天體運動問題的基本模型與方法

1、天體運動問題的基本模型與方法陜西省寶雞市陳倉區(qū)教育局教研室邢彥君天體運行問題的分析與求解，是牛頓第二定律與萬有引力定律的綜合運用，問題的分析與求解的關(guān)鍵是建模能力。 一、基本模型 計算天體間的萬有引力時，將天體視為質(zhì)點，天體的全部質(zhì)量集中于天體的中心；一天體繞另一天體的穩(wěn)定運行視為勻速圓周運動；研究天體的自轉(zhuǎn)運動時，將天體視為均勻球體。 二、基本規(guī)律 1天體在軌道穩(wěn)定運行時，做勻速圓周運動，具有向心加速度，需要向心力。所需向心力由中心天體對它的萬有引力提供。設(shè)質(zhì)量為m的天體繞質(zhì)量為M的天體，在半徑為r的軌道上以速度v勻速圓周運動，由牛頓第二定律及萬有引力

2、定律有：。這就是分析與求解天體運行問題的基本關(guān)系式，由于有線速度與角速度關(guān)系、角速度與周期關(guān)系，這一基本關(guān)系式還可表示為：或。 2在天體表面，物體所受萬有引力近似等于所受重力。設(shè)天體質(zhì)量為M，半徑為R，其表面的重力加速度為g，由這一近似關(guān)系有：，即。這一關(guān)系式的應(yīng)用，可實現(xiàn)天體表面重力加速度g與的相互替代，因此稱為“黃金代換”。 3天體自轉(zhuǎn)時，表面各物體隨天體自轉(zhuǎn)的角速度相同，等于天體自轉(zhuǎn)角速度，由于赤道上物體軌道半徑最大，所需向心力最大。對于赤道上的物體，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，式中N為天體表面對物體的支持力。如果天體自轉(zhuǎn)角速度過大，赤道上的物體將最先被“甩”出

3、，“甩”出的臨界條件是：N=0，此時有：，由此式可以計算天體不瓦解所對應(yīng)的最大自轉(zhuǎn)角速度；如果已知天體自轉(zhuǎn)的角速度，由及可計算出天體不瓦解的最小密度。 三、常見題型 1估算天體質(zhì)量問題 由關(guān)系式可以看出，對于一個天體，只要知道了另一天體繞它運行的軌道半徑及周期，可估算出被繞天體的質(zhì)量。 例1據(jù)媒體報道，嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道，軌道高200km，運行周期為127分鐘。若還知道引力常量和月球半徑，僅利用以上條件不能求出的是 A月球表面的重力加速度B月球?qū)πl(wèi)星的吸引力 C衛(wèi)星繞月運行的速度D衛(wèi)星繞月運行的加速度 解析：設(shè)

4、月球質(zhì)量為M，半徑為R，月面重力加速度為g，衛(wèi)星高度為h，運行周期為T，線速度為v，加速度為a，月球?qū)πl(wèi)星的吸引力為F。 對于衛(wèi)星的繞月運行，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由此式可求知月球的質(zhì)量M。由“黃金代換”有：，由這兩式可求知月面重力加速度g。由線速度的定義式有：，由此式可求知衛(wèi)星繞月運行的速度。由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由此式可求知繞月運行的加速度。由萬有引力定律有：，由于不知也不可求知衛(wèi)星質(zhì)量m，因此，不能求出月球?qū)πl(wèi)星的吸引力。故，本題選B。 2估算天體密度問題 若已知天體的近“地”衛(wèi)星（衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑）的運行周期，可以估算出天體

5、的密度。 例2天文學(xué)家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的4.7倍，質(zhì)量是地球的25倍。已知某一近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為1.4小時，引力常量G6.67×10-11N·m2/kg2，由此估算該行星的平均密度約為 A1.8×103kg/m3        B5.6×103kg/m3      C1.1×104kg/m3      &#

6、160; D2.9×104kg/m3 解析：對于近地衛(wèi)星饒地球的運動有：，而，代入已知數(shù)據(jù)解得：=2.9×104kg/m3。本題選D 3運行軌道參數(shù)問題 對于做圓周運動的天體，若已知它的軌道半徑，可以計算它的運行線速度、角速度、周期等運行參數(shù)，并且可以看出，這些參數(shù)取決于軌道半徑。 例3最近，科學(xué)家在望遠鏡中看到太陽系外某一恒星有一行星，并測得它圍繞該恒星運動一周所用的時間為1200年，它與該恒星的距離為地球到太陽距離的100陪。假定該行星繞恒星運行的軌道和地球繞太陽運行的軌道都是圓周，僅利用以上兩個數(shù)據(jù)可以求出的量有 A恒

7、星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比         B恒星密度與太陽密度之比 C行星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比         D行星運行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比 解析：由萬有引力定律和牛頓第二定律有：，解得：，由題意可知，能求出恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量之比。由及題意可知，能求出行星運行速度與地球公轉(zhuǎn)速度之比。本題選AD。 4人造地球衛(wèi)星問題 人造衛(wèi)星運行軌道的中心與地球球心重合。同步通信衛(wèi)星的軌道與赤道平面重合，運行的角速度

8、（或周期）與地球的自傳角速度（或周期）相同，距地面的高度一定。近地衛(wèi)星的軌道半徑與地球半徑相等。 例4已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響 （1）推導(dǎo)第一宇宙速度v1的表達式； （2）若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行周期 解析：（1）第一宇宙速度等于近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度。設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的質(zhì)量為M，在地球表面附近滿足 ，衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力，即 ，解得：； （2）對于衛(wèi)星繞地球的運動，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，而，解得： 例5某顆地球同步衛(wèi)星

9、正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽照射的此衛(wèi)星。試問春分那天（太陽光直射赤道）在日落后12小時內(nèi)有多長時間該觀察者看不見此衛(wèi)星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，不考慮大氣對光的折射。  解析：如圖1所示，E為地球赤道，S表示衛(wèi)星，A表示觀察者，O表示地心。由圖知春分那天日落后，當衛(wèi)星由位置S運動到S/位置過程中，恰好處于地球的陰影區(qū)域，衛(wèi)星無法反射陽光，觀察者看不到衛(wèi)星。設(shè)地球質(zhì)量、衛(wèi)星質(zhì)量分別為M、m，衛(wèi)星軌道及地球半徑分別為r、R，由萬有引力定律及牛頓第二定律有：，由幾何關(guān)系有：，觀察不到衛(wèi)星的時間為：，在地球表面有：

10、。解得：。 5“相遇”問題 若某天體有兩顆軌道共面的衛(wèi)星，從某次它們在天體中心同側(cè)與天體中心共線（兩衛(wèi)星相距最近）到下次出現(xiàn)這一情形的時間與兩衛(wèi)星角速度、間滿足關(guān)系：,。 例6如圖2所示，A是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星 B的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為 h。已知地球半徑為 R，地球自轉(zhuǎn)角速度為o，地球表面的重力加速度為g，O為地球中心。   （1）求衛(wèi)星B的運行周期。 （2）如衛(wèi)星B繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時刻A、B兩衛(wèi)星相距最近（O、B、A在同一直線上），則至少經(jīng)過多長時間，它們再一次相距最近？ 解析：（1）對

11、衛(wèi)星B繞地球的運行，由萬有引力定律和牛頓第二定律有： ，在地面有：，解得：。 （2）由題意應(yīng)有：，而，由于衛(wèi)星A是同步衛(wèi)星，故：，解得： 6外星上的物理問題       若已知某天體的半徑及質(zhì)量，由黃金代換式可求出天體表面的重力加速度，此后可運用有關(guān)物理規(guī)律求解在外星表面的進行的與重力加速度有關(guān)的物理問題。 這類問題的另一形式是由運動學(xué)公式，根據(jù)運動量求解出天體表面的重力加速度，然后由黃金代換式及基本關(guān)系式求解天體的其它參量。 例7在“勇氣號”火星探測器著陸的最后階段，著陸器降落到火星表面上，再

12、經(jīng)過多次彈跳才停下來。假設(shè)著陸器第一次落到火星表面彈起后，到達最高點時高度為h，速度方向是水平的，速度大小為vo，求它第二次落到火星表面時速度的大小，計算時不計火星大氣阻力。已知火星的一個衛(wèi)星的圓軌道的半徑為r，周期為T?；鹦强梢暈榘霃綖閞o的均勻球體。 解析：以M表示火星的質(zhì)量，m表示火星表面處某一物體的質(zhì)量，以g表示火星表面附近的重力加速度，由于在火星表面的重力等于火星對它的萬有引力，故有：；以m表示火星的衛(wèi)星的質(zhì)量，由萬有引力定律和牛頓第二定律有：。 設(shè)著陸器第二次落到火星表面時的速度為v，它的豎直分量為v1，則水平分量仍為vo，由于著陸器第一次反彈后在最高點時的豎直

13、分速度為零，故有：， 。解以上各式解得 ：。 7變軌問題 飛船或衛(wèi)星從地面發(fā)射時，一般先將其發(fā)射到距地球較近的軌道上做圓周運動，再在適當位置實施變軌，使其離開原來的圓周軌道，在半長軸較大的橢圓軌道運動，當運行至橢圓軌道的遠地點時再次實施變軌，使其在以橢圓半長軸為半徑的圓軌道上做圓周運動，這個軌道就是飛船或衛(wèi)星的穩(wěn)定運行或工作軌道。 還有一類變軌問題：在某確定軌道（半徑一定）上圓周運動的衛(wèi)星，由于某種原因的影響，若速度發(fā)生了變化，由基本關(guān)系式可以得出：，由此可以看出，當衛(wèi)星速度變化時，軌道半徑隨之變化。 例82008年9月25日至28日我國成功實施了“神舟”七號載人航天飛行并實現(xiàn)了航天員首次出艙。如圖3所示，飛船先沿橢圓軌道飛行，后在遠地點343千米處點火加速，由橢圓軌道變成高度為343千米的圓軌道，在此圓軌道上飛船運行周期約為90分鐘。下列判斷正確的是：  A飛船在變軌前后的機械能相等 B飛船在圓軌道上時航天員出艙前后都處于失重狀態(tài) C飛船在此圓軌道上運動的角速度大于同步衛(wèi)星運動的角速度 D飛船變軌前通過橢圓軌道遠地點時的加速度大于變軌后圓軌道運動的加速度 解析：飛船變軌前后，由于推進火箭的做功，飛船的機械能不守恒