理論力學該(25)

1、12內 容 提 要 1.動量定理 2.動量矩定理 3.動能定理 4.綜合應用 5.總結 6.課后練習31.動 量 定 理 1-1.基本概念和定理 rc = mi ri / M P = mi vi P = M Vc P2 - P1 = Ie M ac = dp/dt=Re 1-2.例 題 例題1-1. 例題1-2. 例題1-3.4例題1-1. 水平面上放一均質三棱柱 A,在此三棱柱上又放一均質三棱柱B. 兩三棱柱的橫截面都是直角三角形,且質量分別為M和m.設各接觸面都是光滑的,在圖示瞬時, 三棱柱A的速度為v, 三棱柱B相對于A的速度為u, 求該瞬時系統(tǒng)的動量.AB5AB解:取系統(tǒng)為研究對象vu

2、PAx = - M vPAy = 0PBx = - m v + m u cosPBy = - m u sinPx = - (M + m) v + m u cosPy = - m u sinBAPPP6例題1-2.質量為M 的滑塊A 在滑道內滑動,其上鉸結一質量為m長度為 l的均質桿AB,當AB 桿與鉛垂線的夾角為 時,滑塊A 的速度為v, 桿AB的角速度為,求該瞬時系統(tǒng)的動量.ABCv 7解:取系統(tǒng)為研究對象.PAx = M v PAy = 0設 桿AB質心 C 的速度為vC由 vc = ve + vrcos21lvvcxsin21lvcycos21lmmvPABxsin21lmPABycos

3、21lmvmMPxsin21lmPyABCv vcvcxvcyABAPPPve = vlvr218例題1-3. 水平面上放一均質三棱柱A, 在此三棱柱上又放一均質三棱柱 B 兩三棱柱的橫截面都是直角三角形,且質量分別為M 和m,設各接觸面都是光滑的,求當三棱柱B 從圖示位置沿 A 由靜止滑下至水平面時,三棱柱A 所移動的距離s.ABba(水平方向不受外力,質心運動收恒)9 主矢的水平分量為零,水平方向的動量守恒.Px = Pxo = 0 設系統(tǒng)初終位置時質心的x 坐標分別為xc0 和xc1則有 xco = xc1 = cmMMxmxxMmc000mMsxMsbaxmxMmc001mMbams解

4、:取系統(tǒng)為研究對象.ABba a-b102. 動 量 矩 定 理 2-1.基本概念和定理基本概念和定理 LO= ri mi vi LC= ri mi vi LO= LC+ rc P LO= JO LC= Jc JO = Meo JC = MeC 2-2.例 題 例題 2-1. 例題 2-2. 例題 2-3.11例題2-1. 質量為M 半徑R為的均質園盤沿著x 軸作純滾動,在某瞬時盤心 C 的速度為v , 求: (1)園盤在相對盤心平動坐標系運動中對C點的動量矩; (2)園盤在絕對運動中對 x 軸上任一固定點 O的動量矩; (3) 園盤在絕對運動中對瞬心 I 點的動量矩.OICxv12解:CCJ

5、L) 1 (221MRMRv21OICxvPrLLCCO)2(iMvjRixLIC)(iMvjRLCMRvLLCOMRv23CrixIjR13(3)計算對瞬心 I 點的動量矩 ICxvjRmivir ir ciiiiIvmrL iicivmrjR)(iiciiivmrvmjRCCLvMjRMRvLLCIMRv23OL14例題2-2.滑輪O和C為均質圓盤,質量分別為M和m半徑分別為R 和r,且R=2r,物塊A和B質量分別為M和m , 圖示瞬時物塊A 的速度為v , 求系統(tǒng)對O點的動量矩.ABOCv15ABOCv解:取坐標如圖.xA+2xC = cx得: vA= v =2 vC= RO= 2r C

6、LO= LOA+ LOO+ LOC+ LOBLOA= RMvmRvmrvLcOB41mRvmrLCOC83232mRvmrLoOO21212RMMRvmMLO56811216例題2-3. 小球A質量為m連在細繩的一端 ,繩的另一端穿透光滑的水平面上的小孔O,令小球在水平面上沿半徑為 r 的圓周作勻速運動,其速度為v,若將細繩往下拉,使圓周的半徑縮小為r/2 ,求此時小球的速度u 和細繩的拉力T.OAT(對0Z軸的力矩為零，則動量矩守恒.)17 解:取小球為研究對象 .由Moe = 0u = 2vumrvmr21OAT得 LO = crvmvmrT228221(2v)2(0.5r)m183. 動

7、 能 定 理 3.1.基本概念和定理 3.2. 例 題 例題 3-1 ; 例題 3-2 ; 例題 3-3221iivmT221riivmT221TvMTcOOJT21d T = WT + V = cIIJT21T2 - T1 = W19例題3-1. 圖示坦克履帶l質量為M ,每個車輪質量為m ,車輪可視為均質園盤,半徑為r,設坦克前進速度為v,求系統(tǒng)的動能.ABlv20解: T = TA + TB + Tl)21(2122mrmrTTBA23221vmMT243vmABlvTMvTcl2212222121MvvmMviC21例題3-2. 均質細桿長為l,質量為m,上端B靠在光滑的墻上,下端A用

8、鉸與質量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連,在圖示位置圓柱中心速度為v,桿與水平線的夾角=45o,求該瞬時系統(tǒng)的動能.vABC22vABC解: T = TA + TABII 為AB桿的瞬心222432321MvMRTAAsinlv222312121mllmmlJI222231sin621mvmvJTABIAB249121vmMT23例題3-3. 質量為m長為l的均質桿AB,在鉛直平面內一端沿著水平地面 ,另一端沿著鉛垂墻面由與鉛垂方向成角的位置無初速地滑下.不計接觸處的摩擦力,求在圖示瞬時桿的角加速度 .AB24解:取桿AB 為研究對象,系統(tǒng)機械能守恒.22261)2(12121mll

9、mmlTcos21mglVcmglmlcos21612兩邊同時求導并化簡得:lg4sin ABI254. 綜 合 應 用4-1.動量定理和動量矩定理組合,求加速度, 角加速度和約束反力.4-2.動量定理和動能定理的微分形式組合, 求加速度,角加速度和約束反力.4-3.動量矩定理和動能定理的微分形式組合, 求加速度,角加速度和約束反力.4-4.動量定理和動能定理的積分形式組合, 求速度和角速度.例題4-1. 例題4-2. 例題4-3. 例題4-4. 26 例題4-1.質量為 m長為 l 的均質桿AB,在鉛直平面一端沿著水平地面, 另一端沿著鉛垂墻面由與鉛垂方向成角的位置無初速地滑下. 不計接觸處

10、的摩擦力, 求在圖示瞬時桿所受的約束反力. AB27把上式分別向x、y軸投影得:cos21lacxNA- m g = m acy (1)NB = m acx (2)2121cossin21mlNlA(3)sin431 (2mgNA aA= aC + aAC解: acacyacxyxCNANBaAC ABsin21lacycossin43mgNBaB= aC + aBCaBC 28例題4-2. 水平面上放一質量為M 的三棱柱A 其上放一質量為m 的物塊 B,設各接觸面都是光滑的,當物塊B 在圖示位置由靜止滑下的過程中, 求三棱柱A的加速度.BA水平方向動量守恒.機械能守恒29BA解:取系統(tǒng)為研究

11、對象.水平方向動量守恒.-(M+m)vM + mvrcos = 0 (1)-(M+m)aM + marcos = 0 (2)T = TM + Tm221MMvMTcos22122rMrMmvvvvmTvMvrvBvMvrcos22122rMrMvvvmvmMT(3)302sincossinmMmgaM把(3) (4)式代入(5)式求導并與(6)式聯得:V = m g y (4)由系統(tǒng)機械能守恒:T + V = c (5)BAsinrvy (6)vBy=y31例題4-3. 圖示機構位于鉛垂平面內,曲柄長OA= 0.4m,角速度 = 4.5rad/s (常數).均質直桿AB長AB=1m質量為10k

12、g ,在 A、B 端分別用鉸鏈與曲柄、滾子 B 連接.如滾子B 的質量不計,求在圖示瞬時位置時地面對滾子的壓力.0.8mOAB C（ AB桿應用質心運動定理和相對于質心的動量矩定理;運動學公式。）32解:AB桿作平面運動I為瞬心.0.8mOAB CIIA = 0.6mvA = (OA) = (IA)AB36 . 05 . 44 . 0AB取A為基點B為動點.aaanA2 OAan= 8.1a = 0BAnBAABaaaa(1)an2)(ABnBAABa= 9ABBAABa)(ABnBAaBAa ABAB33把(1)式向BI方向投影得:0.8mOAB CIannBAaBAaBAnBAaa6.08

13、.000AB = -12 rad/s2 ABABCAnCAACaaaa(2)aAnCAaCAa2)(ABnCAACa= 4.5ABCAACa)(= 6aA = 8.1CAnCAACxaaaa8 . 06 . 0= -0.6CAnCACyaaa6 . 08 . 00= 0aC = 0.634 取AB桿為研究對象,應用質心運動定理和相對于質心的動量矩定理.0.8mOAB C ABABaCXA YA 10kg NB NB + YA 109.8 = 0121101214 . 0)( 3 . 02ABAXNY聯立解得:XA = - 100.6NB = 36.33 N35 例題4-4. 一質量為M半徑為R的均質圓盤O的邊緣上剛連一質量為m的質點A,今將圓盤放在一光滑的水平面上 ,并令質點A在最高位置如圖示,求當圓盤由靜止?jié)L過180O 而A 在最低位置時圓盤的角速度.AOAO(應用動能定理) (質心運動分析）（定瞬心）36 解:取系統(tǒng)為研究對象. 由于Rxe =0, vCx= vCxo= 0 質心在水平方向沒有運動,在初瞬時的位置如右圖所示.在下圖中設OC = smMRmsAOAO 在終瞬時的位置如下圖所示,且C在終瞬時