一階電路的階躍和沖激狀態(tài)方程

1、9.5 9.5 一階電路的階躍響應一階電路的階躍響應1. 1. 單位階躍函數單位階躍函數l 定義定義 )0(1)0(0)(t t tt (t)01l 單位階躍函數的延遲單位階躍函數的延遲 )(1)(0)(000tt tt ttt (t-t0)t001下 頁上 頁返 回t = 0 合閘合閘 i(t) = Is)(t在電路中模擬開關的動作在電路中模擬開關的動作t = 0 合閘合閘 u(t) = E)(tl 單位階躍函數的作用單位階躍函數的作用下 頁上 頁SUSu(t)(StUu(t)返 回Is)(tik)(tISu(t)起始一個函數起始一個函數tf (t)0)()sin(00tttt t0延遲一個

2、函數延遲一個函數下 頁上 頁tf(t)0t0)()sin(tt)()sin(0ttt 返 回l 用單位階躍函數表示復雜的信號用單位階躍函數表示復雜的信號例例 1)()()(0ttttf (t)tf(t)101t0tf(t)0t0- (t-t0) 4() 3() 1(2)( ttttf例例 21t1 f(t)0243下 頁上 頁返 回) 1()1()()( tttttf例例 41t1 f(t)0) 1() 1()( tttt) 1() 1( tt)(tt)4() 3() 1()()( tt tttf例例 31t1 f(t)0243下 頁上 頁返 回)()() 1 (tt u 例例 5t1 02已

3、知電壓已知電壓u(t)的波形如圖，的波形如圖，試畫出下列電壓的波形。試畫出下列電壓的波形。)1()2()4( tt u ) 1() 1()3( tt u )() 1()2(tt u t1 u(t)022t1 011t 1 01 t1021下 頁上 頁返 回)( )1 ()( tetuRCtC)( 1)( teRtiRCt)( teiRCt和和0 teiRCt的區(qū)別的區(qū)別2. 2. 一階電路的階躍響應一階電路的階躍響應激勵為單位階躍函數時，電路激勵為單位階躍函數時，電路中產生的零狀態(tài)響應。中產生的零狀態(tài)響應。階躍響應階躍響應下 頁上 頁iC +uCRuC (0)=0)( t注意返 回)( tei

4、RCt0 teiRCtt01it01i下 頁上 頁tuC10返 回tiC0激勵在激勵在 t = t0 時加入，時加入，則響應從則響應從t =t0開始。開始。t- t0RCCeRi 1( t - t0 )(10 tteRRC- t不要寫為：不要寫為：下 頁上 頁iC (t -t0)C +uCRR1t0注意返 回)5 . 0(10)(10ttuS求圖示電路中電流求圖示電路中電流 iC(t）例例下 頁上 頁10k10kus+-ic100FuC(0)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0)=0等效等效返 回)5 . 0(10)(10ttuS應用疊加定理應用疊加定理下

5、頁上 頁)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F)(t5k+-ic100Fs5 . 01051010036RCmA )( 51dd2CtetuCitC)( )1 ()(2t tetuC階躍響應為：階躍響應為：返 回由齊次性和疊加性得實際響應為：由齊次性和疊加性得實際響應為：)5 . 0(51)(51 5)5 . 0(22teteittCmA)5 . 0()()5 . 0(22tetett下 頁上 頁)(5t5k+-ic100F)5 . 0(5t5k+-ic100F返 回)5 . 0()()5 . 0(22teteittC0)5 . 0( 1)( 5 . 00tttte

6、i2C)5 .0(21)5 .0(2)5 .0(22C632.0 )1(tttteeeeei下 頁上 頁1)5 . 0( 1)( 0.5sttt分段表示為：分段表示為：返 回分段表示為：分段表示為：s)0.5(mA 0.632-s)5 . 0(0 mA )(5)0.-2(-2C tetetittt(s)iC(mA)01-0.6320.5波形波形0.368下 頁上 頁)5 .0(632.0 )5 .0()()5 .0(22tetteittC返 回9.79.7* * 一階電路的沖激響應一階電路的沖激響應1. 1. 單位沖激函數單位沖激函數l 定義定義)0( 0)(tt1d)(ttt(t)10單位脈

7、沖函單位脈沖函數的極限數的極限 / 21/ tp(t)- / 21 0)()(lim0ttp)2()2(1)(tttp下 頁上 頁返 回l 單位沖激函數的延遲單位沖激函數的延遲1d)()( 0)(000tttttttt (t-t0)t00（1）l 單位沖激函數的性質單位沖激函數的性質沖激函數對時間的積分等于階躍函數沖激函數對時間的積分等于階躍函數)( 0 10 0d)(tttttt)(d)( d ttt下 頁上 頁返 回沖激函數的沖激函數的篩分篩分性性 )0(d )( )0(d)()(fttftttf)(d)()(00tfttttf同理同理 d)6()(sin tttt02. 162166si

8、n 例例t(t)10f(t)f(0) f(t)在在 t0 處連續(xù)處連續(xù)f(0)(t)注意下 頁上 頁返 回)(ddtRutuCccuc不是沖激函數不是沖激函數 , , 否則否則KCL不成立不成立分二個時間段考慮沖激響應分二個時間段考慮沖激響應電容充電，方程為電容充電，方程為(1) t 在在 0 0+間間例例12. 2. 一階電路的沖激響應一階電路的沖激響應激勵為單位沖激函數時，電路中激勵為單位沖激函數時，電路中產生的零狀態(tài)響應。產生的零狀態(tài)響應。沖激響應沖激響應求單位沖激電流激勵下的求單位沖激電流激勵下的RC電路的零狀態(tài)響應。電路的零狀態(tài)響應。解解注意下 頁上 頁返 回uC(0)=0iCR(t

9、)C+-uC)0(1)0(CCuCu電容中的沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變。電容中的沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變。1d)(dddd0000C00CtttRuttuC01)0()0(CCuuC結論(2) t 0+ 為零輸入響應（為零輸入響應（RC放電）放電）iCRC+uCCu1)0(C01 CteCuRCt01 CCteRCRuiRCt下 頁上 頁返 回uCt0C1)(1)()(1 C CteRCtiteCuRCtRCtiCt1RC10下 頁上 頁返 回)(ddttiLRiLL例例2求單位沖激電壓激勵下的求單位沖激電壓激勵下的RL電路的零狀態(tài)響應。電路的零狀態(tài)響應。分二個時間段考慮沖激響應分二個時間段

10、考慮沖激響應解解L+-iLR)(t+-uL0)0(LiiL不是沖激函數不是沖激函數 , , 否則否則KVL不成立。不成立。注意1d)(dd000000tttdtdiLtRiLL0(0 )-(0 ) =1-+LLL ii)0(1)0(LLiLi下 頁上 頁返 回(1) t 在在 0 0+間間方程為方程為電感上的沖激電壓使電感電流發(fā)生躍變。電感上的沖激電壓使電感電流發(fā)生躍變。)0(1)0(LLiLi結論(2) t 0+ RL放電放電LiLR+-uLRLLiL1)0(01 teLitL0 teLRRiutLL下 頁上 頁返 回)(1 teLitL)()( teLRtutLiLt0L1uLt1RL0下

11、 頁上 頁返 回零狀態(tài)零狀態(tài)R(t)(te3. 3. 單位階躍響應和單位沖激響應關系單位階躍響應和單位沖激響應關系單位階躍響應單位階躍響應單位沖激響應單位沖激響應h(t)s(t)單位沖激單位沖激 (t)單位階躍單位階躍 (t)tttd)(d)()(dd)(tstth激勵激勵響應響應下 頁上 頁返 回)()(ttiS先求單位階躍響應：先求單位階躍響應：求求: :is (t)為單位沖激時電路響應為單位沖激時電路響應uC(t)和和iC (t).例例解解)()1 ()(teRtuRCtCuC(0+)=0 uC()=R = RC iC(0+)=1 iC()=0 )( CteiRCt再求單位沖激響應再求單

12、位沖激響應, ,令：令：)()(Stti下 頁上 頁返 回令令uC(0)=0iCRiS(t)C+-uC)()1 (dd teRtuRCtC)()1 (teRRCt)(1teCRCt)(1teCRCt)()0()()(tfttf0)(dd CtetiRCt)(1)( teRCteRCtRCt)(1)( teRCtRCt下 頁上 頁返 回uCRt0iC1t0uCt0C1沖激響應沖激響應階躍響應階躍響應iCt1RC10下 頁上 頁返 回1.1.網絡的狀態(tài)與狀態(tài)變量網絡的狀態(tài)與狀態(tài)變量l 網絡狀態(tài)網絡狀態(tài) 指能和激勵一道唯一確定網絡現(xiàn)時和未來行指能和激勵一道唯一確定網絡現(xiàn)時和未來行為的最少量的一組信息

13、。為的最少量的一組信息。l 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 電路的一組獨立的動態(tài)變量電路的一組獨立的動態(tài)變量X， X=x1, x2 xnT ，它們在任何時刻的值組成了該時刻的狀態(tài)，如獨立它們在任何時刻的值組成了該時刻的狀態(tài)，如獨立的電容電壓（或電荷），電感電流（或磁通鏈）就的電容電壓（或電荷），電感電流（或磁通鏈）就是電路的狀態(tài)變量。是電路的狀態(tài)變量。下 頁上 頁7.107.10* * 狀態(tài)方程狀態(tài)方程返 回l 狀態(tài)變量法狀態(tài)變量法下 頁上 頁 借助于借助于狀態(tài)變量，建立一組聯(lián)系狀態(tài)變量和狀態(tài)變量，建立一組聯(lián)系狀態(tài)變量和激勵函數的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。激勵函數的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。只只要知

14、道狀態(tài)變量在某一時刻值要知道狀態(tài)變量在某一時刻值X(t0),再知道輸入激再知道輸入激勵勵e(t)，就可以確定就可以確定tt0后電路的全部性狀后電路的全部性狀(響應響應)。狀態(tài)變量狀態(tài)變量 X(t0)激激 勵勵 e(t) (tt0) Y(t) (tt0) 響應響應注意這里講的為數最少的變量必須是互相獨立的。這里講的為數最少的變量必須是互相獨立的。返 回已知已知: :0)0(V3)0()sin(20)(30iuLCotte 求：求：).0(),0(),0(),0(uiuiRRLC解解V7)0(uLV3)0(RuA1)0(A1)0(CRiie(0)=10V0)0(V3)0(CiuL例例下 頁上 頁3

15、LCe(t)+iLiC+-uC-uo返 回同理可推廣至任一時刻同理可推廣至任一時刻t1由由)()()(11C1titutLe)()()()(1C111tititutuRLR (1)狀態(tài)變量和儲能元件有關狀態(tài)變量和儲能元件有關 (2)有幾個獨立的儲能元件，就有幾個狀態(tài)變量有幾個獨立的儲能元件，就有幾個狀態(tài)變量 (3)狀態(tài)變量的選擇不唯一。狀態(tài)變量的選擇不唯一。求出求出下 頁上 頁表明返 回設設 uc、iL 為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量RuituCiCLCCddRCuituCLCCddLuLtetiCL)(dd整理得整理得 每一個狀態(tài)方程中只含有一個狀態(tài)變量的一每一個狀態(tài)方程中只含有一個狀態(tài)變量的一階導數

16、。對簡單電路采用階導數。對簡單電路采用直觀編寫法。直觀編寫法。狀態(tài)方程狀態(tài)方程下 頁上 頁2. 2. 狀態(tài)方程的列寫狀態(tài)方程的列寫3LCe(t)+iLiC+-uC-uoCLL)(ddutetiLu返 回矩陣形式矩陣形式)(100111ddddteLLCRCttiuiuLCLC03)0(X 聯(lián)立的一階微分方程組聯(lián)立的一階微分方程組 左端為狀態(tài)變量的一階導數左端為狀態(tài)變量的一階導數 右端含狀態(tài)變量和輸入量右端含狀態(tài)變量和輸入量下 頁上 頁特點返 回 AXBVX一般形式一般形式下 頁上 頁返 回12ddddddTnxxxXttt 12,TnXx xx電路的輸出方程電路的輸出方程)(000100101

17、111teRRuiuiuiLCRRCL代數方程代數方程 用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量一般形式一般形式Y=CX+DV下 頁上 頁3LCe(t)+iLiC+-uC-uC特點電路中某些感興趣的量與狀態(tài)電路中某些感興趣的量與狀態(tài)變量和輸入量之間的關系變量和輸入量之間的關系 返 回下 頁上 頁例例列出電路的狀態(tài)方程列出電路的狀態(tài)方程L1CuS+iL1iS+-uC-R1R2iL2L21212解解對結點對結點列出列出KCL方程方程21ddLLCiituC返 回下 頁上 頁112211S22Sddd()dLCLLCLiLuRiutiLuR iit121S1S111222222d11

18、000dd1100dd100dCCLLutCCuiRuiitLLLiiRRtLLL 對回路對回路1和回路和回路2列出列出KVL方程方程把以上方程整理成矩陣形式有把以上方程整理成矩陣形式有返 回下 頁上 頁n1Cuu2n2S2()Luii R2Sn122n2S100000CLuuuiRRui若以結點若以結點、的電壓作為輸出，則有的電壓作為輸出，則有整理并寫成矩陣形式有整理并寫成矩陣形式有返 回1.1.動態(tài)電路微分方程的階數與電路結構的關系動態(tài)電路微分方程的階數與電路結構的關系 動態(tài)電路微分方程的階數與電路中所含的獨立動態(tài)電路微分方程的階數與電路中所含的獨立動態(tài)元件的個數相等。動態(tài)元件的個數相等。

19、下 頁上 頁7.117.11* * 動態(tài)電路時域分析中的幾個問題動態(tài)電路時域分析中的幾個問題當一個網絡中存在純電容回路，由當一個網絡中存在純電容回路，由KVL可知其中可知其中必有一個電容電壓可由回路中其它元件的電壓求必有一個電容電壓可由回路中其它元件的電壓求出，此電容電壓為非獨立的電容電壓。出，此電容電壓為非獨立的電容電壓。例例返 回下 頁上 頁當網絡中存在純電感結點，由當網絡中存在純電感結點，由KCL可知其中必可知其中必有一個電感電流可由其它元件的電流求出，此有一個電感電流可由其它元件的電流求出，此電感電流時非獨立的。電感電流時非獨立的。網絡中與獨立電壓源并聯(lián)的電容元件，其電壓網絡中與獨立電壓源并聯(lián)的電容元件，其電壓uC由由uS決定。決定。網絡中與獨立電流源串聯(lián)的電感元件，其網絡中與獨立電流源串聯(lián)的電感元件，其iL由由iS決定。決定。返 回 以上四種請況中非獨立的以上四種請況中非獨立的uC和和iL不能作為狀態(tài)不能作為狀態(tài)變量，不含以上四種情況的網絡稱為常態(tài)網絡。狀變量，不含以上四種情況的網絡稱為常態(tài)網絡。狀態(tài)變量數等于態(tài)變量數等于C、L元件總數。含有以上四種情況元件總數。含有以上四種情況的網絡稱為非常態(tài)網絡，網絡的狀態(tài)變量數小于網的網絡稱為非常