運動學(xué)圖像 追及相遇問題

1、專題強化一運動學(xué)圖象追及相遇問題專題解讀 1.本專題是勻變速直線運動規(guī)律和運動學(xué)圖象的綜合應(yīng)用，為高考必考內(nèi)容，多以選擇題形式命題.2.學(xué)好本專題，可以提高同學(xué)們通過畫運動情景示意圖和vt圖象分析和解決運動學(xué)問題的能力.3.用到的知識有：xt圖象和vt圖象的理解，勻變速直線運動的規(guī)律，臨界條件的確定，極值思想等數(shù)學(xué)方法.一、運動學(xué)圖象1.直線運動的xt圖象(1)圖象的物理意義反映了做直線運動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律.(2)圖線斜率的意義圖線上某點切線的斜率大小表示物體速度的大小圖線上某點切線的斜率正負表示物體速度的方向.(3)交點兩圖線交點，表示兩物體相遇.2.直線運動的vt圖象(1)圖象

2、的物理意義反映了做直線運動的物體的速度隨時間變化的規(guī)律.(2)圖線斜率的意義圖線上某點切線的斜率大小表示物體加速度的大小.圖線上某點切線的斜率正負表示加速度的方向.(3)兩種特殊的vt圖象勻速直線運動的vt圖象是與橫軸平行的直線.勻變速直線運動的vt圖象是一條傾斜的直線.(4)圖象與時間軸圍成的面積的意義(如圖1)圖1圖象與時間軸圍成的面積表示位移.若此面積在時間軸的上方，表示這段時間內(nèi)的位移方向為正；若此面積在時間軸的下方，表示這段時間內(nèi)的位移方向為負.(5)交點兩圖線交點表示此時兩物體速度相同.自測1甲、乙兩物體從同一點出發(fā)且在同一條直線上運動，它們的位移時間(xt)圖象如圖2所示，由圖象

3、可以看出在04 s內(nèi)()圖2A.甲、乙兩物體始終同向運動B.第4 s末時，甲、乙兩物體間的距離最大C.甲的平均速度等于乙的平均速度D.乙物體一直做勻加速直線運動答案C解析由題圖可知在02 s內(nèi)，甲、乙同向運動，在24 s內(nèi)兩者反向運動，選項A錯誤；第4 s末兩物體相遇，兩物體間的距離不是最大，選項B錯誤；由題圖知在04 s內(nèi)，甲、乙的位移都是2 m，故平均速度相等，選項C正確；根據(jù)圖線斜率的絕對值等于速度的大小，可知乙物體一直做勻速直線運動，選項D錯誤. 自測2如圖3所示，為某物體做直線運動的vt圖象，由此可知()圖3A.前1 s物體的位移大小為1 mB.前2 s末物體的瞬時速度大小為2 m/

4、sC.前3 s內(nèi)物體的加速度大小為3 m/sD.前3 s物體做勻變速直線運動答案A解析在vt圖象中，相應(yīng)圖線與時間軸所圍的面積表示位移，由題圖知，前1 s內(nèi)物體的位移大小x×1×2 m1 m，選項A正確；在13 s內(nèi)由題圖得，物體的加速度a1 m/s，第2 s末物體的瞬時速度vv0at2 m/s1 m/s2×1 s1 m/s，選項B、C錯誤；第1 s內(nèi)物體做勻加速直線運動，13 s內(nèi)物體做勻減速直線運動，選項D錯誤.二、追及與相遇問題1.概述當(dāng)兩個物體在同一條直線上運動時，由于兩物體的運動情況不同，所以兩物體之間的距離會不斷發(fā)生變化，就會涉及追及、相遇或避免碰撞等

5、問題.2.兩類情況(1)若后者能追上前者，則追上時，兩者處于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度.(2)若后者追不上前者，則當(dāng)后者的速度與前者的速度相等時，兩者相距最近.3.相遇問題的常見情況(1)同向運動的兩物體追及并相遇：兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間的距離.(2)相向運動的兩物體相遇：各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體間的距離.自測3平直公路上的甲車以10 m/s的速度做勻速直線運動，乙車靜止在路面上，當(dāng)甲車經(jīng)過乙車旁邊時，乙車立即以大小為1 m/s2的加速度沿相同方向做勻加速運動，從乙車加速開始計時，則()A.乙車追上甲車所用的時間為10 sB.乙車追上甲車所用的時間為2

6、0 sC.乙追上甲時，乙的速度是15 m/sD.乙追上甲時，乙的速度是10 m/s答案B解析設(shè)乙車追上甲車所用的時間為t，則有v甲tat2，解得t20 s，選項A錯誤，B正確；由vat得，乙車追上甲車時，乙車速度v乙20 m/s，選項C、D錯誤.命題點一運動學(xué)圖象的理解和應(yīng)用1.xt圖象與vt圖象的比較xt圖象vt圖象圖象舉例意義傾斜直線表示勻速直線運動；曲線表示變速直線運動傾斜直線表示勻變速直線運動；曲線表示變加速直線運動特別處兩條圖線的交點表示相遇圖線與時間軸所圍面積表示位移運動情況甲做勻速直線運動，乙做速度逐漸減小的直線運動丙做勻加速直線運動，丁做加速度逐漸減小的變加速直線運動位移0t1

7、時間內(nèi)甲、乙位移相等0t2時間內(nèi)丁的位移大于丙的位移平均速度0t1時間內(nèi)甲、乙平均速度相等0t2時間內(nèi)丁的平均速度大于丙的平均速度2.三點說明(1)xt圖象與vt圖象都只能描述直線運動，且均不表示物體運動的軌跡；(2)分析圖象要充分利用圖象與其所對應(yīng)的物理量的函數(shù)關(guān)系；(3)識圖方法：一軸、二線、三斜率、四面積、五截距、六交點.例1(多選)如圖4，直線a和曲線b分別是在平直公路上行駛的汽車a和b的位移時間(xt)圖線，由圖可知()圖4A.在時刻t1，a車追上b車B.在時刻t2，a、b兩車運動方向相反C.在t1到t2這段時間內(nèi)，b車的速率先減少后增加D.在t1到t2這段時間內(nèi)，b車的速率一直比a

8、車的大答案BC解析由題圖可知，t1時刻，b車追上a車，故A錯誤；xt圖象的斜率表示速度，由于t2時刻a、b兩圖象的斜率一正、一負，故兩車運動方向相反，B正確；由b圖線的斜率的變化可以看出t1到t2這段時間b車的速率先減少后反向增加，C正確；如圖所示，在t3時刻b圖線的斜率與a圖線的相等，此時兩車的速率相等，故D錯誤.例2(2014·新課標(biāo)全國·14)甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛.在t0到tt1的時間內(nèi)，它們的vt圖象如圖5所示.在這段時間內(nèi)()圖5A.汽車甲的平均速度比乙的大B.汽車乙的平均速度等于C.甲、乙兩汽車的位移相同D.汽車甲的加速度大小逐漸減小，汽車乙的加速

9、度大小逐漸增大答案A解析根據(jù)vt圖象中圖線與時間軸所圍的面積表示位移，可以看出汽車甲的位移x甲大于汽車乙的位移x乙，選項C錯誤；根據(jù)v得，汽車甲的平均速度v甲大于汽車乙的平均速度v乙，選項A正確；汽車乙的位移x乙小于初速度為v2、末速度為v1的勻減速直線運動的位移x，即汽車乙的平均速度小于，選項B錯誤；根據(jù)vt圖象的斜率反映了加速度的大小，因此汽車甲、乙的加速度大小都逐漸減小，選項D錯誤.變式1甲、乙兩車在同一條直道上行駛，它們運動的位移x隨時間t變化的關(guān)系圖象如圖6所示.已知乙車做勻變速直線運動，其圖線與t軸相切于10 s處.則下列說法正確的是()圖6A.甲車的初速度為零B.乙車的初位置在x

10、060 m處C.乙車的加速度大小為1.6 m/s2D.5 s時兩車相遇，此時甲車速度較大答案C解析由題圖可知甲車做勻速直線運動，速度v甲 m/s4 m/s.故A錯；由題圖可知乙車做勻減速直線運動，可看做是反方向的勻加速直線運動，則有xat2.由題圖可知，當(dāng)其反向運動5 s時，位移為20 m.則有20a·52，得加速度大小a1.6 m/s2.因其共運動了10 s，可得x0×1.6×102 m80 m.C對，B錯；t5 s時，兩車相遇，但甲車速度v甲4 m/s小于乙車速度v乙8 m/s，D錯.變式2(2018·廣東佛山質(zhì)檢)如圖7所示為甲、乙兩質(zhì)點做直線運動

11、的速度時間圖象，則下列說法中正確的是()圖7A.在0t3時間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點的平均速度相等B.甲質(zhì)點在0t1時間內(nèi)的加速度與乙質(zhì)點在t2t3時間內(nèi)的加速度相同C.甲質(zhì)點在0t1時間內(nèi)的平均速度小于乙質(zhì)點在0t2時間內(nèi)的平均速度D.在t3時刻，甲、乙兩質(zhì)點都回到了出發(fā)點答案A解析因在0t3時間內(nèi)甲、乙兩質(zhì)點的速度圖線與t軸所圍“面積”相等，說明位移相等，則甲、乙兩質(zhì)點的平均速度相等，故A項正確；在0t1時間內(nèi)，甲的圖線斜率為正值，加速度為正方向，在t2t3時間內(nèi)，乙的圖線斜率為負值，加速度為負方向，兩個加速度不相同，故B項錯誤；甲質(zhì)點在0t1時間內(nèi)的平均速度等于，乙質(zhì)點在0t2時間內(nèi)的平均速度等于

12、，故C項錯誤；由圖可知甲、乙兩質(zhì)點的速度均為正值.則兩質(zhì)點均做單向直線運動，不可能回到出發(fā)點，故D項錯誤.拓展點1非常規(guī)圖象1.三類圖象(1)at圖象：由vv0at可知圖象與橫軸所圍面積表示速度變化量v，如圖8甲所示；(2)t圖象：由xv0tat2可得v0at，圖象的斜率為a，如圖乙所示.圖8(3)v2x圖象：由v2v022ax可知v2v022ax，圖象斜率為2a.2.解題技巧圖象反映了兩個變量(物理量)之間的函數(shù)關(guān)系，因此要由運動學(xué)公式推導(dǎo)出兩個物理量間的函數(shù)關(guān)系，來分析圖象的意義.例3一質(zhì)點沿直線運動，如圖9所示是從t0時刻開始的質(zhì)點的t圖象(x為位移)，可以推知()圖9A.質(zhì)點做勻減速運

13、動B.加速度的大小是1 m/s2C.t2 s時的速度是1 m/sD.t2 s時位移是3 m答案B解析由題意可得圖線的函數(shù)表達式為1t，即xtt2，又因為勻變速直線運動中位移公式為xv0tat2，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系得v01 m/s，a1 m/s20，因此質(zhì)點做勻加速運動，故A項錯誤，B項正確.當(dāng)t2 s時，根據(jù)公式vv0at，求出速度是3 m/s，故C項錯誤；當(dāng)t2 s時，代入表達式xtt2，可得位移是4 m，故D項錯誤.變式3(2017·江西南昌3月模擬)一輛汽車做直線運動，其v2x圖象如圖10所示.關(guān)于汽車的運動，下列說法錯誤的是()圖10A.汽車的初速度為4 m/sB.汽車的加速度大小

14、為0.5 m/s2C.汽車第4 s末的速度為2 m/sD.汽車前10 s內(nèi)的位移為15 m答案D解析由題圖可知初始時速度的平方為16 m2/s2，則汽車的初速度v04 m/s，A項正確.由題圖可知v2與x的關(guān)系式為v242x，再與公式v2v022ax對比可知汽車做勻減速直線運動，加速度a0.5 m/s2，B項正確由vv0at，可得汽車第4 s末的速度為v44 m/s0.5×4 m/s2 m/s，C項正確.因8 s，則知第8 s末車停止，汽車前10 s內(nèi)位移x16 m，D項錯誤.拓展點2圖象間的相互轉(zhuǎn)化例4一物體由靜止開始沿直線運動，其加速度隨時間變化的規(guī)律如圖11所示.取物體開始運動

15、的方向為正方向，則下列關(guān)于物體運動的vt圖象正確的是()圖11答案C命題點二追及相遇問題1.分析思路可概括為“一個臨界條件”“兩個等量關(guān)系”.(1)一個臨界條件：速度相等.它往往是物體間能否追上或(兩者)距離最大、最小的臨界條件，也是分析判斷問題的切入點；(2)兩個等量關(guān)系：時間等量關(guān)系和位移等量關(guān)系，通過畫草圖找出兩物體的時間關(guān)系和位移關(guān)系是解題的突破口.2.能否追上的判斷方法物體B追趕物體A：開始時，兩個物體相距x0，到vAvB時，若xAx0xB，則能追上；若xAx0xB，則恰好不相撞；若xAx0xB，則不能追上.3.特別提醒若被追趕的物體做勻減速直線運動，一定要注意判斷被追上前該物體是否

16、已經(jīng)停止運動.4.三種方法(1)臨界法：尋找問題中隱含的臨界條件，例如速度小者加速追趕速度大者，在兩物體速度相等時有最大距離；速度大者減速追趕速度小者，若追不上則在兩物體速度相等時有最小距離.(2)函數(shù)法：設(shè)兩物體在t時刻相遇，然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)0，若方程f(t)0無正實數(shù)解，則說明這兩個物體不可能相遇；若方程f(t)0存在正實數(shù)解，說明這兩個物體能相遇.(3)圖象法.若用位移圖象求解，分別作出兩個物體的位移圖象，如果兩個物體的位移圖象相交，則說明兩物體相遇.若用速度圖象求解，則注意比較速度圖線與時間軸包圍的面積.例5甲、乙兩車在同一直線軌道上同向行駛，甲車在前，速度為v

17、18 m/s，乙車在后，速度為v216 m/s，當(dāng)兩車相距x08 m時，甲車因故開始剎車，加速度大小為a12 m/s2，為避免相撞，乙車立即開始剎車，則乙車的加速度至少為多大？答案6 m/s2解析方法一：臨界法設(shè)兩車速度相同時均為v，所用時間為t，乙車的加速度大小為a2，則v1a1tv2a2tv，ttx0，解得t2 s，a26 m/s2，即t2 s時，兩車恰好未相撞，顯然此后在停止運動前，甲的速度始終大于乙的速度，故可避免相撞.滿足題意的條件為乙車的加速度至少為6 m/s2.方法二：函數(shù)法甲、乙運動的位移：x甲v1ta1t2，x乙v2ta2t2避免相撞的條件為x乙x甲<x0即(a2a1)

18、t2(v1v2)tx0>0代入數(shù)據(jù)有(a22)t216t16>0不等式成立的條件是：1624×16(a22)<0，且a22>0解得a2>6 m/s2.變式4(多選)(2016·全國卷·21)甲、乙兩車在平直公路上同向行駛，其vt圖象如圖12所示.已知兩車在t3 s時并排行駛，則()圖12A.在t1 s時，甲車在乙車后B.在t0時，甲車在乙車前7.5 mC.兩車另一次并排行駛的時刻是t2 sD.甲、乙車兩次并排行駛的位置之間沿公路方向的距離為40 m答案BD解析由題中vt圖象得a甲10 m/s2，a乙5 m/s2，兩車在t3 s時并排行

19、駛，此時x甲a甲t2×10×32 m45 m，x乙v0ta乙t210×3 m×5×32 m52.5 m，所以t0時甲車在前，距乙車的距離為Lx乙x甲7.5 m，B項正確.t1 s時，x甲a甲t25 m，x乙v0ta乙t212.5 m，此時x乙x甲L12.5 m，所以另一次并排行駛的時刻為t1 s，故A、C項錯誤；兩次并排行駛的位置沿公路方向相距Lx乙x乙40 m，故D項正確.變式5(2018·河北保定調(diào)研)在平直公路上有甲、乙兩輛汽車從同一位置沿著同一方向運動，它們的速度時間圖象如圖13所示，則()圖13A.甲、乙兩車同時從靜止開始出

20、發(fā)B.在t2 s時乙車追上甲車C.在t4 s時乙車追上甲車D.甲、乙兩車在公路上可能相遇兩次答案C1.(多選)(2017·河北唐山一中模擬)在足球比賽中，跑位技術(shù)相當(dāng)重要.圖1所示為某前鋒球員在時間t0內(nèi)沿直線跑位的速度時間圖象，則在這段時間內(nèi)，該球員()圖1A.運動方向不變B.運動的加速度方向不變C.先做加速運動后做減速運動D.運動的加速度先減小后增大答案AC解析因vt圖象中圖線的斜率表示加速度.則由題圖可知球員先做加速度減小的加速運動，后做加速度先增大后減小的減速運動，其運動方向不變，則A、C正確，B、D錯誤.2.(多選)(2017·山西五校四聯(lián))甲、乙兩車在一平直公路

21、上同向行駛，其速度時間圖象如圖2所示.下列說法正確的是()圖2A.乙車做曲線運動B.010 s內(nèi)，乙車的位移大于甲車的位移C.t10 s時，兩車可能相遇D.010 s內(nèi)，必有某一時刻甲、乙兩車的加速度相同答案BCD解析因甲、乙兩車在一平直公路上同向行駛，則甲、乙兩車均做直線運動，因vt圖象中圖線的斜率表示加速度，則由題圖可知乙車做加速度逐漸減小的變加速直線運動，甲車做勻加速直線運動，且t0時a乙a甲，t10 s時a乙a甲，則010 s內(nèi)必有某一時刻a乙a甲，A項錯誤，D項正確.因vt圖象中圖線與t軸所圍面積表示位移，則由題圖可知010 s內(nèi)乙車位移大于甲車位移，因題中沒明確甲、乙出發(fā)位置，則t

22、10 s時兩車可能相遇，B、C項正確.3.(2017·河北唐山一模)a、b兩物體同時從同一地點開始做勻變速直線運動，二者運動的vt圖象如圖3所示，下列說法正確的是()圖3A.a、b兩物體運動方向相反B.a物體的加速度小于b物體的加速度C.t1 s時兩物體的間距等于t3 s時兩物體的間距D.t3 s時，a、b兩物體相遇答案C解析由題圖可知a、b兩物體的速度均為正值，則a、b兩物體運動方向相同，A項錯誤.因vt圖象中圖線的斜率表示加速度，則a的加速度大于b的加速度，B項錯誤.vt圖象中圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積表示位移，因為t1 s到t3 s，a圖線和b圖線與t軸所圍的面積相等，即此時間段兩

23、物體位移相同，則t1 s時兩物體的間距等于t3 s時兩物體的間距，C項正確.由題圖可知t3 s時，xbxa，又a和b同時、同地出發(fā)，同向運動，所以t3 s時，b在a前方，D項錯誤.4.(多選)甲、乙兩物體在同一直線上運動的xt圖象如圖4所示，以甲的出發(fā)點為原點，出發(fā)時刻為計時起點.則從圖象可以看出()圖4A.t2到t3這段時間內(nèi)甲的平均速度大于乙的平均速度B.乙比甲先出發(fā)C.甲開始運動時，乙在甲前面x0處D.甲在中途停了一會兒，最終也沒追上乙答案AC解析在t2t3這段時間內(nèi)，甲的位移大于乙的位移，由，所以甲的平均速度大于乙的平均速度，A項正確.由題圖知乙和甲同時出發(fā)，且乙在甲前面x0處，故B項

24、錯誤，C項正確.在t3時刻，甲追上了乙，D項錯誤.5.(多選)一質(zhì)點做直線運動的vt圖象如圖5所示，下列選項正確的是()圖5A.在24 s內(nèi)，質(zhì)點所受合外力為零B.質(zhì)點在02 s內(nèi)的加速度比46 s內(nèi)的加速度大C.在第4 s末，質(zhì)點離出發(fā)點最遠D.在06 s內(nèi)，質(zhì)點的平均速度為5 m/s答案AD解析由題圖可知，在24 s內(nèi)，質(zhì)點做勻速直線運動，所以所受合外力為零，A對.由題圖可知，質(zhì)點在02 s內(nèi)加速度大小為5 m/s2，46 s內(nèi)加速度大小為10 m/s2，B錯.由題圖可知，在第5 s末，質(zhì)點離出發(fā)點最遠，C錯.在06 s內(nèi)，質(zhì)點的平均速度5 m/s，D對.6.質(zhì)點做直線運動時的加速度隨時間

25、變化的關(guān)系圖象如圖6所示，該圖線的斜率為k，圖中陰影部分面積為S，下列說法正確的是()圖6A.斜率k表示速度變化的快慢B.斜率k表示速度變化的大小C.面積S表示t1t2的過程中質(zhì)點速度的變化量D.面積S表示t1t2的過程中質(zhì)點的位移答案C7.圖7是一做勻變速直線運動的質(zhì)點的位移時間圖象(xt圖象)，P(t1，x1)為圖象上一點.PQ為過P點的切線，與x軸交于點Q(0，x2).下列說法正確的是()圖7A.t1時刻，質(zhì)點的速率為B.t1時刻，質(zhì)點的速率為C.質(zhì)點的加速度大小為D.0t1時間內(nèi)，質(zhì)點的平均速度大小為答案B8.圖象法可以形象直觀地描述物體的運動情況.對于如圖8所示的兩質(zhì)點運動的位移時間

26、圖象和速度時間圖象，下列分析結(jié)果正確的是()圖8A.由圖甲可知，質(zhì)點做曲線運動，且速度逐漸增大B.由圖甲可知，質(zhì)點在前10 s內(nèi)的平均速度大小為4 m/sC.由圖乙可知，質(zhì)點在第4 s內(nèi)的加速度方向與物體運動的方向相反D.由圖乙可知，質(zhì)點在運動過程中，加速度大小的最大值為15 m/s2答案D9.(多選)小張和小王分別駕車沿平直公路同向行駛，在某段時間內(nèi)兩車的vt圖象如圖9所示，初始時，小張在小王前方x0處.下列說法正確的是()圖9A.若x018 m，兩車相遇1次B.若x018 m，兩車相遇2次C.若x036 m，兩車相遇1次D.若x054 m，兩車相遇1次答案AB10.(2018·安徽馬鞍山模擬)一個物體以初速度v0沿光滑斜面向上運動，其速度v隨時間t變化的規(guī)律如圖10所示，在連續(xù)兩段時間m和n內(nèi)對應(yīng)面積均為S，