二元一次方程組與實(shí)際問題

1、.二元一次方程組與實(shí)際問題列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟可概括為“審、找、列、解、答”五步，即：（1）審：通過審題，把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，分析已知數(shù)和未知數(shù)，并用字母表示其中的兩個未知數(shù)；（2）找：找出能夠表示題意兩個相等關(guān)系；（3）列：根據(jù)這兩個相等關(guān)系列出必需的代數(shù)式，從而列出方程組；（4）解：解這個方程組，求出兩個未知數(shù)的值；（5）答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎(chǔ)上，寫出答案.列方程組解應(yīng)用題中常用的基本等量關(guān)系1.行程問題：(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段,用圖便于理解與分析。其等量關(guān)系式是:兩者的行程差

2、開始時兩者相距的路程； (2)相遇問題:相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點(diǎn)是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關(guān)系是：雙方所走的路程之和總路程。(3)航行問題：船在靜水中的速度水速船的順?biāo)俣龋?船在靜水中的速度水速船的逆水速度； 順?biāo)俣饶嫠俣?×水速。注意：飛機(jī)航行問題同樣會出現(xiàn)順風(fēng)航行和逆風(fēng)航行，解題方法與船順?biāo)叫小⒛嫠叫袉栴}類似。2工程問題：工作效率×工作時間=工作量.3商品銷售利潤問題：(1)利潤售價成本(進(jìn)價)；(2)；(3)利潤成本（進(jìn)價）×利潤率；標(biāo)價成本(進(jìn)價)×(1利潤率)；(5

3、)實(shí)際售價標(biāo)價×打折率；打幾折就是按標(biāo)價的十分之幾或百分之幾十銷售。（例如八折就是按標(biāo)價的十分之八即五分之四或者百分之八十）4儲蓄問題： 利息本金×利率×期數(shù) 本息和本金利息本金本金×利率×期數(shù)本金× (1利率×期數(shù)) 利息稅利息×利息稅率本金×利率×期數(shù)×利息稅率。 稅后利息利息× (1利息稅率) 。5配套問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6增長率問題：解這類問題的基本等量關(guān)系式是：原量×(1增長率)增長后的量；原量&

4、#215;(1減少率)減少后的量.7和差倍分問題：解這類問題的基本等量關(guān)系是：較大量較小量多余量，總量倍數(shù)×倍量.8數(shù)字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)概念、特征及其表示。如當(dāng)n為整數(shù)時，奇數(shù)可表示為2n+1(或2n-1)，偶數(shù)可表示為2n等，有關(guān)兩位數(shù)的基本等量關(guān)系式為：兩位數(shù)=十位數(shù)字10+個位數(shù)字9優(yōu)化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網(wǎng)絡(luò)的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運(yùn)用方程解答，得出最佳方案。經(jīng)典例題透析類型一：列二元一次方程組解決行程問題例：甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機(jī)同時由甲、乙兩

5、地相向而行，1小時20分相遇. 相遇后，拖拉機(jī)繼續(xù)前進(jìn)，汽車在相遇處停留1小時后調(diào)轉(zhuǎn)車頭原速返回，在汽車再次出發(fā)半小時后追上了拖拉機(jī). 這時，汽車、拖拉機(jī)各自行駛了多少千米？ 舉一反三：【變式】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發(fā)2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2小時，那么他們在甲出發(fā)3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？【變式】兩地相距280千米，一艘船在其間航行，順流用14小時，逆流用20小時，求船在靜水中的速度和水流速度。類型二：列二元一次方程組解決工程問題例：一家商店要進(jìn)行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費(fèi)用共3520

6、元；若先請甲組單獨(dú)做6天，再請乙組單獨(dú)做12天可完成，需付兩組費(fèi)用共3480元，問：(1)甲、乙兩組工作一天，商店應(yīng)各付多少元？(2)已知甲組單獨(dú)做需12天完成，乙組單獨(dú)做需24天完成，單獨(dú)請哪組，商店所付費(fèi)用最少？ 舉一反三：【變式】小明家準(zhǔn)備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨(dú)做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨(dú)完成，從節(jié)約開支的角度考慮，小明家應(yīng)選甲公司還是乙公司？請你說明理由. 類型三：列二元一次方程組解決商品銷售利潤問題例：有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%,乙商品的利潤率為4%,共可獲利46元

7、。價格調(diào)整后，甲商品的利潤率為4%，乙商品的利潤率為5%，共可獲利44元，則兩件商品的進(jìn)價分別是多少元？ 舉一反三：【變式】某商場用36萬元購進(jìn)A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進(jìn)價和售價如下表：AB進(jìn)價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利 = 售價 進(jìn)價）求該商場購進(jìn)A、B兩種商品各多少件；類型四：列二元一次方程組解決銀行儲蓄問題例：小明的媽媽為了準(zhǔn)備小明一年后上高中的費(fèi)用，現(xiàn)在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅利

8、息金額×20%，教育儲蓄沒有利息所得稅）類型五：列二元一次方程組解決生產(chǎn)中的配套問題例：某服裝廠生產(chǎn)一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只. 現(xiàn)計劃用132米這種布料生產(chǎn)這批秋裝(不考慮布料的損耗)，應(yīng)分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？ 舉一反三：【變式】現(xiàn)有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 類型六：列二元一次方程組解決增長率問題例：某工廠去年的利潤（總產(chǎn)值總支出）為200萬元，今年總產(chǎn)值比去年增加了20%，總支出比去年減

9、少了10%，今年的利潤為780萬元，去年的總產(chǎn)值、總支出各是多少萬元？ 【變式】某城市現(xiàn)有人口42萬，估計一年后城鎮(zhèn)人口增加0.8%，農(nóng)村人口增加1.1%，這樣全市人口增加1%，求這個城市的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口。類型七：列二元一次方程組解決數(shù)字問題例：一個兩位數(shù)，減去它的各位數(shù)字之和的3倍，結(jié)果是23；這個兩位數(shù)除以它的各位數(shù)字之和，商是5，余數(shù)是1，這個兩位數(shù)是多少？舉一反三：【變式】一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字比個位上的數(shù)字大5，如果把十位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字交換位置，那么得到的新兩位數(shù)比原來的兩位數(shù)的一半還少9，求這個兩位數(shù)？類型八：列二元一次方程組解決優(yōu)化方案問題： 例：某商場計劃撥款9萬

10、元從廠家購進(jìn)50臺電視機(jī)，已知廠家生產(chǎn)三種不同型號的電視機(jī)，出廠價分別為：甲種每臺1500元，乙種每臺2100元，丙種每臺2500元。(1)若商場同時購進(jìn)其中兩種不同型號的電視機(jī)50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進(jìn)貨方案；(2)若商場銷售一臺甲、乙、丙電視機(jī)分別可獲利150元、200元、250元，在以上的方案中，為使獲利最多，你選擇哪種進(jìn)貨方案？舉一反三：【變式】某地生產(chǎn)一種綠色蔬菜，若在市場上直接銷售，每噸利潤為1000元；經(jīng)粗加工后銷售，每噸利潤可達(dá)4500元；經(jīng)精加工后銷售，每噸利潤漲至7500元. 當(dāng)?shù)匾患肄r(nóng)工商公司收獲這種蔬菜140噸，該公司加工廠的生產(chǎn)能力是：如果對蔬菜進(jìn)行粗加工，每天可以加工16噸；如果進(jìn)行細(xì)加工，每天可加工6噸. 但兩種加工方式不能同時進(jìn)行. 受季節(jié)條件的限制，公司必須在15天之內(nèi)將這批蔬菜全部銷售或加工完畢，為此公司研制了三種加工方案方案一：將蔬菜全部進(jìn)行粗加工；方案二：盡可能多的對蔬菜進(jìn)行精加工，沒來得及加工的蔬菜在市場上直接銷售；方案三：將部分蔬菜進(jìn)行精加工，其余蔬