高中常見(jiàn)數(shù)列的公式及經(jīng)典例題等差數(shù)列

1、 高中常見(jiàn)數(shù)列的公式及經(jīng)典例題等差數(shù)列1等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即=d ，（n2，nN），這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示） 2等差數(shù)列的通項(xiàng)公式： 或 =pn+q (p、q是常數(shù)) 3 有幾種方法可以計(jì)算公差d d= d= d=4等差中項(xiàng)：成等差數(shù)列5等差數(shù)列的性質(zhì)： m+n=p+q (m, n, p, q N )等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式6.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式 （1） （2） （3），當(dāng)d0，是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次式8.對(duì)等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法:（1） 利用：當(dāng)>0，d<0，前

2、n項(xiàng)和有最大值可由0，且0，求得n的值當(dāng)<0，d>0，前n項(xiàng)和有最小值可由0，且0，求得n的值（2） 利用：由二次函數(shù)配方法求得最值時(shí)n的值等比數(shù)列1等比數(shù)列：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：=q（q0）2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式: ， 3成等比數(shù)列=q（,q0） “0”是數(shù)列成等比數(shù)列的必要非充分條件4既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列 5等比中項(xiàng)：G為a與b的等比中項(xiàng). 即G=±（a,b同號(hào)）.6性質(zhì)：若m+n=p+q，7判斷等比數(shù)列的方法：定義法，

3、中項(xiàng)法，通項(xiàng)公式法8等比數(shù)列的增減性：當(dāng)q>1, >0或0<q<1, <0時(shí), 是遞增數(shù)列; 當(dāng)q>1, <0,或0<q<1, >0時(shí), 是遞減數(shù)列;當(dāng)q=1時(shí), 是常數(shù)列; 當(dāng)q<0時(shí), 是擺動(dòng)數(shù)列;等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 當(dāng)時(shí)， 或 當(dāng)q=1時(shí)，當(dāng)已知, q, n 時(shí)用公式；當(dāng)已知, q, 時(shí)，用公式.數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目例1等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.二、公式法若已知數(shù)列的前項(xiàng)

4、和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)可用公式求解。例2已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式。三、由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)法對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解，通常可以通過(guò)遞推公式的變換，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。類型1 遞推公式為(2004全國(guó)卷I.22)已知數(shù)列中,其中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3. 已知數(shù)列滿足，求。類型2 （1）遞推公式為例4. 已知數(shù)列滿足，求。例5設(shè)數(shù)列：，求.類型3 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。(2006. 重慶.14）在數(shù)列中，若，則該數(shù)列的通項(xiàng) 例7. 已知數(shù)列中，求.類型4 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均

5、為常數(shù)）（2006全國(guó)I.22）（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)； 例8. 已知數(shù)列中，,，求。類型5 遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。（2006.福建.理.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； 例9. 已知數(shù)列中，,，求。類型6 遞推公式為與的關(guān)系式。(或)例10. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和.（1）求與的關(guān)系；（2）求通項(xiàng)公式.7 雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例11. 已知數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時(shí)，,，求,.四、待定系數(shù)法（構(gòu)造法）求數(shù)列通項(xiàng)公式方法靈活多樣，特別是對(duì)于給定的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，觀

6、察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪?duì)遞推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來(lái)求解，這種方法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中化未知為已知的化歸思想，而運(yùn)用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過(guò)分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a+k的形式求解。一般地，形如a=p a+q（p1，pq0）型的遞推式均可通過(guò)待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pkk=q，即k=，從而得等比數(shù)列a+k。例12、數(shù)列a滿足a=1，a=a+1（n2），求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。例13、數(shù)列a滿足a=1，,求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。例14已知數(shù)列滿足，且，求2、通過(guò)分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的形式求解。這種

7、方法適用于型的遞推式，通過(guò)對(duì)系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得。（2006.福建.文.22）（本小題滿分14分）已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；例16、數(shù)列滿足=0，求數(shù)列a的通項(xiàng)公式。 例17、數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、特征根法1、設(shè)已知數(shù)列的項(xiàng)滿足,其中求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。作出一個(gè)方程則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.例19已知數(shù)列滿足：求例20：已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí),則是等差數(shù)列

8、;當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根、時(shí)，則是等比數(shù)列。(2006.重慶.文.22)（本小題滿分12分）數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 例21、已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式. 例22已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列不存在？六、構(gòu)造法 構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，通過(guò)對(duì)條件與結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，如某種數(shù)量關(guān)系，某個(gè)直觀圖形，或者某一反例，以此促成命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法的特點(diǎn)就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的遞推公式要求出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，此類題通常較難，但使用構(gòu)造法往往給人耳目一新的感覺(jué).1、構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式顯然，對(duì)于一些遞推數(shù)列問(wèn)題，若能構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無(wú)疑是一種行之有效的構(gòu)造方法.例24： 設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有等式：成立，求的通項(xiàng)an.例25： 數(shù)列中前n項(xiàng)的和，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.2、構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項(xiàng)公式.例26： 設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且，（nN*），求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.3、構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的商式，然后連乘也是求數(shù)