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文檔簡介

1、經(jīng)典例題透析類型一:復(fù)數(shù)的有關(guān)概念例1已知復(fù)數(shù),試求實數(shù)a分別取什么值時,z分別為:(1)實數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).思路點撥:根據(jù)復(fù)數(shù)z為實數(shù)、虛數(shù)及純虛數(shù)的概念,判斷實部與虛部取值情況.利用它們的充要條件可分別求出相應(yīng)的a值.解析:(1)當(dāng)z為實數(shù)時,有,當(dāng)時,z為實數(shù).(2)當(dāng)z為虛數(shù)時,有,當(dāng)a(,1)(1,1)(1,6)(6,+)時,z為虛數(shù).(3)當(dāng)z為純虛數(shù)時,有不存在實數(shù)a使z為純虛數(shù).總結(jié)升華:由于aR,所以復(fù)數(shù)z的實部與虛部分為與.求解第(1)小題時,僅注重虛部等于零是不夠的,還需考慮它的實部是否有意義,否則本小題將出現(xiàn)增解;求解第(2)小題時,同樣要注意實部有意義的問

2、題;求解第(3)小題時,既要考慮實數(shù)為0(當(dāng)然也要考慮分母不為0),還需虛部不為0,兩者缺一不可.舉一反三:【變式1】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR),則z為純虛數(shù)的必要不充分條件是( )Aa=0 Ba=0且b0 Ca0且b=0 Da0且b0【答案】A;由純虛數(shù)概念可知:a=0且b0是復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)為純虛數(shù)的充要條件.而題中要選擇的是必要不充分條件,對照各選擇支的情況,應(yīng)選擇A.【變式2】若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)的值為( )A.1 B.2 C.1或2 D.-1【答案】B;是純虛數(shù),且,即.【變式3】如果復(fù)數(shù)是實數(shù),則實數(shù)m=( )A1 B1 C D【答案】B; 【變式4】求當(dāng)實數(shù)取何

3、值時,復(fù)數(shù)分別是:(1)實數(shù); (2)虛數(shù); (3)純虛數(shù).【答案】(1)當(dāng)即或時,復(fù)數(shù)為實數(shù);(2)當(dāng)即且時,復(fù)數(shù)為虛數(shù);(3)當(dāng)即時,復(fù)數(shù)為純虛數(shù).類型二:復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算例2. 計算:(1); (2)(3); (4)解析:(1),同理可得:當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,當(dāng)時,(2)(3)(4)總結(jié)升華:熟練運(yùn)用常見結(jié)論:1)的“周期性”()2)3)舉一反三:【變式1】計算:(1)(56i)+(2i)(3+4i)(2)(3)(4) ; 【答案】(1)(56i)+(2i)(3+4i)=(52)+(61)i(3+4i)=(37i)(3+4i)=(33)+(74)i=11i.(2)(3)(4)【變式

4、2】復(fù)數(shù)( )A. B. C. D.【答案】A;【變式3】復(fù)數(shù)等于( )A. i B. -i C. D. 【答案】A;,故選A【變式4】復(fù)數(shù)等于( )A.8 B.8 C.8iD.8i【答案】D;.類型三:復(fù)數(shù)相等的充要條件例3、已知x是實數(shù),y是純虛數(shù),且滿足(2x1)+(3y)i=yi,求x、y.思路點撥:因xR,y是純虛數(shù),所以可設(shè)y=bi(bR且b0),代入原式,由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得方程組,解之即得所求結(jié)果.解析:y是純虛數(shù),可設(shè)y=bi(bR,且b0),則(2x1)+(3y)i(2x1)+(3bi )i(2x1+b)+3i,yi =bii=(b1)i由(2x1)+(3y)i=yi得

5、(2x1+b)+3i=(b1)i,由復(fù)數(shù)相等的充要條件得,.總結(jié)升華:1. 復(fù)數(shù)定義:“形如()的數(shù)叫復(fù)數(shù)”就意味凡是復(fù)數(shù)都能寫成這一形式,求一個復(fù)數(shù),使用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實,把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題來研究.這是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法.2復(fù)數(shù)相等是復(fù)數(shù)問題實數(shù)化的有效途徑之一,由兩復(fù)數(shù)a+bi與c+di(a,b,c,dR)相等的充要條件是a=c且b=d,可得到兩個實數(shù)等式.3.注意左式中的3y并非是(2x1)+(3y)i的虛部,同樣,在右邊的yi中y也并非是實部.舉一反三:【變式1】設(shè)x、y為實數(shù),且【答案】由得即5x(1+i)+2y(1+2i)=5(1+3i),即(5x+

6、2y-5)+(5x+4y-15)i=0,故【變式2】若zC且(3+z)i=1(i為虛數(shù)單位),則z=_.【答案】設(shè)z=a+bi(a,bR),則(3+z)i=-b+(3+a)i=1 由復(fù)數(shù)相等的充要條件得 b=-1且a=-3,即z=-3-i.【變式3】設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則( )A BCD【答案】,故選C.類型四:共軛復(fù)數(shù)例4:求證:復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件是思路點撥:需要明確兩個復(fù)數(shù)相等的條件以及共軛復(fù)數(shù)的概念解析:設(shè)(a,bR),則充分性:必要性:綜上,復(fù)數(shù)z為實數(shù)的充要條件為舉一反三:【變式1】,復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)相等,求x,y.【答案】 【變式2】若復(fù)數(shù)z同時滿足,(i為虛數(shù)單位),則z=_.【

7、答案】1+i【變式3】已知復(fù)數(shù)z=1+i,求實數(shù)a、b使.【答案】z=1+i,a、b都是實數(shù),由得兩式相加,整理得a2+6a+8=0解得a1=2,a2=4,對應(yīng)得b1=1,b2=2.所求實數(shù)為a=2,b=1或a=4,b=2.類型五:復(fù)數(shù)的模的概念例5、已知數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z.法一:設(shè)z=a+bi(a,bR),則,代入方程得.,解得z=15+8i法二:原式可化為:z=2|z|+8i,|z|R,2|z|是z的實部.于是,即|z|2=684|z|+|z|2,|z|=17,代入z=2-|z|+8i得z=15+8i.舉一反三:【變式】已知z=1+i,a,b為實數(shù).(1)若,求;(2)

8、若,求a,b的值.【答案】(1)(2)類型六:復(fù)數(shù)的幾何意義例6、已知復(fù)數(shù)(mR)在復(fù)平面上對應(yīng)的點為Z,求實數(shù)m取什么值時,點Z(1)在實軸上;(2)在虛軸上;(3)在第一象限.思路點撥:根據(jù)點Z的位置確定復(fù)數(shù)z實部與虛部取值情況.解析:(1)點Z在實軸上,即復(fù)數(shù)z為實數(shù),由當(dāng)時,點Z在實軸上.(2)點Z在虛軸上,即復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)或0,故當(dāng)時,點Z在虛軸上.3)點Z在第一象限,即復(fù)數(shù)z的實部虛部均大于0由 ,解得m1或m3當(dāng)m1或m3時,點Z在第一象限.終結(jié)升華:復(fù)平面上的點與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的,點的坐標(biāo)的特點即為復(fù)數(shù)實部、虛部的特征.舉一反三:【變式1】在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于( )A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】,故相應(yīng)的點在第四象限,選D. 【變式2】已知復(fù)數(shù)(),若所對應(yīng)的點在第四象限,求的取值范圍.【答案】,解得.的取值范圍為.【變式3】已知是復(fù)數(shù),和均為實數(shù),且復(fù)數(shù)

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