項(xiàng)，故用圈 0 法先求法先求 Y 的最簡與或式。的最簡與或式。ABCY ABCYY CBA 1111111111 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例例 已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡與或式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 111 0 011 0 101 1 011 1 11注意：注意：該卡諾該卡諾圖還有圖

51、還有其他畫其他畫圈法圈法可見，最簡可見，最簡結(jié)果未必唯一。結(jié)果未必唯一。解：解：( (1) )畫函數(shù)卡諾圖畫函數(shù)卡諾圖ABC0100 0111 10 1 1 1 1 1 1( (3) )化簡化簡( (2) )畫圈畫圈Y =CBCA AB BCCABAY 1 1 1 1 1 1ABC0100 0111 10 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 約束項(xiàng)和隨意項(xiàng)都不會在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)，所對約束項(xiàng)和隨意項(xiàng)都不會在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)，所對應(yīng)函數(shù)值視為應(yīng)函數(shù)值視為 1 或或 0 都可以，故稱無關(guān)項(xiàng)。都可以，故稱無關(guān)項(xiàng)。 不允許出現(xiàn)的不允許出現(xiàn)的無關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng)又稱約束項(xiàng)；客觀上不會又稱約束項(xiàng)；客觀上不會出現(xiàn)的出現(xiàn)的無關(guān)項(xiàng)無

52、關(guān)項(xiàng)又稱隨意項(xiàng)。又稱隨意項(xiàng)。 五、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡五、具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡 合理利用無關(guān)項(xiàng)可使邏輯式更簡單合理利用無關(guān)項(xiàng)可使邏輯式更簡單 1. 無關(guān)項(xiàng)的概念與表示無關(guān)項(xiàng)的概念與表示 無關(guān)項(xiàng)是特殊的最小項(xiàng)，這種最小項(xiàng)所對應(yīng)的無關(guān)項(xiàng)是特殊的最小項(xiàng)，這種最小項(xiàng)所對應(yīng)的變變量取值組合或者量取值組合或者不允許出現(xiàn)不允許出現(xiàn)或者根本或者根本不會出現(xiàn)不會出現(xiàn)。 無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖和真值表中用無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖和真值表中用“ ”“ ”來標(biāo)記，來標(biāo)記，在邏輯式中則用字母在邏輯式中則用字母 d 和相應(yīng)的編號表示。和相應(yīng)的編號表示。 例如例如 8421 碼中，碼中，1010 1111這這 6 種代碼是不允許

53、出現(xiàn)的。種代碼是不允許出現(xiàn)的。 例如例如 A、B 為連動互鎖開關(guān)，為連動互鎖開關(guān)，設(shè)開為設(shè)開為 1 , 關(guān)為關(guān)為 0 , 則則 AB 只能取只能取值值 01 或或 10 , 不會出現(xiàn)不會出現(xiàn) 00 或或 11。 2. 利用無關(guān)項(xiàng)化簡邏輯函數(shù)利用無關(guān)項(xiàng)化簡邏輯函數(shù) 無關(guān)項(xiàng)的無關(guān)項(xiàng)的取值對邏輯函數(shù)值沒有影響。取值對邏輯函數(shù)值沒有影響。化簡時(shí)應(yīng)視需要將無關(guān)項(xiàng)方格看作化簡時(shí)應(yīng)視需要將無關(guān)項(xiàng)方格看作 1 或或 0 ，使包圍圈使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡。最少而且最大，從而使結(jié)果最簡。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)將將 d10 看成看成 0,其余其余看成看成 1 將將看成看成 0 ABCD000111

54、1000 01 11 10 1 1 1 1 1 1 顯然左圖化簡結(jié)果最簡顯然左圖化簡結(jié)果最簡 解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖 例例 用卡諾圖化簡用卡諾圖化簡函數(shù)函數(shù) Y=m (0,1,4,6,9,13)+ d (2,3,5,7,10,11,15)ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填圖填圖 1 1 1 1 1( (4) )寫出最簡與寫出最簡與 - - 或式或式最小項(xiàng)最小項(xiàng)( (3) )畫包圍圈畫包圍圈無關(guān)項(xiàng)無關(guān)項(xiàng) 1 AY D 0 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ) 例例 已知函數(shù)已知函數(shù) Y 的的真值真值 表如下，求其最簡表如下，求其最簡 與與 - - 或式。或

55、式。A B CY0 0 010 0 110 1 000 1 11 0 001 0 111 1 001 1 10解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖ABC0100 0111 10 1 1 1( (4) )寫出寫出最簡與最簡與 - - 或式或式( (2) )填圖填圖( (3) )畫包圍圈畫包圍圈 BAY CB 要畫圈嗎？要畫圈嗎？ 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)解：解：( (1) )畫變量卡諾圖畫變量卡諾圖ABCD0001111000 01 11 10( (2) )填圖填圖( (4) )求最簡與求最簡與 - - 或式或式( (3) )畫包圍圈畫包圍圈 1 1 1 1 求最簡與非式基本方法是：求

56、最簡與非式基本方法是：先求最簡與或式，再利用還原律先求最簡與或式，再利用還原律和摩根定律變換為最簡與非式。和摩根定律變換為最簡與非式。 例例 求求函數(shù)函數(shù) 的最簡與非式的最簡與非式BDADBACBAY 0 ACAB 1 1 BDY DB A ( (5) )求最簡與非式求最簡與非式BDDBAY ADB BD 分析題意分析題意稱約束條件，表明與項(xiàng)稱約束條件，表明與項(xiàng) AB 和和 AC 對應(yīng)的最小項(xiàng)不允許出現(xiàn)，因此對應(yīng)的最小項(xiàng)不允許出現(xiàn)，因此 AB 和和 AC 對應(yīng)的方格為無關(guān)項(xiàng)。對應(yīng)的方格為無關(guān)項(xiàng)。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)本章小結(jié)本章小結(jié)分析數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具是邏輯代數(shù)，它的分析數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工

57、具是邏輯代數(shù)，它的定律有的和普通代數(shù)類似，如交換律、結(jié)合定律有的和普通代數(shù)類似，如交換律、結(jié)合律和第一種形式的分配律；但很多與普通代律和第一種形式的分配律；但很多與普通代數(shù)不同，如吸收律和摩根定律。須注意：邏數(shù)不同，如吸收律和摩根定律。須注意：邏輯代數(shù)中無減法和除法。輯代數(shù)中無減法和除法。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯函數(shù)和邏輯變量的取值都只有兩個(gè)，邏輯函數(shù)和邏輯變量的取值都只有兩個(gè)，即即 0 或或 1。須注意：。須注意：邏輯代數(shù)中的邏輯代數(shù)中的 0 和和 1 并并不表示數(shù)量大小，僅用來表示兩種截然不不表示數(shù)量大小，僅用來表示兩種截然不同的狀態(tài)。同的狀態(tài)。 正邏輯體制規(guī)定高電平為邏輯正邏輯體制

58、規(guī)定高電平為邏輯 1、低電平為、低電平為邏輯邏輯 0；負(fù)邏輯體制則規(guī)定低電平為邏輯負(fù)邏輯體制則規(guī)定低電平為邏輯 1、高電平為邏輯高電平為邏輯 0。未加說明則默認(rèn)為正邏輯。未加說明則默認(rèn)為正邏輯體制。體制。 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)基本邏輯運(yùn)算有與運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算有與運(yùn)算( (邏輯乘邏輯乘) )、或運(yùn)算、或運(yùn)算( (邏邏輯加輯加) ) 和非運(yùn)算和非運(yùn)算( (邏輯非邏輯非) )3 種。常用復(fù)合邏輯種。常用復(fù)合邏輯運(yùn)算有與非運(yùn)算、或非運(yùn)算、與或非運(yùn)算、異運(yùn)算有與非運(yùn)算、或非運(yùn)算、與或非運(yùn)算、異或運(yùn)算和同或運(yùn)算。或運(yùn)算和同或運(yùn)算。 與運(yùn)算與運(yùn)算或或運(yùn)算運(yùn)算非運(yùn)算非運(yùn)算 Y=AB 或或 Y=AB若有若有

59、 0 出出 0若全若全 1 出出 1 Y=AB 若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)與非運(yùn)算與非運(yùn)算或非或非運(yùn)算運(yùn)算與或非運(yùn)算與或非運(yùn)算有有 0 出出 1;全全 1 出出 0有有 1 出出 0;全全 0 出出 1相異出相異出 1相同出相同出 0相同出相同出 1相異出相異出 0異或運(yùn)算異或運(yùn)算同或同或運(yùn)算運(yùn)算 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯代數(shù)基礎(chǔ)邏輯函數(shù)常用的表示方法有：真值表、邏輯邏輯函數(shù)常用的表示方法有：真值表、邏輯函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖。函數(shù)式、卡諾圖和邏輯圖。 不同表示方法各有特點(diǎn)，適宜不同的應(yīng)用。不同表示方法各有特點(diǎn)，適宜不同的應(yīng)用?？ㄖZ圖卡諾圖主要用于化簡邏輯式。主要用于化簡邏輯式。真值表真值表通常用于分析邏輯函數(shù)的功能、根據(jù)通常用于分析邏輯函數(shù)的功能、根據(jù)邏輯功能要求建立邏輯函數(shù)和證明邏輯等式等。邏輯功能要求建立邏輯函數(shù)和證明邏輯等式等。邏輯式邏輯式便于進(jìn)行運(yùn)算和變換。在分析電路便于進(jìn)行運(yùn)算和變換。在分析電路邏輯功能時(shí)，通常首先要根據(jù)邏輯圖寫出邏輯邏輯功能時(shí)，通常首先要根據(jù)邏輯圖寫出邏輯式；而設(shè)計(jì)邏輯電路時(shí)需要先寫出邏輯式，然式；而設(shè)計(jì)邏輯電路時(shí)需要先寫出