恒力矩轉動法測剛體轉動慣量

1、恒力矩轉動法測剛體轉動慣量轉動慣量是剛體轉動中慣性大小的量度。 它取決于剛體的總質(zhì)量， 質(zhì)量分布、 形狀大小和轉軸位置。 對于形狀簡單， 質(zhì)量均勻分布的剛體， 可以通過數(shù)學方法 計算出它繞特定轉軸的轉動慣量， 但對于形狀比較復雜， 或質(zhì)量分布不均勻的剛 體，用數(shù)學方法計算其轉動慣量是非常困難的，因而大多采用實驗方法來測定。轉動慣量的測定，在涉及剛體轉動的機電制造、航空、航天、航海、軍工等 工程技術和科學研究中具有十分重要的意義。 測定轉動慣量常采用扭擺法或恒力 矩轉動法，本實驗采用恒力矩轉動法測定轉動慣量。一、實驗目的1、學習用恒力矩轉動法測定剛體轉動慣量的原理和方法。2、觀測剛體的轉動慣量隨

2、其質(zhì)量，質(zhì)量分布及轉軸不同而改變的情況，驗證平 行軸定理。3、學會使用智能計時計數(shù)器測量時間。二、實驗原理1、恒力矩轉動法測定轉動慣量的原理根據(jù)剛體的定軸轉動定律：M J （ 1 ）只要測定剛體轉動時所受的總合外力矩 M 及該力矩作用下剛體轉動的角加 速度 ，則可計算出該剛體的轉動慣量 J。設以某初始角速度轉動的空實驗臺轉動慣量為 J1，未加砝碼時，在摩擦阻力 矩 M的作用下，實驗臺將以角加速度 1 作勻減速運動，即：M J1 1 （ 2）將質(zhì)量為 m 的砝碼用細線繞在半徑為 R 的實驗臺塔輪上，并讓砝碼下落， 系統(tǒng)在恒外力作用下將作勻加速運動。若砝碼的加速度為 a，則細線所受張力為 T= m

3、 （g a）。若此時實驗臺的角加速度為 2，則有 a= R2。細線施加給實驗 臺的力矩為 T R= m （g R2） R，此時有：m（g R 2）R MJ1 2 （3）將（ 2）、（3）兩式聯(lián)立消去 M后，可得：mR（g R 2 ）J12 1 （ 4） 同理，若在實驗臺上加上被測物體后系統(tǒng)的轉動慣量為 J2，加砝碼前后的角 加速度分別為 3與 4，則有：J2mR(g R 4)4 3 （ 5） 由轉動慣量的迭加原理可知，被測試件的轉動慣量 J3 為：J3 J 2 J1 （6） 測得 R、m及 1、2、3、4，由（4），（5），（6）式即可計算被測試件的轉 動慣量。2、的測量 實驗中采用智能計時計

4、數(shù)器計錄遮擋次數(shù)和相應的時間。 固定在載物臺圓周 邊緣相差 角的兩遮光細棒， 每轉動半圈遮擋一次固定在底座上的光電門， 即產(chǎn)生一個計數(shù)光電脈沖，計數(shù)器計下遮檔次數(shù) k 和相應的時間 t 。若從第一次擋光 （k=0，t=0 ）開始計次，計時，且初始角速度為 0，則對于勻變速運動中測量 得到的任意兩組數(shù)據(jù)（ km， t m）、（ kn， t n），相應的角位移 m 、n 分別為：kmknt10tmtm22(7)120tntn22(8)km tn )從（ 7）、（8）兩式中消去 0，可得：2 (kn tm22tn2tm tm2 tn9）由（9）式即可計算角加速度。3、平行軸定理 理論分析表明，質(zhì)量為

5、 m 的物體圍繞通過質(zhì)心 O 的轉軸轉動時的轉動慣量J0最小。當轉軸平行移動距離 d 后，繞新轉軸轉動的轉動慣量為：圖1 轉動慣量實驗組合儀三、轉動慣量實驗組合儀簡介 1、ZKY-ZS轉動慣量實驗儀轉動慣量實驗儀如圖 1 所示，繞線塔輪通過特制的軸承安裝在主軸上， 使 轉動時的摩擦力矩很小。塔輪半徑為 15，20，25，30，35mm共 5 擋，可與大 約 5g 的砝碼托及 1 個 5g，4 個 10g 的砝碼組合，產(chǎn)生大小不同的力矩。載物 臺用螺釘與塔輪連接在一起，隨塔輪轉動。隨儀器配的被測試樣有 1 個圓盤，1 個圓環(huán)，兩個圓柱；試樣上標有幾何尺寸及質(zhì)量， 便于將轉動慣量的測試值與理論計算

6、值比較。 圓柱試樣可插入載物臺上的不同孔，這些孔離中心的距離分別為 45,60,75,90,105mm ，便于驗證平行軸定理。鋁制小滑輪的轉動慣量與實驗臺相比可忽略不記。 一只光電門作測量， 一只作備用， 可通過智能計時計數(shù)器上的按鈕方便的切換。四、實驗內(nèi)容及步驟1、實驗準備在桌面上放置 ZKY-ZS 轉動慣量實驗儀，并利用基座上的三顆調(diào)平螺釘，將 儀器調(diào)平。 將滑輪支架固定在實驗臺面邊緣， 調(diào)整滑輪高度及方位， 使滑輪槽與 選取的繞線塔輪槽等高， 且其方位相互垂直， 如圖 1 所示。并且用數(shù)據(jù)線將智能 計時計數(shù)器中 A 或 B 通道與轉動慣量實驗儀其中一個光電門相連。2、測量并計算實驗臺的轉

7、動慣量 J1成都世紀中科”歡迎界面延時一段（ 1）測量 1上電開機后 LCD 顯示“智能計數(shù)計時器時間后，顯示操作界面：1、選擇“計時 1 2 多脈沖” 。2、選擇通道， A或 B。3、用手輕輕撥動載物臺，使實驗臺有一初始轉速并在摩擦阻力矩作用下作 勻減速運動4、按確認鍵進行測量。5、載物盤轉動 15 圈后按確認鍵停止測量。6、查閱數(shù)據(jù)，并將查閱到的數(shù)據(jù)記入表 1 中；采用逐差法處理數(shù)據(jù)， 將第 1和第 5組，第 2和第 6組 ,分別組成 4組， 用（ 9）式計算對應各組的 1 值，然后求其平均值作為 1 的測量值。7、按確認鍵后返回“計時 1 2 多脈沖”界面。（ 2）測量 21、選擇塔輪半

8、徑 R及砝碼質(zhì)量，將 1 端打結的細線沿塔輪上開的細縫塞入， 并且不重疊的密繞于所選定半徑的輪上， 細線另 1 端通過滑輪后連接砝碼托上的 掛鉤，用手將載物臺穩(wěn)?。?、重復（ 1）中的 2、3、4 步3、釋放載物臺，砝碼重力產(chǎn)生的恒力矩使實驗臺產(chǎn)生勻加速轉動；記錄 8組數(shù)據(jù)后停止測量。查閱、記錄數(shù)據(jù)于表 1 中并計算 2的測量值。 由（ 4）式即可算出 J1的值。3、測量并計算實驗臺放上試樣后的轉動慣量 J2 ，計算試樣的轉動慣量 J3 并與理 論值比較將待測試樣放上載物臺并使試樣幾何中心軸與轉軸中心重合， 按與測量 J1 同 樣的方法可分別測量未加法碼的角加速度 3與加砝碼后的角加速度 4。

9、由（ 5） 式可計算 J2的值，已知 J1 、J2 ，由（ 6）式可計算試樣的轉動慣量 J3 。已知圓盤、圓柱繞幾何中心軸轉動的轉動慣量理論值為：1mR22圓環(huán)繞幾何中心軸的轉動慣量理論值為：J m R外2 R內(nèi)22（12 ）計算試樣的轉動慣量理論值并與測量值 J3 比較，計算測量值的相對誤差： J3 JE 3 100%J（ 13）4、驗證平行軸定理將兩圓柱體對稱插入載物臺上與中心距離為 d 的圓孔中， 測量并計算兩圓柱 體在此位置的轉動慣量。將測量值與由（ 11）、（10）式所得的計算值比較，若一 致即驗證了平行軸定理。數(shù)據(jù)記錄表格與測量計算實例表 1 測量實驗臺的角加速度勻減速勻加速 R

10、塔輪 = m 砝碼 =k1234平均k1234平均t(s)t(s)k5678k5678t(s)t(s)1 (1/s2)2 (1/s2)表 2 測量實驗臺加圓環(huán)試樣后的角加速度 R 外 = R 內(nèi)= m 圓環(huán) =勻減速勻加速 R 塔輪 = m 砝碼 =k平 均k1234平 均t(s)t(s)kk5678t(s)t(s)3 (1/s2)4 (1/s2)表3 測量兩圓柱試樣中心與轉軸距離 d= 時的角加速度 R圓柱= m圓柱×2 =勻減速勻加速 R 塔輪 = m 砝碼=k1234平 均k1234平 均t(s)t(s)k5678k5678t(s)t(s)3 (1/s2)4 (1/s2)1、將

11、表 1 中數(shù)據(jù)代入（ 4）式可計算空實驗臺轉動慣量 J 1= kgm22、將表 2 中數(shù)據(jù)代入（ 5）式可計算實驗臺放上圓環(huán)后的轉動慣量 J 2= kgm2 由（ 6）式可計算圓環(huán)的轉動慣量測量值 J 3= kgm2 由（ 12）式可計算圓環(huán)的轉動慣量理論值 J = kgm2 由（13）式可計算測量的相對誤差 E =3、將表 3 中數(shù)據(jù)代入（ 5）式可計算實驗臺放上兩圓柱后的轉動慣量 J 2= kgm2 由（6）式可計算兩圓柱距軸心為 d時的轉動慣量測量值 J 3= kgm2 由（11）、（10）式可計算兩圓柱距軸心為 d時的轉動慣量理論值 J = kgm2 由（13）式可計算測量的相對誤差

12、E =4對平行軸定理加以討論。注意事項：1 一定先將儀器調(diào)平。2 測勻減速時初速度要小。3 拉力一定與塔輪相切。選作： 理論上，同一待測樣品的轉動慣量不隨轉動力矩的變化而變化。 改變塔輪半徑或 砝碼質(zhì)量（五個塔輪，五個砝碼）可得到 25 種組合，形成不同的力矩?？筛淖?實驗條件進行測量并對數(shù)據(jù)進行分析， 探索其規(guī)律， 尋求發(fā)生誤差的原因， 探索 測量的最佳條件。附件： 智能計時計數(shù)器簡介及技術指標（1）主要技術指標： 時間分辨率（最小顯示位）為 0.0001 秒，誤差為 0.004。最大功耗 0.3W（2）智能計時計數(shù)器簡介 智能計時計數(shù)器配備一個 9V 穩(wěn)壓直流電源。智能計時計數(shù)器： 9V

13、直流電源輸入段端； 122 X 32 點陣圖形 LCD ；三個操作 按鈕： 模式選擇 /查詢下翻按鈕 、項目選擇 /查詢上翻按鈕 、 確定/開始 /停止按 鈕；四個信號源輸入端，兩個 4孔輸入端是一組，兩個 3 孔輸入端是另一組， 4 孔的 A 通道同 3 孔的 A 通道同屬同一通道，不管接那個效果一樣，同樣 4 孔的 B通道和 3孔的 B通道統(tǒng)屬同一通道。4 孔輸入端 （ 主板座子 ）3 孔輸入端（主板座子） 電源接口（主板座子）（3）智能計時計數(shù)器操作：上電開機后顯示“智能計數(shù)計時器 成都世紀中科”畫面延時一段時間后， 顯示操作界面：上行為測試模式名稱和序號， 例：“1 計時 ”表示按模式

14、選擇 /查詢下翻按 鈕選擇測試模式。下行為測試項目名稱和序號，例： “11 單電門 ”表示項目選擇 / 查詢上 翻按鈕選擇測試項目。選擇好測試項目后，按確定鍵 ,LCD 將顯示“選 A 通道測量 ” ，然后 通過按模式選擇 /查詢下翻按鈕和項目選擇 /查詢上翻按鈕進 A 或 B 通道的選 擇，選擇好后再次按下確認鍵即可開始測量。 一般測量過程中將顯示 “測量中 * ”，測量完成后自動顯示測量值， 若該項目有幾組數(shù)據(jù)， 可按查詢下翻按 鈕或查詢上翻按鈕進行查詢， 再次按下確定鍵退回到項目選擇界面。 如未測量 完成就按下確定鍵， 則測量停止， 將根據(jù)已測量到的內(nèi)容進行顯示， 再次按下 確定鍵將退回

15、到測量項目選擇界面。注意：有 AB 兩通道，每通道都各有兩個不同的插件 （分別為電源 5V 的 光電門 4 芯和電源 9V 的光電門 3 芯），同一通道不同插件的的關系是互斥的， 禁止同時接插同一通道不同插件。AB 通道可以互換，如為單電門時，使用 A 通道或 B 通道都可以，但是盡量 避免同時插 AB 兩通道，以免互相干擾。如為雙電門，則產(chǎn)生前脈沖的光電門可 接 A 通道也可接 B 通道，后脈沖的當然也可隨便插在余下那通道。如果光電門被遮擋時輸出的信號端是高電平， 則儀器是測脈沖的上升前沿間 時間。如光電門被遮擋時輸出的信號端是低電平， 則儀器是測脈沖的上升后沿間 時間的。模式種類及功能：1

16、 計時2 平均速度3 加速度4 計數(shù)計數(shù)30秒60秒3 分鐘手動5 自檢自檢光電門自檢測量信號輸入：1 計時11 單電門，測試單電門連續(xù)兩脈沖間距時間。 12多脈沖，測量單電門連續(xù)脈沖間距時間，可測量 99 個脈沖間距時間 13 雙電門，測量兩個電門各自發(fā)出單脈沖之間的間距時間。 14 單擺周期，測量單電門第三脈沖到第一脈沖間隔時間。 15 時鐘 類似跑表，按下確定則開始計時 2 速度22 碰撞，分別測得各個光電門在去和回時遮光片通過光電門得時間t1、t2、t3、t4，然后根據(jù)公式計算速度。23 角速度，測得圓盤兩遮光片通過光電門產(chǎn)生得兩個脈沖間時間 t，然后根據(jù) 公式計算速度。24 轉速，測

17、得圓盤兩遮光片通過光電門產(chǎn)生得兩個脈沖間時間t，然后根據(jù)公式計算速度。3 加速度31 單電門，測得單電門連續(xù)三脈沖各個脈沖與相鄰脈沖間距時間 t1、t2，然后 根據(jù)公式計算速度。32線加速度， 測得單電門連續(xù)七脈沖第 1個脈沖與第脈 4個脈沖間距時間 t1、 第 7 個脈沖與第 4 個脈沖間距時間 t2 ，然后根據(jù)公式計算速度。33角加速度， 測得單電門連續(xù)七脈沖第 1個脈沖與第脈 4個脈沖間距時間 t1、 第 7 個脈沖與第 4 個脈沖間距時間 t2 ，然后根據(jù)公式計算速度。34雙電門，測得 A 通道第 2 脈沖與第 1 脈沖間距時間 t1，B 通道第一脈沖與A 通道第一脈沖間距時間 t2，

18、 B 通道第二脈沖與 A 通道第一脈沖間距時間 t3。4 計數(shù)41 30秒，第一個脈沖開始計時，共計30 秒，記錄累計脈沖個數(shù)42 60 秒，第一個脈沖開始計時，共計 60 秒，記錄累計脈沖個數(shù)。43 3 分鐘，第一個脈沖開始計時，共計 3 分鐘，記錄累計脈沖個數(shù)。44 手動第一個脈沖開始計時，手動按下確定鍵停止，記錄累計脈沖個數(shù)5 自檢檢測信號輸入端電平。 特別注意：如某一通道無任何線纜連接將顯示“高” 。自 檢時正確的方法應該是通過遮擋光電門來查看 LCD 顯示通道是否有高低變化 有變化則光電門正常，反之異常。耦合擺的研究一概述振動系統(tǒng)間的作用問題 （耦合振動） 在物理學、 工程結構和電子

19、學線路中具有極其重要 的意義。 本儀器由兩個完全相同的單擺組成， 單擺的振動周期可分別調(diào)整， 兩者之間用一根 彈簧相連， 實現(xiàn)了相互的耦合即組成耦合擺。 改變耦合彈簧在單擺上的位置， 可明顯觀察到 耦合度大小對振動系統(tǒng)的影響和規(guī)律，并從中觀察到“拍”的現(xiàn)象。本儀器可實驗彈簧傳遞能量的過程和拍的現(xiàn)象； 可定量測量同相位， 反相位振動， 簡正 振動和拍頻等物理參數(shù)。整套儀器由耦合擺實驗裝置和MS 4 計數(shù)計時多用秒表組成，采用激光光電門作為計數(shù)計時傳感器， 具有實驗測量直觀， 數(shù)據(jù)精確的特點， 有利于拓寬學生 視野；儀器結構科學牢固輕巧，是當前探索研究型實驗教學的新儀器。實驗儀器1、擺桿固定和調(diào)整

20、螺母 2、擺桿 3、立柱 4、耦合彈簧 5、耦合位置調(diào)節(jié)環(huán) 6、振動頻率微調(diào)螺母 7、擺錘 8、振幅指針兼計數(shù)計時擋桿9、水平尺固定架 10、振幅測量直尺 11、底盤 12、氣泡式水準儀 13 、儀器水平調(diào)整旋鈕 14、激光發(fā) 射部件和信號處理部件 15、可見紅色激光束 16、擋光片 17、激光接收探頭 18、激光 光電門支架 19、次數(shù)預置 20、次數(shù)顯示 21 、相應次數(shù)的計時顯示窗22、計數(shù)計時復位按鈕 23、 5V 接線柱 24、GND（公共地）接線柱 25、計數(shù)計時信號輸入接 線柱 26、輸入信號低電平指示三實驗原理0g01. 設一單擺，擺長為 L，則固有圓頻率L ，式中 g 為重力

21、加速度。2. 將兩個完全相同的單擺通過一根彈簧耦合組成耦合擺， 如果一個擺固定， 另一個擺 gK 振動的頻率叫做支頻率，支頻率 L m ，式中 K 為彈簧的倔強系數(shù)， m 為單 擺有效質(zhì)量。通過調(diào)整使固有圓頻率相等后組成的耦合擺，其兩個支頻率相等，12 。3. 實際上耦合系統(tǒng)的振動方式比較復雜， 取決于初始條件。 然后存在兩種特有的振動 方式，一種是兩擺往同方向從平衡位置移開相等的距離引起的振動，即同相振動。4. 另一種是兩擺從平衡位置往相反方相移開相等距離引起的振動，即反相振動。5. 反相振動和同相振動稱作簡正振動， 其頻率稱為簡正頻率。 反相振動時， 其簡正頻gL （同固有頻率） 。 振動

22、表現(xiàn)出拍振的性質(zhì)，g 2K 反同 率為 L m ；同相振動時，其簡正頻率為6. 在一般情況下， 耦合系統(tǒng)的振動是這兩個簡正振動的組合，拍振頻率 反 同 兩個擺相繼地發(fā)生振幅周期性增大和減小， 能量在兩個擺 之間來回交替?zhèn)鬟f。四實驗內(nèi)容1. 測定單個擺的固有振動頻率、調(diào)整使兩擺的振動頻率（或周期）相同。g測單個擺的固有圓頻率， L 。不加耦合彈簧，用激光光電門結合計數(shù)計時毫秒儀， 測出 10 個周期的時間，計算出振動頻率。調(diào)整微調(diào)螺母，使兩擺在同樣起始振幅下的振動 周期相同。其誤差 1。實驗時計時周期數(shù)為 10，所以計數(shù)計時多用秒表預置次數(shù)設置為20 ，振幅指針經(jīng)過平衡位置 20次,用手水平方向

23、移開擺錘， 使振幅指針偏離平衡位置 25mm后放開。 實驗測量周 期記作 T0、振動頻率記作 f0。表1單擺 1單擺 2序號10T0/ST0/Sf0/(1/S)10T0/ST0/Sf0/(1/S)12345平均值2. 在不同擺桿位置用彈簧耦合連接， 測定耦合系統(tǒng)的支頻率。 測定耦合擺的兩個簡正 頻率；驗證耦合長度的平方與其反相振動頻率的平方成線性關系。gK1）測定耦合系統(tǒng)的支頻率 L m 將兩擺用彈簧連接起來 ，用手固定單擺 1 （左面單擺） ,使單擺 2（右面單擺）振動，用激光光電門結合計數(shù)計時毫秒儀，測出 10 個周期的時間，計算出振動頻率。實驗時計時周期數(shù)為 10，所以計數(shù)計時多用秒表預

24、置次數(shù)設置為20，振幅指針經(jīng)過平衡位置 20 次 ,用手水平方向移開擺錘，使振幅指針偏離平衡位置25mm 后放開。在耦合長度分別為 20、25、30、35、40cm 時.，實驗測量支頻率記作 f1 和 f2。耦合長度 是指耦合點到擺桿轉動軸心的距離，記作L 。表2耦合長度 L/cm10T/ST/Sf/(1/S)202530354022）測定耦合擺的簡正頻率 L （與自由振動的單擺固有頻率相同）,把兩個擺往相同的方向，從平衡位置移開相等距離，使振幅指針偏離平衡位置 25mm 后放開， 用激光光電門結合計數(shù)計時多用秒表， 測出 10 個周期振動時間， 計算振動頻率。 實 驗時計時周期數(shù)為 10，計

25、數(shù)計時預置次數(shù)設置為 20，振幅指針經(jīng)過平衡位置 20 次， 在耦合長度分別為 20、25、30、 35、40cm.時，實驗測量簡正頻率，記作 f2。表3耦合長度 L/cm10T2/ST2/Sf2/(1/S)20253035401 gL 2mK3）測定耦合擺的簡正頻率L m ,把兩個擺從平衡位置對稱地往相反方向拉開，即作反相振動，在兩擺振幅指針偏離平衡位置 25mm 后放開，用激光光電門結合計數(shù) 計時多用秒表，測出 10 個周期的時間，計算出振動頻率。實驗時計時周期數(shù)為 10 ， 計數(shù)計時多用秒表預置次數(shù)設置為20，振幅指針經(jīng)過平衡位置 20 次，在耦合長度分別為 20、25、30、 35、4

26、0cm.時，實驗測量簡正頻率，記作 f1。表4耦合長度 L/cm10T1/ST1/Sf1/(1/S)2025303540由上述數(shù)據(jù)作 f12L2 圖，說明反相振動頻率的平方與耦合長度的平方其成線性關系。3. 用彈簧耦合，測定在不同耦合長度時，耦合長度的平方與拍頻成線性關系。1） 觀察拍振，測出拍振頻率，握住左擺不動，拉開右擺20mm，然后同時釋放兩擺，觀察兩擺的振動情況， 可以看到左擺位相總是落于右擺。 振動的能量從右邊的擺逐 漸轉移到左邊的擺， 然后又從左邊的擺逐漸返還到右邊的擺， 此是位相亦產(chǎn)生變換， 右擺的位相又落后于左邊的擺。 如此周期性的進行， 可以明顯地看到每個擺的振動 都具有拍的特征。2） 用計數(shù)計時多用秒表測出拍振周期，即測出一個擺相鄰兩次擺動中止的時間間隔， 從而算出拍振頻率。 實驗證明 ff1f2，實驗時，用左手固