高等數(shù)學(xué)PPT邱茂路1

1、 有人說(shuō)，極限的思想是微積分的靈魂。這句話形象地表明了極限概念的重要性。微積分的大多數(shù)概念和運(yùn)算，就是建立在極限概念的基礎(chǔ)上。如果在微分和積分的過(guò)程中，你見(jiàn)不到極限，那是因?yàn)樵谟脴O限建立起概念和運(yùn)算的規(guī)則后，我們便沉浸在這些概念和規(guī)則之中，而忘記了它們本質(zhì)上來(lái)自于極限概念。 本章主要介紹極限的概念和計(jì)算。理解極限概念，靈活的運(yùn)用各種方法計(jì)算極限是本章的重點(diǎn)。 函數(shù)的極限要研究：隨著自變量的變化，函數(shù)的變化趨勢(shì)。 自變量的變化方式有六種，分別是： xxxxxxxxx,000其中： 表示x從x0的兩側(cè)趨于x0 ，讀作“當(dāng)x趨于x0”； 0 xx 表示x從x0的右側(cè)趨于x0，讀作“當(dāng)x趨于x0右”；

2、 0 xx0 xx表示x從x0的左側(cè)趨于x0，讀作“當(dāng)x趨于x0左”。 相應(yīng)的，函數(shù)的極限也就有六種情況。我們重點(diǎn)介紹兩種情況，其余情況只作簡(jiǎn)單介紹。 xx0時(shí)函數(shù)f (x)的極限表示，隨著x無(wú)限趨于x0，函數(shù)f (x)的變化趨勢(shì)。 若隨著x無(wú)限趨于x0，f (x)無(wú)限趨于常數(shù)a (見(jiàn)圖2.1-1)， 圖2.1-1)(xfx0 xxx)(xfayaxfxx)(,0時(shí)當(dāng)o則稱當(dāng)x趨于x0時(shí)，f (x)的極限是a，記為 當(dāng)x x0，f (x)a 或 axfxx)(lim0上式中的lim是英語(yǔ)limit(極限)一詞的縮寫(xiě)。上式讀作 “當(dāng)x趨于x0時(shí)，f (x)的極限是a”。 , 求 。22)(2xx

3、f)(lim2xfx1022lim)(lim222xxfxx, 求 。xxfsin)()(lim0 xfx0sinlim)(lim00 xxfxx, 求 。cxf)()(lim2xfxccxfxx22lim)(lim,見(jiàn)圖2.1-2。 x2x圖2.1-2xycxf)(o 以后，對(duì)于函數(shù)的極限，我們不再先寫(xiě)出函數(shù)是什么，然后再寫(xiě)出極限式，而是直接在極限符號(hào)右邊，寫(xiě)上函數(shù)的表達(dá)式。 例如， 表示當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f (x) = 2x2 + 2的極限。 22lim22xx 當(dāng)x從x0的右側(cè)趨于x0時(shí)，若f (x)無(wú)限趨于常數(shù)a(見(jiàn)圖2.1-3)，稱f (x)在x0處的右極限為a，記為 或 f (x0+0

4、) = a axfxx)(lim00 xx圖2.1-3xy)(xfa處的右極限在0)(xxfo 將定義2.1.2中的“右”改為“左”就給出左極限的定義(見(jiàn)圖2.1-4)。f (x)在x0處的左極限記為 或 f (x0-0) )(lim0 xfxx0 xx圖2.1-4xy)(xfa處的左極限在0)(xxfo這樣，函數(shù)在一點(diǎn)x0處的極限就有三種情況： x從右側(cè)趨于x0(見(jiàn)圖2.1-3)，x從左側(cè)趨于x0(見(jiàn)圖2.1-4)，x從x0 兩側(cè)以任意方式趨于x0(見(jiàn)圖2.1-1)。 下述定理指出了三種情況的關(guān)系。 )(lim)(lim).3()(lim).2()(lim).1 ()(lim00000 xf

5、xfxfxfxfxxxxxxxxxx存在存在存在即，函數(shù)在x0處極限存在的充要條件是： 左極限存在，右極限存在，并且左右極限相等。 當(dāng)函數(shù)在x0處兩側(cè)性態(tài)不一樣，或表達(dá)式不一樣，通常用上述定理確定函數(shù)在x0處的極限。 , 求 。111)(2xxxxxf)(lim1xfx1)(lim,2)(lim11xfxfxx。所以 不存在。 )(lim1xfxx圖2.1-5y1212xo見(jiàn)圖2.1-5。 , 求 。00sin)(2xxxxxf)(lim0 xfx0sinlim)00(0 xfx0lim)00(20 xfx0)00()00(ff 0)(lim0 xfxx時(shí)函數(shù)f (x)的極限就是： 隨著| x

6、 | 無(wú)限變大，函數(shù)f (x)的變化趨勢(shì)。 若隨著 | x | 無(wú)限變大，f (x)無(wú)限趨于常數(shù)a，見(jiàn)圖2.1-6。 則稱當(dāng)時(shí)，f (x)的極限是a，記為 當(dāng)，f (x)a 或 axfx)(lim圖2.1-6xxf11)(, 求 。)(limxfx111lim)(limxxfxx。見(jiàn)圖2.1-6。 , 求 。)(limxfx2415)(xxf。5415lim)(lim2xxfxx圖2.1-7見(jiàn)圖2.1-7。 類似的，當(dāng)x朝正方向無(wú)限變大時(shí)，若f (x)無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱當(dāng)時(shí)，f (x)的極限是a，記為 當(dāng)x朝著負(fù)方向無(wú)限變大時(shí), 若f (x)無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱當(dāng)時(shí)，f (x)的極限是a

7、，記為 axfx)(limaxfx)(lim設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為 y (n) = f (n) 數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)。當(dāng)函數(shù)的自變量是正整數(shù)時(shí)，人們習(xí)慣于把自變量n寫(xiě)成下標(biāo)，即 yn = f (n) 例如，nnnyny21,2 對(duì)于數(shù)列，自變量n的變化方式只有一種，即n+，但人們習(xí)慣于記成n，由于沒(méi)有其它情況，這樣記也不會(huì)產(chǎn)生混亂。 01lim2nn212lim2nn 函數(shù)(包括數(shù)列)的變化趨勢(shì)，有兩種重要情況，一是趨于0，趨于0 的量叫無(wú)窮小量；一是趨于，趨于 的量叫無(wú)窮大量。對(duì)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的分析，將給極限的計(jì)算帶來(lái)方便。 若 0)(lim0 xfxx則稱當(dāng)x x0時(shí)，f

8、 (x)為無(wú)窮小量,即：極限為0的量叫無(wú)窮小量。 對(duì)于自變量的其它幾種變化過(guò)程，可類似地?cái)⑹錾鲜龆x。 例如： 注1對(duì)于函數(shù)f (x) 0，由于在自變量的任何變化過(guò)程中，都有l(wèi)im0=0，所以，在任何變化過(guò)程中，都可以看作是無(wú)窮小量。 01limnn為無(wú)窮小量時(shí)當(dāng)nn1,0sinlim0 xx為無(wú)窮小量時(shí)當(dāng)xxsin,00lim10 xxe為無(wú)窮小量時(shí)當(dāng)xex1,0 注2說(shuō)一個(gè)變量f(x)是無(wú)窮小量，必須指明自變量的變化過(guò)程，不指明自變量的變化過(guò)程，而說(shuō)f (x)為無(wú)窮小量，是沒(méi)有意義的。 例如： ,0limxxe 當(dāng)x-時(shí)ex為無(wú)窮小量； ,limxxe 當(dāng)x+時(shí)ex為無(wú)窮大量。 若只說(shuō)“e

9、x為無(wú)窮小量”，顯然是沒(méi)有意義的。 無(wú)窮大量的概念將在下面2.2.3段中給出。 無(wú)窮小量有下述定理所說(shuō)的運(yùn)算性質(zhì)： (1). 有限個(gè)無(wú)窮小量的和，仍是無(wú)窮小量； (2). 有限個(gè)無(wú)窮小量的積，仍是無(wú)窮小量； (3). 有界量與無(wú)窮小量的積，仍是無(wú)窮小量。 注意：限定詞“有限個(gè)”是必須有的，不能去掉，沒(méi)有了“有限個(gè)”這個(gè)限定詞，結(jié)論一般不成立。 設(shè) 0)(lim,0)(lim00 xgxfxxxx,即當(dāng)x x0時(shí),f (x),g (x)都是無(wú)窮小量 若 0)()(lim0 xgxfxx稱：當(dāng)x x0時(shí)，f (x)是比g (x)高階的無(wú)窮小量， 記成 f (x) = o ( g (x) ) (當(dāng)x

10、 x0) 通常也順序讀作：f (x) 等于小歐g (x)。 若 cxgxfxx)()(lim0稱：當(dāng)x x0時(shí)，f (x)是與g (x)同階的無(wú)窮小量。 記作 f (x) = o(g(x) ) ( xx0 ) 讀作“f (x) 等于大歐g (x)”。 若 稱：當(dāng)x x0時(shí)，f (x)是與g (x)等價(jià)的無(wú)窮小量。 記作 f (x) g(x) (當(dāng)x x0)。 例如：因?yàn)?所以當(dāng)x x0時(shí)，x3是比x2高階的無(wú)窮小量。 因?yàn)?所以當(dāng)x0時(shí)，4x2 + x3是與x2為等價(jià)的無(wú)窮小量。 1)()(lim0 xgxfxx0lim230 xxx14lim2420 xxxx當(dāng)x x0，若f (x)的絕對(duì)值

11、 | f (x) | 可以無(wú)限變大，稱 當(dāng)x x0時(shí)，f (x)為無(wú)窮大量，記作 )(lim0 xfxx見(jiàn)圖2.2-1、圖2.2-2。 0 xx圖2.2-2yo0 xx圖2.2-1yo 注意：注意：上式不能說(shuō)成是“f (x)的極限是”，因?yàn)楹瘮?shù)的極限總是指“一個(gè)數(shù)”，而不是一個(gè)數(shù)。當(dāng)x x0，| f (x) | ，是極限不存在的一種情況。 類似地可說(shuō) 以及自變量的其它幾種變化過(guò)程的情況。 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx無(wú)窮大量有如下運(yùn)算性質(zhì)： (1). 兩個(gè)正無(wú)窮大量的和，仍為正無(wú)窮大量； (2). 兩個(gè)負(fù)無(wú)窮大量的和，仍為負(fù)無(wú)窮大量。 但不能說(shuō)： 兩個(gè)無(wú)窮大量的和，仍為無(wú)窮大量

12、 例如,當(dāng)兩個(gè)無(wú)窮大量的方向相反,其和可能不再是無(wú)窮大量。 例如， ,1)(22xxxf2)(xxg當(dāng)x時(shí)，f (x)與g(x)都為無(wú)窮大量， 但 f (x) + g(x) 卻為無(wú)窮小量。 (3). 兩個(gè)無(wú)窮大量的積仍為無(wú)窮大量。 下述兩條定理，是常用得到的，其結(jié)論也很自然。 無(wú)窮大量的倒數(shù)，是無(wú)窮小量； 無(wú)窮小量的倒數(shù)，是無(wú)窮大量。 0)(lim)(lim00axfaxfxxxx符號(hào)“”讀作“當(dāng)且僅當(dāng)”。 于是，若 ,)(lim0axfxx則 f (x) = a + 其中， = f (x) a(當(dāng)x x0時(shí))為無(wú)窮小量。 利用這一性質(zhì)分析極限，有些情況下是很方便的。 極限的計(jì)算是微積分的基本

13、技能。極限計(jì)算有很多方法和技巧，應(yīng)該注意不斷地總結(jié)和歸納，以不斷提高極限計(jì)算的能力。 下述定理給出了極限的四則運(yùn)算法則： 設(shè) )(lim,)(lim00 xgxfxxxx兩個(gè)極限存在， 則：(1). )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx(2). )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx(3). 當(dāng) 0)(lim0 xgxx)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx證：只證明第(2)條，其余兩條可類似證明。 = 0 設(shè) 要證 ,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxxabxgxfxx)()(lim0

14、只需證 。這由下面的推導(dǎo)可見(jiàn)。 0)()(lim0abxgxfxxabxgxfxx)()(lim0abxgaxgaxgxfxx)()()()(lim0bxgaxgaxfxx)()()(lim0證畢 在使用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，應(yīng)注意其使用的條件，那就是 都存在，以及商的極限中， 。忽視, )(lim0 xfxx)(lim0 xgxx0)(lim0 xgxx了這些條件，計(jì)算就可能出問(wèn)題。在這些條件都滿足的前提下，這個(gè)定理可簡(jiǎn)單地說(shuō)成： 和、差、積、商的極限，等于極限的和、差、積、商 利用這些法則，可把較復(fù)雜的函數(shù)的極限，化為一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的極限。 例例2.3.1求極限 .42lim22xxx42

15、lim22xxx)2)(2(2lim2xxxx21lim2xx41例例2.3.2求極限 46lim222xxxx46lim222xxxx)2)(2()3)(2(lim2xxxxx23lim2xxx45例例2.3.3求極限 321lim3xxx321xx)21)(3()21)(21(lim3xxxxx)21)(3(3lim3xxxx211lim3xx41例例2.3.2求極限 xxxx214lim2xxxx214lim2xxxxxxxx214)214)(214(lim222xxxxxx214414lim222xxxx2141lim22141lim2xx41若 (1)g(x) f (x) h(x)

16、(2)g(x) a，h(x) a (當(dāng)x+ ) 則f (x) a (當(dāng)x +) 在幾何上，定理所闡述的事實(shí)幾乎是顯然的。見(jiàn)圖2.3-1。 xy圖2.3-1xa)(xh)(xf)(xgo在自變量的其它變化方式下，定理的結(jié)論仍然成立。例如 若 (1)g(x) f (x) h(x) (2)g(x) a，h(x) a (當(dāng)xx0) 則 f (x) a (當(dāng)xx0) 兩邊夾定理的使用方法：用簡(jiǎn)單夾復(fù)雜。 記 f (n) = 例例2.3.5)12111(lim222nnnnn求nnnn22212111找兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)夾住f (n)。 將f (n)中每一項(xiàng)根號(hào)下變化著的數(shù)字1,2,3,n 都看作n，f (n

17、)被縮小，即有 f (n) nnnnnn222111nnn2 將f (n)中每一項(xiàng)根號(hào)下變化著的數(shù)字1, 2, 3, n 都看作1，f (n)被放大，即有 f (n) 111111222nnn12nn于是有 由兩邊夾定理, 有 使用兩邊夾定理求極限，技巧比較高，但你也不必為此擔(dān)心，我們只是在2.4中用一下這個(gè)定理，在之后的內(nèi)容中，再?zèng)]有使用這個(gè)定理。 nnn2 f (n) 12nn而當(dāng)n時(shí)，有 ,12 nnn112nn1)12111(lim222nnnnn兩個(gè)重要極限是指： 1sinlim0 xxx 之所以是兩個(gè)重要極限，是因?yàn)楹枚鄻O限，都可化歸到這兩個(gè)極限上來(lái)計(jì)算。 exxxxxx11lim

18、,1sinlim0對(duì)于函數(shù) xxxfsin)(,當(dāng)x 0時(shí),分子、分母都趨于0,四則運(yùn)算法則不適用。以下采取兩邊夾的處理方法，也就是找兩個(gè)函數(shù)h(x),g(x)，把 xxsin夾起來(lái)，即 )(sin)(xgxxxh若有h(x)1，g(x)1，則也有 1sinxx由于f (x)是偶函數(shù)，只須考慮x 0的情況。 在圖2.4-1所示的單位圓上，有 aocaobaobsss扇(1) oxabc圖2.4-1xyds表示面積。注意圓的半徑oa為1，xdboasaobsin2121xxoasaob21)(212扇xacoasaoctan2121代入(1)式，有 由兩邊夾定理有 xxxtan2121sin21

19、兩邊同除以 xsin21xxxcos1sin1 1sincosxxx而 1coslim,11lim00 xxx1sinlim0 xxx(2) 一般的，若當(dāng)時(shí)，有，則有 )()(sinlim0 xxxx1)()(sinlim0)(xxx(3) 這只要將 (x)看作(2)式中的x，即見(jiàn)上式第二個(gè)等號(hào)成立。由此，我們得到比(2)式更為一般的公式： 1)()(sinlim0 xxxx注：注：這式子表示， 。 0)(,)()(sinxxx當(dāng) 從現(xiàn)在開(kāi)始，要注意記住一些等價(jià)無(wú)窮小量，因?yàn)楹竺嬉榻B利用等價(jià)無(wú)窮小量替換求極限的方法。等價(jià)無(wú)窮小量記住的越多，極限計(jì)算越靈活。 例例2.3.2求極限 xxxtan

20、lim000tanlim0 xxx1sincos1lim0 xxxx(此例說(shuō)明：tan xx，當(dāng)x0。一般的tan(x)(x)，當(dāng)(x)0) 例例2.4.2求極限 2cos1lim20 xxx2cos1lim20 xxx22sin2lim220 xxx2022sinlimxxx10,2cos1:2xxx當(dāng)請(qǐng)記住例例2.4.3求極限 xxxarctanlim0令 arctanx = t，則 x = tant，且當(dāng) x0 時(shí)，t0。 xxxarctanlim0ttttanlim01(請(qǐng)記住：arctan x x,當(dāng)x0) exxx11lim 這個(gè)極限的證明很復(fù)雜，需要較多的技巧，我們只要熟記這個(gè)式

21、子，會(huì)用就行了。 一般地，有 exxx)()()(11limexxx)(1)(1lim0)(注意這一重要極限的特點(diǎn)： 底數(shù)為1+0的形式(這里0表示無(wú)窮小量)，指數(shù)為(無(wú)窮大量)；重要的是，底數(shù)1+0的無(wú)窮小部分，與指數(shù)部分互為倒數(shù)。 清楚了這些之后，我們便可用下述易記憶的說(shuō)法，來(lái)表述利用這一重要極限求極限的過(guò)程，即： 底是1+ 0， 其中：前兩句說(shuō)的是“識(shí)別” 確定所求極限可否用第二個(gè)重要極限計(jì)算；第三句說(shuō)的是使用重要極限公式的“條件”；第四句指出，當(dāng)這一條件不滿足時(shí)，我們需要做的事情。 指數(shù)是， 指、底互為倒(指與底的無(wú)窮小部分互為倒數(shù))， 不倒湊其成。 例例2.4.4求極限 xxxa1l

22、imxxxa1limaaxxxa1limae例例2.4.5求極限 xxx21lim0 xxx21lim0 xxx10)21 (limxxxxx2210)21 (lim2 e例例2.4.6求極限 xxaxax2limxxaxax2limxxaxa221limxaxaaaxxaxa22221limaaxxaaxxaxa22221limae4例例2.4.7求極限 xxx) 1ln(lim0 xxx) 1ln(lim0 xxx10)1ln(limeln1(請(qǐng)記?。簂n(1+x)x,當(dāng)x0,一般的ln(1+(x)(x),當(dāng)(x)0) 例例2.4.8求極限 110)31 (limxxx110)31 (li

23、mxxx110)31 ()31 (limxxxxxxxxx3310)31 (lim3 e 在極限計(jì)算中，可用等價(jià)無(wú)窮小量替換極限式中分子或分母上的與其等價(jià)的因子，道理是很簡(jiǎn)單的。 設(shè)要計(jì)算極限 )()()()(lim0 xxgxxfxx假若知道 (x) (x)， (x) (x)，則 )( 1)()( )( )( )()()(lim)()()()(lim00 xxxxxxxgxfxxgxxfxxxx)( )()( )(lim0 xxgxxfxx 于是， 就被 ， 所替換。當(dāng) ， 比， 形式簡(jiǎn)單，這種替換會(huì)簡(jiǎn)化極限的計(jì)算。 上述推導(dǎo)中，第一步是恒等變形，第二步用到條件 注意，只能替換與其等價(jià)的無(wú)窮小量因子。 ,1)( )(lim0 xxxx1)()( lim0 xxxx例例2.5.1 求極限 xxx2sin3tanlim0 xxx2sin3tanlim0 xxx23lim0230,22sin,