立體圖形的認(rèn)識,及計算整理和復(fù)習(xí)

1、六年級數(shù)學(xué)（下）整理和復(fù)習(xí)圖形與幾何立體圖形的認(rèn)識及計算整理和復(fù)習(xí)整理教師：劉新民一、基礎(chǔ)知識整理（一）長方體和正方體的特征。1. 長方體和正方體的異同。（1）相同點(diǎn)：它們都有6個面，12條棱和8個頂點(diǎn)。（2）不同點(diǎn)。長方體的6個面一般都是長方形（特殊的情況下有2個相對的面是正方形），相對的面完全相同，相對的棱的長度相等，從上、下、左、右、前、后看一般都是長方形，特殊情況下看到的可能是正方形。邊長高正方體的6個面都是完全相同的正方形；12條棱的長度都相等，從上、下、左、右、前、后看到的都是長方形。寬長2. 長、寬、高的意義。相交于同一頂點(diǎn)的三條棱的長度分別叫長方體的長、寬、高，12條棱分成長、

2、寬、高3組，每組4條，如果用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高，那么長方體的棱長總和可以表示為4（a+b+h）；正方體是長、寬、高都相等的特殊的長方體，如果用a表示正方體的邊長，那么正方體的棱長總和可以表示為12a。（二）正方體的平面展開圖及特點(diǎn)。1. 正方體的平面展開圖的形式形式一：上面有1個正方形，中間有4個正方形，下面有1個正方形，這樣的展開圖可以折疊成正方體，相同的顏色是它的相對面。如下圖所示稱作（1、4、1）型展開圖形式二：上面有2個正方形，中間有3個正方形，下面有1個正方形，這樣的展開圖可以折疊成正方體，相同的顏色是它的相對面。如下圖所示稱為（2、3、1）形展開圖形式三：上、中、

3、下各有2個正方形，這樣的展開圖可以折疊成正方體，相同的顏色是它的相對面。如下圖所示稱為（2、2、2）形展開圖形式四：僅有2行，每行有3個正方形，這樣的展開圖可以折疊成正方體，相同的顏色是它的相對面。如下圖所示稱為（3、3）形展開圖2. 正方體平面展開圖的特點(diǎn)：（1）當(dāng)我們從正方體的某個頂點(diǎn)出發(fā)，最多只能觀察到三個面，這三個面中必包括三組相對面中的各一個，且兩個相對的面不能被同時看到。 （2）平面展開圖形中的每一個正方形至少有一邊與其他正方形相連。 （3）正方體的平面展開圖中一個公共頂點(diǎn)處最多只能出現(xiàn)三個正方形，與一個正方形相鄰的正方形最多只能有四個。 （4）正方體中原來處于相對位置上的兩個面，

4、展開后的正方形無公共頂點(diǎn)和公共邊；反之，有公共頂點(diǎn)或公共邊的兩個正方形折疊成正方體后，必成為相鄰面，不可能成為相對面。注意：凡是出現(xiàn)“田”字形、“凹”字形、五連長鏈和六連長鏈均不是正方體的平面展開圖。3. 巧記正方體展開圖的兒歌。 中間4個一連串，兩邊各一隨便放，二三緊連錯一個，三一相連一隨便。 兩兩相連各錯一，三個兩排一對齊。要找兩個相對面，切記相隔一個面。（三）圓柱和圓錐的特征。1. 圓柱的特征。高（1）圓柱有3個面，上、下兩個底面是大小相同的圓，側(cè)面是個曲面。底面（2）圓柱兩個底面之間的距離叫做圓柱的高。它有無數(shù)條高。（3）圓柱沿側(cè)面上的高展開后是長方形或正方形（底面周長和高相等）。（4

5、）以長方形或正方形的一條邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，該邊就是圓柱的半徑。（5）從上、下看是個圓，從側(cè)面看是個長方形或正方形（底面直徑和高相等）。高2. 圓錐的特征。（1）圓錐有2個面，它的底面是圓，側(cè)面是曲面。底面（2）圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離叫做圓錐的高，圓錐只有一條高。（3）以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐，該直角邊就是圓錐的高，另一條直角邊就是圓錐底面的半徑。（4）從上面看，會看到 ，從下面看，會看到一個圓，從側(cè)面看，會看到一個等腰三角形或等邊三角形（三邊等于圓錐底面的直徑）。（四）立體圖形的表面積和體積1. 表面積：一個立體圖形所有面的面積總和，叫做它的表面積，又叫它的全面積

6、。2. 體積：一個立體圖形所占空間的大小叫做它的體積。3. 立體圖形的側(cè)面積、表面積和體積的計算公式。（1）立體圖形的側(cè)面積計算公式長方體的側(cè)面積=（長×高+寬×高）×2=（長+寬）×2×高=底面周長×高，如果用C表示底面周長，用S表示側(cè)面積，用h表示高，那么長方體的側(cè)面積用字母表示為S=Ch。正方體的側(cè)面積=邊長×邊長×4，如果用S表示側(cè)面積，用a表示邊長，那么正方體的側(cè)面積用字母可表示為S=4a²。圓柱的側(cè)面積=底面周長×高，如果用S表示圓柱的側(cè)面積，用r表示底面半徑，用h表示圓柱的高，那么

7、圓柱的側(cè)面積用字母可表示為S=2rh。（2）立體圖形的表面積計算公式長方形的表面積=（長×寬+寬×高+長×高）×2，如果用字母S表示長方體的表面積，用a、b、h分別表示長方體的長、寬、高，那么長方體的表面積用字母可表示為S=（ab+bh+ah）×2。正方體的表面積=邊長×邊長×6，如果用字母S表示正方體的表面積，用a表示正方體的邊長，那么正方體的表面積用字母可表示為S=6a²。圓柱的表面積=側(cè)面積+底面積×2，若果用S表示圓柱的表面積，r表示底面半徑，h表示高，那么圓柱的表面積用字母可表示為S=2rh+2

8、r²=2r（h+r）。（3）立體圖形的體積計算公式。長方體的體積=長×寬×高=底面積×高，如果用字母V表示長方體的體積，用a、b、h分別表示它的長、寬、高，用S表示它的底面積，那么長方體的體積可表示為V=abh=Sh。正方體的體積=棱長×棱長×棱長=底面積×高，如果用字母V表示正方體的體積，用a表示它的棱長，用h表示正方體的高，那么正方體的體積用字母可表示為V=a³=Sh。圓柱的體積=底面積×高，如果用字母V表示圓柱的體積，用r表示底面半徑，用h表示高，那么圓柱的體積用字母可表示為V=r²h。圓

9、錐的體積=底面積×高×，如果用字母V表示圓錐的體積，用r表示底面半徑，用h表示高，那么圓錐的體積用字母可表示為V=r²h。（4）圓柱與圓錐之間的關(guān)系。一個圓錐的體積是和它等底等高的圓柱體積的；反過來，一個圓柱的體積是和它等底等高的圓錐體積的3倍。（5）體積和容積的異同。不同點(diǎn)a. 意義不同：物體所占空間的大小，叫做物體的體積；一個容器所能容納的物體的體積。b. 測量方法不同：求物體的體積是從該物體的外面來測量長、寬、高；求物體的容積是從該物體的內(nèi)部來測量長、寬、高。c. 單位名稱不同：體積單位一般用立方米、立方分米、立方厘米，計算液體的體積一般用升或毫升；容積一般

10、就用體積單位，盛放液體的容器，求容積時要用升或毫升。相同點(diǎn)：計算公式相同，長（正）方體的體（容）積=長×寬×高=底面積×高；圓柱的體（容）積=底面積×高；圓錐的體（容）積=底面積×高×。二、例題精講例1、一個游泳池的長是80m，寬是60m，深是2.5m，在它的四周和底部抹水泥，如果每平方米需要水泥6，一共需要水泥多少千克？這個游泳池最多可以裝水多少立方米？分析與解答：這道題要求乙共需要多少千克的水泥，由于每平方米需要水泥6，所以應(yīng)該先求出抹水泥的面積是多少平方米，即（80+60）×2×2.5+80×60=

11、5500（平方米），那么一共需要水泥5500×6=33000（）；求這個游泳池最多可以裝水多少立方米，就是求這個游泳池的體積，即80×60×2.5=12000（m³） 。例2、做下面這個水桶大約需要多少平方分米的鐵皮？（得數(shù)保留整數(shù)）分析與解答：需要多少平方米的鐵皮，就是求水桶的表面積，因?yàn)樗盁o蓋dm3.84dm，所以它的表面積應(yīng)該是底面積與側(cè)面積的和，再用“進(jìn)一法”求這個數(shù)的近似數(shù)，它的側(cè)面積為3.14×4×3.8=47.728（dm²），底面積為3.14×（）²=12.56（dm²），那么

12、共需要鐵皮47.728+12.5661（平方分米）。例3、把一個底面直徑為4，高是9的圓錐形鉛錘完全浸沒在住滿水的底面周長是25.12的圓柱形容器中，當(dāng)鉛錘從水中取出后，容器中的水面下降了幾厘米？分析與解答：由題意可知，當(dāng)鉛錘從水中取出后，容器中水面下降的體積就是圓錐形鐵錘的體積，即容器中水面下降的體積=×3.14×（）²×9=37.68（²） ，容器的底面積為3.14×（）²=50.24（²），故容器中的水面下降的高為37.68÷50.24=0.75（厘米）。例4、把一根長1m，底面直徑是2dm的圓柱形

13、鋼材截成4段，表面積增加了多少？分析與解答：把它截成4段，是將它截了4-1=3（次），而每次都要增加兩個底面，3次增加2×3=6（個）底面，所以表面積增加了3.14×（）²×6=18.84（dm²）。AA例5、把直角三角形ABC沿BC邊和AB邊分別旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個圓錐（如下圖），哪個圓錐的體積大？A4CB（2）（1）C3CB3分析與解答：如果以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周，得到如圖（1）所示的圓錐，那么這個圓錐的半徑為4，高為3，則該圓錐的體積為×3.14×4²×3=50.24（³）如果以AB為軸旋轉(zhuǎn)一周

14、，得到如圖（2）所示的圓錐，那么這個圓錐的半徑為3，高為4，則該圓錐的體積為×3.14×3²×4=31.68（³）?？偨Y(jié)：在以直角三角形的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的圓錐中，以較短的直角邊為軸旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的體積比較大。三、精練考題1. 填空。（1）一個正方體的棱長總和是60，那么它的表面積是（ ）²，體積是（ ）³。（2）用一根72長的鐵絲做成一個長方體框架（接頭處不計），已知長、寬、高的比是3:2:1，這個長方體框架最大的一個面的面積是（ ）²。（3）把一個高為18的圓錐形容器盛滿水，將這些水全部倒入和圓錐形容器等底的

15、圓柱形容器里，水的高度是（ ）。（4）一個圓柱的側(cè)面展開圖是正方形，已知它的底面周長是31.4，它的體積是（ ）。（5）一個圓柱，如果把它的高截短3，表面積就減少12.56²它的底面半徑是（ ），體積減少了（ ）³。2. 選擇。（1）一個正方體法棱長擴(kuò)大到原來的3倍，它的體積就擴(kuò)大到原來的（ ）倍。A. 3 B. 9 C. 6 D. 27（2）把一個圓柱形木料加工成一個和它等底等高的圓錐，體積比原來減少了（ ）A. B. C. D. 2倍（3）將一個長方體從中間切開后得到兩個正方體，其中一個正方體的表面積是12²，那么原來這個正方體的表面積是（ ）²。A

16、. 36 B. 30 C. 28 D. 203. 解決問題。（1）從一個長方體上截下一個體積是18dm³的小長方體后，還剩下一個棱長為3dm的正方體。原來這個長方體的表面積是多少？（2）把一個高是6dm的圓柱的底面分成若干個相同的小扇形，然后把這個圓柱沿著小扇形切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體。這個長方體的表面積比圓柱增加了48dm²，求圓柱的體積。0.8（3）一個保溫杯從外面測量的尺寸如下圖所示，保溫杯壁的厚度是0.8，內(nèi)部高度為18.這個保溫杯能容納多少毫升水？（得數(shù)保留整數(shù)）7A（4）如右圖，ABCD是直角梯形。（單位：）以AB為軸，將梯形繞這個軸旋轉(zhuǎn)一周，6D得到一個立體圖形，它的體積是多少？3BC3以CD為軸，將梯形繞這