數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法

1、返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五1第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法 第七章第七章 （Interrogate of constant term series）一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂四、小結(jié)與思考練習(xí)四、小結(jié)與思考練習(xí)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五2一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法若若,0nu1nnu定理定理 1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂收斂部分和序列部分和序列nS),2, 1(n有界有界 .若

2、若1nnu收斂收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列nSnS有界有界, 故故nS1nnu從而從而又已知又已知故有界故有界.則稱(chēng)則稱(chēng)為為正項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù) .單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”(Interrogate of positive term series)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五3返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五4證證 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是收斂的根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是收斂的 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五5pppn131211(常數(shù)

3、常數(shù) p 0)的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若, 1p因?yàn)閷?duì)一切因?yàn)閷?duì)一切,Zn而調(diào)和級(jí)數(shù)而調(diào)和級(jí)數(shù)11nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)11npnn1發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn1例例2 討論討論 p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五6, 1p因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng)nxn1,11ppxn故故nnppxnn1d11nnpxx1d1111) 1(111ppnnp考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)考慮強(qiáng)級(jí)數(shù)1121) 1(1ppnnn的部分和的部分和n111) 1(11ppnkkkn故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂故強(qiáng)級(jí)數(shù)收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知 p 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 .時(shí)時(shí),1

4、) 1(11pn11111) 1(113121211pppppnn12) 若若返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五7解解 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五8,1nnu1nnv,limlvunnn則有則有兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散兩個(gè)級(jí)數(shù)同時(shí)收斂或發(fā)散 ;(2) 當(dāng)當(dāng) l = 0 ,1收斂時(shí)且nnv;1也收斂nnu(3) 當(dāng)當(dāng) l = ,1發(fā)散時(shí)且nnv.1也發(fā)散nnu設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)兩正項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足滿足(1) 當(dāng)當(dāng) 0 l 時(shí)時(shí),定理定理3 (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五9解解

5、 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五10返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五11返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五12返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五13nnnuu1lim由設(shè)設(shè) nu為正項(xiàng)級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且且,lim1nnnuu則則(1) 當(dāng)當(dāng)1(2) 當(dāng)當(dāng)1證證: (1),1時(shí)當(dāng)11nnuunnuu)(112)(nu1)(NNnu, 1使取收斂收斂 ,.收斂nu時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 ;或或時(shí)時(shí), 級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 .,ZN知存在,時(shí)當(dāng)Nn k)(由比較審斂法可知由比較審斂法可知定理

6、定理4 比值審斂法比值審斂法 ( D Alembert 判別法判別法)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五14,1時(shí)或, 0,NuZN必存在, 11nnuu,0limNnnuu因此因此所以級(jí)數(shù)發(fā)散所以級(jí)數(shù)發(fā)散.Nn 當(dāng)時(shí)時(shí)nnuu11nuNu1lim1nnnuu說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), ,級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .例如例如, , p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù):11npnnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1但但, 1p級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 .從而從而(2) 當(dāng)當(dāng)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五15返回返

7、回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五16返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五17對(duì)任意給定的正數(shù)對(duì)任意給定的正數(shù) ,limnnnu設(shè)設(shè) 1nnu為正項(xiàng)級(jí)為正項(xiàng)級(jí),limnnnu則則;,1) 1(級(jí)數(shù)收斂時(shí)當(dāng) .,1)2(級(jí)數(shù)發(fā)散時(shí)當(dāng) 證明提示證明提示: ,ZN存在nnu有時(shí)當(dāng),Nn 即即nnnu)()(分別利用上述不等式的左分別利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出結(jié)論正確可推出結(jié)論正確., )1(1111數(shù)數(shù), 且且定理定理5 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五18時(shí)時(shí)

8、 , 級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1例如例如 , p 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) :11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu 但但, 1p級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 ;, 1p級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散 .說(shuō)明說(shuō)明 :返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五19返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五20二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)則各項(xiàng)符號(hào)正負(fù)相間的級(jí)數(shù)nnuuuu1321) 1(稱(chēng)為稱(chēng)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)交錯(cuò)級(jí)數(shù) .定理定理6 ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件若交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件:則級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù); ),2, 1(

9、) 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項(xiàng)滿足其余項(xiàng)滿足.1nnur,2, 1,0nun設(shè)(Interrogate of staggered series)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五21證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS)()()(1222543212nnnuuuuuuuS1u是單調(diào)遞增有界數(shù)列是單調(diào)遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn又又)(limlim12212nnnnnuSSnnS2lim故級(jí)數(shù)收斂于故級(jí)數(shù)收斂于S, 且且,1uS :的余項(xiàng)nS0nu2nnSSr)(21

10、nnuu21nnnuur1nu故故S返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五22收斂收斂收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432收斂收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂上述級(jí)數(shù)各項(xiàng)取絕對(duì)值后所成的級(jí)數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散發(fā)散收斂收斂收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 用用Leibnitz 判別法判別法判別下列級(jí)數(shù)的斂散性判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目

11、錄目錄2021年11月12日星期五23三、絕對(duì)收斂與條件收斂三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義定義 對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)對(duì)任意項(xiàng)級(jí)數(shù),1nnu若若若原級(jí)數(shù)收斂若原級(jí)數(shù)收斂, 但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散但取絕對(duì)值以后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱(chēng)原級(jí)則稱(chēng)原級(jí)111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu收斂收斂 ,1nnu數(shù)數(shù)1nnu為條件收斂為條件收斂 .均為絕對(duì)收斂均為絕對(duì)收斂.例如例如 ：絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ；則稱(chēng)原級(jí)則稱(chēng)原級(jí)數(shù)數(shù)條件收斂條件收斂 .(Absolute convergence and conditional convergence)返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2

12、021年11月12日星期五24證證: 設(shè)設(shè)1nnunv),2,1(n根據(jù)比較審斂法根據(jù)比較審斂法顯然顯然,0nv1nnv收斂收斂,收斂收斂12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收斂也收斂)(21nnuu 且且nv,nu收斂收斂 , 令令定理定理7 絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)一定收斂 .返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五252211sin(1);(2)( 1).nnnnnnne證證: (1)22sin1,nnn而而211nn收斂收斂 ,21sinnnn收斂收斂因此因此21sinnnn絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 .例例11 證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂證明下列級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂

13、 :（補(bǔ)充題）（補(bǔ)充題）返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五26(2) 令令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂收斂,絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂.返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五27返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五28其和分別為其和分別為 *定理定理8 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)不因改變項(xiàng)的位置而改變其和. *定理定理9 ( 絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的乘法 ).S則對(duì)所有乘積則對(duì)所

14、有乘積 jivu1nnw按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)按任意順序排列得到的級(jí)數(shù)也絕對(duì)收斂也絕對(duì)收斂,設(shè)級(jí)數(shù)設(shè)級(jí)數(shù)1nnv1nnu與與都絕對(duì)收斂都絕對(duì)收斂,S其和為其和為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)具有完全不同的性質(zhì).說(shuō)明說(shuō)明: 條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì)條件收斂級(jí)數(shù)不具有這兩條性質(zhì). 返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五29內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法必要條件必要條件0limnnu不滿足不滿足發(fā)發(fā) 散散滿足滿足比值審斂法比值審

15、斂法 limn1nunu根值審斂法根值審斂法nnnulim1收收 斂斂發(fā)發(fā) 散散1不定不定 比較審斂法比較審斂法用它法判別用它法判別積分判別法積分判別法部分和極限部分和極限1返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五30為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù)1nnu設(shè)Leibniz判別法判別法:01nnuu0limnnu則交錯(cuò)級(jí)數(shù)則交錯(cuò)級(jí)數(shù)nnnu1) 1(收斂收斂概念概念:,1收斂若nnu1nnu稱(chēng)絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂,1發(fā)散若nnu條件收斂條件收斂1nnu稱(chēng)3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法返回返回上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)目錄目錄2021年11月12日星期五31課外練習(xí)課外練習(xí)習(xí)題習(xí)題72 1-8思考練習(xí)思考練習(xí)1、設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1nnu收斂收斂, 能否推出能否推出12nnu收斂收斂 ?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由由比較判斂法比較判斂法可知可知12nnu收斂收斂 .注意注意: 反之不成立反之不成立. 例如例如,121nn收斂收斂 ,11nn發(fā)散發(fā)散 .返回