復(fù)數(shù)經(jīng)典例題

1、經(jīng)典例題透析類型一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1已知復(fù)數(shù)，試求實數(shù)a分別取什么值時，z分別為：（1）實數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù).思路點撥：根據(jù)復(fù)數(shù)z為實數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的概念，判斷實部與虛部取值情況.利用它們的充要條件可分別求出相應(yīng)的a值.解析：（1）當(dāng)z為實數(shù)時，有，當(dāng)時，z為實數(shù).（2）當(dāng)z為虛數(shù)時，有，當(dāng)a（，1）（1，1）（1，6）（6，+）時，z為虛數(shù).（3）當(dāng)z為純虛數(shù)時，有不存在實數(shù)a使z為純虛數(shù).總結(jié)升華：由于aR，所以復(fù)數(shù)z的實部與虛部分為與.求解第（1）小題時，僅注重虛部等于零是不夠的，還需考慮它的實部是否有意義，否則本小題將出現(xiàn)增解；求解第（2）小題時，同樣要注意實部有意義的問

2、題；求解第（3）小題時，既要考慮實數(shù)為0（當(dāng)然也要考慮分母不為0），還需虛部不為0，兩者缺一不可.舉一反三：【變式1】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a、bR），則z為純虛數(shù)的必要不充分條件是（ ）Aa=0 Ba=0且b0 Ca0且b=0 Da0且b0【答案】A；由純虛數(shù)概念可知：a=0且b0是復(fù)數(shù)z=a+bi（a、bR）為純虛數(shù)的充要條件.而題中要選擇的是必要不充分條件，對照各選擇支的情況，應(yīng)選擇A.【變式2】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）A.1 B.2 C.1或2 D.-1【答案】B；是純虛數(shù)，且，即.【變式3】如果復(fù)數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)m=（ ）A1 B1 C D【答案】B； 【變式4】求當(dāng)實數(shù)取何

3、值時，復(fù)數(shù)分別是：（1）實數(shù)； （2）虛數(shù)； （3）純虛數(shù).【答案】（1）當(dāng)即或時，復(fù)數(shù)為實數(shù)；（2）當(dāng)即且時，復(fù)數(shù)為虛數(shù)；（3）當(dāng)即時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).類型二：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算例2. 計算：（1）； (2)(3); (4)解析：(1)，同理可得：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，(2)(3)(4)總結(jié)升華：熟練運(yùn)用常見結(jié)論：1）的“周期性”（）2）3）舉一反三：【變式1】計算：（1）(56i)+(2i)(3+4i)（2）（3）（4） ； 【答案】（1）(56i)+(2i)(3+4i)=(52)+(61)i(3+4i)=(37i)(3+4i)=(33)+(74)i=11i.（2）（3）（4）【變式

4、2】復(fù)數(shù)( )A. B. C. D.【答案】A；【變式3】復(fù)數(shù)等于( )A. i B. -i C. D. 【答案】A；，故選A【變式4】復(fù)數(shù)等于( )A.8 B.8 C.8iD.8i【答案】D；.類型三：復(fù)數(shù)相等的充要條件例3、已知x是實數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足(2x1)+(3y)i=yi，求x、y.思路點撥：因xR，y是純虛數(shù)，所以可設(shè)y=bi（bR且b0），代入原式，由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得方程組，解之即得所求結(jié)果.解析：y是純虛數(shù)，可設(shè)y=bi（bR，且b0），則(2x1)+(3y)i(2x1)+(3bi )i（2x1+b）+3i，yi =bii=（b1）i由(2x1)+(3y)i=yi得

5、（2x1+b）+3i=（b1）i，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得，.總結(jié)升華：1. 復(fù)數(shù)定義：“形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)”就意味凡是復(fù)數(shù)都能寫成這一形式，求一個復(fù)數(shù)，使用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來研究.這是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法.2復(fù)數(shù)相等是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的有效途徑之一，由兩復(fù)數(shù)a+bi與c+di（a，b，c，dR）相等的充要條件是a=c且b=d，可得到兩個實數(shù)等式.3.注意左式中的3y并非是(2x1)+(3y)i的虛部，同樣，在右邊的yi中y也并非是實部.舉一反三：【變式1】設(shè)x、y為實數(shù)，且【答案】由得即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i)，即(5x+

6、2y-5)+(5x+4y-15)i=0，故【變式2】若zC且(3+z)i=1(i為虛數(shù)單位)，則z=_.【答案】設(shè)z=a+bi(a,bR)，則(3+z)i=-b+(3+a)i=1 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得 b=-1且a=-3，即z=-3-i.【變式3】設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）A BCD【答案】，故選C.類型四：共軛復(fù)數(shù)例4：求證：復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是思路點撥：需要明確兩個復(fù)數(shù)相等的條件以及共軛復(fù)數(shù)的概念解析：設(shè)（a，bR），則充分性：必要性：綜上，復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件為舉一反三：【變式1】，復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)相等，求x，y.【答案】 【變式2】若復(fù)數(shù)z同時滿足，（i為虛數(shù)單位），則z=_.【

7、答案】1+i【變式3】已知復(fù)數(shù)z=1+i，求實數(shù)a、b使.【答案】z=1+i，a、b都是實數(shù)，由得兩式相加，整理得a2+6a+8=0解得a1=2，a2=4，對應(yīng)得b1=1，b2=2.所求實數(shù)為a=2，b=1或a=4，b=2.類型五：復(fù)數(shù)的模的概念例5、已知數(shù)z滿足z+|z|=2+8i，求復(fù)數(shù)z.法一：設(shè)z=a+bi（a，bR），則，代入方程得.，解得z=15+8i法二：原式可化為：z=2|z|+8i，|z|R，2|z|是z的實部.于是，即|z|2=684|z|+|z|2，|z|=17，代入z=2-|z|+8i得z=15+8i.舉一反三：【變式】已知z=1+i，a，b為實數(shù).（1）若，求；（2）

8、若，求a，b的值.【答案】（1）（2）類型六：復(fù)數(shù)的幾何意義例6、已知復(fù)數(shù)（mR）在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z，求實數(shù)m取什么值時，點Z（1）在實軸上；（2）在虛軸上；（3）在第一象限.思路點撥：根據(jù)點Z的位置確定復(fù)數(shù)z實部與虛部取值情況.解析：（1）點Z在實軸上，即復(fù)數(shù)z為實數(shù)，由當(dāng)時，點Z在實軸上.（2）點Z在虛軸上，即復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)或0，故當(dāng)時，點Z在虛軸上.3）點Z在第一象限，即復(fù)數(shù)z的實部虛部均大于0由 ，解得m1或m3當(dāng)m1或m3時，點Z在第一象限.終結(jié)升華：復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，點的坐標(biāo)的特點即為復(fù)數(shù)實部、虛部的特征.舉一反三：【變式1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】，故相應(yīng)的點在第四象限，選D. 【變式2】已知復(fù)數(shù)()，若所對應(yīng)的點在第四象限，求的取值范圍.【答案】，解得.的取值范圍為.【變式3】已知是復(fù)數(shù)，和均為實數(shù)，且復(fù)數(shù)