高等數(shù)學(xué)梯度計算

1、高等數(shù)學(xué)梯度計算第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度高等數(shù)學(xué)梯度計算一、問題的提出一、問題的提出一塊長方形的金屬板，受熱一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場產(chǎn)生如圖溫度分布場. . 設(shè)一個小蟲在板中逃生至某設(shè)一個小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達涼快的地點？才能最快到達涼快的地點？處，處，問題的問題的實質(zhì)實質(zhì)： 應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行方向爬行高等數(shù)學(xué)梯度計算需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，需要計算場中各點沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向從

2、而確定出溫度下降的最快方向引入兩個概念：引入兩個概念：方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)和和梯度梯度方向?qū)?shù)問題方向?qū)?shù)問題梯度問題梯度問題高等數(shù)學(xué)梯度計算 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P P沿某一方向的沿某一方向的變化率問題變化率問題),( yxfz 二、方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)oyxl( , )( , )( )zf x yP x yU PPl 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點點的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，自自點點引引射射線線 ,(,)( ).xlP xx yylPU P 設(shè)設(shè)軸軸正正向向到到射射線線 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為并并設(shè)設(shè)為為上上的的另另一一點點且且PP xy高等數(shù)學(xué)梯度計算 |PP,)()(22yx ),()

3、,(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時時，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf ,z 考考慮慮是否存在？是否存在？oyxlPP xy高等數(shù)學(xué)梯度計算.),(),(lim0 yxfyyxxflf (,)( , )f xx yyf x y 定定義義函函數(shù)數(shù)的的增增量量記為記為oyxlPP 如如果果此此比比的的極極限限存存在在，則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點點22()()PPxy 與與兩兩點點間間的的距距離離之之比比值值，Pl沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)PlP 當(dāng)當(dāng)沿沿著著 趨趨于于時時，高等數(shù)學(xué)梯度計算.),(),(lim0 yxfyyxxflf (1,0

4、)i .yf的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為0(,)( , )limff xx yyf x yl x 0 xfxf 1 , 02 e同理同理, ,沿沿y軸正向軸正向的方向?qū)?shù)分別為的方向?qū)?shù)分別為xx 此此時時x 在點在點沿著沿著軸正向軸正向x若偏導(dǎo)若偏導(dǎo) 存在存在, ,則則),(yxfPxf高等數(shù)學(xué)梯度計算.若若方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，則則偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)未未必必存存在在 220,0zxyOli 例例如如，在在處處沿沿方方向向的的 0 01fl ，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)， 0,0.zx 而而偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yx

5、yx .偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限. .原因：原因：高等數(shù)學(xué)梯度計算證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 方向?qū)?shù)的存在及計算公式方向?qū)?shù)的存在及計算公式那末函數(shù)在該點沿任意方向那末函數(shù)在該點沿任意方向l l的方向?qū)?shù)都存在，的方向?qū)?shù)都存在，),(yxfz ),(yxP定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)在點在點可微分，可微分，且有且有 sincosyfxflf 為為 x軸到方向軸到方向l l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角其中其

6、中計算公式計算公式高等數(shù)學(xué)梯度計算 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf lf)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到x y lcossin高等數(shù)學(xué)梯度計算故故x軸到方向軸到方向l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)4sin(2)4cos( lz.22 1, 1 PQ方向方向l 即為即為4 所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)高等數(shù)學(xué)梯度計算解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 ,

7、1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx （1）最大值）最大值; （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？ 22),(yxyxyxf 例例2 求函數(shù)求函數(shù) l在點在點(1,1)沿與沿與 x軸方向夾角為軸方向夾角為的方向射線的方向射線的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有高等數(shù)學(xué)梯度計算 sincos),4sin(2 故故 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 方向?qū)?shù)達到最大值方向?qū)?shù)達到最大值2; ;方向?qū)?shù)達到最小值方向?qū)?/p>

8、數(shù)達到最小值2 ; ;方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于0. .高等數(shù)學(xué)梯度計算,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣推廣: 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義),(zyxfu ),(zyxP對于三元函數(shù)對于三元函數(shù)它在空間一點它在空間一點沿著方向沿著方向l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義為可定義為 其中其中222)()()(zyx ）高等數(shù)學(xué)梯度計算.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z方向?qū)?shù)的計算公式方向?qū)?shù)的計算公式xyzlo 高等數(shù)學(xué)梯度計算解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF,

9、22 PPzzF故故(,)xyznFFF (4,6, 2), ,142264222 n方向余弦為方向余弦為2122)86(1yxzu 求函數(shù)求函數(shù)n在此處沿方向在此處沿方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù). .是曲面是曲面n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例例3 3 設(shè)設(shè) 在點在點處的指向外側(cè)的法向量處的指向外側(cè)的法向量, ,142cos ,143cos .141cos 高等數(shù)學(xué)梯度計算,142cos ,143cos .141cos 221,1,1668PPuxxzxy ;146 221,1,1868PPuyyzxy ;148 222(1,1,1)68PPxyuzz .14 PPzuyuxun

10、u)coscoscos( .711 故故高等數(shù)學(xué)梯度計算三、梯度三、梯度:問問題題?P函函數(shù)數(shù)在在點點沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快高等數(shù)學(xué)梯度計算 sincosyfxflf (,) (cos ,sin )ffxy eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf jie sincos 設(shè)設(shè)是方向是方向l上的單位向量上的單位向量， 當(dāng)當(dāng) 時，時，1),(cos( eyxgradflf 有最大值有最大值. .其中其中),(,eyxgradf 由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知高等數(shù)學(xué)梯度計算結(jié)論結(jié)論gradfgradf P22|( , )|ffgradf x yxy當(dāng)

11、當(dāng)xf 不為零時，不為零時，xfyf tanx軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為梯度的模為 l高等數(shù)學(xué)梯度計算在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面),(yxfz 曲面被平面曲面被平面 所截所截, ,得曲線得曲線cz ,),( czyxfz它它在在xoy面面上投影方程：上投影方程：oyx2( , )f x yc 1),(cyxf( , )f x yc 等高線等高線( , )f x

12、 yc 稱為稱為等值線等值線. .等值線等值線幾何上，稱為幾何上，稱為等高線等高線. .高等數(shù)學(xué)梯度計算sinzxy 函函數(shù)數(shù)圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形例如例如, ,高等數(shù)學(xué)梯度計算( , )f x yc 等值線等值線上任一點處的一個法向量為上任一點處的一個法向量為),(yxffn fgrad 表明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，表明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù). .0nnf gradffn oyx2( ,

13、 )f x yc 1( , )f x yc Pn( , )f x yc 21ccc =grad ( , )f x y值線，值線，高等數(shù)學(xué)梯度計算問題問題：上山時，如何選擇最快的方向？上山時，如何選擇最快的方向？計算方法課程中的一種計算策略：計算方法課程中的一種計算策略：“瞎子下山法瞎子下山法”高等數(shù)學(xué)梯度計算.),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值. .梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元

14、函數(shù)高等數(shù)學(xué)梯度計算解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu grad(23)(42)60,fxiyjzk 令令則在則在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為. 0yxzyxu2332222 )2 , 1 , 1 (例例4 求函數(shù)求函數(shù) 在點在點處的梯度，并問在何處梯度為零？處的梯度，并問在何處梯度為零？高等數(shù)學(xué)梯度計算一、一、方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）區(qū)別）小小 結(jié)結(jié).),(),(lim0 yxfyyxx

15、flf 1.1.定義定義2.2.計算公式計算公式 sincosyfxflf .coscoscos zfyfxflf 高等數(shù)學(xué)梯度計算二、梯度二、梯度 （注意梯度是一個（注意梯度是一個向量向量）grad ( , )f x y jyfixf 定義定義22| ),(| yfxfyxgradfxfyf tan方向：方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模模：高等數(shù)學(xué)梯度計算三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,模模為方向?qū)?shù)的最大值為方向?qū)?shù)的最大值. .梯度：梯度： sincosyfxflf ,cos| ),(

16、| yxgradf 其中其中,( , )gradf x y l ( , ).f x y某某點點梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)在在這這點點增增長長最最快快的的方方向向高等數(shù)學(xué)梯度計算思考題思考題問函數(shù)在某點處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？問函數(shù)在某點處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？2(1, 1,2).uxy zP 求求函函數(shù)數(shù)在在點點處處方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的最最大大值值答：梯度方向答：梯度方向答：答：21grad222 Pzyxffff高等數(shù)學(xué)梯度計算作作 業(yè)業(yè)P.51 習(xí)題習(xí)題8-71; 4; 7; 8; 10.高等數(shù)學(xué)梯度計算一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向?qū)?shù)為的方向的方向?qū)?shù)為_._.2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場已知場,),(222222czbyax