隨機變量與隨機過程模擬

1、隨機變量與隨機過程模擬隨機變量與隨機過程模擬主要內容主要內容解解析析法法隨機現(xiàn)象隨機現(xiàn)象隨機事件隨機事件隨機變量分布函數(shù)隨機變量分布函數(shù)狀態(tài)描述？狀態(tài)描述？如何求解？如何求解？數(shù)值計算數(shù)值計算邏輯判斷邏輯判斷物理物理實驗實驗法法隨機事件概率的計算隨機事件概率的計算隨機變量分布函數(shù)的求得隨機變量分布函數(shù)的求得數(shù)量化數(shù)量化邏輯性邏輯性計算機模擬方法計算機模擬方法（統(tǒng)計實驗法）（統(tǒng)計實驗法）統(tǒng)計實驗法求解隨機性模型有關問題基本思想：統(tǒng)計實驗法求解隨機性模型有關問題基本思想： 如何取得我們關心的事件如何取得我們關心的事件A或隨機變量或隨機變量X的一的一列樣本。列樣本。步驟主要有：步驟主要有：1. 構造

2、便于模擬的概率模型：構造便于模擬的概率模型： 根據問題需要引入一些分布可以確定的與根據問題需要引入一些分布可以確定的與X有關的有關的隨機變量；隨機變量； 通過數(shù)值計算與邏輯判斷表述這些隨機變量與通過數(shù)值計算與邏輯判斷表述這些隨機變量與X之之間的關系；間的關系；2. 用計算機產生給定分布隨機變量的一列樣本值；用計算機產生給定分布隨機變量的一列樣本值；3. 根據模擬模型的特性對這些樣本值進行處理，從而獲根據模擬模型的特性對這些樣本值進行處理，從而獲得得X的一列樣本值。的一列樣本值。運用統(tǒng)計分析法對隨機模型實施模擬時需要獲得具運用統(tǒng)計分析法對隨機模型實施模擬時需要獲得具有給定分布隨機變量的一列獨立樣

3、本值，通常稱不有給定分布隨機變量的一列獨立樣本值，通常稱不同分布隨機變量的抽樣實現(xiàn)值為不同分布的隨機數(shù)，同分布隨機變量的抽樣實現(xiàn)值為不同分布的隨機數(shù)，其中其中IIDU(0,1)均勻分布隨機數(shù)是最基本的隨機數(shù)，均勻分布隨機數(shù)是最基本的隨機數(shù)，通過對它進行適當變換，就可以得到任意分布的其通過對它進行適當變換，就可以得到任意分布的其他隨機變量。他隨機變量。目前大多數(shù)仿真中都是應用計算機程序來產生目前大多數(shù)仿真中都是應用計算機程序來產生IIDU(0,1)均勻分布隨機數(shù)，即采用某種確定的規(guī)則，均勻分布隨機數(shù)，即采用某種確定的規(guī)則，通過遞推計算產生隨機數(shù)序列。雖然它不是真正的通過遞推計算產生隨機數(shù)序列。雖

4、然它不是真正的隨機數(shù)，但由于其具有真正隨機數(shù)的統(tǒng)計性質，因隨機數(shù)，但由于其具有真正隨機數(shù)的統(tǒng)計性質，因此可以把它當作隨機數(shù)來使用，這樣的數(shù)列稱為偽此可以把它當作隨機數(shù)來使用，這樣的數(shù)列稱為偽隨機數(shù)。隨機數(shù)。 真正意義上的隨機數(shù)（或者隨機事件）在某真正意義上的隨機數(shù)（或者隨機事件）在某次產生過程中是按照實驗過程中表現(xiàn)的分布次產生過程中是按照實驗過程中表現(xiàn)的分布概率隨機產生的，其結果是不可預測的，是概率隨機產生的，其結果是不可預測的，是不可見的。不可見的。計算機中的隨機函數(shù)是按照一定算法模擬產計算機中的隨機函數(shù)是按照一定算法模擬產生的，其結果是確定的，是可見的。我們可生的，其結果是確定的，是可見的

5、。我們可以這樣認為這個可預見的結果其出現(xiàn)的概率以這樣認為這個可預見的結果其出現(xiàn)的概率是是100%。所以用計算機隨機函數(shù)所產生的。所以用計算機隨機函數(shù)所產生的“隨機數(shù)隨機數(shù)”并不隨機，是偽隨機數(shù)。并不隨機，是偽隨機數(shù)。 產生偽隨機數(shù)的方法很多，一般來說應滿產生偽隨機數(shù)的方法很多，一般來說應滿足以下幾點要求：足以下幾點要求：1.具有較好的隨機性與均勻性；具有較好的隨機性與均勻性；2.產生偽隨機數(shù)的速度要快；產生偽隨機數(shù)的速度要快；3.占用計算機內存盡可能少；占用計算機內存盡可能少；4.一批隨機數(shù)的循環(huán)周期盡可能長。一批隨機數(shù)的循環(huán)周期盡可能長。 目前在實際應用中多采用乘法線性同余法，目前在實際應用

6、中多采用乘法線性同余法，其遞推公式為：其遞推公式為： xi+1 =(a xi +b)mod m 式中式中a、x0、m分別稱為乘子、種子和模，分別稱為乘子、種子和模，他們的選取是否合適影響到偽隨機數(shù)序列他們的選取是否合適影響到偽隨機數(shù)序列的均勻、獨立性與循環(huán)周期。的均勻、獨立性與循環(huán)周期。/rand01.c #include static unsigned int RAND_SEED; unsigned int random(void) RAND_SEED=(RAND_SEED*123+59)%65536; return(RAND_SEED); void random_start(void) i

7、nt temp2; movedata(0 x0040,0 x006c,FP_SEG(temp),FP_OFF(temp),4); RAND_SEED=temp0; main() unsigned int i,n; random_start(); for(i=0;i10;i+) printf(%ut,random(); printf(n); 一般地，除一般地，除IIDU(0,1)均勻分布外，偽隨機數(shù)的生均勻分布外，偽隨機數(shù)的生成方法主要有以下成方法主要有以下3種：種： （1） 直接法（直接法（Direct Method），根據分布函數(shù)的物），根據分布函數(shù)的物理意義生成。缺點是僅適用于某些具有特殊

8、分布的隨機理意義生成。缺點是僅適用于某些具有特殊分布的隨機數(shù)，如二項式分布、泊松分布。數(shù)，如二項式分布、泊松分布。 （2） 逆轉法（逆轉法（Inversion Method），假設），假設U服從服從0，1區(qū)間上的均勻分布，令區(qū)間上的均勻分布，令X=F-1（U），則），則X的累計分布函的累計分布函數(shù)（數(shù)（CDF）為）為F。該方法原理簡單、編程方便、適用性。該方法原理簡單、編程方便、適用性廣。廣。 （3）接受拒絕法（）接受拒絕法（Acceptance-Rejection Method）：）：假設希望生成的隨機數(shù)的概率密度函數(shù)（假設希望生成的隨機數(shù)的概率密度函數(shù)（PDF）為）為f，則，則首先找到一個

9、首先找到一個PDF為為g的隨機數(shù)發(fā)生器與常數(shù)的隨機數(shù)發(fā)生器與常數(shù)c，使得，使得（x）cg（x），然后根據接收拒絕算法求解。由于算），然后根據接收拒絕算法求解。由于算法平均運算法平均運算c次才能得到一個希望生成的隨機數(shù)，因此次才能得到一個希望生成的隨機數(shù)，因此c的取值必須盡可能小。顯然，該算法的缺點是較難確定的取值必須盡可能小。顯然，該算法的缺點是較難確定g與與c。 因此，偽隨機數(shù)生成器（因此，偽隨機數(shù)生成器（PRNG）一般采用逆轉）一般采用逆轉法，其基礎是均勻分布，均勻分布法，其基礎是均勻分布，均勻分布PRNG的優(yōu)劣決定了的優(yōu)劣決定了整個隨機數(shù)體系的優(yōu)劣。整個隨機數(shù)體系的優(yōu)劣。目前計算機高級語

10、言大多都具有產生偽隨機數(shù)的標目前計算機高級語言大多都具有產生偽隨機數(shù)的標準函數(shù)，專用仿真語言均設有偽隨機數(shù)發(fā)生器，適準函數(shù)，專用仿真語言均設有偽隨機數(shù)發(fā)生器，適合大多數(shù)情況下的仿真需求。合大多數(shù)情況下的仿真需求。計算機不會產生絕對隨機的隨機數(shù)，計算機只能產計算機不會產生絕對隨機的隨機數(shù)，計算機只能產生生“偽隨機數(shù)偽隨機數(shù)”。其實絕對隨機的隨機數(shù)只是一種。其實絕對隨機的隨機數(shù)只是一種理想的隨機數(shù)，即使計算機怎樣發(fā)展，它也不會產理想的隨機數(shù)，即使計算機怎樣發(fā)展，它也不會產生一串絕對隨機的隨機數(shù)。計算機只能生成相對的生一串絕對隨機的隨機數(shù)。計算機只能生成相對的隨機數(shù)，即偽隨機數(shù)。隨機數(shù)，即偽隨機數(shù)。

11、 偽隨機數(shù)并不是假隨機數(shù)，這里的偽隨機數(shù)并不是假隨機數(shù)，這里的“偽偽”是有規(guī)律是有規(guī)律的意思，就是計算機產生的偽隨機數(shù)既是隨機的又的意思，就是計算機產生的偽隨機數(shù)既是隨機的又是有規(guī)律的。怎樣理解呢？產生的偽隨機數(shù)有時遵是有規(guī)律的。怎樣理解呢？產生的偽隨機數(shù)有時遵守一定的規(guī)律，有時不遵守任何規(guī)律；偽隨機數(shù)有守一定的規(guī)律，有時不遵守任何規(guī)律；偽隨機數(shù)有一部分遵守一定的規(guī)律；另一部分不遵守任何規(guī)律。一部分遵守一定的規(guī)律；另一部分不遵守任何規(guī)律。 運用統(tǒng)計實驗法對隨機行問題作模擬求解是，運用統(tǒng)計實驗法對隨機行問題作模擬求解是，其模擬模型的建立一般來說應包含以下要素：其模擬模型的建立一般來說應包含以下要

12、素：（1）模型與原問題應保持相同的概率特性；）模型與原問題應保持相同的概率特性；（2）模型中應明確隨機變量與）模型中應明確隨機變量與U0,1均勻均勻分布隨機變量的內在聯(lián)系；分布隨機變量的內在聯(lián)系；（3）這種內在聯(lián)系應通過計算機的兩大功）這種內在聯(lián)系應通過計算機的兩大功能能數(shù)值計算和邏輯判斷來表述。數(shù)值計算和邏輯判斷來表述。隨機事件的模擬隨機事件的模擬 簡單事件模擬簡單事件模擬 完備事件列模擬完備事件列模擬離散型隨機變量的模擬離散型隨機變量的模擬 一般方法一般方法 二點分布隨機變量的模擬二點分布隨機變量的模擬 幾何分布、二項分布、泊松分布幾何分布、二項分布、泊松分布簡單事件模擬 設事件設事件A

13、A有有P(A)=p(0p1)P(A)=p(0p1)。所謂對事件。所謂對事件A A模擬的模擬的目的是要獲取該事件目的是要獲取該事件A A在一次實驗中的結果：在一次實驗中的結果：A A發(fā)生發(fā)生或或A A不發(fā)生。為實現(xiàn)上述目的，所構造的模擬模型可不發(fā)生。為實現(xiàn)上述目的，所構造的模擬模型可設計為一個新的事件設計為一個新的事件“U=pU=p”，記為事件，記為事件B B。利用。利用0,10,1均勻分布隨機變量均勻分布隨機變量U U之分布函數(shù)的下列特性之分布函數(shù)的下列特性考慮到考慮到0p10p1，故有，故有P(B)=P(U=p)=p=P(A)P(B)=P(U=p)=p=P(A)。0 0( )() 011 1

14、UxFxP Uxxxx以上設計的模型包含了3個要素：（1）由于P(A)=P(B)，模型保持了原問題的概率特性；（2）模型包含了0,1均勻分布隨機變量U，從而便于抽樣；（3）U與A的內在聯(lián)系：P(A)=P(U=p)，此聯(lián)系是通過邏輯判斷U=p來實現(xiàn)的。利用這種表述很容易進行數(shù)學處理來獲得A之樣本。其思路和具體過程如下：完備事件列模擬設有互斥的隨機事件設有互斥的隨機事件A A0 0 A A1 1 .有滿足條件：有滿足條件：01) ()(2) () (0,1,2,.)(3) 1ijiiiiAAijP Apip （則稱此事件序列構成一組互不相容事件的完備群則稱此事件序列構成一組互不相容事件的完備群（簡

15、稱完備事件）。（簡稱完備事件）。構造新的事件列構造新的事件列B B0 0 B B1 1 .，其中，其中100iiikkkkBpUp這種構造形式的合理性可由如下等式看出：這種構造形式的合理性可由如下等式看出：100100100()() ()() ()iiikkkkiikkkkiikkiikkP BPpUpP UpP UppppP A 由于由于P(AP(Ai i)=P(B)=P(Bi i) )，故知，故知B Bi i保持了保持了A Ai i的概率特性，的概率特性，因此在一次實驗中若事件因此在一次實驗中若事件B Bi i發(fā)生了，則可以很自然地發(fā)生了，則可以很自然地認為認為A Ai i事件也就發(fā)生了。

16、至于要判斷是哪個事件事件也就發(fā)生了。至于要判斷是哪個事件B Bi i發(fā)發(fā)生，可通過如下數(shù)學處理來進行：生，可通過如下數(shù)學處理來進行： （1 1）將）將0,10,1區(qū)間劃分成若干小區(qū)間，各小區(qū)間區(qū)間劃分成若干小區(qū)間，各小區(qū)間的分界點坐標依次為的分界點坐標依次為L L0 0,L,L1 1,.,L,.,Ln n, , 使使 ，于是小區(qū)間于是小區(qū)間A Ai i=(L=(Li-1i-1,L,Li i) )之長度即為之長度即為p pi i （2 2）抽取偽隨機數(shù)）抽取偽隨機數(shù)u u并觀察并觀察u u在在0,10,1區(qū)間中所落區(qū)間中所落之位置。若之位置。若u u落在子區(qū)間落在子區(qū)間A Ai i=(L=(Li

17、-1i-1,L,Li i 內，則認為事件內，則認為事件B Bi i發(fā)生，從而可以認為事件發(fā)生，從而可以認為事件A Ai i發(fā)生。發(fā)生。0jjkkLp完備事件列的模擬過程和相應的抽樣方法具體過程如下： 設離散隨機變量設離散隨機變量X X有分布列有分布列0 () (0,1,2,., )1iiniiP Xxpinp且 顯然顯然X X在一次實驗中必須且只能在在一次實驗中必須且只能在x x0 0,x,x1 1,x,xn n中中取值，人們對取值，人們對X X模擬的目的是希望獲取一次實驗的結模擬的目的是希望獲取一次實驗的結果，即其樣本值究竟取哪個果，即其樣本值究竟取哪個x xi i？ 通過定義等價的完備事件

18、列，可將問題抽象為：通過定義等價的完備事件列，可將問題抽象為： 根據u落在不同的子區(qū)間確定X的不同取值，這就是離散型隨機變量的一般模擬方法。00100110010 . . 1 kkkiiiinniixupxpuppXxpupxpu回顧回顧運用統(tǒng)計實驗法對隨機性問題作模擬求解時，運用統(tǒng)計實驗法對隨機性問題作模擬求解時，其模擬模型的建立一般來說應包含哪些要素？其模擬模型的建立一般來說應包含哪些要素？（1）模型與原問題應保持相同的概率特性；）模型與原問題應保持相同的概率特性；（2）模型中應明確隨機變量與）模型中應明確隨機變量與U0,1均勻均勻分布隨機變量的內在聯(lián)系；分布隨機變量的內在聯(lián)系；（3）這種

19、內在聯(lián)系應通過計算機的兩大功）這種內在聯(lián)系應通過計算機的兩大功能能數(shù)值計算和邏輯判斷來表述。數(shù)值計算和邏輯判斷來表述。簡單事件模擬的思路和流程圖： 兩點分布隨機變量的模擬 設隨機變量X有兩點分布：P(X=1)=p，P(X=0)=q，其中p+q=1。對X進行模擬的目的是希望得知在一次實驗中X究竟取0與1中的哪一個值。 構造模型？ 建立與U(0,1)分布的關系？ 兩點分布隨機變量的模擬 若構造模型 1, 0,AXA發(fā)生不發(fā)生 其中P(A)=p，則易知P(X=1)=P(A)=p，P(X=0)=P( )=1-p=q。利用對事件A的模擬可得一次實驗中之結果信息：若A發(fā)生，則認為X取1，若A不發(fā)生，則認為X取0。A 幾何分布隨機變量的模擬 設隨機變量X有幾何分布，即有分布列P(X=k)=qk-1p，k=1,2,。對X進行模擬的目的是希望得知在一次實驗中X究竟取1,2,3中的哪一個正整數(shù)。 將X視為貝努力實驗中事件A首次發(fā)生時之實驗序數(shù)，則當Xk時說明前k-1次實驗A不發(fā)生，而在第k次實驗時A發(fā)生。利用貝努力實驗的獨立重復性，有1()(.)kP XkP AA AAqp 連續(xù)型隨機變量的模擬方法： 逆變換法 函數(shù)變換法 舍選法 近似法 組合法 逆變換法：已知一個隨機變量的概率分布函數(shù)，可借助于U(0,1)隨機數(shù)來產生具有已知概率分布的隨機數(shù)。用這種方法產生已知