數(shù)學(xué)：2.2.1《等差數(shù)列》例題解析（新人教B版必修5）

1、等差數(shù)列·例題解析 【例1】 在100以內(nèi)有多少個(gè)能被7個(gè)整除的自然數(shù)？解 100以內(nèi)能被7整除的自然數(shù)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，其中a1=7，d7，an98代入ana1(n1)d中，有987(n1)·7解得n14答 100以內(nèi)有14個(gè)能被7整除的自然數(shù)【例2】 在1與7之間順次插入三個(gè)數(shù)a，b，b使這五個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列解 設(shè)這五個(gè)數(shù)組成的等差數(shù)列為an由已知：a11，a5771(51)d 解出d2所求數(shù)列為：1，1，3，5，7插入一個(gè)數(shù)，使之組成一個(gè)新的等差數(shù)列，求新數(shù)列的通項(xiàng)【例4】 在1000，2000內(nèi)能被3整除且被4除余1的整數(shù)共有多少個(gè)？解 設(shè)an=3

2、n，bm4m3，n，mN得n4k1(kN)，得an，bm中相同的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列cn的通項(xiàng)cn12n3(nN)則在1000，2000內(nèi)cn的項(xiàng)為84·123，85·123，166·123n166841=83 共有83個(gè)數(shù)【例5】 三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為15，其平方和為83，求此三個(gè)數(shù)解 設(shè)三個(gè)數(shù)分別為xd，x，xd解得x5，d±2 所求三個(gè)數(shù)為3、5、7或7、5、3說(shuō)明 注意學(xué)習(xí)本題對(duì)三個(gè)成等差數(shù)列的數(shù)的設(shè)法【例6】 已知a、b、c成等差數(shù)列，求證：bc，ca，ab也成等差數(shù)列證 a、b、c成等差數(shù)列2b=ac(bc)(ab)a2bca(ac)c2(ac)

3、bc、ca、ab成等差數(shù)列說(shuō)明 如果a、b、c成等差數(shù)列，?；?bac的形式去運(yùn)用；反之，如果求證a、b、c成等差數(shù)列，常改證2b=ac本例的意圖即在讓讀者體會(huì)這一點(diǎn)可能是等差數(shù)列分析 直接證明a、b、c不可能是等差數(shù)列，有關(guān)等差數(shù)列的知識(shí)較難運(yùn)用，這時(shí)往往用反證法證 假設(shè)a、b、c是等差數(shù)列，則2b=ac2acb(ac)=2b2，b2ac又 a、b、c不為0， a、b、c為等比數(shù)列，又 a、b、c為等差數(shù)列， a、b、c為常數(shù)列，與ab矛盾， 假設(shè)是錯(cuò)誤的 a、b、c不可能成等差數(shù)列【例8】 解答下列各題：(1)已知等差數(shù)列an，an0，公差d0，求證：對(duì)任意kN，關(guān)于x的方程akx22ak+1xak+20有一公共根；分析與解答(1)akx22ak+1xak+20an為等差數(shù)列，2ak+1akak+2akx2(akak+2)xak+20(akxak+2)(x1)=0，ak0an為等差數(shù)列，d為不等于零的常數(shù)(2)由條件得 2b=ac4RsinB2RsinA2RsinC，2sinBsinAsinC分析至此，變形目標(biāo)需明確，即要證由于目標(biāo)是半角的余切形式，一般把切向弦轉(zhuǎn)化，故有【例9】 若正數(shù)a1，a2，a3，an+1成等差數(shù)列，求證：證明 設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a1a2=a2a3anan+1=da1an