線性代數(shù)公式定理

1、線代公式定理章一、行列式1、n階行列式（1）（定義)由自然數(shù)1，2，···，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n階排列，記為j1j2jn.（2）（定義)在一個(gè)排列中，若一個(gè)較大的數(shù)排在一個(gè)較小的數(shù)的前面，則稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序.一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù).用t(j1j2jn)表示排列j1,j2,jn的逆序數(shù).逆序數(shù)是偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列。(3)（定義）把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，就得到一個(gè)新的排列，這種變換稱為排列的一個(gè)對(duì)換。（4）（定理）一次對(duì)換改變排列奇偶性。（5）（推論）任何一個(gè)n階排列都可以通

2、過對(duì)換化成標(biāo)準(zhǔn)排列,并且所作對(duì)換的次數(shù)的奇偶性與該排列的奇偶性相同。（6）三階行列式的計(jì)算：I沙路法 II對(duì)角線法則（7）三角行列式的計(jì)算：下（上）三角形行列式的值等于主對(duì)角線上元素的乘積，即2、行列式的性質(zhì)（1）(性質(zhì))行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即。（2）(性質(zhì))如果行列式某一行(列)元素有公因數(shù) k, 則 k 可以提到行列式符號(hào)外邊。（3）（推論）如果行列式中某一行(列)元素全為零, 那么行列式等于零。（4）(性質(zhì))如果行列式中兩行（列）互換，那么行列式只改變一個(gè)符號(hào)。（5）(推論)若行列式中有兩行(列)相同, 則行列式的值為零。（6）(推論)如果行列式中兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，那么

3、行列式值為 0。（7）(性質(zhì))如果行列式某行(列)的各元素都可以寫成兩數(shù)之和, 則此行列式等于兩個(gè)行列式的和。（8）(性質(zhì))如果將行列式中某行（列）的各元素同乘一數(shù)k后，加到另一行（列）的各對(duì)應(yīng)元素上，則行列式的值不變。（9）（性質(zhì)）若aij=aji(i,j=1,2,n) ,則稱行列式 D為對(duì)稱的； 若 aij=-aji(i,j=1,2,n) ,則稱行列式D為反對(duì)稱. 由定義易知,在反對(duì)稱行列式中, aii=0(i=1,2,n)。3、行列式的展開與計(jì)算（1）（定義）在n階行列式 D=|aij|n中，劃掉元素 aij所在的第 i行和第 j列后,留下的元素按照原來的順序組成的 n-1階行列式稱為元

4、素 aij的余子式,記為Mij。稱為元素aij的代數(shù)余子式。·（2）（定理）n階行列式 D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即（3）定理1.3.2 n階行列式D=|aij|n中某一行(列)的各個(gè)元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0.即 （4）兩個(gè)重要公式：（5）（定義）在n階行列式D中,任取k行、k列(1£k £n-1)，由這些行和列交叉處的元素按照原來的相對(duì)位置所構(gòu)成的k階行列式N，稱為D的一個(gè)k階子式. 在行列式D中去掉k階子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原來的順序構(gòu)成的n-k階行列式M, 稱為N的

5、余子式若N所在的行序數(shù)為i1,i2,ik,所在的列序數(shù)為j1,j2,jk ,則稱為N的代數(shù)余子式。（6）(拉普拉斯(Laplace)定理) 在 n 階行列式 D 中任意選取k行（列） (1£ k £ n-1) , 則由這 k個(gè) 行（列）中的一切 k 階子式 N1,N2,Nt與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式 A1,A2,At乘積之和等于D，即 其中 。4、克萊姆法則（1）(克萊姆(Cramer)法則) 如果線性方程組（1.4.1）的系數(shù)行列式 D0,則方程組有唯一解，并且解可以用行列式表示為，其中Dj (j=1,2,n)是把系數(shù)行列式 D中第 j列的元素用方程組（1.4.1）右端的常

6、數(shù)項(xiàng)b1,b2,bn代替后所得到的 n階行列式，即 （2）（定義）當(dāng)線性方程組(1.4.1)右端的常數(shù)項(xiàng) b1,b2,bn不全為零時(shí)，稱為非齊次線性方程組；當(dāng)b1,b2,bn全為零時(shí)，稱為齊次線性方程組。（3）（推論）若齊次線性方程組 的系數(shù)行列式D0 ,則它只有唯一的零解。（4）（定理）若齊次線性方程組有非零解，則系數(shù)行列式D=0.5、數(shù)域(1)(定義)設(shè)P是由一些數(shù)組成的集合,包含0和1.如果P中任意兩個(gè)數(shù)的和、差、積、商（除數(shù)不等于零）仍在P中,那么我們稱P是一個(gè)數(shù)域。(2)（定理）設(shè)P為任何一個(gè)數(shù)域，則Q ÍP。章二、矩陣一、 概念（1）（定義）數(shù)域 P 上m×n個(gè)

7、數(shù) aij (i=1,2,m; j=1,2,n)排成的m行n列數(shù)表稱為P上的一個(gè)m行n列矩陣，或稱為m´n矩陣,簡記為(aij) m×n或(aij). 其中aij 稱為這個(gè)矩陣中第i行第j列的元素.當(dāng)P是實(shí)數(shù)域時(shí),稱數(shù)表為實(shí)矩陣,當(dāng)P是復(fù)數(shù)域時(shí),稱數(shù)表為復(fù)矩陣。（2）行矩陣、列矩陣：在m´n矩陣A=(aij)中, 如果m=1,這時(shí)A=(a11,a12,a1n),稱其為行矩陣,也稱為n維行向量；如果n=1,這時(shí) 稱其為列矩陣,也稱為m維列向量。零矩陣：所有元素都為零的m´n矩陣 稱為零矩陣,記為Om×n或O。（3）在m´n矩陣A=(ai

8、j)中, 當(dāng)m=n時(shí),稱為n階方陣,簡記為(aij)n.（4）對(duì)于n階方陣A,可定義行列式 ，稱其為矩陣A的行列式,記為|A|。（5）形如 的矩稱為單位陣。（6）非主對(duì)角線上元素全為零的n階方陣稱為對(duì)角形矩陣,記為 簡寫為 。（7）當(dāng)n階對(duì)角形矩陣主對(duì)角線上的元素 時(shí),稱為數(shù)量矩陣 。（8）上(下)三角形矩陣：在n階方陣(aij)n中,如果主對(duì)角線下（上）方的元素全為零,即當(dāng)i>j時(shí),aij=0 (i,j=1,2, ,n) ,則稱之為上（下）三角形矩陣。二、運(yùn)算（1）（定義）兩個(gè)矩陣A =(aij)m×n ,B=(bij)s×t ,如果m=s,n=t,稱A與B是同型矩

9、陣;若數(shù)域P上的同型矩陣A=(aij)m×n 與B=(bij)m×n的對(duì)應(yīng)元素相等,即 aij =bij(i=1,2,m;j=1,2,n),稱A與B相等,記作A=B。（2）（定義）設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n為數(shù)域P上的兩個(gè)同型矩陣，稱矩陣(aij+bij) m×n為矩陣A與B的和,記作 。（3）定義2.2.3 設(shè)A=(aij)m×n為數(shù)域P上的矩陣,kP.數(shù)k與矩陣A的每個(gè)元素相乘后得到的矩陣(kaij)m×n稱為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積,簡稱為數(shù)乘,記作 。（4）矩陣的加法與數(shù)乘稱為矩陣的線性運(yùn)算若矩陣A=

10、(aij)m×n,則稱矩陣 (-aij)m×n為矩陣A的負(fù)矩陣,記為-A。（5）運(yùn)算律：加法交換律A+B=B+A；加法結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C);A+O=O+A=A,這里O是與A同型的零矩陣;A+(-A)=(-A)+A=O；)k(A+B)=kA+kB；(k+l)A=kA+lA；(kl)A=k(lA)=l(kA)；1A=A,0A=O；（6）（定義）設(shè)A=(aij)m×k,B=(bij)k×n, C=(Cij)m×n均為數(shù)域P上的矩陣,其中稱矩陣C是A與B的乘積,記作C=AB。*只有當(dāng)左乘矩陣A的列數(shù)等于右乘矩陣B的行數(shù)時(shí),乘積AB才有意

11、義.乘積矩陣AB的行數(shù)等于左乘矩陣A的行數(shù)，AB的列數(shù)等于右乘矩陣B的列數(shù)（7）矩陣乘法與數(shù)的乘法區(qū)別：矩陣乘法不滿足交換律；矩陣乘法不滿足消去律；兩個(gè)非零矩陣的乘積可能是零矩陣；（8）設(shè)A,B,C為數(shù)域P上的矩陣，kP，它們的乘法滿足如下運(yùn)算規(guī)律: 結(jié)合律(AB)C=A(BC)；分配律A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；k(AB)=(kA)B=A(kB),k為任意常數(shù)；（9）定義2.2.5 設(shè)A是n階矩陣,k為正整數(shù),定義k個(gè)A的連乘積為A的k次冪,記作Ak,即這里規(guī)定A0=E。（10）定理2.1.1 設(shè)A、B均為n階方陣,k為常數(shù),則|kA|=kn|A|，|AB|=|A|B

12、|。（要求A,為同型矩陣）（11）（定義）設(shè) m×n矩陣，將矩陣A的行列互換,而不改變其先后次序得到的n×m矩陣 稱為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT(或A)。（）設(shè)A,B為數(shù)域P上的矩陣,kP,矩陣的轉(zhuǎn)置滿足如下運(yùn)算規(guī)律: (AT)T=A；(A+B)T=AT+BT；(kA)T=kAT (k為任意常數(shù))；|AT|=|A|（A為方陣）；(AB)T=BTAT；（）（定義）設(shè)A=(aij)是n階方陣,如果AT=A,即aij=aji(i,j=1,2,n)，則稱A為對(duì)稱矩陣;如果AT=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,n)，則稱A為反對(duì)稱矩陣顯然在反對(duì)稱矩陣中,主對(duì)角線上的元素均為零

13、三、逆矩陣(1)(定義)設(shè)A是n階方陣,若有一個(gè)n階方陣B,使得AB=BA=E,則B稱為A的逆矩陣,A稱為可逆矩陣,或非奇異矩陣;定義中A與B的地位是等同的,所以B也是可逆矩陣, 并且A是B的逆矩陣。(2) 定理2.3.1 若A是一個(gè)n階可逆矩陣, 則它的逆矩陣是唯一的(3)（定義）設(shè)A=(aij)n×n,Aij為的行列式|A|中元素aij的代數(shù)余子式,稱 為矩陣A的伴隨矩陣。(4)（定理）n階方陣A可逆的充分必要條件是|A|¹0,且A可逆時(shí),有 。 (5)（推論）設(shè)A與B都是n階方陣,若AB=E, 則A, B都可逆,并且 A-1=B,B-1=A。（6）（性質(zhì)）若A可逆,則

14、A-1可逆,且(A-1)-1=A（7）（性質(zhì)） 若A可逆, 則|A-1|=|A|-1.（8）（性質(zhì)）若A可逆, 則(AT) -1=(A-1)T（9）（性質(zhì)）若n階矩陣A,B都可逆, 則AB可逆,且(AB)-1=B-1A-1。（10）（性質(zhì)）若A可逆,數(shù)k0,則(kA)-1 = k-1A-1。（11）（性質(zhì)）若A可逆,且AB=O,則B=O（12）性質(zhì)7 若A可逆,且AB=AC,則B=C（13）矩陣方程AX=C,XA=C,AXB=C 其中A、B均為可逆矩陣.則上述矩陣方程分別有唯一解X=A-1C， X=CA-1， X=A-1CB-1（14）（定義）設(shè)A為實(shí)數(shù)域R上的方陣,如果它滿足AAT=ATA=

15、E,則稱A為正交矩陣。（15）（定理）實(shí)數(shù)域R上的方陣A為正交矩陣的充分必要條件是A-1=AT。 (16)正交矩陣的性質(zhì)：若A為正交矩陣,則|A|=1或|A|=-1；正交矩陣的逆矩陣及轉(zhuǎn)置矩陣仍為正交矩陣；若A、B是同階正交矩陣,則AB也是正交矩陣;) 正交矩陣的每行(列)元素的平方和等于1, 不同兩行(列)的對(duì)應(yīng)元素乘積之和等于0。四、分塊矩陣（1）定義2.4.1 設(shè)A是一個(gè)矩陣,用貫穿于的縱線和橫線按某種需要將其劃分成若干個(gè)階數(shù)較低的矩陣,這種矩陣稱為A的子塊或子矩陣,以這些子塊為元素構(gòu)成的矩陣稱為A的分塊矩陣。（2）分塊矩陣的運(yùn)算：設(shè)A,B為m×n矩陣,將A,B采用同樣的方法進(jìn)

16、行分塊,得到則有（k為常數(shù)）若分塊矩陣 ，則有（3）分塊矩陣的乘法：設(shè)矩陣A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,用分塊矩陣計(jì)算A,B的乘積AB時(shí), 一定要使A的列的分法與B的行的分法一致,這樣不僅可以保證A,B作為分塊矩陣可乘,而且它們相應(yīng)的各子塊間的乘法也有意義,即其中矩陣A的子塊Aik為mi×sk(i=1,2,r, k = 1,2,p ) 矩陣,矩陣 B 的子塊 Bkj 為sk×nj (k=1,2,p; j=1,2,q ) 矩陣,且則其中 為mi×nj矩陣(i=1,2,r，j=1,2,q)。（4）定義2.5.2 設(shè)A為n階方陣,如果它

17、的分塊矩陣具有如下形式其中Ai (i =1,2,s)為ni 階方陣 則稱A為準(zhǔn)對(duì)角形矩陣。 （5）設(shè)A,B同型方陣，且子塊同型，則有1.2.3. |A|=|A1|A2|As|；4.若|Ai|¹0(i =1,2,s),則五、初等變換與初等矩陣（1）（定義）矩陣A的下列變換稱為它的初等行（或列）變換：（三種初等變換分別簡稱為互換、倍乘、倍加。矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換）1. 互換矩陣A的第 i行與第 j行（或第 i列與第 j列）的位置，記為 ri«rj(或ci«cj );2. 用常數(shù) k0去乘矩陣 A的第 i行(或第 j列)，記為kri(或 kc

18、j );3.將矩陣 A的第 j行（或第 j列）各元素的 k倍加到第 i行(或第 i列)的對(duì)應(yīng)元素上去，記為 ri+krj(或ci+kcj );（2）定義2.5.2 如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換化為矩陣 B, 則稱 A與 B等價(jià)，記為 AB ，或 A®B。（3）等價(jià)是矩陣間的基本性質(zhì): 1.自反性：AA： 2.對(duì)稱性：若 AB, 則 BA;3.傳遞性： 若AB, BC, 則AC；（4）（定義）如果矩陣A滿足下列條件：若有零行，則零行全在矩陣A的下方； A的各非零行的第一個(gè)非零元素的列序數(shù)小于下一行中第一個(gè)非零元素的列序數(shù)； 則稱 A為行階梯形矩陣，或階梯形矩陣。如果矩陣A除滿足上述條件

19、、外，還滿足條件：各非零行的第一個(gè)非零元素均為1，且所在列的其它元素都為零，則稱 A為簡化的階梯形矩陣。（5）階梯形矩陣的一般形式為（6）上述矩陣中,bk(1£k£r)為非零常數(shù)，*號(hào)表示某一常數(shù)。（7）定理2.5.1 任何非零矩陣都可以通過初等行變換化為階梯形。（8）定理2.5.2 任意非零矩陣A=(aij)m×n都與它的標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià),即存在矩陣 使得 ，其中Er為 r階單位矩陣,1£r£min m,n。（9）（定義）由單位矩陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（三種變換方式對(duì)應(yīng)三種類型的初等矩陣：分別稱為互換、倍乘、倍加初等矩陣）。（1

20、0）初等矩陣的性質(zhì)：初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣仍為同類型的初等矩陣；初等矩陣都是可逆矩陣；初等矩陣的逆矩陣仍為初等矩陣，且 （11）（定理）設(shè)A是一個(gè) m×n矩陣, 對(duì) A作一次初等行變換，相當(dāng)于在 A的左邊乘以相應(yīng)的 m階初等矩陣；對(duì) A作一次初等列變換，相當(dāng)于在 A的右邊乘以相應(yīng)的 n初等矩陣。（由這個(gè)定理，矩陣的初等變換和矩陣乘法建立了聯(lián)系）（12）（定理）m´n矩陣A與B等價(jià)Û有m階初等矩陣P1,P2,Ps與n階初等矩Q1,Q2,Qt ,使得 。若記P= P1,P2,Ps，Q=Q1,Q2,Qt ，則 P為 m階可逆矩陣， Q為 n階可逆矩陣，于是得到以下推論： 推

21、論：m´n矩陣A與B等價(jià)Û存在m階可逆矩陣P與n階可逆矩陣 Q ,使得。 推論：對(duì)于任意非零m´n矩陣AÛ存在m階可逆矩陣 P與 n階可逆矩陣Q,使得 。 推論：若A為n階可逆矩陣，則A E。 推論：推論4 n階矩陣 A可逆的充分必要條件是它可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積。（）可利用下面的方式求的逆矩陣。六、矩陣的秩（）（定義）在矩陣A中,任取k行,k列(1kmin(m,n),由這些行列交叉處的k2個(gè)元素按原來的順序構(gòu)成的k階行列式,稱為矩陣A的一個(gè)k階子式。（）（定義）若在m×n矩陣A中,有一個(gè)r階子式不為零,而所有的r+1階子式(若存在的話)

22、都為零,則稱r為矩陣A的秩,記為R(A)=r。特別的，零矩陣的秩規(guī)定為零。（*：如果矩陣A的所有的r +1階子式都為零,那么A的所有高于r +1階的子式(若存在的話)也必然為零.因此R(A)是A中不為零的子式的最高階數(shù)）（）由定義以上可以看出,在矩陣A中,若存在一個(gè)r階子式不為零,則R(A)r,若所有的r+1階子式都為零,則R(A)r。（）對(duì)于矩陣A=(aij)m×n,顯然有 。由矩陣秩的定義，顯然階梯形矩陣的秩等于矩陣中非零行的行數(shù)。（）（定理）n階方陣A的秩為n的充分必要條件是A為可逆矩陣。 即R(A)=n Û A可逆。（6） 對(duì)于n階方陣A,若R(A)=n,則稱A為滿

23、秩矩陣,若R(A)<n,則稱A為降秩矩陣。（7）（定理）初等變換不改變矩陣的秩。（8）任意非零矩陣A都可以經(jīng)過有限次初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 它的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的,并且R(A)=r。（9）)（推論）兩個(gè)同型矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是 R(A)=R(B)。 （10）推論2 設(shè)A為m×n矩陣,P和Q分別為m階與n階可逆矩陣,則有：（11）R(A+B)R(A)+R(B)，R（AB）（），（）。章三、向量組的線性相關(guān)性一、向量的概念與運(yùn)算（）（定義）由數(shù)域P上的n個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 (a1,a2,an)，稱為P上的一個(gè)n維向量，記為，即= (a1,a2,an)。 （）=(a1,a2,an)

24、稱為n維行向量，稱為n維列向量。 （）在線性方程組中，令 ， ， ，x =(x1,x2,xn)T則方程組可寫作Ax=b，并記 ， 稱為增廣矩陣。二、 向量組的線性相關(guān)性（1）（定義）設(shè)1 , 2 , , m, 都是數(shù)域P上的n維向量，如果存在數(shù)域P上的數(shù)k1,k2, ,km，使得 ，則稱是向量1,2, ,m的線性組合，或稱可由向量組1，2, ,m線性表出(示)。 （2）判斷一個(gè)向量組是否線性相關(guān)，往往把其轉(zhuǎn)化為對(duì)線性齊次方程組是否有非零解的討論。系數(shù)行列式為零，該方程組有非零解，故向量組1,2,3,4線性相關(guān)；系數(shù)行列式不為零，該方程組無非零解，故向量組1,2,3,4線性不相關(guān)。（3）（定理）

25、向量組1,2, ,m(m2)線性相關(guān)，其中至少有一個(gè)向量可由其m-1余個(gè)向量線性表出。（4）推論 向量組1,2, ,m(m2)線性無關(guān)的充分必要條件是：其中每一個(gè)向量都不能由其余向量線性表出。（5）定理3.2.2 若向量組1,2, ,m線性無關(guān)，而1,2, ,m, 線性相關(guān)，則可由1,2, ,m線性表出，而且表法唯一。（6）定理3.2.3 向量組1,2, ,m線性相關(guān)的充要條件是R(A)<m 。（7）定理3.2.3向量組1,2,n線性相關(guān)的充要條件是R(A)<n 。（8）推論1 m×n矩陣A的m個(gè)行向量線性無關(guān)的充要條件是R(A)=m；m×n矩陣A的n個(gè)列向量線

26、性無關(guān)的充要條件是R(A) =n.（9）推論2 如果一個(gè)向量組中向量的個(gè)數(shù) m大于向量的維數(shù)n, 則該向量組線性相關(guān)；特別地,任意n+1個(gè)n維向量必定是線性相關(guān)的.（10）推論3 設(shè)i=(i1,i2, ,in)，i= 1, 2, , n，則(1) n個(gè)維向量線性無關(guān)的充分必要條件是: （2 ） n個(gè)維向量線性相關(guān)的充分必要條件是:（11）性質(zhì)1 含有零向量的向量組必線性相關(guān)。（12）性質(zhì)2 向量組若有一個(gè)部分組線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)。(13) 性質(zhì)3 若向量組線性無關(guān)，則它的任意一個(gè)部分組也線性無關(guān)。 (14)(性質(zhì))若向量組 線性相關(guān), 則去掉最后r個(gè)分量(1r<n)后, 所

27、得到的向量組: 也線性相關(guān)。 三、向量組的秩(1)(定義)如果向量組1,2, ,m的部分組滿足條件(I)線性無關(guān);(II) 的任一向量均可由線性表出;則稱 是向量組 的一個(gè)極大線性無關(guān)組。(2)（定理）如果向量組1,2, ,m中的每一個(gè)向量均可由向量組 1, 2, , r線性表出，并且m>r，那么向量組1,2, ,m線性相關(guān)。 (3)（推論）如果向量組1,2, ,m中的每一個(gè)向量均可由向量組 1, 2, , r線性表出，并且1,2, ,m線性無關(guān)，那么mr。 (4) 定理 3.3.2 一個(gè)向量組中任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相等。(5)（定義）向量組1,2, ,m的極大線性無關(guān)組

28、中所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩，記為R1,2, ,m全由零向量組成的向量組的秩規(guī)定為零。(6)（定義）設(shè)向量組 ，若向量組(A)中的每一個(gè)向量可由向量組（B）線性表出，同時(shí)向量組（B）中的每一個(gè)向量可由向量組(A)線性表出，亦即它們可以互相線性表出，則稱向量組(A)與向量組（B）等價(jià)。 (7)等價(jià)向量組具有如下性質(zhì):自反性:任何一個(gè)向量組都與它自身等價(jià)；對(duì)稱性:若向量組()與向量組（）等價(jià)，則向量組（）也與向量組()等價(jià)； 傳遞性:若向量組()與向量組（）等價(jià)，向量組（）也與向量組()等價(jià)，則向量組（）也與向量組()等價(jià)。(8)等價(jià)向量組的下列性質(zhì)：a:向量組都與它的任一極大線性無關(guān)組等價(jià)

29、；b:任何兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)相同;c:任何兩個(gè)等價(jià)的向量組的秩相等。(9)（定理）若向量組（）：可由向量組（）：線性表出,且向量組（）的秩為p ，向量組（）的秩為q，則 pq。（10）（定理）矩陣A的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩。四、向量空間（1）定義3.4.1 設(shè)V是數(shù)域P上的 n維向量的非空集合，如果",ÎV, kÎP, 滿足 則稱集合V為數(shù)域P上的向量空間.（2）定義3.4.2 設(shè)V1，V2是數(shù)域P上的兩個(gè)向量空間，如果V1ÍV2，則稱V1是V2的子空間。（3）實(shí)數(shù)域上任何n維向量的集合構(gòu)成的向量空間都是Rn的

30、子空間。 單獨(dú)由一個(gè)零向量構(gòu)成的集合0也是一個(gè)向量空間，稱為零空間。 （4）在n維向量空間V中，零空間和空間V也是它的子空間，稱為它的平凡子空間，除此之外，V的其他子空間稱為它的非平凡子空間。 （5）設(shè)1, 2 , ,m為一組n維向量，容易證明它的線性組合 是向量空間，稱為由向量1, 2 , ,m生成的向量空間，記為L(1, 2 , ,m)。 （6）定義3.4.2 設(shè)V是數(shù)域P上的向量空間，向量1, 2 , ,mÎV，如果(1) 1, 2 , ,m線性無關(guān)；(2) V中任一向量都能由1, 2 , ,m線性表示；則稱 1, 2 , ,m為空間V的一組基（或基底），m稱為向量空間V的維數(shù)

31、，記為dimVm，并稱V是數(shù)域P上的 m維向量空間。零空間的維數(shù)規(guī)定為零。 （7）基的等價(jià)定義： 設(shè) 1, 2 , ,mV，即dimVm (1) 1, 2 , ,m線性無關(guān), 且V中任一向量都能由1, 2 , ,m線性表示; (2) 1, 2 , ,m線性無關(guān)； (3) V中任一向量都能由1, 2 , ,m線性表示; (4) 1, 2 , ,m線性無關(guān), 且V中任一向量添加到1, 2 , ,m中線性相關(guān)。 （8）若把向量空間V看作一個(gè)向量組，那么它的基就是 V的一個(gè)極大線性無關(guān)組，dimV就是V的秩。(9)若向量空間V的維數(shù)是m，那么V中任意 m個(gè)線性無關(guān)的向量都是V的一組基；對(duì)于向量空間V的任一子空間V1，dimV1dimV2。（10）