高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)導(dǎo)學(xué)案新人教A版必修4

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料第一章 三角函數(shù)1例說弧度制中的扇形問題與扇形有關(guān)的問題是弧度制中的難點(diǎn),我們可以應(yīng)用弧長(zhǎng)公式l|r和扇形面積公式s|r2解決一些實(shí)際問題,這類問題既充分體現(xiàn)了弧度制在運(yùn)算上的優(yōu)越性,又能幫助我們加深對(duì)弧度制概念的理解.下面通過幾例幫助同學(xué)們分析、歸納弧度制下的扇形問題.例1已知扇形的圓心為60°,所在圓的半徑為10,求扇形的弧長(zhǎng)及扇形中該弧所在的弓形面積.解設(shè)弧長(zhǎng)為l,弓形面積為s弓,則60°,r10,所以lr,所以s弓s扇slrr2sin 50.評(píng)注本題利用扇形面積求弓形面積,解題時(shí)要根據(jù)具體問題進(jìn)行分割,再求解.例2扇形的半徑為r,其圓心

2、角(0)為多大時(shí),扇形內(nèi)切圓面積最大,其最大值是多少？解如圖,設(shè)內(nèi)切圓半徑為r. 則(rr)sin r,所以r,則內(nèi)切圓的面積sr22r22.因?yàn)?且0,所以當(dāng),即時(shí),smax.評(píng)注解決扇形問題要注意三角形一些性質(zhì)的應(yīng)用,建立相等關(guān)系,進(jìn)而求解.例3已知扇形的周長(zhǎng)為30 cm,當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí),才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解設(shè)扇形的圓心角為,半徑為r,面積為s,弧長(zhǎng)為l,則有l(wèi)2r30,所以l302r,從而slr(302r)·rr215r2cm2,所以當(dāng)半徑rcm時(shí),扇形面積最大,為cm2.這時(shí)2.評(píng)注本題是利用扇形面積公式建立二次函數(shù),進(jìn)而求二次函數(shù)的最值.

3、此題是扇形周長(zhǎng)一定時(shí),求扇形的面積的最大值,利用此法也可以求當(dāng)扇形的面積一定其周長(zhǎng)的最小值問題.針對(duì)練習(xí)：1.扇形的周長(zhǎng)c一定時(shí),它的圓心角取何值才能使扇形面積s最大？最大值是多少？2.在扇形aob中,aob90°,弧ab的長(zhǎng)為l,求此扇形內(nèi)切圓的面積.3.已知扇形aob的周長(zhǎng)是6 cm,該扇形的中心角是1弧度,求該扇形的面積.答案1.2時(shí),扇形面積最大,最大值為.2.sr2l2.3.2 cm2.2任意角三角函數(shù)問題錯(cuò)解辨析任意角三角函數(shù)是三角函數(shù)的基礎(chǔ),在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí),有的同學(xué)經(jīng)常因?yàn)楦拍畈磺濉⒖紤]不周、觀察代替推理等原因而錯(cuò)解題目,下面就解題中容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行分類講解,供同

4、學(xué)們參考.一、概念不清例1已知角的終邊在直線y2x上,求sin cos 的值.錯(cuò)解在角的終邊所在直線y2x上取一點(diǎn)p(1,2),則r.所以sin cos .剖析錯(cuò)解未弄清直線與角的終邊的區(qū)別,誤認(rèn)為在角的終邊所在直線上取一點(diǎn)與角的終邊上任取一點(diǎn)都可以確定角的三角函數(shù)值,由任意角三角函數(shù)的定義知這是錯(cuò)誤的.正解在直線y2x的第一象限部分取一點(diǎn)p(1,2),則r.所以sin cos .在直線y2x的第三象限部分取一點(diǎn)p(1,2),則r.所以sin cos .綜上,sin cos 的值為或.二、觀察代替推理例2當(dāng)(0,)時(shí),求證：sin <tan .錯(cuò)解如圖,設(shè)角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合,角的

5、終邊與單位圓的交點(diǎn)為p,過p作pm垂直于x軸,垂足為m,過a(1,0)作單位圓的切線與角的終邊交于點(diǎn)t,則mpsin .記的長(zhǎng)為l,則l·op,attan .觀察可得mplat,所以sin tan .剖析證明過程中,通過觀察得到的結(jié)論,缺乏理論根據(jù),這是不允許的.正解設(shè)角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓的交點(diǎn)為p,過p作pm垂直于x軸,垂足為m,過a(1,0)作單位圓的切線與角的終邊交于點(diǎn)t,則mpsin .記a的長(zhǎng)為l,則l·op,attan .因?yàn)閟oaps扇形 oapsoat,所以oa·mpoa·loa·at.所以mplat,即si

6、n tan .三、估算能力差例3若,則sin cos 的一個(gè)可能的值是()a. b. c. d.1錯(cuò)解因?yàn)?所以0sin 1,0cos 1.因此選a.剖析由于方法不當(dāng),估算能力差,沒有正確估算出sin cos 的范圍,造成錯(cuò)誤。正解如圖所示,設(shè)p(x,y)是角終邊上任意一點(diǎn),且|op|r,則sin cos .因?yàn)?所以x0,y0,且xyr.故sin cos 1.而四個(gè)選項(xiàng)中只有c符合要求.故選c.以上列舉了三種常見的錯(cuò)誤,并給出正確解法.同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要認(rèn)真審題,縝密思考,避免犯類似的錯(cuò)誤.3同角三角函數(shù)關(guān)系巧應(yīng)用同角三角函數(shù)的用途主要體現(xiàn)在三角函數(shù)的求值和恒等變形中各函數(shù)間的相互轉(zhuǎn)化,下面結(jié)

7、合常見的應(yīng)用類型舉例分析,體會(huì)其轉(zhuǎn)化作用,展現(xiàn)同角三角函數(shù)關(guān)系巧應(yīng)用.一、知一求二型例1 已知sin ,則tan _.解析由sin ,且sin2cos21得cos ±,因?yàn)?可得cos ,所以tan 2.答案2點(diǎn)評(píng)已知某角的弦函數(shù)值求其他三角函數(shù)值時(shí),先利用平方關(guān)系求另一弦函數(shù)值,再求切函數(shù)值,需要注意的是利用平方關(guān)系時(shí),若沒有角度的限制,要注意分類討論.二、妙用“1”例2 證明：.證明因?yàn)閟in2xcos2x1,所以1(sin2xcos2x)3,1(sin2xcos2x)2,所以.即原命題得證.點(diǎn)評(píng)本題在證明過程中,充分利用了三角函數(shù)的平方關(guān)系,對(duì)“1”進(jìn)行了巧妙的代換,使問題迎刃

8、而解.三、齊次式型求值例3 已知tan 2,求值：(1)_；(2)2sin23cos2_.解析(1)因?yàn)閏os 0,分子分母同除以cos ,得1.(2)2sin23cos2,因?yàn)閏os2 0,分子分母同除以cos2,得1.答案(1)1(2)1點(diǎn)評(píng)這是一組在已知tan m的條件下,求關(guān)于sin 、cos 的齊次式值的問題.解這類問題需注意以下幾點(diǎn)：(1)一定是關(guān)于sin 、cos 的齊次式(或能化為齊次式)的三角函數(shù)式；(2)因?yàn)閏os 0,所以分子、分母可同時(shí)除以cosn (nn*).這樣可以將所求式化為關(guān)于tan 的表達(dá)式,整體代入tan m的值求解.4單調(diào)不“單調(diào)”,應(yīng)用很“奇妙”三角函數(shù)

9、的單調(diào)性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一,也是高考常考的內(nèi)容.利用其可以方便地進(jìn)行比較值的大小、求單調(diào)區(qū)間、求解最值和解不等式等.下面舉例歸納該性質(zhì)在解題中的具體應(yīng)用,希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.一、信心體驗(yàn)比較大小例1 比較cos ,sin,cos 的大小.解因?yàn)閟in cos()cos ,coscos ,又0<<<<,而ycos x在0,上是減函數(shù),所以cos >cos >cos ,即cos >sin >cos .點(diǎn)評(píng)比較三角函數(shù)值的大小關(guān)鍵是利用三角函數(shù)某區(qū)間的單調(diào)性,一般按下列步驟進(jìn)行：將不同名的三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)；用誘導(dǎo)公式將角化到同一

10、單調(diào)區(qū)間,并比較角的大?。挥蓡握{(diào)性得出各值的大小關(guān)系.二、重拳出擊求解最值例2 已知f(x)sin(2x),xr.求函數(shù)f(x)在區(qū)間,上的最小值和最大值.解因?yàn)楫?dāng)2k2x2k(kz),即kxk(kz)時(shí),函數(shù)f(x)sin(2x)單調(diào)遞增；當(dāng)2k2x2k(kz),即kxk(kz)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,所以f(x)sin(2x)在區(qū)間,上為增函數(shù),在區(qū)間,上為減函數(shù).又f()0,f(),f()1.故函數(shù)f(x)在區(qū)間,上的最大值為,最小值為1.點(diǎn)評(píng)求三角函數(shù)的最值是一類重要的三角問題,也是高考中經(jīng)常出現(xiàn)的考點(diǎn),解題過程中要注意將x看作一個(gè)整體.利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值是三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用

11、.三、觸類旁通解不等式例3 若0<2,sin >cos ,求的取值范圍.解當(dāng)時(shí),不等式成立,當(dāng)時(shí),不等式不成立.當(dāng)0,)(,2時(shí),cos >0,則原不等式可化為tan >,根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性得,<<；同理可得,當(dāng)(,)時(shí),<<.綜上,的取值范圍是(,).點(diǎn)評(píng)利用三角函數(shù)的單調(diào)性解不等式,首先將三角函數(shù)化成某角的同一三角函數(shù),然后利用單調(diào)性求解.5善用數(shù)學(xué)思想巧解題一、數(shù)形結(jié)合思想例1 在(0,2)內(nèi),使sin x>cos x成立的x的取值范圍是_.解析在同一坐標(biāo)系中畫出ysin x,ycos x,x(0,2)的圖象如圖.由圖知,x(,).

12、答案(,)點(diǎn)評(píng)求解三角函數(shù)的方程、不等式時(shí),通常利用函數(shù)的圖象使問題變得更簡(jiǎn)單.二、分類討論思想例2 證明：(1)ncos ,nz.證明當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令n2k,kz,左邊cos .右邊(1)2kcos cos ,左邊右邊.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),令n2k1,kz,左邊cos .右邊(1)2k1cos cos ,左邊右邊.綜上所述,(1)ncos ,nz成立.點(diǎn)評(píng)解答此類題目的關(guān)鍵在于正確應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn),如果被化簡(jiǎn)式子中的角是k±(kz)的形式,往往對(duì)參數(shù)k進(jìn)行討論.常見的一些關(guān)于參數(shù)k的結(jié)論有sin(k)(1)ksin (kz)；cos(k)(1)kcos (kz)；sin(k)(1)k1s

13、in (kz)；cos(k)(1)kcos (kz)等.三、函數(shù)與方程的思想例3 函數(shù)f(x)cos xsin2x(x)的最大值是_.解析f(x)cos xsin2xcos2xcos x1(cos x)2,設(shè)cos xt,因?yàn)閤,所以由余弦函數(shù)的單調(diào)性可知,cos x,即t,又函數(shù)f(t)(t)2在,上單調(diào)遞增,故f(t)maxf(),所以f(x)的最大值為.答案點(diǎn)評(píng)遇平方關(guān)系,可想到構(gòu)造二次函數(shù),再利用二次函數(shù)求解最大值.四、轉(zhuǎn)化與化歸思想例4 比較tan()與tan()的大小.解tan()tan,tan()tan.因?yàn)?<<<,且ytan x在(0,)內(nèi)單調(diào)遞增,所以ta

14、n<tan.所以tan>tan,即tan()>tan().點(diǎn)評(píng)三角函數(shù)值比較大小問題一般將其轉(zhuǎn)化到某一三角函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性比較大小.另外誘導(dǎo)公式的使用也充分體現(xiàn)了將未知化為已知的轉(zhuǎn)化與化歸思想.6三角函數(shù)的性質(zhì)總盤點(diǎn)三角函數(shù)的性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一,應(yīng)用“巧而活”.要能夠靈活地運(yùn)用性質(zhì),必須在腦海中能及時(shí)地浮現(xiàn)出三角函數(shù)的圖象.下面通過典型例題對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行盤點(diǎn),請(qǐng)同學(xué)們用心體會(huì).一、定義域例1 函數(shù)y 的定義域?yàn)開.解析由題意得cos x,所以2kx2k,kz.即函數(shù)的定義域是2k,2k,kz.答案2k,2k,kz點(diǎn)評(píng)解本題的

15、關(guān)鍵是先列出保證函數(shù)式有意義的三角不等式,然后利用三角函數(shù)的圖象或者單位圓中三角函數(shù)線求解.二、值域與最值例2 函數(shù)ycos(x),x(0,的值域是_.解析因?yàn)?<x,所以<x,由f(x)cos x的圖象如圖可知：cos cos(x)<cos ,即y<.故函數(shù)的值域是,).答案,)點(diǎn)評(píng)解本題的關(guān)鍵是從x的范圍入手,先求得x的范圍,再結(jié)合余弦函數(shù)的圖象對(duì)應(yīng)得出cos(x)的范圍,從而可得函數(shù)的值域或者最值.三、單調(diào)性例3 已知函數(shù)f(x)sin(2x),求：(1)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)函數(shù)f(x)在,0上的單調(diào)遞減區(qū)間.解由f(x)sin(2x)可化為f(x)

16、sin(2x),所以原函數(shù)的遞減區(qū)間即為函數(shù)ysin(2x)的遞增區(qū)間.(1)令2k2x2k,kz,解得kxk,kz.所以f(x)sin(2x)的遞減區(qū)間為k,k,kz.(2)在減區(qū)間k,k,kz中,令k1,0,可以得到當(dāng)x,0時(shí),f(x)sin(2x)的遞減區(qū)間為,0.點(diǎn)評(píng)解本題的關(guān)鍵是先把函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)sin(x),>0,然后把x看做一個(gè)整體,根據(jù)ysin x的單調(diào)性列出不等式,求得遞減區(qū)間的通解；如果要求某一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間,再對(duì)通解中的k進(jìn)行取值,便可求得函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間.四、周期性與對(duì)稱性例4 已知函數(shù)f(x)sin(2x)(>0)的最小正周期為,則函數(shù)f

17、(x)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是()a.x b.x c.x d.x解析由t得1,所以f(x)sin(2x),由2xk,kz,解得f(x)的對(duì)稱軸方程為x,kz,所以x為f(x)的一條對(duì)稱軸,故選c.答案c點(diǎn)評(píng)解本題的關(guān)鍵是先由周期公式求得的值,再解決對(duì)稱軸問題,求解對(duì)稱軸有兩種方法：一種是直接求得函數(shù)的對(duì)稱軸；另一種是根據(jù)對(duì)稱軸的特征對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為函數(shù)的最值解決.同樣地,求解對(duì)稱中心也有兩種方法.五、奇偶性例5 若函數(shù)f(x)sin(0,2)是偶函數(shù),則等于()a. b. c. d.解析因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù),所以函數(shù)關(guān)于x0對(duì)稱；由k可得函數(shù)的對(duì)稱軸方程是x3k,kz,令3k0,解得3k,kz,又0

18、,2),故.答案c點(diǎn)評(píng)解本題的關(guān)鍵是把奇偶性轉(zhuǎn)化為對(duì)稱性解決：偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.7數(shù)形結(jié)合百般好,形象直觀煩瑣少 構(gòu)建正弦、余弦函數(shù)圖象解題正弦、余弦函數(shù)的圖象是本章的重點(diǎn),也是高考的一個(gè)熱點(diǎn),它不僅能直觀反映三角函數(shù)的性質(zhì),而且它還有著廣泛的應(yīng)用,若能根據(jù)問題的題設(shè)特點(diǎn)靈活構(gòu)造圖象,往往能直觀、準(zhǔn)確、快速解題.一、確定函數(shù)的值域例1定義運(yùn)算ab為ab例如,121,則函數(shù)f(x)sin xcos x的值域?yàn)?)a.1,1 b.c. d.解析根據(jù)題設(shè)中的新定義,得f(x)作出函數(shù)f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象,如圖可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)?答案c點(diǎn)評(píng)有關(guān)三角函數(shù)的值域的確定,常常作出函數(shù)的圖象,借助于圖象直觀、準(zhǔn)確求解.二、確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)例2函數(shù)f(x)xsin x在區(qū)間0,2上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_.解析在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),畫出yx及ysin x的圖象,由圖象可觀察出交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.答案2點(diǎn)評(píng)有關(guān)三角函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定,常常作出函數(shù)的圖象,借助于圖象直觀、準(zhǔn)確求解.三、確定參數(shù)的值例3已知f(x)sin(x)(>0),ff,且f(x)在區(qū)間上有最小值,無最大值,則_.解析f(x)sin(>0)且ff,又f(x)在區(qū)間內(nèi)只有最小值、無最大值,畫出函數(shù)大致圖象,如圖所