萬有引力定律應用例談

1、萬有引力定律應用例談卞望來（江蘇省南菁高級中學江蘇 江陰 214400）近幾年來，萬有引力定律內(nèi)容已成為各地高考的熱點之一。它主要考查學生運用 萬有引力定律的知識，結合牛頓第二定律，解人造衛(wèi)星和星體作圓周運動的問題， 或 對行星的質量、密度的測量作出有關推斷和計算。 這要求學生要有一定模型建構、 知 識綜合運用和邏輯推理的能力。 這類題目的考題形式有選擇題、 計算題或論述題。涉 及知識點主要有：萬有引力定律、牛頓第二定律、勻速圓周運動、能量守恒定律等知 識?，F(xiàn)就以下四個方面談萬有引力定律的應用。一、第一宇宙速度、第二宇宙速度推導及應用例1、（預測題）如果地球表面的重力加速度為 g,地球半徑為R

2、,試推導第一宇 宙速度、第二宇宙速度表達式并求出其大小。（已知g=9.8m/s2，R= 6400km）解析:設地球質量為M，繞地球做勻速圓周運動的衛(wèi)星的質量為 m,衛(wèi)星的速 度為v,軌道半徑為r,由牛頓第二定律得：Mmv3Gm所以Gr m ,vrr . r若有質量為m。物體靜止于地面，且忽略地球自轉所需向心力,七 Mm02 ©有G 廠=m°g,GM = gR2 R2當衛(wèi)星貼近地面飛行時，r ” R 由式得v g 7.9km/s，這就是衛(wèi)星在地面附近繞地球做勻速圓周運 動的速度，叫第一宇宙速度。設衛(wèi)星在地面發(fā)射速度為V2，則它的動能Ek = 1 mv2，引力勢能Ep二-G M

3、m ,2R要使衛(wèi)星克服地球引力的束縛，最終離開地球，其末速為0,動能為O,引力勢能也為0,由機械能守恒定律得：這就是衛(wèi)星脫離地球引力束縛的速度，叫第二宇宙速度。例2、（06,全國，理綜I）我國將要發(fā)射一顆繞地球運行的探月衛(wèi)星“嫦娥 1 號”設該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近地球表面。已知月球質量約為地球質量的 -,81月球的半徑約為地球半徑的 丄，地球上的第一宇宙速度約為 7.9km/s，則該探月衛(wèi)星4繞月運行的速率約為（）A、0.4km/sB、1.8km/sC、11km/sD、36km/s解析:由牛頓第二定律得：衛(wèi)星作圓周運動所需向心力由萬有引力提供，且Mm:R，有G百=略”営，所以探月衛(wèi)星繞月

4、運行的速率為2 2vVi7.9=1.8km/s，故選 B。99這方面題目要求學生能正確理解第一宇宙速度，明確衛(wèi)星作勻速圓周運動向心力是由萬有引力來提供的，衛(wèi)星貼近星體運動時其軌道半徑近似等于星體的半徑。同時, 當物體靜止于星體表面時，在忽略星體自轉時物體所需向心力情況下， 其重力就等于 星體對物體的萬有引力。二、人造衛(wèi)星的有關判斷及計算例3、（05,江蘇）某人造衛(wèi)星運動的軌道可近似地看作以地心為中心的圓。由于阻力作用，人造衛(wèi)星到地心的距離從a慢慢變到r2，用Ek1,Ek2分別表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，則（）A、a v a， Ek1 : Ek2B、r1 > r2，Ek1: Ek2C、r

5、1 v r2， Ek1 Ek2Dr1 > r2， Ek1 ' Ek2解析:由于阻力作用，人造衛(wèi)星在原軌道上速度減小，在原軌道上萬有引力大于人造衛(wèi)星做圓周運動需要的向心力， 人造衛(wèi)星要做靠近地心的運動使 r減小，即Q V1。在新的軌道上達到穩(wěn)定后，由Ek2 - Ek1，故 B 正確。例4、（06,江蘇）如圖所示，A是地球的同步衛(wèi)星，另一衛(wèi)星 B的圓形軌道位于 赤道平面內(nèi)，離地面高度為h,已知地球半徑為R,地球自轉角速度為w0，地球表面 的重力加速為g, O為地球的中心。（1）求衛(wèi)星B的運行周期。（2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉方向相同，某時刻A、 B兩衛(wèi)星相距最近（O A、B在同一

6、直線上），則至少經(jīng)過多 長時間，他們再一次相距最近？解析:（1）由萬有引力定律和向心力公式得：Mm(R h)22 二、2(=)tb(R h)當物體在地面上時,G Mm-二 mgR2聯(lián)立得:Tb3(R h).gR2（2）由題意得：（wB -w0）t=2：由得wB22 二gRTB 7(r h)3由代入得:這方面題目主要是要求學生正確掌握衛(wèi)星作勻速圓周運動時的向心力同樣是由 萬有引力提供的，掌握勻速圓周運動的有關知識，同時明確同步衛(wèi)星的角速度就等于 地球自轉的角速度。三、行星的質量、密度的測量例5、（06,北京，理綜）一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，認 為行星是密度均勻的球體。要確定該行

7、星的密度，只需要測量（）A、飛船的軌道半徑B、飛船的運行速度C、飛船的運行周期D行星的質量解析:設行星的半徑為R質量為M飛船質量為m運行周期為T,因而，二m）2 R, M,V =4r3,得行星的密度 社，故只需測量飛船的運r2TV 3GT2行周期，因而選Co例6 （98,全國）宇航員站在一星球表面的某高度處，沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)時間t，小球落到星球表面，測得拋出點到落地點之間的距離為L。若拋出時的初速度增大到2 倍,則拋出點與落地點之間的距離為 3L o已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為 R,萬有引力常數(shù)為G,求該星球的質量 M解析:設拋出點高度為h,第一次水平位移為x，則x2

8、h2 二 L2（2x）2 h2 =（ .3L）2由得3 L由自由落體運動h = 1 gt2， 且mg =G “!2匕R2 2由得M3LR3Gt2例7、(預測題)1789年英國著名物理學家卡文迪許首先估算出了地球的平均密 度。已知地球半徑為R,地球表面的重力加速為g，萬有引力常數(shù)為G根據(jù)你學過 的知識，試推斷出地球的平均密度表達式及其大小。解析:設地球質量為M地球半徑為R,地球表面重力加速度為g,忽略地球 自轉影響，由萬有引力定律得 mg二，將地球看成一個球體V二彳二R3R3由得地球的平均密度- =M 3g ，式中-g,G,R均為常數(shù)，將它們的數(shù)V 4 兀 GR值代入可得 5.5 103kg/m

9、3要對行星的質量、密度進行測量，除必須應用萬有引力定律外，還要將星體看成 球體，并結合星體表面的重力加速度或衛(wèi)星的運行周期進行求解， 這就要求學生有一 定的解題能力和推斷能力。四、雙星體、三星體的分析例8、(06,天津，理綜)神奇的黑洞是近代引力理論所預言的一種特殊天體， 探尋黑洞的方案之一是觀測雙星系統(tǒng)的運動規(guī)律。天文學家觀測河外星系大麥哲倫云 時，發(fā)現(xiàn)了 LMC*3雙星系統(tǒng)，它由可見星A和不可見的暗星B構成。兩星視為質點， 不考慮其它天體的影響，A、B圍繞兩者連線上的O點做勻速圓周運動，它們之間的 距離保持不變，如圖所示。引力常量為 G,由觀測能夠得到可見星A的速率v和運行周期T。J、X*

10、%(1)可見星A所受暗星B的引力FA可等效為位于O點處質 A '.QOO 量為m 的星體(視為質點)對它的引力，設 A和B的質量分別為'、 /m1, m2，試求 m '(用 g, m?表示)；'(2)求暗星B的質量m2與可見星A的速率v,運行周期T和質量葉之間的關系式；(3) 恒星演化到末期，如果其質量大于太陽質量 ms的2倍，它將有可能成為黑 洞。若可見星A的速率v = 2.7 105m/s，運行周期T=4.7： 104s，質量m = 6ms, 試通過估算來判斷暗星B有可能是黑洞嗎？(G=6.67 101N m2/kg2,ms = 2.0 1030kg)解析:

11、(i)設A、B的圓軌道半徑分別為ri、L，由題意知，A、B做勻速圓周 運動的角速度相同，設其為 o牛頓運動定律，有設A B之間的距離為r，又ri r2，由上述各式得r= 一ri，m2mm由萬有引力定律，有Fa =G 2r，由代入得Fa二G3mm2(mim2)2ri23m2(2)由牛頓第二定律，有2V2 二 mi ri又可見星A的軌道半徑ri3由式解得巴(mi m2)vT2 二3tv T2G3m2(3)將仇代入式，得(-ms，m2 )2v3T2-G令Fa二G m ，比較可得m2ri血 +m2)3m2m2 =nms(n0)將其代入式得m22(6ms m2)6 2(-1)2nms 二 3.5ms代入

12、數(shù)據(jù)得2一2二3.5ms(6ms + m2)3m2可見，22的值隨n的增大而增長，試令n = 2,得(6 ms + m2)nms =0. i 2臨：3.5ms(6 i)2n若使式成立，則n必大于2,即暗星B的質量m2必大于2m$ 由此得出結論：暗星B有可能是黑洞。例9、( 06，廣東)宇宙中存在一些離其它恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它們的引力作用。 已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存 在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半 徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上， 并沿外 接于等邊三角形的圓軌道運行。設

13、每個星體的質量均為m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；（2）假設兩種形式星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多 少？解析:（1）對第一種形式，以某一個運動星體為研究對象，作受力分析，如 圖a所示，一個星體要受到其它兩個星體的萬有引力作用，根據(jù)牛頓第二定律和萬有 引力定律得2且 FiF = m vRR3因而運動星體的線距離“等 設周期為T，則有T 得 T " ,5Gm對其中一個星體作受力分析，如圖b所示，則三個星體作圓周運動的半徑 R =cos30 3由于星體作圓周運動所需的向心力靠其它兩個星體的萬有引 力的合力提供。由力的合成和牛頓第二定律有:2 m§ 於F合工2G r cos30r由得r =312 R（2）設第二種形式星體之間的距離為雙星體、三