方程的根與函數(shù)的零點

1、花拉子米花拉子米( (約約780780約約850)850)給出了一次方程和二次方給出了一次方程和二次方程的一般解法。程的一般解法。 阿貝爾阿貝爾(1802(18021829)1829)證明了五次以上一般證明了五次以上一般方程沒有求根公式。方程沒有求根公式。 秦九韶（公元秦九韶（公元1202120212611261），），系統(tǒng)地總結(jié)和發(fā)展了高次方系統(tǒng)地總結(jié)和發(fā)展了高次方程數(shù)值解法，提出了程數(shù)值解法，提出了“正負(fù)正負(fù)開方術(shù)開方術(shù)”，此法可以求出任，此法可以求出任意次代數(shù)方程的正根意次代數(shù)方程的正根 問題探究問題探究 方程方程 3x+3=03x+3=0的根與函數(shù)的根與函數(shù)y=3x+3y=3x+3的圖

2、象有什么關(guān)系？的圖象有什么關(guān)系？32.521.510.5-2-112333)( xxf-112-2033x問題探究問題探究 我們?nèi)绾螌Ψ匠涛覀內(nèi)绾螌Ψ匠蘤(xf(x)=0)=0的的根與函數(shù)根與函數(shù)y=f(xy=f(x) )的圖象的關(guān)系的圖象的關(guān)系作進(jìn)一步闡述？作進(jìn)一步闡述？問題探究問題探究 方程方程 的根的根 和和 函數(shù)的零點函數(shù)的零點一元二次方程一元二次方程axax +bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根與二次函的根與二次函數(shù)數(shù)y=axy=ax +bx+c(a0)+bx+c(a0)的圖象有什的圖象有什么關(guān)系？么關(guān)系？思考討論思考討論以a0為例方程x2-2x-3=0 x2-2x+1=

3、0 x2-2x+3=0方程的根函數(shù)y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3函數(shù)函數(shù)y=ax2 +bx+c(a0)的圖象的圖象函數(shù)的圖象與x軸的交點結(jié)論：一元二次方程的實數(shù)根就是相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)歸納：歸納：x1=-1，x2=3x1=x2=1無實數(shù)根2-2-43-11 2Oy423-11 2xOxy423-11 2Oxy兩個交點兩個交點 (-1,0)，(3,0)一個交點一個交點(1,0)沒有交點沒有交點判別式 0= 00)的根的根兩個不相等的兩個不相等的實數(shù)根實數(shù)根x1 、x2有兩個相等的有兩個相等的實數(shù)根實數(shù)根x1 = x2沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根x1x2x1(x1,

4、0)，(x2,0)(x1,0)問題:其他函數(shù)與方程之間也有同樣結(jié)論嗎？請舉例! 對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(x) 我們把使我們把使f(x)=0的實數(shù)的實數(shù)x叫做函數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的零點（的零點（zero point)。注意：注意：零點指的是一個實數(shù)。不零點指的是一個實數(shù)。不是點哈，切記！是點哈，切記！零點是點嗎？互動交流互動交流2、區(qū)別：區(qū)別：1、聯(lián)系：聯(lián)系：數(shù)值上相等：求函數(shù)零點就是求方程的根數(shù)值上相等：求函數(shù)零點就是求方程的根.存在性相同：存在性相同：函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點有零點 方程方程f(x)=0有實數(shù)根有實數(shù)根 函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點軸有交點零點對于函數(shù)

5、而言，根對于方程而言零點對于函數(shù)而言，根對于方程而言數(shù)目不一定相等數(shù)目不一定相等問題4:函數(shù)的零點與方程的根有什么聯(lián)系和區(qū)別？要解方程要解方程2- -x=x，即，即2- -x- -x=0，只要，只要求函數(shù)求函數(shù)f(x)=2- -x- -x的零點的零點!數(shù) 學(xué) 建 構(gòu)方程方程f (x)=0有實數(shù)根有實數(shù)根函數(shù)函數(shù)y=f (x)有零點有零點 函數(shù)函數(shù)y=f (x)的圖的圖象與象與x軸有交點軸有交點辨析練習(xí)辨析練習(xí)：判斷下列說法的正誤：判斷下列說法的正誤：1.1.函數(shù)函數(shù)y=xy=x+1+1有零點有零點x x=-1=-1； 2.2.函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2-2-2x x-3-3的零點是的零點是(-

6、1,0),(3,0) (-1,0),(3,0) ；3.3.函數(shù)函數(shù)y=xy=x2 2-2-2x x-3-3的零點是的零點是-1-1和和3 3； 4.4.函數(shù)函數(shù) 沒有零點沒有零點. .1yxxyO1yx00=0=0判別式判別式 =b24ac方程方程axax2 2 +bx+c +bx+c=0=0(a0)(a0)的根的根函數(shù)函數(shù)y= axy= ax2 2 +bx +bx+c(a0)+c(a0)的圖象的圖象函數(shù)的零點個數(shù)函數(shù)的零點個數(shù)00兩個兩個沒有實根沒有實根沒有沒有兩個不相等兩個不相等的實數(shù)根的實數(shù)根x1 、x2有兩個相等的有兩個相等的實數(shù)根實數(shù)根x x1 1 = x = x2 2一個一個-2-

7、4-6-8-10-15-10-5x2x1h x 2-2 2-2-4-6-8-15-10-5x1g x 2-2?4?2?-2?-4?-6?-8?-10?-12?-14?-16?-18?-30?-25?-20?-15?-10?-5?1探究探究以a0為例3、圖像法圖像法代數(shù)法代數(shù)法求下列函數(shù)的零點求下列函數(shù)的零點65)(2-xxxf12)(-xxf（1）（2）2和和30 例例1 求函數(shù)求函數(shù)f（x）=lg(x-1)的零點的零點求函數(shù)零點的步驟：求函數(shù)零點的步驟： (1)令令f(x)=0; (2)解方程解方程f(x)=0； (3)寫出零點寫出零點學(xué)以致用學(xué)以致用甲原來在河的北岸甲原來在河的北岸,現(xiàn)在在

8、河的南岸現(xiàn)在在河的南岸,能斷定甲過河了能斷定甲過河了嗎嗎?過了幾趟過了幾趟?乙原來在河的北岸現(xiàn)在還在河的北岸乙原來在河的北岸現(xiàn)在還在河的北岸,乙有沒有過河乙有沒有過河?過了幾趟過了幾趟?問問 題題?甲甲甲甲乙乙乙乙?甲甲?甲甲甲甲?甲甲觀察函數(shù)的圖象并填空觀察函數(shù)的圖象并填空:在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上上f(a)f(b)_0(“”或或“”) 在區(qū)間在區(qū)間(a,b)上上_(有有/無無)零點；零點； 在區(qū)間在區(qū)間(b,c)上上f(b)f(c) _ 0(“”或或“”) 在區(qū)間在區(qū)間(b,c)上上_(有有/無無)零點；零點； 在區(qū)間在區(qū)間(c,d)上上f(c)f(d) _ 0(“”或或”) 在區(qū)間在區(qū)間

9、(c,d)上上_(有有/無無)零點；零點；有有有有有有xyOabcd零點存在性的探究：問題5:在怎樣的條件下，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a,b上存在零點？ 觀察下面函數(shù)圖象思考:雖然函數(shù)雖然函數(shù)f(x) 滿足了滿足了f(-1)f(1)0,但它在但它在區(qū)間區(qū)間(-1,1)上卻沒有零點上卻沒有零點,為什么為什么? 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上的圖上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)，那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點，即存在內(nèi)有零點，即存在c(a,b)，使得，使得f(c)=0，這個，這個c也就是方程也就是

10、方程f(x)=0的根。的根。函數(shù)零點存在性定理：xyOxyObaabcc例例2 判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例判斷正誤，若不正確，請使用函數(shù)圖象舉出反例（1）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，上連續(xù)，且且f (a) f(b) 0，則，則f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)沒有零點內(nèi)沒有零點.（ ）（3）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b上連續(xù)，且在區(qū)間上連續(xù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)存內(nèi)存在零點，則有在零點，則有 f (a) f(b) 0（ ）（4）已知函數(shù)）已知函數(shù)y=f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b 滿足滿足f (a) f(b) 0，則，則f(x)在

11、在區(qū)間區(qū)間(a,b)內(nèi)存在零點內(nèi)存在零點.（ ）abOxyabOxyabOxy畫圖象舉反例：函數(shù)零點存在定理的三個注意點：函數(shù)零點存在定理的三個注意點： 1 1 函數(shù)是連續(xù)的。函數(shù)是連續(xù)的。 2 2 定理不可逆。定理不可逆。 3 3 至少存在一個零點，不排除更多。至少存在一個零點，不排除更多。例例3. .求證求證:函數(shù)函數(shù)f(x)= x3+x2+1在區(qū)間在區(qū)間(-2，-1)上存在零點上存在零點.?證明證明: 因為因為 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-30且函數(shù)且函數(shù)f(x)的圖象在區(qū)間的圖象在區(qū)間-2,-1上是不間斷的上是不間斷的,所以函數(shù)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(-2,-1)上

12、存在零點上存在零點小結(jié)論思考：能否確定函數(shù)yf(x)在區(qū)間(-2，-1)內(nèi)存在幾個零點？ H:幾何畫板5.03最強(qiáng)中文版.exe f(-2) f(-1)0函數(shù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b 上圖像連續(xù)且上圖像連續(xù)且是是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)且且f(a)f(b)0a ab b嘗試畫出滿足條件的圖形進(jìn)行觀察嘗試畫出滿足條件的圖形進(jìn)行觀察研討新知研討新知只有一個解法解法1：利用計算機(jī)作出函數(shù)的圖像，然后判斷利用計算機(jī)作出函數(shù)的圖像，然后判斷與與X軸交點的個數(shù)軸交點的個數(shù)例例4 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx+2x 6的零點的個數(shù)，的零點的個數(shù)，并確定并確定零點所在的區(qū)間零點所在的區(qū)間n，n+1(n

13、Z) 零點存在性定理的應(yīng)用：H:幾何畫板5.03最強(qiáng)中文版.exe由表可知由表可知f(2)0，從而，從而f(2)f(3)0， 又又f(x)在區(qū)間在區(qū)間2,3上連續(xù)上連續(xù) 函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(2,3)內(nèi)有零點內(nèi)有零點由于函數(shù)由于函數(shù)f(x)在定義域在定義域(0,+)內(nèi)是增函數(shù)，內(nèi)是增函數(shù)，所以它僅有一個零點所以它僅有一個零點用計算器或計算機(jī)列出用計算器或計算機(jī)列出x、f(x)的對應(yīng)值表：的對應(yīng)值表：例例4 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx+2x 6的零點的個數(shù)，的零點的個數(shù)，并確定并確定零點所在的區(qū)間零點所在的區(qū)間n，n+1(nZ) 解法解法2零點存在性定理的應(yīng)用：問題6:如何說明零點的唯

14、一性？ 108642-2-451 2346xyOx123456789f(x)- -4- -1.31.13.45.67.810.0 12.1 14.2f(x)=lnx+2x 6解法解法3：y=2x +6y= lnx例例4 求函數(shù)求函數(shù)f(x)=lnx+2x 6的零點的個數(shù)，的零點的個數(shù)，并確定并確定零點所在的區(qū)間零點所在的區(qū)間n，n+1(nZ) 零點存在性定理的應(yīng)用：6Ox1 2 3 4y數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合lnx+2xlnx+2x6=06=0的根的根lnxlnx=-2x+6=-2x+6的根的根可看成可看成y=lnxy=lnx與與y=-2x+6圖像交點的橫坐標(biāo)圖像交點的橫坐標(biāo)H:幾何畫板5.03最強(qiáng)

15、中文版.exe學(xué)以致用學(xué)以致用求求f(x)= +3x-7 +3x-7零點的個數(shù)零點的個數(shù)x x2 2 f(1)f(2)0 又又f(x)在區(qū)間在區(qū)間1,2上連續(xù)上連續(xù)函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(1,2)內(nèi)有零點內(nèi)有零點方法一方法一： f(1)0 f(1)0f(2)0函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )僅有一個零點僅有一個零點函數(shù)函數(shù)f(x)在定義域在定義域(-,+)內(nèi)是增函數(shù)內(nèi)是增函數(shù)幾何畫板方法二：方法二：0732- xx732-xxxy273 -xyx0246105y241086121487643192 2學(xué)以致用學(xué)以致用拓展延伸拓展延伸: :函數(shù)函數(shù)f(x)= +3x-7在區(qū)間在區(qū)間(1,2)(1

16、,2)上有上有零點，那么它更靠近那個端點呢？零點，那么它更靠近那個端點呢？x x2 2幾何畫板歸納整理，整體認(rèn)識歸納整理，整體認(rèn)識本節(jié)課你收獲了什么？本節(jié)課你收獲了什么？一個關(guān)系：一個關(guān)系：函數(shù)零點與方程根的關(guān)系函數(shù)零點與方程根的關(guān)系: :函數(shù)方程零點根數(shù) 值存在性個 數(shù)兩種思想：兩種思想：函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)方程思想；數(shù)形結(jié)合思想 三種題型：三種題型：求函數(shù)零點、確定零點個數(shù)、求函數(shù)零點、確定零點個數(shù)、求零點所在區(qū)間求零點所在區(qū)間 歸納整理，整體認(rèn)識布置作業(yè)：1利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根：利用函數(shù)圖象判斷下列方程有幾個根：（1）2x(x2)3；（；（2）ex144x2寫出并證明下寫出并證明下列函數(shù)零點所在的大致區(qū)間：列函數(shù)零點所