高等數(shù)學PPT邱茂路1

1、 有人說，極限的思想是微積分的靈魂。這句話形象地表明了極限概念的重要性。微積分的大多數(shù)概念和運算，就是建立在極限概念的基礎上。如果在微分和積分的過程中，你見不到極限，那是因為在用極限建立起概念和運算的規(guī)則后，我們便沉浸在這些概念和規(guī)則之中，而忘記了它們本質上來自于極限概念。 本章主要介紹極限的概念和計算。理解極限概念，靈活的運用各種方法計算極限是本章的重點。 函數(shù)的極限要研究：隨著自變量的變化，函數(shù)的變化趨勢。 自變量的變化方式有六種，分別是： xxxxxxxxx,000其中： 表示x從x0的兩側趨于x0 ，讀作“當x趨于x0”； 0 xx 表示x從x0的右側趨于x0，讀作“當x趨于x0右”；

2、 0 xx0 xx表示x從x0的左側趨于x0，讀作“當x趨于x0左”。 相應的，函數(shù)的極限也就有六種情況。我們重點介紹兩種情況，其余情況只作簡單介紹。 xx0時函數(shù)f (x)的極限表示，隨著x無限趨于x0，函數(shù)f (x)的變化趨勢。 若隨著x無限趨于x0，f (x)無限趨于常數(shù)a (見圖2.1-1)， 圖2.1-1)(xfx0 xxx)(xfayaxfxx)(,0時當o則稱當x趨于x0時，f (x)的極限是a，記為 當x x0，f (x)a 或 axfxx)(lim0上式中的lim是英語limit(極限)一詞的縮寫。上式讀作 “當x趨于x0時，f (x)的極限是a”。 , 求 。22)(2xx

3、f)(lim2xfx1022lim)(lim222xxfxx, 求 。xxfsin)()(lim0 xfx0sinlim)(lim00 xxfxx, 求 。cxf)()(lim2xfxccxfxx22lim)(lim,見圖2.1-2。 x2x圖2.1-2xycxf)(o 以后，對于函數(shù)的極限，我們不再先寫出函數(shù)是什么，然后再寫出極限式，而是直接在極限符號右邊，寫上函數(shù)的表達式。 例如， 表示當x2時，函數(shù)f (x) = 2x2 + 2的極限。 22lim22xx 當x從x0的右側趨于x0時，若f (x)無限趨于常數(shù)a(見圖2.1-3)，稱f (x)在x0處的右極限為a，記為 或 f (x0+0

4、) = a axfxx)(lim00 xx圖2.1-3xy)(xfa處的右極限在0)(xxfo 將定義2.1.2中的“右”改為“左”就給出左極限的定義(見圖2.1-4)。f (x)在x0處的左極限記為 或 f (x0-0) )(lim0 xfxx0 xx圖2.1-4xy)(xfa處的左極限在0)(xxfo這樣，函數(shù)在一點x0處的極限就有三種情況： x從右側趨于x0(見圖2.1-3)，x從左側趨于x0(見圖2.1-4)，x從x0 兩側以任意方式趨于x0(見圖2.1-1)。 下述定理指出了三種情況的關系。 )(lim)(lim).3()(lim).2()(lim).1 ()(lim00000 xf

5、xfxfxfxfxxxxxxxxxx存在存在存在即，函數(shù)在x0處極限存在的充要條件是： 左極限存在，右極限存在，并且左右極限相等。 當函數(shù)在x0處兩側性態(tài)不一樣，或表達式不一樣，通常用上述定理確定函數(shù)在x0處的極限。 , 求 。111)(2xxxxxf)(lim1xfx1)(lim,2)(lim11xfxfxx。所以 不存在。 )(lim1xfxx圖2.1-5y1212xo見圖2.1-5。 , 求 。00sin)(2xxxxxf)(lim0 xfx0sinlim)00(0 xfx0lim)00(20 xfx0)00()00(ff 0)(lim0 xfxx時函數(shù)f (x)的極限就是： 隨著| x

6、 | 無限變大，函數(shù)f (x)的變化趨勢。 若隨著 | x | 無限變大，f (x)無限趨于常數(shù)a，見圖2.1-6。 則稱當時，f (x)的極限是a，記為 當，f (x)a 或 axfx)(lim圖2.1-6xxf11)(, 求 。)(limxfx111lim)(limxxfxx。見圖2.1-6。 , 求 。)(limxfx2415)(xxf。5415lim)(lim2xxfxx圖2.1-7見圖2.1-7。 類似的，當x朝正方向無限變大時，若f (x)無限接近于常數(shù)a，則稱當時，f (x)的極限是a，記為 當x朝著負方向無限變大時, 若f (x)無限接近于常數(shù)a，則稱當時，f (x)的極限是a

7、，記為 axfx)(limaxfx)(lim設數(shù)列的通項公式為 y (n) = f (n) 數(shù)列可以看作是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù)。當函數(shù)的自變量是正整數(shù)時，人們習慣于把自變量n寫成下標，即 yn = f (n) 例如，nnnyny21,2 對于數(shù)列，自變量n的變化方式只有一種，即n+，但人們習慣于記成n，由于沒有其它情況，這樣記也不會產(chǎn)生混亂。 01lim2nn212lim2nn 函數(shù)(包括數(shù)列)的變化趨勢，有兩種重要情況，一是趨于0，趨于0 的量叫無窮小量；一是趨于，趨于 的量叫無窮大量。對無窮小量和無窮大量的分析，將給極限的計算帶來方便。 若 0)(lim0 xfxx則稱當x x0時，f

8、 (x)為無窮小量,即：極限為0的量叫無窮小量。 對于自變量的其它幾種變化過程，可類似地敘述上述定義。 例如： 注1對于函數(shù)f (x) 0，由于在自變量的任何變化過程中，都有l(wèi)im0=0，所以，在任何變化過程中，都可以看作是無窮小量。 01limnn為無窮小量時當nn1,0sinlim0 xx為無窮小量時當xxsin,00lim10 xxe為無窮小量時當xex1,0 注2說一個變量f(x)是無窮小量，必須指明自變量的變化過程，不指明自變量的變化過程，而說f (x)為無窮小量，是沒有意義的。 例如： ,0limxxe 當x-時ex為無窮小量； ,limxxe 當x+時ex為無窮大量。 若只說“e

9、x為無窮小量”，顯然是沒有意義的。 無窮大量的概念將在下面2.2.3段中給出。 無窮小量有下述定理所說的運算性質： (1). 有限個無窮小量的和，仍是無窮小量； (2). 有限個無窮小量的積，仍是無窮小量； (3). 有界量與無窮小量的積，仍是無窮小量。 注意：限定詞“有限個”是必須有的，不能去掉，沒有了“有限個”這個限定詞，結論一般不成立。 設 0)(lim,0)(lim00 xgxfxxxx,即當x x0時,f (x),g (x)都是無窮小量 若 0)()(lim0 xgxfxx稱：當x x0時，f (x)是比g (x)高階的無窮小量， 記成 f (x) = o ( g (x) ) (當x

10、 x0) 通常也順序讀作：f (x) 等于小歐g (x)。 若 cxgxfxx)()(lim0稱：當x x0時，f (x)是與g (x)同階的無窮小量。 記作 f (x) = o(g(x) ) ( xx0 ) 讀作“f (x) 等于大歐g (x)”。 若 稱：當x x0時，f (x)是與g (x)等價的無窮小量。 記作 f (x) g(x) (當x x0)。 例如：因為 所以當x x0時，x3是比x2高階的無窮小量。 因為 所以當x0時，4x2 + x3是與x2為等價的無窮小量。 1)()(lim0 xgxfxx0lim230 xxx14lim2420 xxxx當x x0，若f (x)的絕對值

11、 | f (x) | 可以無限變大，稱 當x x0時，f (x)為無窮大量，記作 )(lim0 xfxx見圖2.2-1、圖2.2-2。 0 xx圖2.2-2yo0 xx圖2.2-1yo 注意：注意：上式不能說成是“f (x)的極限是”，因為函數(shù)的極限總是指“一個數(shù)”，而不是一個數(shù)。當x x0，| f (x) | ，是極限不存在的一種情況。 類似地可說 以及自變量的其它幾種變化過程的情況。 )(lim0 xfxx)(lim0 xfxx無窮大量有如下運算性質： (1). 兩個正無窮大量的和，仍為正無窮大量； (2). 兩個負無窮大量的和，仍為負無窮大量。 但不能說： 兩個無窮大量的和，仍為無窮大量

12、 例如,當兩個無窮大量的方向相反,其和可能不再是無窮大量。 例如， ,1)(22xxxf2)(xxg當x時，f (x)與g(x)都為無窮大量， 但 f (x) + g(x) 卻為無窮小量。 (3). 兩個無窮大量的積仍為無窮大量。 下述兩條定理，是常用得到的，其結論也很自然。 無窮大量的倒數(shù)，是無窮小量； 無窮小量的倒數(shù)，是無窮大量。 0)(lim)(lim00axfaxfxxxx符號“”讀作“當且僅當”。 于是，若 ,)(lim0axfxx則 f (x) = a + 其中， = f (x) a(當x x0時)為無窮小量。 利用這一性質分析極限，有些情況下是很方便的。 極限的計算是微積分的基本

13、技能。極限計算有很多方法和技巧，應該注意不斷地總結和歸納，以不斷提高極限計算的能力。 下述定理給出了極限的四則運算法則： 設 )(lim,)(lim00 xgxfxxxx兩個極限存在， 則：(1). )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx(2). )(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx(3). 當 0)(lim0 xgxx)(lim)(lim)()(lim000 xgxfxgxfxxxxxx證：只證明第(2)條，其余兩條可類似證明。 = 0 設 要證 ,)(lim,)(lim00bxgaxfxxxxabxgxfxx)()(lim0

14、只需證 。這由下面的推導可見。 0)()(lim0abxgxfxxabxgxfxx)()(lim0abxgaxgaxgxfxx)()()()(lim0bxgaxgaxfxx)()()(lim0證畢 在使用極限的四則運算法則時，應注意其使用的條件，那就是 都存在，以及商的極限中， 。忽視, )(lim0 xfxx)(lim0 xgxx0)(lim0 xgxx了這些條件，計算就可能出問題。在這些條件都滿足的前提下，這個定理可簡單地說成： 和、差、積、商的極限，等于極限的和、差、積、商 利用這些法則，可把較復雜的函數(shù)的極限，化為一些簡單的函數(shù)的極限。 例例2.3.1求極限 .42lim22xxx42

15、lim22xxx)2)(2(2lim2xxxx21lim2xx41例例2.3.2求極限 46lim222xxxx46lim222xxxx)2)(2()3)(2(lim2xxxxx23lim2xxx45例例2.3.3求極限 321lim3xxx321xx)21)(3()21)(21(lim3xxxxx)21)(3(3lim3xxxx211lim3xx41例例2.3.2求極限 xxxx214lim2xxxx214lim2xxxxxxxx214)214)(214(lim222xxxxxx214414lim222xxxx2141lim22141lim2xx41若 (1)g(x) f (x) h(x)

16、(2)g(x) a，h(x) a (當x+ ) 則f (x) a (當x +) 在幾何上，定理所闡述的事實幾乎是顯然的。見圖2.3-1。 xy圖2.3-1xa)(xh)(xf)(xgo在自變量的其它變化方式下，定理的結論仍然成立。例如 若 (1)g(x) f (x) h(x) (2)g(x) a，h(x) a (當xx0) 則 f (x) a (當xx0) 兩邊夾定理的使用方法：用簡單夾復雜。 記 f (n) = 例例2.3.5)12111(lim222nnnnn求nnnn22212111找兩個簡單的函數(shù)夾住f (n)。 將f (n)中每一項根號下變化著的數(shù)字1,2,3,n 都看作n，f (n

17、)被縮小，即有 f (n) nnnnnn222111nnn2 將f (n)中每一項根號下變化著的數(shù)字1, 2, 3, n 都看作1，f (n)被放大，即有 f (n) 111111222nnn12nn于是有 由兩邊夾定理, 有 使用兩邊夾定理求極限，技巧比較高，但你也不必為此擔心，我們只是在2.4中用一下這個定理，在之后的內(nèi)容中，再沒有使用這個定理。 nnn2 f (n) 12nn而當n時，有 ,12 nnn112nn1)12111(lim222nnnnn兩個重要極限是指： 1sinlim0 xxx 之所以是兩個重要極限，是因為好多極限，都可化歸到這兩個極限上來計算。 exxxxxx11lim

18、,1sinlim0對于函數(shù) xxxfsin)(,當x 0時,分子、分母都趨于0,四則運算法則不適用。以下采取兩邊夾的處理方法，也就是找兩個函數(shù)h(x),g(x)，把 xxsin夾起來，即 )(sin)(xgxxxh若有h(x)1，g(x)1，則也有 1sinxx由于f (x)是偶函數(shù)，只須考慮x 0的情況。 在圖2.4-1所示的單位圓上，有 aocaobaobsss扇(1) oxabc圖2.4-1xyds表示面積。注意圓的半徑oa為1，xdboasaobsin2121xxoasaob21)(212扇xacoasaoctan2121代入(1)式，有 由兩邊夾定理有 xxxtan2121sin21

19、兩邊同除以 xsin21xxxcos1sin1 1sincosxxx而 1coslim,11lim00 xxx1sinlim0 xxx(2) 一般的，若當時，有，則有 )()(sinlim0 xxxx1)()(sinlim0)(xxx(3) 這只要將 (x)看作(2)式中的x，即見上式第二個等號成立。由此，我們得到比(2)式更為一般的公式： 1)()(sinlim0 xxxx注：注：這式子表示， 。 0)(,)()(sinxxx當 從現(xiàn)在開始，要注意記住一些等價無窮小量，因為后面要介紹利用等價無窮小量替換求極限的方法。等價無窮小量記住的越多，極限計算越靈活。 例例2.3.2求極限 xxxtan

20、lim000tanlim0 xxx1sincos1lim0 xxxx(此例說明：tan xx，當x0。一般的tan(x)(x)，當(x)0) 例例2.4.2求極限 2cos1lim20 xxx2cos1lim20 xxx22sin2lim220 xxx2022sinlimxxx10,2cos1:2xxx當請記住例例2.4.3求極限 xxxarctanlim0令 arctanx = t，則 x = tant，且當 x0 時，t0。 xxxarctanlim0ttttanlim01(請記?。篴rctan x x,當x0) exxx11lim 這個極限的證明很復雜，需要較多的技巧，我們只要熟記這個式

21、子，會用就行了。 一般地，有 exxx)()()(11limexxx)(1)(1lim0)(注意這一重要極限的特點： 底數(shù)為1+0的形式(這里0表示無窮小量)，指數(shù)為(無窮大量)；重要的是，底數(shù)1+0的無窮小部分，與指數(shù)部分互為倒數(shù)。 清楚了這些之后，我們便可用下述易記憶的說法，來表述利用這一重要極限求極限的過程，即： 底是1+ 0， 其中：前兩句說的是“識別” 確定所求極限可否用第二個重要極限計算；第三句說的是使用重要極限公式的“條件”；第四句指出，當這一條件不滿足時，我們需要做的事情。 指數(shù)是， 指、底互為倒(指與底的無窮小部分互為倒數(shù))， 不倒湊其成。 例例2.4.4求極限 xxxa1l

22、imxxxa1limaaxxxa1limae例例2.4.5求極限 xxx21lim0 xxx21lim0 xxx10)21 (limxxxxx2210)21 (lim2 e例例2.4.6求極限 xxaxax2limxxaxax2limxxaxa221limxaxaaaxxaxa22221limaaxxaaxxaxa22221limae4例例2.4.7求極限 xxx) 1ln(lim0 xxx) 1ln(lim0 xxx10)1ln(limeln1(請記?。簂n(1+x)x,當x0,一般的ln(1+(x)(x),當(x)0) 例例2.4.8求極限 110)31 (limxxx110)31 (li

23、mxxx110)31 ()31 (limxxxxxxxxx3310)31 (lim3 e 在極限計算中，可用等價無窮小量替換極限式中分子或分母上的與其等價的因子，道理是很簡單的。 設要計算極限 )()()()(lim0 xxgxxfxx假若知道 (x) (x)， (x) (x)，則 )( 1)()( )( )( )()()(lim)()()()(lim00 xxxxxxxgxfxxgxxfxxxx)( )()( )(lim0 xxgxxfxx 于是， 就被 ， 所替換。當 ， 比， 形式簡單，這種替換會簡化極限的計算。 上述推導中，第一步是恒等變形，第二步用到條件 注意，只能替換與其等價的無窮小量因子。 ,1)( )(lim0 xxxx1)()( lim0 xxxx例例2.5.1 求極限 xxx2sin3tanlim0 xxx2sin3tanlim0 xxx23lim0230,22sin,