北京市朝陽區(qū)2021屆高三數(shù)學上學期期末考試試題(含解析)

1、北京市朝陽區(qū)2021屆高三數(shù)學上學期期末考試試題（含解析）第一部分（選擇題 共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目 要求的一項1. 在復平而內(nèi)，復數(shù)i（2 + i）對應(yīng)的點的坐標為（）扎（1,2）B. （2, 1）C. （-1, 2）D.（2,-1）【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解：復數(shù)i（2+n =22-1對應(yīng)的點的坐標為（-1, 2）,故選:C【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與訃算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. 已知a = 3 勺 b = log052, c = log23,則

2、（）A. a> b> cB. a>c> bC.bDc>a> b【答案】D【解析】【分析】利用中間量隔開三個值即可.【詳解】5 = 32£（0,1）,占=1。張52<0工=10切3：>1,.c > a> b,故選：D【點睛】本題考查實數(shù)大小的比較，考查幕指對函數(shù)的性質(zhì)，屬于?？碱}型.3已知雙曲線呂_E=l（a>0">0）的離心率為2,則其漸近線方程為（）a ZTA. y = + '2xB. y = ±C y = + -xDy=±密【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得雙曲線的漸

3、近線方程為y=±x，再由雙曲線離心率為2,得到c=2a,由泄義 知心餐=屈，代入即得此雙曲線的漸近線方程.【詳解】解：雙曲線C方程為:4-4 = 1心0, Q0）a b雙曲線的漸近線方程為y=±x又雙曲線離心率為2,c=2a,可得 b = .Jf2 - a '3a因此，雙曲線的漸近線方程為y=±十玄故選：B.【點睛】本題給出雙曲線的離心率，求雙曲線的漸近線方程，著重考査了雙曲線的標準方程 與基本概念，屬于基礎(chǔ)題.4. 在SBC中，若b = 3, c = &，C = ?則角B的大小為（）ji n_ 2n. n 2hA- 6B- 3C- 3D- m或丁

4、【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到結(jié)果.【詳解】解：飛=3, c = C = I, r3 孫由正弦泄理翻二血 可得歸二品，可得：sin2 = f,* cV b,可得上=g或號，故選：D.點睛】本題主要考查了正弦左理在解三角形中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.5. 從3名教師和5需學生中，選岀4人參加“我和我的祖國”快閃活動.要求至少有一劣教師入選，且入選教師人數(shù)不多于入選學生人數(shù)，則不同的選派方案的種數(shù)是（）A. 20B. 40C. 60D. 120【答案】C【解析】【分析】由題總可分成兩類：一爼教師和三需學生，兩名教師和兩劃學生，分別利用組合公式計算即可.【詳解】由題意可分成兩

5、類：(1) 一名教師和三名學生，共CC = 30：(2) 兩劃教師和兩需學生，共= 30：故不同的選派方案的種數(shù)是30 + 30 = 60.故選:C【點睛】本題考查組合的應(yīng)用，是簡單題，注意分類討論、正確計算即可.6. 已知函數(shù)/'(巧二ele岡，貝iJf(x)()扎 是奇函數(shù)，且在(0, + 8)上單調(diào)遞增B.是奇函數(shù)，且在(0, + oo)上單調(diào)遞減C.是偶函數(shù)，且在(0, + 8)上單調(diào)遞增D.是偶函數(shù)，且在(0, + 8)上單調(diào)遞減【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義以及單調(diào)性的性質(zhì)判斷即可.【詳解】函數(shù)fa)=l-eW的定義域為R，f(-x) = e1 - e =

6、 ex- e 乂 = /(x)»即/(_x) = /(x),f(x)是偶函數(shù),> 0時，f(x) = e" _ e 一",y = e"為增函數(shù)，y = e x為減函數(shù)，：4W 在(0, + 8)上單調(diào)遞增，故選:c【點睹】本題考查了函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性問題，考查推理能力，是一道中檔題.57. 某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該幾何體的體積為( )【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意把三棱錐放入棱長為2的正方體中，得岀三棱錐的形狀，結(jié)合圖形，求岀該三棱錐的體積.【詳解】解：根據(jù)題意，把三棱錐放入棱長為2的正方體中，是

7、如圖所示的三棱錐P-ABC, 三棱錐PA5C的體積為：| x Sabc x2=|xlx2 = p故選:A【點睛】本題考査了利用三視圖求空間幾何體體積的應(yīng)用問題，考査空間想象能力，是基礎(chǔ) 題.8. 設(shè)函數(shù)/(x) = ?-3x+a(ae/?)»則“a >2”是"f(x)有且只有一個零點”的()扎充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】f(x)有且只有一個零點的充要條件為a >2,或a V -2,從而作岀判斷.詳解】f (x) =x3-3x + a»f (jv) =3a;-3=3 (對1) (x

8、- 1),令 f (x) >0,解得：x> 1 或 x< - 1,令 f (x) <0,解得：-lVxVl,°.f(x) = J - 3x + a(a G R)在(-8, - 1), (1, +8)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減, 且/'(一 1) = 2 + a, /(I) = - 2 + a,若f(x)有且只有一個零點，貝,lja> 2,或a < -2. “a>2”是“/(X)有且只有一個零點”的充分而不必要條件，故選：A【點睛】本題考查充分性與必要性，同時考查三次函數(shù)的零點問題，考查函數(shù)與方程思想, 屬于中檔題.9. 已知

9、正方形/IBCD的邊長為2,以為圓心的圓與直線力(?相切.若點P是圓B上的動點，則 /.人卩的最大值是()A. 2x12B. 4盪C. 4D. 8【答案】D【解析】【分析】建立平而直角坐標系，圓E的方程為：x2 + y2 = 2,bd/lP=4-4si7i(O + 3,利用正弦型函 數(shù)的性質(zhì)得到最值.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，貝仏(0,0), A(0,2), D(2,2),圓B的方程為：x? +=2, .P(忍cosB,盪sin0), 煽=(-2, -2)，'/IP = cosB, &sinB _ 2)，JdB AP= - 2&cosB - 2j2sin0 +

10、4 = 4- 4si“(0 +"* 4)= - 1時 'd$ AP的最大值是 8,故選：D【點睛】本題考查了向量的坐標運算、點與圓的位置關(guān)系，考査了，考查了正弦型函數(shù)的性 質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題.10. 笛卡爾、牛頓都研究過方程(x-l)(x-2)(x-3) = xy,關(guān)于這個方程的曲線有下列說法：該曲線關(guān)于y軸對稱： 該曲線關(guān)于原點對稱；該曲線不經(jīng)過第三彖限；該曲線上有且只有三個點的橫、縱坐標都是整數(shù).其中正確的是()扎B.C.D. ®【答案】C【解析】【分析】以-x代x,以-x代x,-卩代卩，判斷的正誤，利用方程兩邊的符號判斷的正誤， 利用賦值法

11、判斷的正誤.【詳解】以-X代X,得到(x+l)(x + 2)(x + 3) = xy,方程改變，不關(guān)于y軸對稱：以-x代x, -y代y,得到(x + l)(x + 2)(x + 3) = - xy,方程改變，不關(guān)于原點對稱：當x < 0,y < 0時，2)(x -3)< 0,xy > 0,顯然方程不成立,該曲線不經(jīng)過第三象限；令x = -1,易得y=12,即(-1,12)適合題意，同理可得(1,0), (2,0), (3,0)適合題意，該曲線上有且只有三個點的橫、縱坐標都是整數(shù)是錯誤的，故選:C【點睛】本題考查曲線與方程，考査曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化能力，屬于

12、中檔 題.第二部分(非選擇題 共110分)二、填空題共6小題，每小題4分，共24分11. (2x + y的展開式中的常數(shù)項為【答案】24【解析】【分析】先求出二項式(2X + !)"展開式通項公式兒* 1 = C；(2x)4_r(J)r = 24-rcr%4-2rt再令4-2r = 0,求出2代入運算即可得解.【詳解】解：由二項式(2x + $展開式通項公式為7；( 1 = C；(2x)4_rQ)r = rCx2r 令4-2r = 0,解衛(wèi)=2,即展開式中的常數(shù)項為24_2 = 4x4 = 24.故答案為24.【點睛】本題考查了二項式定理，重點考查了二項式展開式通項公式，屬基礎(chǔ)題.1

13、2. 已知等差數(shù)列%的公差為2,若勺，口3,印成等比數(shù)列，則也二:數(shù)列%的前“項和的最小值為.【答案】 (1). -6(2). -20【解析】【分析】運用等比數(shù)列中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，解方程可得首項，即可得到比，再由等差 數(shù)列的求和公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，即可得到所求最小值.【詳解】解：等差數(shù)列逐的公差刃為2,若鼻,型,/成等比數(shù)列,可得 3j=即有(a+2d) s=at Q+3d),化為a、d= - 4孑,解得 3i= - 8,比=-8+2= - 6；數(shù)列a的前n項和Sa=nai 4-(n - 1) d"8/i+n (n " 1) n 9nz 9、81=(

14、T f 當n=4或5時，取得最小值20 故答案為：-6, -20.【點睛】本題考査等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考査等比數(shù)列中項的性質(zhì)，以及 二次函數(shù)的最值的求法，考査運算能力，屬于中檔題.13. 若頂點在原點的拋物線經(jīng)過四個點(1,1), (2,；)，(2,1), (4,2)中的2個點，則該拋物線的標準方程可以是.【答案】x2 = Byy2 = x【解析】【分析】分兩類情況，設(shè)出拋物線標準方程，逐一檢驗即可.【詳解】設(shè)拋物線的標準方程為：, = my，不難驗證(4), (4,2)適合，故x? = 8y：設(shè)拋物線的標準方程為：y2 = nx，不難驗證(1,1), (4,2)適合，故/=欺

15、故答案為：X2 = 8yy2 = X【點睛】本題考查拋物線標準方程的求法，考查待泄系數(shù)法，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14. 春天即將來臨，某學校開展以“擁抱春天，播種綠色”為主題的植物種植實踐體驗活動.已知某種盆栽植物每株成活的概率為p，各株是否成活相互獨立.該學校的某班隨機領(lǐng) 養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)X為英中成活的株數(shù)，若X的方差DX = 2.1, P(X =3)< P(X = 7), 則p 二【答案】0.7【解析】【分析】由題意可知：XB(10,p),且P(=(3)<P(XZ= 7) f從而可得P值.【詳解】由題意可知：XB(10,p).j 1()卩(1-卩)=2.1 nnf

16、lOOp2-100p+ 21 = 0-P(X = 3)<P(X=7)f 叫p>0.5J." = 0.7故答案為：0.7【點睛】本題考查二項分布的實際應(yīng)用，考査分析問題解決問題的能力，考查讓算能力，屬 于中檔題.15. 已知函數(shù)/'(X)的定義域為R,且f(x + n) = 2f(x),當xe0,nW，/(x) = sinx.若存在x0e(-oo,m,使Wf(x0)>4v'3,則m的取值范圍為.【答案】罟,+ 8)【解析】【分析】由/(時7T)=2f® 得f(X)=2f(X-7T),分段求解析式，結(jié)合圖象可得羽的取值范 圍.【詳解】解：T/&

17、#39;(x + 7r)=2/(x), ./'(兀)=2/(%-兀)，:當x 0眄時,f(x) = sinx.當x e 7r,27r)時，f(x) = 2sin(x7T).當x e 2n;37r)H寸，f(x) = 4sin(x27T).當x e 37r,47r)R寸 * f(x) = 8sin(x37T).作出函數(shù)圖象：若存在x0 6 (-00,使f#f(x0) > 4v*3 ,則罟,故答案為：-3-, + oo)【點睛】本題考査函數(shù)與方程的綜合運用，訓練了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考査數(shù)形 結(jié)合的解題思想方法，屬中檔題.16. 某學校數(shù)學建模小組為了研究雙層玻璃窗戶中每層玻

18、璃厚度d (每層玻璃的厚度相同)及兩層玻璃間夾空氣層厚度2對保溫效果的影響，利用熱傳導定律得到熱傳導量g滿足關(guān)系_ 1 |"| _式一其中玻璃的熱傳導系數(shù)人= 4x103焦耳/ (厘米度)，不流通、干燥空氣的熱傳導系數(shù)A2 = 2.5 x 10 °焦耳/(厘米度人dr為室內(nèi)外溫度差q值越小，保溫效果越好.現(xiàn)有4種型號的雙層玻璃窗戶，具體數(shù)據(jù)如下表:型號每層玻璃厚度d（單位：厘米）玻璃間夾空氣層厚度/（單位：厘米）A型0.53B型0.54C型0.62D型0.63則保溫效果最好的雙層玻璃的型號是型.【答案】B【解析】【分析】分別計算4種型號的雙層玻璃窗戶的q值，根拯g值越小，保

19、溫效果越好.即可作出判斷.【詳解"型雙層玻璃窗戶：船+2卜0.5（2；：；：+2卜49,/ 4 x 10"3 x 4B型雙層玻璃窗戶：壯+2卜。5（粘尺石+2卜65,C型雙層玻璃窗戶：忖+2卜0.6（命七+2）".2,J/ 4 x 10"3 X 3D型雙層玻璃窗戶：d喬+2 =0.6+2 = 49.2,Vid!z.5x 10 4xo.6I_I的根據(jù)° =心召刁，且q值越小，保溫效果越好故答案為：B【點睛】本題以雙層玻璃窗戶保溫效果為背景，考査學生學生分析問題解決問題的能力，考 査計算能力.三、解答題共6小題，共86分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步

20、驟或證明過程17. 己知函數(shù)f（x）=、仔sin2x + 2cosJx + m （m e R）-（1）求/（x）的最小正周期：（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間：(3) 對于任意x e 0,都有f(x) < 0恒成立，求m的取值范囤.【答案】(1)心(2) 4+, + | (/ceZ)： <3) C-oo-3)【解析】【分析】(1) 將函數(shù)進行化簡，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)f(Q的最小正周期介(2) 由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求函數(shù)f (Q的單調(diào)遞增區(qū)間：(3) 原問題等價于/G)最大值小于零.【詳解 1(1)因為f(x) = sin2x + 2cos2x + m=|f3sin

21、2x + cos2x +7/1+1, =2sin(2x + £) + m + 1.所以f(x)的最小正周期T = y=n.(2) 由(1)= 2sin(2x + ) + ?n + 1.又函數(shù)y = si nx的單調(diào)遞增區(qū)間為昇2kn, + 2kn(X Z).由一+ 2kn < 2x 4-+ 2kn kZ,得-扌 + 力兀 S % S £+kzr，keZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為+kn，l +切伙e Z).(3) 因為OSx多，所以沁2x +沁辛.所以-S sin(2x + ) < 1-所以m < 2sin(2x + £) + ?n + 1 S

22、 m + 3 當2x + #二?即x =腳，f(x)的最大值為m + 3, 又因為/(x) < 0對于任意xwO自恒成立，所以m + 3<0,即m< -3.所以m的取值范用是(-8, _ 3).【點睛】本題主要考查三角函數(shù)函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間和最值問題，關(guān)鍵在正確化簡三角函 數(shù)解析式為一個角的一個三角函數(shù)名稱的形式，然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)解答，要求熟練掌 握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).18. 某學校組織了垃圾分類知識競賽活動.設(shè)置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”、“有 害垃圾”、"可回收物”、'英它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名 稱.每位參賽選

23、手從所有卡片中隨機抽取20張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對應(yīng)的 箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放錯誤得0分.比如將寫有“廢電池”的 卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入英它箱子，得0分.從所有參賽選手中隨 機抽取20人,將他們的得分按照0,20, （20,40, （40,60, （60,80, （80,100分組,繪成頻 率分布直方圖如圖：（1）分別求出所抽取的20人中得分落在組0,20和（20,40內(nèi)的人數(shù):（2）從所抽取的20人中得分落在組0,40的選手中隨機選取3名選手，以X表示這3名選手中 得分不超過20分的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望:（3）如果某選手將抽到

24、的20張卡片逐一隨機放入四個箱子，能否認為該選手不會得到100 分？請說明理由.【答案】（1）抽取的20人中得分落在組0,20的人數(shù)有2人，得分落在組（20,40的人數(shù)有3人;（2）分布列見解析，1.2； （3）答案不唯一，具體見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖即可得到滿足題意的人數(shù)：（2）X的所有可能取值為0, 1, 2,求出相應(yīng)的概率值，即可得到的分布列和數(shù)學期望；（3）該選手獲得100分的概率是（I）20,結(jié)合此數(shù)據(jù)作岀合理的解釋.【詳解】（1）由題意知，所抽取的20人中得分落在組0,20啲人數(shù)有0.0050 x 20 x 20 = 2 （人），得分落在組（20,40的人數(shù)

25、有0.0075 X 20 X 20 = 3 （人）.所以所抽取的20人中得分落在組0,20的人數(shù)有2人，得分落在組（20,40的人數(shù)有3人.（2） X的所有可能取值為0, 1, 2.31.、63p（x = o）= z5 = io, p（x = i） = tf =喬，p（x = 2） = -r=io.C5L5LS所以X的分布列為X012P16310101063所以X的期望EX = 0x歷+1X詢+ 2x百=1.2.（3）答案不唯一.答案示例1：可以認為該選手不會得到100分理由如下：1 20該選手獲得100分的概率是石），概率非常小，故可以認為該選手不會得到100分.答案示例2：不能認為該同學不

26、可能得到100分.理由如下：該選手獲得loo分的概率是（I）20,雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，故不能認為該選手 不會得到100分.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，離散型隨機變量的分布列與期望，概率的理解, 考查分析問題解決問題的能力.19. 如圖，在四棱錐P-/1BCD中，底而/1MD是邊長為2的菱形，M丄平面ABCD, P/l = 3, PF=2FA. E為CD的中點.（2）求異而直線/IB與DF所成角的余弦值；（3）判斷直線EF與平而PM的位置關(guān)系，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）備；（3）相交，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先證明丄平而P/IC,即可得到

27、答案；（2）以0為坐標原點，以0B為尢軸，以0C為y軸，以過點0且與4P平行的直線為z軸， 建立空間直角坐標系0-%yz,求出汕、加的坐標，利用公式即可得到結(jié)果；（3）求岀平面卩必的一個法向疑與向型屛，根據(jù)異與零的關(guān)系，作出判斷.【詳解】（1）連結(jié)/1C.因為底而是菱形，所以BD丄又因為P4丄平而/1BCD, BDu平而/1BCD,所以P4丄BD.又因為PACAC = A,所以丄平而PAC.又因為PC u平而P/1C,所以BD丄PC.（2）設(shè)血,BD交于點0.因為底而/WCD是菱形，所以/IC丄BD,又因為卩/1丄平而/1BCD,所以P/1 丄/1C, P/1 丄 BD.如圖，以0為坐標原點，

28、以0B為%軸，以0C為y軸，以過點0且與ZIP平行的宜線為z軸, 建立空間直角坐標系0 - xyz,yD則71（0,-1,0）, 8（卩,0,0）, 6（0,1,0）, D（-也0,0）, E（-鑰0），P（0,- 1,3） , F（0,- 1,1）. 則汕=（/3,1,0）» 'dF=（屈-1,1）*設(shè)異而直線AB與DF所成角為，貝必（0自，門二二AB-DF 話cosO = cosAB9DF） = 丄=A咖 DF所以/IB與DF所成角的余弦值為魯（3）直線EF與平面PEC相交.證明如下：由（2）可知，務(wù)=（魯-;,1），bc = （-逅 1,0）' bd=（-屈-1

29、,3），設(shè)平而PBC的一個法向量為、=a,y,z），叫：紀：即-證昇3：lo,令"預鶴'=（屈3,2）.貝后1 n = （y,-訂）（遐3,2） H 0，所以直線EF與平而PBC相交.【點睛】本題考查線面的位這關(guān)系，考查異而直線所成角的度量，考查推理能力與汁算能力, 屬于中檔題.20. 已知橢圓C: + =l（a>b>0）過點卩（一1,且橢圓C的一個頂點D的坐標為（-2,0）.過橢圓C的右焦點F的直線L與橢圓C交于不同的兩點71, B （A, B不同于點D）,直 線04與直線m： % = 4交于點耐連接MF,過點F作MF的垂線與直線m交于點N.（1）求橢圓C的方程

30、，并求點卩的坐標；（2）求證：D, B, N三點共線.【答案】 £ +負1，（1,0）； （2）證明見解析.* O【解析】【分析】（« =（1）根據(jù)題意列方程組丄+2, 2=1，即可得到橢圓的方程，進而得到焦點坐標：4b2（2）討論直線伯勺斜率，利用bd"是平行的證明D，B, N三點共線.【詳解】（1）因為點P（-1,|）在橢圓C上，且橢圓C的一個頂點D的坐標為（-2,0）,a = 2,所以仙活"解得原彘 所以橢圓C的方程為£ +負1.所以橢圓C的右焦點F的坐標為(1,0).(2)當直線伯勺斜率不存在時，直線4的方程為x=l. 顯然，心劭,B(

31、l,鳥)或當A(l,$，2?(1,-|)時，直線04的方程為y = f(x + 2)，點M的坐標為(4,3).所以Sf =直線FN的方程為y=-(x-l)，點N的坐標為(4,-3).rJ I3 I則DB = (3, DN = (6,-3)所血 = 2DB，所以°，B, N三點共線 同理，當4(1，芬3(1；)時，D, B, N三點共線.當直線2的斜率存在時，設(shè)直線2的方程為y二饑x-1).(y=/C(X-l),2 222所以 戸-° 2兒由3x2 + 4y2 = 12 得G + 4k* - 8k x + (4/c - 12) = 0- 且4 = ( - 8於)2 - 4(3

32、 + 4/c2)(4/c2 - 12) > 0 設(shè)妣旳)，嗆2化)，則耳+勺二煤，%產(chǎn)產(chǎn)撫! 直線D4的方程為y = 冷(x + 2)，點M的坐標為(4,篇).直線NF的方程%=點N的坐標為(4,=) 則血1 =(X2 + 2,乃)，血=(6,-靑-)-3(屮2)=-zl(xi + 2)(勺 + 2) + 鈔曲32=-司(可 + 2)(x2 + 2) + 4fcz(x1 - l)(x2 - 1),777+ 4k ）兀尢2 + （2 - 4/c ）（X1 + X2） + 4R + 4,3 r. ? 4fc"-12“，28“，2,亦1 +心市+ （2*）市+ 4k +4，3（1 十

33、 4）（4亡二 12）十（2 -4八）8疋十（4,十 4）（3 + 塑一 "2兒3 4 4k2'_3_ 4“ - 12 十 16丄-48/ 十 16, - 32滬 + 12以十 12 + 16疋十 16卩 一 "213 + 4，=0 所以朋仏共線，所以D, B, N三點共線.綜上所述，D, B, N三點共線.【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位宜關(guān)系，考查向量知識的運用，考 査韋達立理，考査學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.21. 已知函數(shù)f(x) = (sinx + a)lnx, a R.(1) 若 a = 0.(i )求曲線y = /(x)在點(

34、?/)處的切線方程；(n)求函數(shù)/(x)在區(qū)間(14)內(nèi)的極大值的個數(shù).(2) 若f(x)在6兀)內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范用.【答案】(1) ( i ) 2x-iryn + irln = 0:( ii)1：(2)【解析】【分析】(1) (i)求岀導函數(shù)，得到f(與門，利用點斜式得到直線的方程；(“)研究函數(shù)在 區(qū)間(1,兀)內(nèi)單調(diào)性，結(jié)合極值的定義得到答案：(2) 由題可知fx) =+ cosxlnx.其中xe()，分兩類情況：aS- 1與a > - 1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得到實數(shù)a的取值范囤.【詳解】(1) ( i )因 7j/(x) = sinxlnxt 所以f (x)

35、= cosxlnx + 字'f (|) = 又因為f() = Inp所以曲線y = /（>）在點（分（分）處的切線方程為y礙=|（x - 9， 化簡得 2x - zry -兀 + nn = 0-（ii）當處（巧）時，/a）>0, f（x）單調(diào)遞增，此時f（x）無極大值. u ,. '2cosr sinx當x e時，設(shè)（x） = /（x）> 貝-sinxlnx + - <0, X所以f d）在6兀）內(nèi)單調(diào)遞減.又因為 f （=；：>0，/（7T）= - Inzr < 0>所以在（弼內(nèi)存在唯一的 （軌），使得f（Xo） = 0.當X變化時，

36、fxy f（x）的變化如下表X（尹0）Xo（%兀）fW+0一fW/X所以f（x）在（1，%）內(nèi)單調(diào)遞增，在（牝,兀）內(nèi)單調(diào)遞減，此時/（X）有唯一極大值. 綜上所述，f（x）在（1,兀）內(nèi)的極大值的個數(shù)為1.（2）由題可矢叮（x）=巴:茫+ cosxlnx，其中x 6 （£兀）當aS-l時，f（x）v0,故/'（x）在（r）內(nèi)單調(diào)遞減：下面設(shè)a> - 1.對于Vx （）, lnx < ln/r < lne2 = 2» 且cosxvO,所以 cosxlnx > 2cosx.嚴嚴心 en i sinx h asinx I a + 2xcosx所以

37、占X e（2,7T）時，/（X）> - + 2COSX =設(shè)/i(x) = sinx + 2xcosx + a, x e 刃兀卜則/i (x) = cosx + 2cosx - 2xsinx = 3cosx - 2xsinx < 0- 所以/l(x)在制上單調(diào)遞減./i（|） = 1 + a > 0,/i（7r） = 一 2龍 + a.當-27T + aM0時，即a 2 2/1 時，hW > 0,對匕（阮），/i（x） > 0.所以fx） > 0< f（x）在6兀）內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意當-27T + a<0時，即-1 <a<2嗣"，/i（tt）<0,所以日廠6 （?,亢），使仇（xj - 0,因為h（x）在（r）內(nèi)單調(diào)遞減，所以對/i（x）>0,所以/（