多元函數(shù)微分學(xué) 習(xí)題課10867

1、第八章第八章 習(xí)題課習(xí)題課多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué)一一 基本要求基本要求1 理解二元函數(shù)的概念，會求定義域。理解二元函數(shù)的概念，會求定義域。2 了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念。了解二元函數(shù)的極限和連續(xù)的概念。3 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)及高理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)及高階偏導(dǎo)數(shù)的求法。階偏導(dǎo)數(shù)的求法。4 掌握多元復(fù)合函數(shù)的微分法。掌握多元復(fù)合函數(shù)的微分法。5 了解全微分形式的不變性。了解全微分形式的不變性。6 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法。掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法。7 會求曲線的切線及法平面，曲面的切會求曲線的切線及法平面，曲面的切平面及法線。平面及法線。8 了解方向?qū)?shù)的概念和計算公式。了解方向?qū)?/p>

2、數(shù)的概念和計算公式。9 了解梯度的概念和計算方法以及梯度了解梯度的概念和計算方法以及梯度與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系。與方向?qū)?shù)之間的關(guān)系。 10 掌握多元函數(shù)無條件極值和條件極值掌握多元函數(shù)無條件極值和條件極值的求法及最大（?。┲档那蠓?。的求法及最大（?。┲档那蠓ā６?要點提示要點提示（一）函數(shù)的概念（一）函數(shù)的概念 1.1.點函數(shù)的定義：點函數(shù)的定義：設(shè)設(shè) 是一個點集，如果對于每一點是一個點集，如果對于每一點 變量變量 按照一定的法則總有確定的值和它按照一定的法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱對應(yīng)，則稱 是點是點 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為 p( )zf pzzp注意注意 1.從一元函數(shù)推廣從一元函數(shù)

3、推廣 2.多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別當(dāng)當(dāng) 時，時， 當(dāng)當(dāng) 時，時，pr ( )( )zf pf x 2pr 123()(,)zf pf xxx ()( , )zf pf x y npr 3pr 12( )(,)nzf pf xxx為為n元函數(shù)元函數(shù). .為三元函數(shù)；為三元函數(shù)； 當(dāng)當(dāng) 時，時，為二元函數(shù)；為二元函數(shù)；當(dāng)當(dāng) 時，時，為一元函數(shù)；為一元函數(shù)； 2.2.多元初等函數(shù)：多元初等函數(shù)： 由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成，可限次的四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成，可用一個式子所表示的函數(shù)，稱為用一個式子所表示的函數(shù)

4、，稱為多元初多元初等函數(shù)等函數(shù). . 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的續(xù)的. 1 1偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)（1 1）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增量與自變量）定義：偏導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的偏增量與自變量增量之比的極限增量之比的極限. .00(, )( , )limlimxxxzzf xx yf x yxxx 00( ,)( , )limlimyyyzzf x yyf x yyyy （二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分（二）偏導(dǎo)數(shù)與全微分( , )zf x y 若若的的全全微微分分存存在在，則則zzdzdxdyxy（2 2）計算）計算 求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實際上是一元函數(shù)的求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)實際上是

5、一元函數(shù)的微分法問題，對一個變量求導(dǎo)，暫時將其余變微分法問題，對一個變量求導(dǎo)，暫時將其余變量看作常數(shù)量看作常數(shù). . 2 2全微分全微分微分公式微分公式：（三）多元函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在與可微之間的（三）多元函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)存在與可微之間的 關(guān)系關(guān)系 一元函數(shù)：可導(dǎo)一元函數(shù)：可導(dǎo) 函數(shù)可微，函數(shù)可微， 一元函數(shù)：可導(dǎo)一元函數(shù)：可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)， 多元函數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)多元函數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 函數(shù)可微函數(shù)可微 多元函數(shù)連續(xù)多元函數(shù)連續(xù) 函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在。函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在。 函函數(shù)數(shù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)（四）多元函數(shù)微分法（四）多元函數(shù)微分法1多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法（1）鏈?zhǔn)椒?/p>

6、則鏈?zhǔn)椒▌t 鏈?zhǔn)椒▌t的實質(zhì)是函數(shù)必須對中間變鏈?zhǔn)椒▌t的實質(zhì)是函數(shù)必須對中間變量求導(dǎo)。依據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，可按照量求導(dǎo)。依據(jù)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)，可按照“連線相乘，分線相加連線相乘，分線相加”的原則來進行的原則來進行. 設(shè)設(shè)則則 是是 的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù). . ,zf u vux yvx y ,zfx yx yx y 2,zf u v 可可微微， 1,uuvuxyxy若若存存在在，.zzuzvxu xvxzzuzvyuyvy 則則uxzyvxy稱為稱為全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù). . ,zf u vuxvx若若dzz duz dvdxu dxv dx則則uzxv求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵在于弄清求多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)

7、數(shù)的關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu), ,它可用它可用“樹形圖樹形圖”來表示來表示.注意注意： ( ), ( , ),zf u x v x yy 設(shè)設(shè)zf dufvxu dxvx 則則zfvfyvyyzfyy 與與是是不不同同的的. .uxzvy2隱函數(shù)求導(dǎo)法：隱函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)設(shè) 是由方是由方程程所確定的隱函數(shù)，則所確定的隱函數(shù)，則( , )zz x y ( , , )0f x y z ( , , )( , , )yzfx y zzyf x y z ( , , )( , , )xzfx y zzxf x y z 方法方法2 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：方法方法1 對方程兩端求對

8、方程兩端求( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)，然后解出所求導(dǎo)數(shù)，然后解出所求 ( (偏偏) )導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù). .（五）微分法在幾何上的應(yīng)用五）微分法在幾何上的應(yīng)用 ( )( )( )xx tyy tzz tt ，為為參參數(shù)數(shù)0000(,)mxyz0,t則曲線在點則曲線在點 處處切向量切向量為為0m 000,txtytzt 是曲線上一點，其相應(yīng)的參數(shù)為是曲線上一點，其相應(yīng)的參數(shù)為 （1 1）設(shè)空間曲線：）設(shè)空間曲線：1 1空間曲線的切線及法平面空間曲線的切線及法平面曲線在點曲線在點 處的處的切線方程切線方程為為曲線在點曲線在點 處的處的法平面方程法平面方程為為0m000000( )( )( )xxyyzzx ty

9、 tz t 000000( )()( )()( )()0 x txxy tyyz tzz 0m 000,txtytzt 若曲線的方程表示為若曲線的方程表示為 yy xzz x 001,tyxzx 0m 0),(0),(zyxgzyxf則在點則在點 處切向量為處切向量為 000,txtytzt 2曲面的切平面及法線曲面的切平面及法線( , , )0f x y z 0000(,)mxyz為曲面上一點為曲面上一點, ,則曲面在點則曲面在點 處處0m0(,)xyzmnfff 的的法向量法向量為為（1 1）設(shè)曲面方程為（隱函數(shù)形式）設(shè)曲面方程為（隱函數(shù)形式）切平面方程切平面方程為為00000000000

10、0(,)()(,)()(,)()0 xyzfxyzxxfxyzyyf xyzzz 000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzfxyzfxyzf xyz法線方程法線方程為為0(,)xyzmnfff （2）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）若曲面方程為（顯函數(shù)形式）( , )zf x y ( , )0f x yz 曲面上曲面上 點的法向量為點的法向量為0m(, 1)xynff ）（或（或0),( yxfz(,1)xynff （或或）則可寫為隱函數(shù)形式則可寫為隱函數(shù)形式 0(,)xyzmnfff ( , , )0f x y z （六）方向?qū)?shù)與梯度（六）方向?qū)?shù)與梯度0(,)( , )li

11、mff xx yyf x yl 2計算公式：若計算公式：若 可微，則可微，則( , )zf x y cossinffflxy其中其中 為為 軸正向到方向軸正向到方向 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 lx1. 方向?qū)?shù)的定義方向?qū)?shù)的定義注意注意: : 方向?qū)?shù)存在方向?qū)?shù)存在 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 若若 可微可微, ,則則coscoscosuuuulxyz( , , )uf x y z l , 其中其中 為方向為方向 的方向角的方向角. .3. . 梯度：梯度： 設(shè)設(shè) 在平面區(qū)域在平面區(qū)域d內(nèi)具有一階連續(xù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點 ，向量，向量 (,)ffgradfxy ( , )x

12、 y ,zfx y 稱為稱為 在點在點 的梯度。的梯度。 ( , )x y( , )zf x y 梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系： 梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。而它的模為方向?qū)?shù)的最大值。（七）函數(shù)的極值最大值和最小值（七）函數(shù)的極值最大值和最小值0000(,)0,(,)0.xyfxyfxy 這時稱這時稱 為駐點。為駐點。 00,x y若若 在點在點 處有極值，則處有極值，則( , )zf x y 00,xy駐點不一定是極值點駐點不一定是極值點1極值的必要條件：極值的必要條件：是極小值；是極小值；2充分

13、條件：充分條件： 設(shè)設(shè) 在駐點在駐點 的某鄰域內(nèi)有的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，記( , )zf x y 00,xy00(,),xxafxy 00(,),xybfxy 00(,),yycfxy (2) (2) 當(dāng)當(dāng) 時，不是極值；時，不是極值；20acb 0a 0a (1) (1) 當(dāng)當(dāng) 時，時， 是極值是極值; ;20acb 00(,)f xy(3) (3) 當(dāng)當(dāng) 時，不能確定時，不能確定. . 20acb 是極大值；是極大值；3條件極值：條件極值：( , )zf x y ( , )0 x y ( , , )( , )( , )l x yf x yx y 求拉格朗日函數(shù)求

14、拉格朗日函數(shù) 求條件極值的方法：求條件極值的方法： (1) (1) 可將條件代入函數(shù)，轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；可將條件代入函數(shù)，轉(zhuǎn)化為無條件極值問題；的極值的極值. .如函數(shù)如函數(shù)下的極值稱為下的極值稱為條件極值條件極值. .在條件在條件( (2) ) 可以用可以用拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法：4 4函數(shù)的最大值和最小值函數(shù)的最大值和最小值在在實際問題實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定駐點是否是最值點判定駐點是否是最值點. .求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值的法求函數(shù)在有界區(qū)域上的最大值和最小值的法: : 1.求出該函數(shù)在內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在求出該函數(shù)在

15、內(nèi)的所有駐點和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點的函數(shù)值的點的函數(shù)值; 2.求出在的邊界上可能的最大值最小值求出在的邊界上可能的最大值最小值; 3.比較大小，其中最大者就是最大值，最小者比較大小，其中最大者就是最大值，最小者就是就是最小值最小值. .三三 例題分析例題分析（一）求定義域和極限（一）求定義域和極限22( , , )arcsinxyf x y zz 2001cos()(1)lim;()xyxyxy 2200(2) limxyxyxy 2.2.討論極限討論極限1.1. 答案答案: : 221.0zzxy 220 ,zzxy 或或22222200limlim(1)1xxy kxxykxkxykxk (

16、(2) )設(shè)設(shè) 沿直線沿直線 趨近于趨近于(0,0)ykx 故極限不存在故極限不存在. .,uxy2. (1) 令令.21（二）（二） 求偏導(dǎo)數(shù)和全微分求偏導(dǎo)數(shù)和全微分: : 1. 1. 求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分. .2y zux 22ln(sin ).zzxyx y 2.2.設(shè)設(shè)，求求 23.,(1)arcsinyyz x yx exx (1,0).xz 求求1. 1. 求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分求一階偏導(dǎo)數(shù)及全微分. .2y zux 221y zuyzxx 2ln ,y zuxxy 22lny zuzxxz 22221ln2lny zy zy zduyzxdxxxdyzxxdz

17、參考答案參考答案222ln(sin ).zzxyx y . .設(shè)設(shè)，求求22,sinzxxxy 2222 cos.(sin )zxyx yxy 解解 23.,(1)arcsinyyz x yx exx (1,0).xz求求211(1,0)( ,0)() |2xxxdzz xxdx 00(1,0)(1, )() |1yyyydzzyedy y(1,0)z若若求求，則則4.( ,),xzf xfy 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)，2,.zzzxyx y 求求225.cos ,.xydzzeyxdx ，求求6.lnxzzy 22,.zzxx 求求7. 設(shè)設(shè)f( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(

18、,)0,x yfzz d . z求求已知方程已知方程2,.zzzxyx y 求求12221,zzxfffxyyy 2122222321.zxxfffx yyyy 2121()zffx yyy 122211fffyyyy 12122222,ffxxffyyyy 4.( ,),xzf xfy 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)，22cos(2sin2 )xxdzxx edx 225.cos ,.xydzzeyxdx ，求求6.lnxzzy 22,.zzxx 求求22223()(1).()()zzxzzzzxxxxzxz ,zzxxz zxffxz zx 解法解法1 1 利用隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公式利用隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)公

19、式 ( , )zf x y 設(shè)設(shè)是是由由方方程程(,)0 x yfzz zy 212zfxfyf 112zfxfyf dddzzzxyxy11zf 1f 2()xz 2f 2()yz 12zf 確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù),1212(dd )zfxfyxfyf 則則2212()()yxzzff 故故7. 設(shè)設(shè)f( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(,)0,x yfzz d . z求求已知方程已知方程解法解法2(,)0 x yfzz 對方程對方程 兩邊求全微分，得兩邊求全微分，得(,)0 x ydfzz 122211()()0 xyfdxdzfdydzzzzz12122211()0 xyf

20、dxfdyffdzzzzz1212(dd )zdzfxfyxfyf 用全微分形式不變性用全微分形式不變性12()()0 xyfdfdzz即即（三）曲線的切線和法平面、曲面的切平（三）曲線的切線和法平面、曲面的切平面和法線面和法線2.2.作一平面與直線作一平面與直線 垂直且垂直且02320 xyzxyz 2224xyz 與球面與球面 相切相切. .在點在點 處的切線方程及法平面方程處的切線方程及法平面方程. .2226,0 xyzxyz 0(1, 2,1)p 1.1.求曲線求曲線121101xyz 即曲線即曲線 ，( ),( )yy xzz x 01,( ),( )(1,0, 1)pty x z

21、 x （）(1)(1)0 xz法平面方程：法平面方程：切線方程：切線方程：其切向量為其切向量為22260 xyzxyz 解解 方程組方程組 確定隱函數(shù)確定隱函數(shù)在點在點 處的切線方程及法平面方程處的切線方程及法平面方程. .2226,0 xyzxyz0(1, 2,1)p 1.1.求曲線求曲線11112213ijknijk 所求平面的法向量所求平面的法向量2. .作一平面與直線作一平面與直線 垂直且垂直且02320 xyzxyz 與球面與球面 相切相切. .2224xyz 解解20 xyzd 所求平面設(shè)為所求平面設(shè)為設(shè)切點為設(shè)切點為 0000,pxy z方法方法1 120 xyzd 000222

22、0002,211xyzd 22 60 xyz 所求平面：所求平面：由（切）點到原點的距離公式，有由（切）點到原點的距離公式，有 所求平面所求平面2 6d 即即與球面與球面 相切相切. .2224xyz 0000,2,2,2xyzpnf f fxyz 則球面的法向量為則球面的法向量為: :方法方法212nijk 所求平面的法向量所求平面的法向量2. .作一平面與直線作一平面與直線 垂直且垂直且02320 xyzxyz 與球面與球面 相切相切. .2224xyz 0001/,211xyznnt 0001/,211xyznnt 42220666xyz 22 60 xyz即即0002422,6666t

23、xyz 所求方程為所求方程為0002 ,1,xt yt z 即即代入曲面，得代入曲面，得2220002220(,), ,?xyzum xyzabcra b c 求求在在點點處處沿沿點點的的向向徑徑的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)，問問具具有有什什么么關(guān)關(guān)系系時時此此方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)等等于于梯梯度度的的模模解解02220000000,rxy zrxyz（）000000cos,cos,cos.xyzrrrm在在點點處處的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為 coscoscos0mmmmzuyuxuru （四）方向?qū)?shù)和梯度（四）方向?qū)?shù)和梯度000000222000222mx xyyz zurarbrcr )(222222

24、20000czbyaxr 0000222222222002().xyzabcxyz m在在點點處處的的梯梯度度為為mmmmuuugraduijkxyz000222222,xyzijkabc0002224442xyzabcmgradu梯度的模梯度的模由題意：要使方向?qū)?shù)由題意：要使方向?qū)?shù)= =梯度的模，即梯度的模，即0002224442xyzabc0000002222222222()xyzabcxyz 須有須有cba 說明球心在原點的球面上點沿向徑的方向說明球心在原點的球面上點沿向徑的方向?qū)?shù)最大導(dǎo)數(shù)最大. .2224022240 xxyyxz zzyz zz 解解（五）多元函數(shù)的極值和最大、

25、最小值（五）多元函數(shù)的極值和最大、最小值,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 故故 ) 2(0)2(122 zzacb,有有6, 221 zz,當(dāng)當(dāng)21 z時時，041 a,當(dāng)當(dāng)62 z時時，041 a,222.22zxyxyz求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面與與平平面面之之間間的的最最短短距距離離22( , , ),p x y zzxy設(shè)設(shè)為為拋拋物物面面上上任任一一點點 則則22( , , ), ,10226p x y zx y zxyzdxyz本本題題問問題題為為求求一一點點，使使得得滿滿足足且且使使解解122 .6dxyz220,pxyzd到到平平面面的的距距離離為為22

26、1(22) )6dxyz即即最最小小),()22(61),(222yxzzyxzyxf 令令221(22)20,(1)31(22)20,(2)31(22)( 2)0,(3)3,(4)xyzfxyzxfxyzyfxyzzxy 111,.448xyz解解此此方方程程組組得得w1 1 1( ,),4 4 8即即得得唯唯一一駐駐點點1 1 1( ,)4 4 8根根據(jù)據(jù)題題意意距距離離的的最最小小值值一一定定存存在在，且且有有唯唯一一駐駐點點，故故必必在在處處取取得得最最小小值值.647241414161min d 00,0.,0yfx yx yx yxyfx yx y 設(shè)設(shè)均均為為可可微微函函數(shù)數(shù)，且

27、且已已知知是是在在約約束束條條件件下下的的一一個個極極值值點點，正正確確的的是是 1.(06,1.(06,一一) ) 0000000000000000.,0,0.,0,0.,0,0.,0,0 xyxyxyxyafxyfxybfxyfxycfxyfxydfxyfxy 若若則則若若則則若若則則若若則則綜合練習(xí)綜合練習(xí)解解 選選d. . ,0,(2),yyyfx yx yx y 由由 ,0(1),0(2),0 xxxyyyffx yx yffx yx yfx y , ,f x yfx yx y ,0,(1),0,0.xxyfx yx yfx y 令令由由 ，從從而而 ,(1),yxxyfx yx y

28、fx yx y 代代入入得得構(gòu)造拉格朗日函數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)2(03,一一) ,0,0fx y 在在的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù), ,且且 20220,lim1,0,0 xyfx yxyxy 則則點點a.不是極值點；不是極值點； b.極大值點；極大值點；c.極小值點；極小值點； d.無法判斷無法判斷因已知極限是因已知極限是1，而分母，而分母0, 00lim,=0,xyfx yxy ,0,0 ,zfx yzxy表表明明與與在在附附近近無無限限接接近近 0,0.zxya 而而是是馬馬鞍鞍面面在在沒沒有有極極值值, ,故故選選，0,故故必必有有分分子子即即解解 選選a.3（03,三）三） 00,

29、fx yxy可可微微函函數(shù)數(shù)在在取取得得極極小小值值，則下列結(jié)論正確的是（則下列結(jié)論正確的是（ ）. 00,fxyyy 在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).0.0.0.abcd等等于于 ；大大于于 ；小小于于 ；不不存存在在解解 選選a. 因可微函數(shù)必有偏導(dǎo)存在，由極值存在因可微函數(shù)必有偏導(dǎo)存在，由極值存在的必要條件，知的必要條件，知 0000,0,0.yfxyfxyyy 即即在在處處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 22,fx yxy 也也可可用用排排除除法法，取取, ,在在 0,00,0 處處 20,.fyya可可微微且且取取得得極極小小值值, ,有有 , ,可可排排除除其其它它, ,選選( , )zf x y 22d

30、zxdxydy (1,1)2,f ( , )f x y求求22( , )|14ydx yx4.已知函數(shù)已知函數(shù)的全微分的全微分并且并且在橢圓域在橢圓域:上的最大值和最小值上的最大值和最小值.解解 先確定先確定( , ):f x y2 ,2 ,ffxyxy 2( , )( ),f x yxc y 2( )=2 ,( )=,c yyc yyc 且且從從而而22(1,1)2,2,( , )2.fcf x yxy 由由得得故故22( , )2f x yxy0,0ffxy令令，0,0,xy得得駐駐點點 2220 00 00 0222,=02fffabcxx yy （ ，）（ ，）（ ，），240,bac

31、不是極值點，也非最值點不是極值點，也非最值點.)0 , 0(說明最值不在橢圓區(qū)域說明最值不在橢圓區(qū)域 內(nèi)內(nèi).22( , )|14ydx y x 考慮邊界曲線考慮邊界曲線 上的情形：上的情形：2214yx 令拉格朗日函數(shù)為令拉格朗日函數(shù)為22( , )( , )(1)4yl x yf x yx 22(1)0,xflxxx 120,22yfylyyy 2210,4yx 解方程組解方程組 得可能的極值點得可能的極值點. 0, 1; 0, 1; 2, 0; 2, 0 yxyxyxyx可能的極值點可能的極值點函數(shù)值：函數(shù)值：, 3)0 , 1(, 2)2, 0( ff內(nèi)的內(nèi)的最大值為最大值為3，最小值為

32、，最小值為2.可見可見 在區(qū)域在區(qū)域( , )zf x y 22( , )|14ydx yx5. 5. 設(shè)有一小山設(shè)有一小山, ,取它的底面所在的平面為取它的底面所在的平面為 坐標(biāo)面坐標(biāo)面, ,其底部所占的區(qū)域為其底部所占的區(qū)域為 小山的高度函數(shù)為小山的高度函數(shù)為 22( , )75h x yxyxy22( , )|75dx yxyxyxoy 00(,),m xydh x y（1 1）設(shè)設(shè)為為區(qū)區(qū)域域 上上一一點點，問問在在該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大該點沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大? ?若記此方向?qū)?shù)的最大值為若記此方向?qū)?shù)的最大值為 00,.g xy試試寫寫出出的的表表達達式式00

33、(,),g xy(2)(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動, ,為此需要在山為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點腳尋找一上山坡度最大的點作為攀登的起點. .也也就是說就是說, , 需要在需要在dd 的邊界線的邊界線2275xyxy上找出使上找出使(1)(1)中的中的( , )g x y達到最大值的點達到最大值的點, ,試確定試確定涉及到：方向?qū)?shù)、梯度和條件極值等概念涉及到：方向?qū)?shù)、梯度和條件極值等概念攀登起點的位置攀登起點的位置.解解00(,)m xy在在沿梯度沿梯度22( , )75h x yxyxy 000000,22xygradh x yyxixy

34、j 22000000,22g xyxyyx 方向的方向?qū)?shù)最大，為梯度的模，所以方向的方向?qū)?shù)最大，為梯度的模，所以 0000558xyx y由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系，知由方向?qū)?shù)與梯度之間的關(guān)系，知下的最大值點下的最大值點. .由拉格朗日乘數(shù)法，令由拉格朗日乘數(shù)法，令 222,558fx ygx yxyxy 2275xyxy 2222, ,55875,l x yxyxyxyxy 221082011082027503xylxyyxlyxxylxyxy （2）令）令則則則只須求則只須求在約束條件在約束條件( , )f x y于是得到四個可能極值點：于是得到四個可能極值點：則由（則由（3）式得）

35、式得則由（則由（1）式得）式得再由（再由（3）式得）式得 20,xy yx 5 3,5 3xy 5,5,xy 12345 3,5 3 ,5 3, 5 3 ,5, 5 ,5,5mmmm 1234150,50,fmfmfmfm 式式(1)+(2),得得2 ，若若,yx 若若由于由于1m2m 故故或或可作為攀登起點可作為攀登起點.2yx 即即或或1.sin ,.uzzzevuxy vxyxy設(shè)設(shè)求求 22.,sin,.dzzfxxdx 設(shè)設(shè)求求 223.,.zzzfxyxy設(shè)設(shè)，求求 2324., ,sin ,.xyzuuuf x y zezxyxy 設(shè)設(shè)求求5. 5. 設(shè)設(shè) 具有二階偏導(dǎo)數(shù)具有二階

36、偏導(dǎo)數(shù), , ,zfxy xyf2,.zzxx y 求求多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)例題多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)例題參考答案參考答案：sin ,.uzzzevuxy vxyxy sin ,cos ,1.sincos1sincosuuuuxyzzuvevevyuvxxzzuzvev yevxu xvxeyxyxy sincosxyzexxyxyy 同理同理, ,解解例例1 1設(shè)設(shè) 求求例例2 2 設(shè)設(shè) 求求 2,sin,.dzzfxxdx 2,sin ,uxvx解解2cos .uvdzz duz dvfxfxdxu dxv dx冪指函數(shù)冪指函數(shù) ,vzu uu xvv x11lnlnvvvvdzdudvvuuu

37、vuuuu vdxdxdx sin0 xzxx sin1sinsinlnsinxxzx xxxxx 可與對數(shù)求導(dǎo)法對比可與對數(shù)求導(dǎo)法對比. .sinsin(lncos )xxxxxxsin1sinsinlncosxxx xxxx 例例 冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式冪指函數(shù)的求導(dǎo)公式: :將冪指函數(shù)當(dāng)作冪函數(shù)將冪指函數(shù)當(dāng)作冪函數(shù)求導(dǎo)加上將冪指函數(shù)當(dāng)作指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)求導(dǎo)加上將冪指函數(shù)當(dāng)作指數(shù)函數(shù)求導(dǎo). .例例4 4 設(shè)設(shè) 22,.zzzfxyxy ，求求xzuy 2222zdzufuxxfxyxdu x 22,uxyzf u解解 設(shè)設(shè) 則則 222.zdzuyfxyydu y 例例5 5 設(shè)設(shè) 求求 232, ,sin ,.xyzuuuf x y zezxyxy uffzuffzxxzxyyzy ，232323,