高等數(shù)學課件：1-1 函數(shù)的概念及其初等性質(zhì)

1、礎礎非非常常重重要要的的一一門門理理論論基基高高等等數(shù)數(shù)學學是是工工科科各各專專業(yè)業(yè)課課，,本本課課程程共共上上兩兩個個學學期期根根據(jù)據(jù)教教學學大大綱綱的的要要求求，個個學學分分，11)56( 17690()86 學學時時。共共業(yè)業(yè)考考研研必必考考課課程程，是是工工科科各各專專。多多后后續(xù)續(xù)專專業(yè)業(yè)課課程程的的基基礎礎也也是是工工科科各各專專業(yè)業(yè)許許數(shù)數(shù)學學的的基基本本內(nèi)內(nèi)容容，法法，熟熟練練地地運運用用它它的的基基本本方方因因此此，牢牢固固地地掌掌握握高高等等深深刻刻,理理解解它它的的基基本本思思想想續(xù)續(xù)專專是是學學好好工工科科各各專專業(yè)業(yè)的的后后業(yè)業(yè)課課的的關(guān)關(guān)鍵鍵和和保保障障。量量非非初

2、初等等函函數(shù)數(shù)）（主主要要是是初初等等函函數(shù)數(shù)或或少少其其主主要要內(nèi)內(nèi)容容包包括括：究究內(nèi)，用極限的方法，研內(nèi)，用極限的方法，研高等數(shù)學是在實數(shù)范圍高等數(shù)學是在實數(shù)范圍函數(shù)函數(shù)性性質(zhì)質(zhì).的的一一門門課課一一元元函函數(shù)數(shù)微微積積分分.常常微微分分方方程程 函函數(shù)數(shù)與與極極限限，導導數(shù)數(shù)、微微分分及及其其應應用用，應應用用，不不定定積積分分與與定定積積分分及及其其.廣廣義義積積分分,空空間間解解析析幾幾何何:多多元元函函數(shù)數(shù)微微積積分分.無無窮窮級級數(shù)數(shù)多多元元函函數(shù)數(shù)的的極極用用，偏偏導導數(shù)數(shù)、全全微微分分及及其其應應數(shù)量值函數(shù)量值函限限與與連連續(xù)續(xù)，數(shù)的積分數(shù)的積分 重積分，重積分，第第一一型

3、型曲曲線線、曲曲面面積積分分;用用數(shù)數(shù)量量值值函函數(shù)數(shù)積積分分學學的的應應向量值函數(shù)的積分向量值函數(shù)的積分分分），（第第二二型型曲曲線線、曲曲面面積積學學習習方方法法：. 1上上課課紀紀律律：. 2好好習習慣慣。題題的的學學習習中中，要要養(yǎng)養(yǎng)成成多多想想問問容容后后，再再去去做做作作業(yè)業(yè)，在在學學內(nèi)內(nèi)習習，基基本本掌掌握握了了課課堂堂教教急急于于完完成成作作業(yè)業(yè)，通通過過復復不不要要要要注注意意以以聽聽為為主主。課課后后必必須須記記適適當當?shù)牡墓P筆記記，但但題題來來聽聽課課，上上課課前前先先預預習習，帶帶著著問問課課，不不遲遲到到，不不早早退退，不不曠曠累累計計缺缺課課超超過過該該課課程程授授

4、，不不得得參參加加期期末末考考試試；課課學學時時的的31上上課課必必須須關(guān)關(guān)閉閉手手！機機，嚴嚴禁禁上上課課玩玩手手機機作作業(yè)業(yè)：. 3題題，練練習習冊冊上上的的習習題題為為必必做做均均為為選選做做題題，不不交交。）擬擬題題、課課本本上上的的練練習習題題模模期期中中期期末末考考試試題題、期期末末一一章章的的測測驗驗題題、往往年年的的（其其中中每每記記入入期期末末總總評評成成績績。業(yè)業(yè)成成績績以以作作細細的的登登記記，并并給給出出平平時時和和完完成成情情況況有有一一個個較較詳詳。作作業(yè)業(yè)的的收收交交業(yè)業(yè)總總數(shù)數(shù)的的一一次次，每每次次重重點點批批改改作作業(yè)業(yè)書書寫寫工工整整！每每周周收收交交作作作

5、作業(yè)業(yè)要要按按數(shù)數(shù)學學排排版版格格式式1031輔輔導導答答疑疑：. 4電話：電話：答疑疑室室答答疑疑。在在南南堂堂：除除周周五五、六六外外每每晚晚112009007 1.1 1.1 函數(shù)的概念及其初等性質(zhì)函數(shù)的概念及其初等性質(zhì) 1.2 1.2 數(shù)列極限數(shù)列極限 1.3 1.3 函數(shù)極限函數(shù)極限 1.4 1.4 無窮小與無窮大無窮小與無窮大 1.5 1.5 函數(shù)連續(xù)性函數(shù)連續(xù)性 1.6 1.6 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1.1.一些常用的符號一些常用的符號 .“至至少少有有一一個個”：表表示示“存存在在一一個個”或或.”，則則若若“：表表示示“可可推

6、推出出”或或.或或“等等價價”“充充分分必必要要”：表表示示“當當且且僅僅當當”或或.:“對對每每一一個個”表表示示“對對任任意意一一個個”或或 2.2.常用數(shù)集常用數(shù)集, 2 , 1 , 0* N自自然然數(shù)數(shù)集集：, , 3 , 2 , 1)( NZ正正整整數(shù)數(shù)集集：,1, 2 ，負負整整數(shù)數(shù)集集：Z，整整數(shù)數(shù)集集：101 Z,全全體體有有理理數(shù)數(shù)有有理理數(shù)數(shù)集集： Q,全全體體無無理理數(shù)數(shù)無無理理數(shù)數(shù)集集： I.IQR 實實數(shù)數(shù)集集：3.3.常用不等式常用不等式: : .0,0,xxxxxRx.0,.1 xRxo絕對值絕對值 :)0(.3 hhxo.hxh )0(.4 hhxo.hxhx

7、或或.,.2xxxRxo .yxyxyx ,.5Ryxo三角不等式三角不等式更一般地，更一般地，有有, )1(niRxi .2121nnxxxxxx .6o( 平均值不等式平均值不等式 )則則設設., 2 , 1, 0niai naaaaaaaaannnnn 212121111( 調(diào)和平均值調(diào)和平均值 )( 幾何平均值幾何平均值 )( 算術(shù)平均值算術(shù)平均值 )（證明略）（證明略）4.4.鄰域鄰域: :,0為鄰域的中心為鄰域的中心點點 x., 0 為為鄰鄰域域的的半半徑徑 ),(00 xUxO空空心心鄰鄰域域：的的點點),(:00 xUx實心鄰域?qū)嵭泥徲虻牡狞c點.),(000 xxxxxx0 x

8、 0 x 0 x.),(),(000000 xxxxxxxx0 x 0 x 0 x稱稱為為對對應應的的數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)yx函函數(shù)數(shù)值值的的集集合合：一一. 函數(shù)的定義函數(shù)的定義定義.MD 和和設設給給定定兩兩個個非非空空實實數(shù)數(shù)集集對對應應按按照照某某種種對對應應法法則則若若,fDx 唯唯一一確確定定,My 的的一一個個實實數(shù)數(shù)上上的的函函數(shù)數(shù)，是是定定義義在在則則稱稱Df)(:xfyxMDf 表表示示為為：的的定定義義域域，稱稱為為函函數(shù)數(shù)fD;)(xfyx 的的函函數(shù)數(shù)值值，記記作作RMDxxfyyDf ),()(.的的值值域域稱稱為為函函數(shù)數(shù)f函數(shù)傳統(tǒng)的習慣符號：函數(shù)傳統(tǒng)的習慣符號：.)(Dxx

9、fy ，注意：，可可以以多多對對一一，但但絕絕定定義義中中的的對對應應法法則則f.不不能能一一對對多多 一個函數(shù)也可以在其定義域的不同部分分別一個函數(shù)也可以在其定義域的不同部分分別用不同的解析式子表示，則稱之為用不同的解析式子表示，則稱之為分段定義的函數(shù)分段定義的函數(shù)，簡稱簡稱分段函數(shù)分段函數(shù) . .0,1,0,21,0,)(:2xxxxxxf例例如如oxy 121)(xfy 有些特殊的函數(shù)有些特殊的函數(shù)只能用語言來描述對應法則只能用語言來描述對應法則 ，并用約定的符號予以表示并用約定的符號予以表示:f.,1的的最最大大整整數(shù)數(shù)”是是不不超超過過對對應應的的“例例xyRx .,Rxxy 記記作

10、作：稱為稱為取整函數(shù)取整函數(shù)例如：例如：5.3= - 4.9=.1,xxxRx 有有顯然，顯然，（求極限時有用求極限時有用） 1 2 3 4 5 -2-4 -4 -3 -2 -1 -1-3xyo1234xy 階梯曲線階梯曲線，5.5 時時，當當)(1Znnxn xn .,2”對對應應的的“例例xxyRx .,Rxxy 記記作作：., Rxxxxy 即即稱為稱為非負小數(shù)部分函數(shù)非負小數(shù)部分函數(shù).,10,xxxxRx 有有顯然，顯然，oxy11xy 2341 2 3 4 例例3 符號函數(shù)符號函數(shù) .0,1,0,0,0,1sgnxxxx當當當當當當,sgn xxx .sgn的符號的作用的符號的作用起

11、了起了 xx .,0,1)(是是無無理理數(shù)數(shù)時時當當是是有有理理數(shù)數(shù)時時當當xxxD例例4 狄利克萊狄利克萊 函數(shù)函數(shù)德德國國）（,18591805,Dirichlet 1-1xyo xysgn 有理數(shù)點有理數(shù)點無理數(shù)點無理數(shù)點1xyo)(xDy 三三. 函數(shù)的初等性質(zhì)函數(shù)的初等性質(zhì).,)(Dxxfy 設設1函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性,MxfDx,MMM )(0)3(若若,)(,0)1(MxfDxM 若若.)(上上有有界界在在則則稱稱DxfpxfDxRp )(,)2(若若.)(界界上上有有上上在在則則稱稱Dxf,)(qxf )( q)(下下.)()(上既有上界又有下界上既有上界又有下界在在函數(shù)函

12、數(shù)上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)DxfDxf定理定理.上上無無界界在在則則稱稱Dxf)(2函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性,2121時時當當如果如果xxDxx .)(的的單單調(diào)調(diào)遞遞增增上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Dxf),()(:21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoD( )（減）（減）.,)(Dxxfy 設設x)(xfy )(1xf)(2xfyoD時時，上上單單調(diào)調(diào)遞遞增增或或單單調(diào)調(diào)遞遞減減在在當當Dxf)(;)(的的單單調(diào)調(diào)上上是是在在則則稱稱Dxf.)(單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)上上的的為為Dxf)(xfy )(1xf)(2xfxyoD,2121時時當當如果如果xxDxx ),

13、()(:21xfxf 恒恒有有.)(單單調(diào)調(diào)不不減減上上是是在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Dxf)( )(xfy )(1xf)(2xfxyoD)( 增增3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性),()(,)1(xfxfDx 若若),()(,)2(xfxfDx 若若,)(關(guān)關(guān)于于原原點點對對稱稱上上定定義義，且且在在設設DDxf.)(稱稱為為非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù)否否則則，xf.),()(),()(5數(shù)數(shù)的的和和內(nèi)內(nèi)能能表表成成奇奇函函數(shù)數(shù)與與偶偶函函在在內(nèi)內(nèi)的的任任意意函函數(shù)數(shù)，證證明明為為定定義義在在設設例例llxfllxf 證證,)()(21)(xfxfxF 令令,)()(21)(xfxfxG 偶函數(shù)偶

14、函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù). )()()(xGxFxf 顯顯然然為為偶偶函函數(shù)數(shù)；則則稱稱)(xf.)(為為奇奇函函數(shù)數(shù)則則稱稱xf4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性為周期函數(shù)，為周期函數(shù)，則稱則稱)(xf.)(的的一一個個周周期期稱稱為為xfl,)(上上定定義義在在設設函函數(shù)數(shù)Dxf,0 l若若)()(xflxf 有有定義,DlxDx 且且.為為無無窮窮區(qū)區(qū)間間說說明明周周期期函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域D2l 23l 2l23l.xyo)(xfy 的的所所有有周周期期中中存存在在在在周周期期函函數(shù)數(shù)若若)(xf最最小小的的正正，周期周期T.)(的的為為則則稱稱這這個個最最小小正正周周期期xfT基基本本周周期期.

15、周周期期都都是是指指基基本本周周期期通通常常我我們們所所說說的的函函數(shù)數(shù)的的，有有一一個個周周期期若若)(xf.)(必必有有無無窮窮多多個個周周期期則則xf則則的的一一個個周周期期為為事事實實上上，若若,)(xfl)()(lxfxf )(llxf )2(lxf . )(nlxf .)()(的的周周期期也也是是xfNnnl ,2cos,sin)( Txxxf的的周周期期為為,cot,tan)( Txxxf的的周周期期為為,2)sin()( TCBxAxF的周期為的周期為,2)cos()( TCBxAxF的周期為的周期為,)tan()( TCBxAxF的周期為的周期為,)cot()( TCBxAx

16、F的周期為的周期為則則的周期的周期是是，而，而若若,)()()(1xfTxfxFiinii ,)(,21的的周周期期是是的的最最小小公公倍倍數(shù)數(shù)xFTTTTn 常常 用用 結(jié)結(jié) 果果 !)(的的最最小小正正周周期期不不一一定定是是但但xFT以以任任意意正正有有狄狄利利克克萊萊函函數(shù)數(shù)例例 .,0,1)(6IxQxxD.小小正正周周期期理理數(shù)數(shù)為為周周期期，但但沒沒有有最最, Qr事事實實上上，若若Ix )(rxD. )(xD 的的周周期期，即即任任意意正正有有理理數(shù)數(shù)是是)(xD但但正正有有理理數(shù)數(shù)中中不不存存在在最最小小值值，若若Qx ，則則Qrx ，Qx ，Qrx ,1，則則Irx . I

17、x , Irx ,0.)(無無最最小小正正周周期期故故xD1. 復合函數(shù)復合函數(shù) .),(, )(AxxuBuufy 和和設設 )(BxAxxD 且且若若. BA ）（或或 ,)(,BxuDx 對對應應唯唯一一一一個個先先通通過過法法則則即即.RyDx 都都對對應應唯唯一一一一個個.,)(Dxxfy 定義.Ryf 對對應應唯唯一一一一個個再再通通過過法法則則.)()(復復合合而而成成的的復復合合函函數(shù)數(shù)與與稱稱為為由由函函數(shù)數(shù)ufyxu 作作：義義了了一一個個新新的的函函數(shù)數(shù)，記記上上定定于于是是在在 D稱稱為為外外函函數(shù)數(shù)，其其中中：)(ufy 稱稱為為內(nèi)內(nèi)函函數(shù)數(shù)，)(xu .稱稱為為中中

18、間間變變量量u注意注意: :,arcsinuy 例如例如;22xu 沒有意義！沒有意義！則則)2arcsin(2xy ，和和給給定定兩兩個個函函數(shù)數(shù)AxxuBuufy )(, )(.10 .)(xfy 算算：不不一一定定都都能能進進行行復復合合運運 )(BxAxxD 且且. BA ）（或或 可可以以復復合合的的條條件件是是：,)2cot(:xy 例如例如,uy 由由,cotvu .2 復復合合而而成成xv .20進進行行復復合合運運算算意意有有限限個個函函數(shù)數(shù)也也可可以以在在滿滿足足相相應應條條件件時時，任任2. 反函數(shù)反函數(shù)則則若若給給定定函函數(shù)數(shù),)(Dxxfy 都都對對應應通通過過 fD

19、x, 唯唯一一確確定定.)(Dfy 的的，也也有有是是否否通通過過某某對對應應法法則則反反之之，),(Dfy 唯唯一一一一個個與與之之對對應應呢呢？Dx 不一定！不一定！定義對應對應通過某一法則通過某一法則如果如果),(Dfy 唯唯一一一一個個,)(成成立立）（使使xfyDx .)(,)(1Dfyyfx 一一個個新新的的函函數(shù)數(shù)，上上定定義義了了則則稱稱在在)(Df的的反反函函數(shù)數(shù)，記記作作稱稱它它為為)(xfy .存存在在反反函函數(shù)數(shù)只只有有一一一一對對應應函函數(shù)數(shù)，才才結(jié)論：結(jié)論：的的反反函函數(shù)數(shù)，則則是是如如果果)()(1xfyyfx 的的反反函函數(shù)數(shù)，也也是是)()(1yfxxfy 或

20、或者者說說，.)()(1互為反函數(shù)互為反函數(shù)與與yfxxfy 的的定定義義)(xf，的的值值域域域域就就是是)(1yf )()(1yfxf 的的值值域域就就是是，且且的的定定義義域域.,)(Dxyxf )()(11 ffx .)(,)(1Dfyxyf )()(ffy 表表示示因因變變量量，表表示示自自變變量量，習習慣慣上上，總總是是用用yx的的反反函函數(shù)數(shù)一一般般記記作作：，所所以以，Dxxfy )(.)(,)(1Dfxxfy .)(,)(1Dfyyfx 關(guān)系關(guān)系相相同同函函數(shù)數(shù)注意：求反函數(shù)的方法：.)(,)()(1Dfyyfxxfy 中中解解出出先先從從再再按按習習慣慣寫寫成成：.)(,)

21、(1Dfxxfy ).0()()()(1 abaxfxfx反反函函數(shù)數(shù)的的互互為為反反函函數(shù)數(shù)，求求與與設設例例 154習習題題練練習習冊冊P解解互互為為反反函函數(shù)數(shù)，與與)()(xfx 有有對對一一切切x)(xf .x , )(baxfy 設設則則)()(baxfy ,bax )(1byax .)(abay .)()(的反函數(shù)的反函數(shù)為為故故baxfabaxy .)()(1對對稱稱關(guān)關(guān)于于直直線線的的圖圖形形和和它它的的反反函函數(shù)數(shù)函函數(shù)數(shù)xyxfyxfy )(xfy xyo),(xyM ),(yxM)(1xfy )(1yfx xy 定理.)()(,)()(1也也嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加數(shù)數(shù)

22、在在，且且反反函函則則必必存存在在反反函函數(shù)數(shù)，嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加在在若若DfDfyyfxDxfy （或或減減少少）（或或減減少少）證明略證明略基本初等函數(shù)（基本初等函數(shù)（6類）：類）：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù). 1.常值函數(shù)常值函數(shù).Cy 2.冪函數(shù)冪函數(shù)).(是是常常數(shù)數(shù) xy 3. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),1, 0( aaayx.xey 4.對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)),1, 0(log aaxya.ln xy 5. 三角函數(shù)三角函數(shù),sin xy ,cos xy ,tan xy ,cot xy ,sec

23、 xy .csc xy 6. 反三角函數(shù)反三角函數(shù),arcsinxy ,arccosxy ,arctan xy cotarc. xy 由基本初等函數(shù)經(jīng)過由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限有限次四則運算和次四則運算和有限有限次次復合運算所構(gòu)成的并且可以用復合運算所構(gòu)成的并且可以用一個式子一個式子表示的函數(shù)表示的函數(shù) ,統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為初等函數(shù)初等函數(shù) .)1ln(2)1sin(:232xexyxx 例例如如,2sinhxxeex 雙雙曲曲正正弦弦,2coshxxeex 雙雙曲曲余余弦弦,coshsinhtanhxxxxeeeexxx 雙雙曲曲正正切切.sinhcoshcothxxxxeeeexxx 雙雙曲曲余余

24、切切雙雙 曲曲 函函 數(shù)數(shù)都是初等函數(shù)都是初等函數(shù) :冪冪指指函函數(shù)數(shù)都都是是初初等等函函數(shù)數(shù)時時，與與當當)()(xxf .)(ln)(也也是是初初等等函函數(shù)數(shù)xfxe 復合而成）復合而成）（由（由)(ln)(,xfxueyu )0)()()( xfxfyx .,2 , 1,)( nnfxn數(shù)列是整標函數(shù)數(shù)列是整標函數(shù):注意注意：,21nnxxxx：表表為為數(shù)數(shù)列列的的通通項項1x2x3x4xnxxo ,21nxxx 數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列數(shù)列對應著數(shù)軸上一個點列. 可看作一動可看作一動點在數(shù)軸上依次取點在數(shù)軸上依次取.)1(11時時的的變變化化趨趨勢勢當當觀觀察察數(shù)數(shù)列列 nnn.1)1

25、(1,1無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時當當nxnnn .0)1(,無限接近于無限接近于無限增大時無限增大時同理，當同理，當nxnnn ”限接近于限接近于無無無限增大時無限增大時當當存在常數(shù)存在常數(shù)對數(shù)列對數(shù)列“.,axnaxnn以上例子反映了以上例子反映了:一一類類數(shù)數(shù)列列的的某某種種共共性性.,為為它它的的極極限限稱稱這這類類數(shù)數(shù)列列為為收收斂斂數(shù)數(shù)列列 a都不收斂，都不收斂，而數(shù)列而數(shù)列)1(,2nn 無限增大無限增大當當事實上事實上n,.11)1(,2上跳動上跳動和和的變化在的變化在隨隨而而也無限增大也無限增大時時 nnn.)1(2個確定常數(shù)個確定常數(shù)都不能無限地接近于某都不能

26、無限地接近于某與與nn 問題問題:意味著什么意味著什么? 如何用如何用數(shù)學語言定量數(shù)學語言定量地刻劃它地刻劃它 . axnaxn 任意小，就能保證任意小，就能保證只要只要 ,”的的自自然然數(shù)數(shù)可可以以超超過過任任何何一一個個給給定定“Nn充充分分大大”，的的含含義義就就是是：“ n亦亦即即”無限接近于某確定常數(shù)無限接近于某確定常數(shù)無限增大時無限增大時當當“axnn,.axn無無限限接接近近任任意意小小，從從而而就就能能保保證證”無限接近于某確定常數(shù)無限接近于某確定常數(shù)“axn”無無限限增增大大“n,Nn .為為某某個個確確定定的的自自然然數(shù)數(shù)其其中中 N用用數(shù)數(shù)學學式式子子表表示示為為：用用數(shù)

27、數(shù)學學式式子子表表示示為為：.1) 1(1,1無無限限接接近近于于無無限限增增大大時時當當例例nxnnn 1nxnnn11)1(1 ,1001 取取,10011 n由由,100時時只只要要 n,100111 nxn有有,10001 取取,1000時時只只要要 n,1000111 nxn有有,100001 取取,1000011 nx有有,10000時時只只要要 n, 0 ,)1(時時只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定義定義1）（N .為定數(shù)為定數(shù)，設有數(shù)列設有數(shù)列axn, 0 若若 NnNN,. axn.的極限的極限稱為數(shù)列稱為數(shù)列定數(shù)定數(shù)，收斂于收斂于則稱數(shù)列則稱數(shù)列nnxaax.)(li

28、m naxaxnnn或或記記作作：定義定義2，不存在極限不存在極限若數(shù)列若數(shù)列nx都都不不是是即即R ，的極限的極限nx.發(fā)散或不收斂發(fā)散或不收斂則稱數(shù)列則稱數(shù)列nx:收收斂斂數(shù)數(shù)列列的的幾幾何何意意義義, 0 NnNN, axn axnnlim. axan即即從幾何上看就是：從幾何上看就是：收斂于收斂于數(shù)列數(shù)列,axn, 0 , NNnxN 的的項項所所有有下下標標大大于于),(21 NNxx即即內(nèi)內(nèi)，都都落落在在),( aax 2 a aa2 Nx1 Nx.),(項項）項項（前前的的有有限限之之外外最最多多只只有有而而在在Nxaan Nx2x3x1x注意注意:，”出出發(fā)發(fā)從從結(jié)結(jié)論論“ a

29、xn用用 定義定義” 驗證數(shù)列極限，驗證數(shù)列極限，關(guān)關(guān)鍵是如何由任意給定的鍵是如何由任意給定的 尋找尋找 N ？, 0 N “，的的式式子子關(guān)關(guān)于于解解不不等等式式，得得 n則則 N的的式式子子關(guān)關(guān)于于 具體方法：具體方法：, 0 對對任任意意給給定定的的例例1.32312lim nnn證明證明證證)31(3)31(2632312nnnnn 由由, 0 ,1 n,1 N,Nn n932 n99 n1 . .32312 nn有有.32312lim nnn例例2.21521lim22 nnnn證明證明證證, 0 2152122 nnn由由nnn104252 nnn104252 nnnn 3452n

30、nn552 . ,5 n ,5 ,3max N取取,Nn .2152122 nnn有有.21521lim22 nnnn注意注意）（3 n注注: :.很不方便很不方便要得到要得到有時直接解不等式有時直接解不等式 axn的的式式子子關(guān)關(guān)于于 n,nnax ，使得，使得適當放大適當放大因此，通常先將因此，通常先將axn )(0, nnn 且且較較為為簡簡單單的的式式子子放放大大的的原原則則：使使放放大大后后！從而確定所要找的從而確定所要找的再解不等式再解不等式Nn, ,件件考考慮慮到到這這個個前前提提條條的的值值時時并并在在最最后后確確定定必必須須大大于于某某個個正正數(shù)數(shù)時時要要限限定定有有簡簡單單

31、為為使使式式子子在在放放大大過過程程中中另另外外Nn .5 ,3max2 N中中取取如如例例)32( n中中例例例例3. 1, 0lim qqnn其中其中證明證明證證0 ,0 nnqq由由,lnln qn,lnlnqN 取取,時時則則Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq;,0上上式式恒恒成成立立時時當當 Nnq,10時時當當 q,lnlnqn , )10( .)0(1lim4 aann證證明明例例證證,1)1時時當當 a恒恒有有, Nn.0111 na.1lim nna,1)2時時當當 a,1 na則則),0( ,1 nnna 令令,11)1(nnnnnnnna ,)1(0nan na

32、1 ,0 . ,1 an解得解得,Nn 1 nanna 1, N)1( a.1lim nna, 0 .1lim nnn同理可證：同理可證：.1,1,1 nbbba則則令令nnbb1 所所證證，由由 )2綜合之，故綜合之，故,10)3時時當當 a1 na1 nb,0 ,Nn , N)1( b.1 nb從從而而. 1 na1 nb.1lim nna.)0(1lim aann定理定理1 1（唯一性唯一性） .收收斂斂，則則其其極極限限必必唯唯一一若若數(shù)數(shù)列列nx證證,limaxnn 設設,limbxnn 另外又設另外又設由定義由定義,使得使得, 021 NNN ;1 axNnn.2 bxNnn ,m

33、ax21NNN 取取上述二式同時成立，上述二式同時成立，則則,Nn ba )()(bxxann bxaxnn .2 .ba 的的任任意意小小性性，可可知知由由 證畢證畢定理定理2 2（有界性有界性） .必必有有界界收收斂斂，則則若若數(shù)數(shù)列列nnxx.,0MxNnMn 有有，即即反反之之不不然然！.)1(:有界但它卻發(fā)散有界但它卻發(fā)散例如例如n 證證,limaxnn 設設由定義由定義,1 對對,1, axNnNNn則則aaxxnn 從從而而aaxn .1a ,1,max1 axxMN令令.,MxNnn 有有則則., 0MxNnMxMnMn 有有無無界界.2發(fā)散發(fā)散無界，則無界，則若數(shù)列若數(shù)列定理

34、定理nnxx ,5,41,3,21,1:1)1(無無界界例例如如 nn.它它發(fā)發(fā)散散證畢證畢中中從從在在數(shù)數(shù)列列,:21nnxxxx定義定義 左向右左向右任意任意選取選取無窮多項無窮多項，并按它們在原數(shù)，并按它們在原數(shù)列中的次序排成一個列中的次序排成一個新的數(shù)列新的數(shù)列，表為：，表為：,:21kknnnnxxxx 121,kkknnnnNn且且其其中中：的的一一個個子子數(shù)數(shù)列列，為為則則稱稱nnxxk簡稱簡稱子列子列 .項項中中是是第第數(shù)數(shù)列列項項，在在原原中中的的第第在在子子列列表表示示knnnknxkxxnkk又又子子列列是是按按它它們們在在成成的的，原原數(shù)數(shù)列列中中的的次次序序排排列列而

35、而 21nn即即 1kknn.knk 故故有有特特別別，若若選選取取, 12 Nkknk,:123112 kkxxxx的奇子數(shù)列；的奇子數(shù)列；稱為稱為nx有有若若選選取取,2 Nkknk,:2422kkxxxx.的偶子數(shù)列的偶子數(shù)列稱為稱為nx axknklim,0KkNK . axkn定理定理 3 3axn收收斂斂于于數(shù)數(shù)列列的的任任一一子子列列nx.axkn都都收收斂斂于于證證),limaxnn ,0 , NN. axNnn，由于由于knk ,NK 取取,NKk 則則,Nknk 必有必有. axkn.limaxknk 即即).顯顯然然證畢證畢推論推論 1的的某某一一個個子子列列發(fā)發(fā)散散若若

36、nx或或某某兩兩個個子子列列都都收收斂斂但但極極限限不不相相等等，.發(fā)發(fā)散散則則nx推論推論 2 axnnlim.limlim212axxkkkk 證證).3，顯顯然然成成立立由由定定理理),limlim212axxkkkk ,0 ,11KkNK .12 axk,22KkNK .2 axk,2,12max21KKN 取取,Nn ,12時時當當 kn,12121 Kk,1Kk axn ,2時時當當kn ,222Kk ,2Kk axn 證畢證畢66習題習題練習冊練習冊P.limaxnn ; axk 12; axk 2. axn故故定理定理4 4（四則運算四則運算） 則則，若若,limlimbyax

37、nnnn ).0(limlimlim)3(;limlim)lim)2(;limlim)lim1 bbayxyxbayxyxbayxyxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn（）（證證明明略略）注意注意: : 四則運算只對四則運算只對有限有限個個收斂收斂數(shù)列而言，否則數(shù)列而言，否則不能用不能用 . . )21(lim:222nnnnn 例如例如,lim2lim1lim222nnnnnnn 000 .0 無窮多個收斂無窮多個收斂數(shù)列數(shù)列 這是錯誤的這是錯誤的. . )21(lim:222nnnnn 正確做法正確做法221limnnn 22)1(limnnnn 211limnn .21 例例5

38、求下列極限求下列極限,lim)1(11101110kkkkmmmmnbnbnbnbanananaI .0, 0),1,0,1,0(,00 bankjmibaNkmji無關(guān)的常數(shù)，無關(guān)的常數(shù)，均為與均為與其中：其中：解解)()(lim11101110kkkkkmmmmmnnbnbnbbnnananaanI kkkkmmmmkmnnbnbnbbnananaan 11101110lim ,km ,00ba,km ,0.km , 121sinlim)2(22 nnnnn210 ;21 )1(lim)3(nnnn nnnn 1lim1111lim nn.21 定理定理5 5（迫斂性迫斂性或或兩邊夾定理兩

39、邊夾定理） NnNN ,若若,limlimnnnnnnnzlxzyx 且且有有.limlynn 則則證證,limlimnnnnzlx , 0 ,11NnNN . lxln有有,22NnNN . lzln有有,max21*NNNN 取取,*時時當當Nn nnnzyx l. l. lyn即即.limlynn 證畢證畢例例6 6. )2211(lim222nnnnnnnnn 求求解解由兩邊夾定理，由兩邊夾定理，,1212 nnnxn nnnn221則則,2211222nnnnnnnnxn 記記,)1(2)1()2(2)1(22 nnnnxnnnnn,)1(2)1(lim21)2(2)1(lim22

40、nnnnnnnnnn又又.21)2211(lim222 nnnnnnnnn華中師大考研題華中師大考研題例例7 7,lim21nnknnnaaa 求求.;,2,1,0為固定自然數(shù)為固定自然數(shù)其中：其中：kkiai 解解,max21kaaaA 記記則則nnknnaaa 21 nnAAkn A,A由兩邊夾定理，由兩邊夾定理，Aaaannknnn 21lim.,max21kaaa nnAk n，設設有有數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx,121 nnxxxx,121 nnxxxx,121 nnxxxx單單 調(diào)調(diào) 數(shù)數(shù) 列列為單調(diào)增加數(shù)列；為單調(diào)增加數(shù)列；則稱則稱nx為為嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)增增加加數(shù)數(shù)列列

41、；則則稱稱nx為為單單調(diào)調(diào)減減少少數(shù)數(shù)列列；則則稱稱nx.為為嚴嚴格格單單調(diào)調(diào)減減少少數(shù)數(shù)列列則則稱稱nx若若若若若若若若定理定理6 6（單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理） .單單調(diào)調(diào)有有界界數(shù)數(shù)列列必必有有極極限限（證明略證明略） )(121Mxxxxnn 若若上界上界 )(121mxxxxnn 若若下界下界 則則.必必有有極極限限數(shù)數(shù)列列nx例例8 8.,2,1),2(21,0110 nxxxxnnn設設.:收收斂斂，并并求求其其極極限限數(shù)數(shù)列列證證明明nx證證,由由平平均均值值不不等等式式有有對對, Nn)2(2111 nnnxxx112 nnxx,2 有下界；有下界；nx,22 nx由上式得由

42、上式得, Nn則則1 nnxxnnxx222 ,0 .1 nnxx收斂，收斂，根據(jù)單調(diào)有界原理，根據(jù)單調(diào)有界原理，nx，設設axnn lim,2 a,2 nx已知已知,2 a舍去舍去.2lim nnx故故)2(21nnnxxx ),2(2111 nnnxxx由由),2(21aaa , 022 a例例9 9., 2 , 1,)11(存在有限極限存在有限極限證明數(shù)列證明數(shù)列 nnxnn證證11211121 naaaaaannn)0( ia.11121121 nnnnaaaaaannnx)11( )11()11(1nn 個個括括號號n11)11(1 nnnn1111 nn.1 nx,2,1,1 nx

43、xnn即即 ;單調(diào)遞增單調(diào)遞增nx!1! 2111n 1212111 n1213 n.3 ,有上界有上界nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim記記為為4 45 59 90 04 45 51 18 82 28 81 18 82 28 82 2. .7 7 計算可得：計算可得：2112111 n)11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn 由由二二項項式式定定理理，有有nnnx)11( 21! 2)1(11nnnnnnnnnn1!123)1( 1.3 1.3 函函 數(shù)數(shù) 的的 極極 限限有有定定義義，在在設設)()(0 xUxfO討討論論當當自自變變量量.)(0的的變

44、變化化趨趨勢勢時時，對對應應的的函函數(shù)數(shù)值值無無限限趨趨近近于于定定點點xfxx.)(,0的極限的極限函數(shù)函數(shù)時時即即xfxx .1,11)(2 xxxxf例例：xyo 1 12 112 xxy, )1(1 xx當當.2)(xf)(12xfx時時，稱稱為為當當把把.211lim21 xxx的的極極限限，記記為為問題問題: :函數(shù)函數(shù))(xfy 在在0 xx 的的過程中過程中,對應函數(shù)對應函數(shù)值值 )(xf 是否無限是否無限趨近于趨近于確定值確定值 A？ ;)()(任任意意小小表表示示AxfAxf .000的的過過程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0鄰鄰域域的的去去心心點點 x.

45、0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 一般地有一般地有定義定義1)( .)()(0為常數(shù)為常數(shù)有定義，有定義，在在設設AxUxfO.)( Axf,:,0,00 xxx若若0.)(0Axxxf時時存存在在極極限限，其其極極限限為為在在則則稱稱Axfxx )(lim0記作記作.)()(0 xxAxf或或 Axfxx)(lim0.)(,0:0 AxfAxxx, 0, 0 幾何解釋幾何解釋: :xyo)(xfy 0 xA A A 0 x 0 x .2,)(,),(0形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)的的帶帶寬寬為為中中心心線線為為落落在在以以直直線線的的圖圖形形完完全全時時在在當當 AyxfyxUxO 單側(cè)極限單側(cè)極限:例如

46、例如,. )(lim0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設,0 xx從從左左側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近;0 xx記記作作,0 xx從從右右側(cè)側(cè)無無限限趨趨近近.0 xx記記作作yox1xy 112 xy.00兩兩種種情情況況分分別別討討論論和和分分 xx左極限左極限.)(,:, 0, 000 Axfxxxx右極限右極限.)(,:, 0, 000 Axfxxxx0:00000 xxxxxxxxxxx 注意注意.) 0()()(lim00)0(00AxfxfAxfxxxx 或或記記作作.)0()()(lim00)0(00AxfxfAxfxxxx 或或記記作作）（ xx00）（ 00 xx定理

47、定理Axfxx )(lim0.)(lim)(lim00 xfAxfxxxx .lim0不存在不存在驗證驗證xxxyx11 oxxx 0lim左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等,.lim0不存在不存在xxx例例1證證1)1(lim0 xxxx 0lim11lim0 xxxx 0limxxx 0lim例例2 2).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設設yox1xy 112 xy解解兩兩個個單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點,0 x)(lim0 xfx , 1 )(lim0 xfx , 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故

48、)1(lim0 xx )1(lim20 xx 則則，得得 00:xx的的式式子子關(guān)關(guān)于于 .的的式式子子關(guān)關(guān)于于 用用 定義定義” 驗證函數(shù)極限驗證函數(shù)極限: “Axfxx )(lim0, 0 關(guān)鍵是如何由關(guān)鍵是如何由 尋找尋找 ？具體方法：具體方法：出出發(fā)發(fā)，解解不不等等式式從從 Axf)(,)(lim(0Axfxx 或或，（或（或 00:xx的的式式子子關(guān)關(guān)于于 )(lim0Axfxx ） xx00:的的式式子子關(guān)關(guān)于于 下列極限：下列極限：證明證明例例3);(lim)1(0為常數(shù)為常數(shù)CCCxx ,0 證證Axf )(由由CC ,恒恒成成立立 ,0 可可任任取取一一個個,0:0 xxx.

49、 CCAxf )(有有.lim0CCxx ;lim)2(00 xxxx )1()2(,0 Axf )(由由0 xx , ,0 取取,0:0 xxx.0 xxAxf )(有有.lim00 xxxx ;6193lim)3(23 xxx,0 )432(, 130 xxx限制限制32361 x,303 x ,30,1min 取取,30: xx,61932 xx有有.6193lim23 xxxx324證證9966122 xxx3361 xx61932 xx由由3301 x, .022lim)4(2 xxx證證,0 022 xx由由22 xx)2(22 xxx222 xx22 x2 x. 20 x,20:

50、 xx, 02 取取.022 xx有有.022lim2 xxx.2 .)(Axf問題問題: 如何用數(shù)學語言刻劃兩個如何用數(shù)學語言刻劃兩個“無限趨近無限趨近”.,)( Axf,0XxX ;)(任任意意小小表表示示Axf .的的過過程程表表示示 x時時，當當 x.),)(為定常數(shù)為定常數(shù)有定義，有定義，在在設設Aaxf.)(,)(AxxfAxfx限限時存在極時存在極在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)常數(shù)常數(shù)無限地趨近于某個確定無限地趨近于某個確定對應的函數(shù)值對應的函數(shù)值無限增大時，無限增大時，一般地，如果當自變量一般地，如果當自變量?.)(,:, 0, 0 AxfXxxX Axfx)(lim定義定義2)(X .

51、)(為常數(shù)為常數(shù)有定義，有定義，在在設設Aaxxf .)( Axf,0,0XxX 若若.)(Axxf時時存存在在極極限限在在則則稱稱 ).()()(lim xAxfAxfx或或記記作作 Axfx)(lim.)(, 0, 0 AxfXxX類類似似地地，有有 Axfx)(lim.)(lim)(limxfAxfxx ,1)sin1 (lim xxx定理定理. )(1sin1)( xxxxf,1)sin1 (lim xxx例如：例如：1三者之間的關(guān)系：三者之間的關(guān)系：幾何解釋幾何解釋: 為例為例以以Axfx)(lim.)(,:, 0, 0 AxfAXxxX)(xfy xoyA X X.2,)(,的的帶

52、帶形形區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)寬寬為為為為中中心心線線在在以以直直線線的的圖圖形形完完全全落落函函數(shù)數(shù)時時或或當當 AyxfyXxXx X則則，得得 x:的的式式子子關(guān)關(guān)于于 .的的式式子子關(guān)關(guān)于于 用用 定義定義” 驗證函數(shù)極限驗證函數(shù)極限:X “Axfx )(lim, 0 X關(guān)鍵是如何由關(guān)鍵是如何由 尋找尋找 ？具體方法：具體方法：出出發(fā)發(fā)，解解不不等等式式從從 Axf)(,)(lim(Axfx 或或，（或或 x:的的式式子子關(guān)關(guān)于于 )(limAxfx ） x:的的式式子子關(guān)關(guān)于于 .11563lim433 xxxxx證明證明例例證證, 0 1156333 xxxx由由15523 xxx. )5(

53、x若若xxx533 532 x,35 x, 0 X取取35,5max ,Xx .1156333 xxxx有有.11563lim33 xxxxx. )1(0lim5 aaxx證明證明例例證證,0 , 0 X,Xx xxaa 0. axlog )1( alog .0lim xxaX)( alog .)0(01lim6是常數(shù)是常數(shù)證明證明例例 kxkx證證, 0 01 kx. ,11kx kx1 )1( x不不妨妨設設, 0 X1,1max1k ,Xx .01lim kxx為例給出：為例給出：以以極限完全平行的性質(zhì)，極限完全平行的性質(zhì)，它們具有與數(shù)列它們具有與數(shù)列函數(shù)極限有六種形式，函數(shù)極限有六種形

54、式，)(lim0 xfxx性質(zhì)性質(zhì)1 1（唯一性唯一性） .)(lim0存存在在，則則它它必必唯唯一一若若xfxx（證明略）（證明略）性質(zhì)性質(zhì)2 2（局部有界性局部有界性） , 0)(lim0 Mxfxx存存在在，則則若若.)(,0:,00Mxfxxx 有有 證證，設設Axfxx )(lim0，對對01 .1)(,0:0 Axfxxx有有 )(xfAAxf )(.1A AAxf )(.)(Mxf 有有,1AM 取取證畢證畢性質(zhì)性質(zhì)3 3（局部保號性局部保號性）,0)(lim0 Axfxx若若.0)(),(00 xfxUx有有 , 0 則則)0( )0)( xf證證,0)(lim0 Axfxx，

55、對對0 ，0 ,0:0 xxx,)( Axf有有 Axf)(2AA . 02 A證畢證畢2A 性質(zhì)性質(zhì)4 4（四則運算四則運算） ,)(lim)(lim00BxgAxfxxxx ，若若則則)()(lim) 1 (0 xgxfxx ;)(lim)(lim00BAxgxfxxxx ;)(lim)(lim)()(lim)2(000BAxgxfxgxfxxxxxx .)0()(lim)(lim)()(lim)3(000 BBAxgxfxgxfxxxxxx（證明略）（證明略）注注：四則運算對四則運算對有限個存在極限有限個存在極限的函數(shù)而言的函數(shù)而言.性質(zhì)性質(zhì)5 5（極限極限不等式不等式）都都與與若若)(

56、lim)(lim00 xgxfxxxx),()(,0:,0,0 xgxfxxx 有有且且存在存在 .)(lim)(lim00 xgxfxxxx 則則證證,)(lim)(lim00BxgAxfxxxx 設設用反證法，用反證法，)(lim)(lim00 xgxfxxxx 設設 A,B )()(lim0 xgxfxx )(lim)(lim00 xgxfxxxx BA , 0 ,由由局局部部保保號號性性),(,000 xUx 有有, 0)()( xgxf),()(xgxf 即即.題題設設矛矛盾盾與與注意注意:時，時，若若)()(xgxf .)(lim)(lim00 xgxfxxxx 性質(zhì)性質(zhì)6 6（迫

57、斂性迫斂性或或兩邊夾定理兩邊夾定理） ,0 若若且且有有, )()()(,0:0 xhxgxfxxx , )(lim)(lim00 xhAxfxxxx .)(lim0Axgxx 則則性質(zhì)性質(zhì)7 7（海涅海涅( Heine,1821-1881,( Heine,1821-1881,德德 ) )定理定理） Axfxx)(lim0, ),2,1(:0 nxxxnn.)(lim,lim0Axfxxnnnn 都有都有（證明略）（證明略）注注：海涅定理揭示了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系海涅定理揭示了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系.（證明略）（證明略）;)(lim0不不存存在在xfxx,lim0 xxnn :nx 若若

58、)(不存在不存在但但)(limnnxf )(:nnyx與與若若 ,lim,lim00 xyxxnnnn )(lim)(limnnnnyfxf 但但.)(lim0不不存存在在xfxx推論推論: :( ( 判斷判斷 不存在的方法不存在的方法 ) )(lim0 xfxx, )(0 Nnxxn, )(0 Nnxy、xnn.1sinlim80不存在不存在證明證明例例xx證證),(0,0 nyxnn則則,21 nxn 取取,002sin)( nxfn.1sinlim0不存在不存在xx,11)22sin()( nyfn，同理可證同理可證xx1coslim0.coslimsinlim都都不不存存在在，xxxx

59、 ,221 nyn性質(zhì)性質(zhì)8 8（極限的變量代換極限的變量代換） ,)(lim0axuxx 設設,)(lim,)()(0AufaxuxUauo 內(nèi)內(nèi)且且)(lim0 xufxx則則.)(limAufau （證明略）（證明略）.),(00均成立均成立限形式限形式以上各性質(zhì)，對其它極以上各性質(zhì)，對其它極 xxxxxxx計算下列極限：計算下列極限：例例9232lim)1(2321 xxxxx)2(lim)32(lim23121 xxxxxx2limlimlim32lim1213121 xxxxxxxx211132 .155 25312lim)2(22 xxxxx22253112limxxxxx )2

60、53(lim)112(lim22xxxxxx 222lim5lim3lim1lim1lim2limxxxxxxxxxx 003002 .32 21lim)3(221 xxxx)2)(1()1)(1(lim1 xxxxx21lim1 xxx2lim1lim11 xxxx.32 )(11lim)4(0 Nnxxnx,11yxn 令令. 1)1( nyx1)1(lim0 nyyy1)1(lim10 nynyyynny.1n (1)1sinlim0 xxxxxysin xoy1 1)()(sinlim 0)( xuxuxu更一般地：更一般地：)20(, xxAOBO 圓圓心心角角設設單單位位圓圓.AC