高考二次函數(shù)

1、二次函數(shù)知識梳理知識點(diǎn)1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義形如：f(x)=ax2+bx+ c ( aw 0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f(x)=ax2+bx+c ( aw0).2頂點(diǎn)式：f(x)= a (x- m)+n(aw0).零點(diǎn)式：f(x)=a (x-xi)( x-x2)( aw。).點(diǎn)評：.求二次函數(shù)解析式的方法：待定系數(shù)法.根據(jù)所給條件的特征，可選擇一般式、頂點(diǎn)式或零點(diǎn)式中的一種來求 .已知三個點(diǎn)的坐標(biāo)時，宜用一般式.已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時，常使用頂點(diǎn)式已知二次函數(shù)與 x軸有兩個交點(diǎn)，

2、且橫坐標(biāo)已知時，選用零點(diǎn)式求f(x)更方便.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)a>0定義域xCR個別題目有限制的，由解析式確定 )y二值域a>0a<0尸 n4ac- b2、尸，4ac bjy l4a，丁 )y J(4a 0a<0奇偶性b=0時為偶函數(shù)，bwo時既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)b xW0°, 2a時遞增，單調(diào)性b ，、，xC(8 丁時遞減，2axC 2, + 8)時遞增2abxC -匿 十0°)時遞減圖象特點(diǎn)對稱軸：x=； 2a頂點(diǎn)：(一言”泊)3.二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+ c (aw。)，當(dāng)A = b24ac>0時，圖象與x軸有兩

3、個交點(diǎn)M(xi,0)M2( xz 0),| MM|用心愛心專心1知識點(diǎn)2二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系當(dāng) 0 f (x)ax2 bx c的圖像與x軸無交點(diǎn)ax2 bx c 0無實(shí)根ax2 bx c 0( 0)的解集為 或者是R;當(dāng) 0 f (x)ax2 bx c的圖像與x軸相切 ax2 bx c 0有兩個相等的2頭根 ax bx c 0( 0)的解集為 或者是R;當(dāng) 0 f (x)ax2 bx c的圖像與x軸有兩個不同的交點(diǎn) ax2 bx c 0有兩個不等的實(shí)根ax2 bx c 0( 0)的解集為(，)()或者是知識點(diǎn)3元二次方程 ax2bx c 0實(shí)根分布的充要條件般地對于

4、含有字母的一元二次方程2ax bx c 0的實(shí)根分布問題，用圖象求解,有如下結(jié)論:令f (x) ax2 bx c( a 0)(同理討論a 0的結(jié)論)0 x i<a , x 2<a ,則 b/(2a)；(2) xf( ) 00i>a , x 2>a ,貝U b/(2a) f( ) 00 a <xi< , a <x2<，則 f()0f( ) 0b/(2a)(4) x i< a , x 2>( a < ),貝Uf()f()(5)若f(x)=0在區(qū)間(a)內(nèi)只有一個實(shí)根，則有f( ) f ) 0點(diǎn)評：(1)討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況

5、一般需從三方面考慮：判別式；區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的符號；對稱軸與區(qū)間的相對位置.在討論過程中，注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想 知識點(diǎn)4二次函數(shù)y ax2 bx c a 0在閉區(qū)間p,q上的最值2一次函數(shù)y ax bx c a 0在閉區(qū)間 p,q上的最值一般分為三種情況討論：b(1)若對稱軸 x 在區(qū)間左邊，則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，只需比較2af(p), f (q)的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值；(或利用函數(shù)的單調(diào)性直接決定函數(shù)的最大(小)值)b (2)若對稱軸 x 在區(qū)間右邊，則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性，只需比較2af(p), f(q)的大小即可決定函數(shù)的最大(小)值；bb 一一(3)若對稱軸x在區(qū)

6、間內(nèi)，則£( )是函數(shù)的最小值(a 0)或最大值(a 0),2a2a再比較f(p), f(q)的大小決定函數(shù)的最大(小)值。點(diǎn)評：(1)兩個重要的結(jié)論：連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值；單調(diào)連續(xù) 函數(shù)在閉區(qū)間的兩個端點(diǎn)處取得最值。(2)二次函數(shù)y ax2 bx c a 0在閉區(qū)間 p,q上的最值的討論的基點(diǎn)是對稱軸bx 與區(qū)間p,q的相對位置的討論，尤其當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時，則應(yīng)抓住討論的基2a點(diǎn)進(jìn)行討論。特別要注意二次項(xiàng)系數(shù)a的符號對拋物線開口及結(jié)論的影響。題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f (x)滿足f (2) =1, f( 1) =1,且f(x)的最大值是8,試

7、確 定此二次函數(shù).變式訓(xùn)練1：已知二次函數(shù)f(x)滿足：在x=1時有極值；圖象過點(diǎn)(0 , -3),且在該點(diǎn)處的切線與直線2x+y=0平行。1 )求 f(x) 的解析式；2)求函數(shù) g(x)=f(x 2) 的單調(diào)遞增區(qū)間。題型二 二次函數(shù)中的單調(diào)性例 2 已知函數(shù) f(x) =x2+2ax+3, xC 4,6.(1)當(dāng)a= 2時，求f (x)的最值；(2)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y = f (x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù);(3)當(dāng)a= 1時，求f(| x|)的單調(diào)區(qū)間.變式訓(xùn)練2: (1).已知函數(shù)f (x) = x2+ 2( a- 1) x+ 2在區(qū)間(一8, 3上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值

8、范圍為 (2)已知函數(shù)f(x)=x2+mx+ n的圖象過點(diǎn)(1,3)，且f ( 1 + x) = f ( 1 x)對任 意實(shí)數(shù)都成立，函數(shù) y = g(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.(1)求f(x)與g(x)的解析式；(2)若F(x)=g(x)入f(x)在(一1,1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù) 入的取值范圍.題型三 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例3 (1)設(shè)函數(shù)f(x)=x 2-2x+2 , xCt , t+1的最小值為g(t),求g(t)的解析式。a 1(2)已知函數(shù)y sin x a sin x 一 一的最大值為2,求a的值。4 2(3)已知1 <a<1,若f(x)=ax 2-2x+

9、1在區(qū)間1 , 3上的最大值為 M(a),最小值為N(a), 3令 g(a尸M(a)-N(a),求g(a)的函數(shù)表達(dá)式;判斷函數(shù)g(a)的單調(diào)性，并求出g(a)的最小值。變式訓(xùn)練3： (1)已知函數(shù)f (x) = - 4x2+4ax 4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有一個 最大值一 5,求a的值.(2)已知函數(shù)y=x2-2x+ 3在閉區(qū)間0, m上有最大值3,最小值2,則m的取值范 圍為.(3) 設(shè)x、y是關(guān)于m的方程m22am+a+6=0的兩個實(shí)根，則(x-1) 2+ (y1) 2的最 小值是()A. -121B.18C.8D.-44題型四二次函數(shù)中的恒成立的問題例 4 若二次函數(shù) f(x) = ax

10、2+ bx+c ( aw。)滿足 f (x+ 1) - f (x) =2x,且 f (0) = 1.(1)求f (x)的解析式；(2)若在區(qū)間1,1上，不等式f(x)>2x+md1成立，求實(shí)數(shù) m的取值范圍.變式訓(xùn)練 4： (1)已知 f(x) x2 2(a 2)x 4,用心愛心專心5 如果對一切x R, f(x) 0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍;如果對x 3,1, f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.用心愛心專心7(2)已知二次函數(shù) f(x) ax2 x (a R, a 0).如果 x 0, 1時，總有 | f(x)| 求a的取值范圍.題型五二次函數(shù)與方程例5已知二次函數(shù) f(x)ax

11、2 bx c(1)若a>b>c,且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個交點(diǎn)；(2)在 的條件下，是否存在mC R,使池f(m)= - a 成立時,f(m+3)為正數(shù), 若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，說明理由.1 右對 x1,x2 R,且x1<x2,f (x1)f d)，方程f (x)=f (x1)+f 優(yōu))有2個不等實(shí)根，證明必有一個根屬于(x1, x2)例6二次函數(shù)y ax2x 1 (a 0)的零點(diǎn)分別為Xi,X2.(1)證明(1 x1) (1x2) 1;證明Xi1,X21;(3)若xi, X2滿足不等式| lg±| w 1,試求a的取值范圍X2例 7

12、已知二次函數(shù) f(x) 2x2 4(a 1)x a2 2a 9.(1)若在區(qū)間-1 , 1內(nèi)至少存在一個實(shí)數(shù) mi使得f(m) 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若對區(qū)間-1 , 1內(nèi)的一切實(shí)數(shù) m都有f(m) 0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。題型六二次函數(shù)與不等式例8已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且 f(x)=x?+2x.(1)求函數(shù)g(x)的解析式；(2)解不等式g(x) >f (x) - |x- 1| ;(3)若h(x) =g(x) f(x) + 1在1, 1上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式訓(xùn)練6：設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x) = 2x2+ (x-a)| xa|.(1)若f(0)

13、 >1,求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；一、選擇題1.設(shè)abc>0,二次函數(shù)f(x) = ax2+bx+ c的圖象可能是()2.函數(shù)f (x) =x2+m奸1的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱的充要條件是()A.m= - 2B.m= 2 C. m= - 1D.m= 13 .已知函數(shù)f(x) = ax2+(b+c)x+1 (aw。)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閍c, b,則點(diǎn)(a, b)的軌跡是()A.線段B.直線的一部分C.點(diǎn)D.圓錐曲線4 .設(shè)二次函數(shù)f (x) = ax22ax+c在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且 f ( n) < f (0),則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是()A.( -

14、oo, 0B.2, +oo) c.(8, 0 U 2 , +oo) D.0,25 .已知函數(shù) f (x)= 2m)2- 2(4 - n) x + 1,g(x)=mx 若對于任一實(shí)數(shù)x,f (x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(巴。)6 .函數(shù)f(x) = x2 + (2a1)| x|+1的定義域被分成了四個不同的單調(diào)區(qū)間，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是()21311A. a>3B.2<a<2C.a>2D.a<2二、填空題7 .若二次函數(shù) f( x) = ax2+bx+2 滿足 f (x” = f (

15、x2),則 f (x1 + x2) =.8 .若函數(shù)y = x2+(a+2)x+3, xCa, b的圖象關(guān)于直線 x= 1對稱，則b=.9 .二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(0,1)，對稱軸為x= 2,最小值為一1,則它的解析式為 .10 .若函數(shù)y=mx+x+5在2,十8)上是增函數(shù)，則 m的取值范圍是 11 .若函數(shù)f(x)=ax+b ( aw0)的一個零點(diǎn)是 1,則函數(shù) g(x)=bx2ax的零點(diǎn)是12.方程x2m桿1 = 0的兩根為B,且a>0, 1<B<2,則實(shí)數(shù) m的取值范圍是13 .若方程x211x+30+a=0的兩根均大于5,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .14 .已知f (x) =ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且其定義域?yàn)閍1,2 a,則y=f(x)的值域 為 .三、解答