高中數學人教A版浙江專版必修2講學案：第二章 2．2　直線、平面平行的判定及其性質含答案

1、人教版高中數學必修精品教學資料22.1&2.2.2直線與平面平行的判定、平面與平面平行的判定預習課本p5457,思考并完成以下問題1線面平行的判定定理是什么？ 2判定線面平行的方法有哪些？ 3面面平行的判定定理是什么？ 4判定面面平行的方法有哪些？ 1直線與平面平行的判定表示定理圖形文字符號直線與平面平行的判定定理平面外一條直線與此平面內一直線平行,則該直線與此平面平行a點睛用該定理判斷直線a和平面平行時,必須同時具備三個條件：(1)直線a在平面外,即a；(2)直線b在平面內,即b；(3)兩直線a,b平行,即ab.2平面與平面平行的判定表示位置圖形文字符號平面與平面平行的判定定理一個平

2、面內的兩條相交直線與另一個平面平行,則這兩個平面平行點睛(1)平面與平面平行的判定定理中的平行于一個平面內的“兩條相交直線”是必不可少的(2)面面平行的判定定理充分體現了等價轉化思想,即把面面平行轉化為線面平行1判斷下列命題是否正確(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)若直線l上有兩點到平面的距離相等,則l平面()(2)若直線l與平面平行,則l與平面內的任意一條直線平行()(3)兩條平行線中的一條直線與一個平面平行,那么另一條也與這個平面平行()答案：(1)×(2)×(3)×2能保證直線a與平面平行的條件是()ab,abbb,c,ab,accb,a,ba

3、,c,db,且acbdda,b,ab解析：選d由線面平行的判定定理可知,d正確3若一個平面內的兩條直線分別平行于另一個平面內的兩條直線,則這兩個平面的位置關系是()a一定平行b一定相交c平行或相交 d以上判斷都不對解析：選c可借助于長方體判斷兩平面對應平行或相交直線與平面平行的判定典例如圖,在正方體abcd­a1b1c1d1中,e,f,g分別是bc,cc1,bb1的中點,求證：ef平面ad1g.證明連接bc1,則由e,f分別是bc,cc1的中點,知efbc1.又ab綊a1b1綊d1c1,所以四邊形abc1d1是平行四邊形,所以bc1ad1,所以efad1.又ef平面ad1g,ad1平

4、面ad1g,所以ef平面ad1g.利用直線和平面平行的判定定理證明線面平行的關鍵是在平面內找一條直線與已知直線平行,常利用平行四邊形、三角形中位線、平行公理等活學活用已知有公共邊ab的兩個全等的矩形abcd和abef不同在一個平面內,p,q分別是對角線ae,bd上的點,且apdq.求證：pq平面cbe.證明：如圖,作pmab交be于點m,作qnab交bc于點n,連接mn,則pmqn,.eabd,apdq,epbq.又abcd,pm綊qn,四邊形pmnq是平行四邊形,pqmn.又pq平面cbe,mn平面cbe,pq平面cbe.平面與平面平行的判定典例已知,點p是abc所在平面外一點,點a,b,c

5、分別是pbc,pac,pab的重心(1)求證：平面abc平面abc.(2)求abab的值解(1)證明：如圖,連接pa,并延長交bc于點m,連接pb,并延長交ac于點n,連接pc,并延長交ab于點q,連接mn,nq.a,b,c分別是pbc,pac,pab的重心,m,n,q分別是abc的邊bc,ac,ab的中點,且2,abmn.同理可得bcnq.abmn,mn平面abc,ab平面abc,ab平面abc.同理可證bc平面abc.又abbcb,ab平面abc,bc平面abc,平面abc平面abc.(2)由(1)知abmn,且,即abmn.m,n分別是bc,ac的中點,mnab.abmn×ab

6、ab,即abab的值為.兩個平面平行的判定定理是確定面面平行的重要方法解答問題時一定要尋求好判定定理所需要的條件,特別是相交的條件,即與已知平面平行的兩條直線必須相交,才能確定面面平行活學活用如圖,在三棱柱abc­a1b1c1中,e,f,g,h分別是ab,ac,a1b1,a1c1的中點求證：(1)b,c,h,g四點共面；(2)平面efa1平面bchg.證明：(1)gh是a1b1c1的中位線,ghb1c1.又b1c1bc,ghbc,b,c,h,g四點共面(2)e,f分別為ab,ac的中點,efbc.ef平面bchg,bc平面bchg,ef平面bchg.a1g綊eb,四邊形a1ebg是平

7、行四邊形,a1egb.a1e平面bchg,gb平面bchg,a1e平面bchg.a1eefe,平面efa1平面bchg.平行中探索存在性問題典例在三棱柱abc­a1b1c1中,d,e分別是線段bc,cc1的中點,在線段ab上是否存在一點m,使直線de平面a1mc？請證明你的結論解如圖,取線段ab的中點m,連接a1m,mc,a1c,ac1,設o為a1c,ac1的交點由已知,o為ac1的中點連接md,oe,則md,oe分別為abc,acc1的中位線,所以md綊ac,oe綊ac,因此md綊oe.連接om,從而四邊形mdeo為平行四邊形,則demo.因為直線de平面a1mc,mo平面a1mc

8、,所以直線de平面a1mc.即線段ab上存在一點m(線段ab的中點),使直線de平面a1mc.平行中探索存在性問題的判定是高考的?？純热?多出現在解答題中證明線面平行的關鍵是找線線平行,注意利用所給幾何體中隱含的線線位置關系,當題目中有中點時,一般考慮先探索中點,再用中位線定理找平行關系活學活用如圖所示,在正方體abcd­a1b1c1d1中,e,f,g,h分別為cc1,c1d1,dd1,cd的中點n為bc的中點試在e,f,g,h四個點中找兩個點,使這兩個點與點n確定一個平面,且平面平面bb1d1d.解：由面面平行的判定定理,若使平面平面bb1d1d,只需在平面內有兩條相交直線平行于平

9、面bb1d1d,或在平面內有兩條相交直線平行于平面bb1d1d內的兩條相交直線即可連接hn,hf,nf,易知hnbd,hfdd1,所以平面nhf平面bb1d1d,即在e,f,g,h四個點中,由h,f兩點與點n確定的平面滿足條件層級一學業(yè)水平達標1下列選項中,一定能得出直線m與平面平行的是()a直線m在平面外b直線m與平面內的兩條直線平行c平面外的直線m與平面內的一條直線平行d直線m與平面內的一條直線平行解析：選c選項a不符合題意,因為直線m在平面外也包括直線與平面相交；選項b與d不符合題意,因為缺少條件m；選項c中,由直線與平面平行的判定定理,知直線m與平面平行,故選項c符合題意2已知,是兩個

10、不重合的平面,下列選項中,一定能得出平面與平面平行的是()a平面內有一條直線與平面平行b平面內有兩條直線與平面平行c平面內有一條直線與平面內的一條直線平行d平面與平面不相交解析：選d選項a、c不正確,因為兩個平面可能相交；選項b不正確,因為平面內的這兩條直線必須相交才能得到平面與平面平行；選項d正確,因為兩個平面的位置關系只有相交與平行兩種故選d.3在三棱錐a­bcd中,e,f分別是ab和bc上的點,若aeebcffb25,則直線ac與平面def的位置關系是()a平行b相交c直線ac在平面def內 d不能確定解析：選aaeebcffb25,efac.又ef平面def,ac平面def,

11、ac平面def.4已知a,b,c,d是四條直線,是兩個不重合的平面,若abcd,a,b,c,d,則與的位置關系是()a平行 b相交c平行或相交 d以上都不對解析：選c根據圖1和圖2可知與平行或相交5如圖,下列正三棱柱abc­a1b1c1中,若m,n,p分別為其所在棱的中點,則不能得出ab平面mnp的是()解析：選c在圖a、b中,易知aba1b1mn,所以ab平面mnp；在圖d中,易知abpn,所以ab平面mnp.故選c.6已知l,m是兩條直線,是平面,若要得到“l(fā)”,則需要在條件“m,lm”中另外添加的一個條件是_解析：根據直線與平面平行的判定定理,知需要添加的一個條件是“l(fā)”答案：

12、l7已知a,b兩點是平面外兩點,則過a,b與平行的平面有_個解析：當a,b兩點在平面異側時,不存在這樣的平面當a,b兩點在平面同側時,若直線ab,則存在一個,否則不存在答案：0或18.如圖,在五面體fe­abcd中,四邊形cdef為矩形,m,n分別是bf,bc的中點,則mn與平面ade的位置關系是_解析：m,n分別是bf,bc的中點,mncf.又四邊形cdef為矩形,cfde,mnde.又mn平面ade,de平面ade,mn平面ade.答案：平行9如圖所示,在直角梯形abcp中,bcap,abbc,cdap,addcpd.e,f,g分別為線段pc,pd,bc的中點,現將pdc折起,使

13、點p平面abcd.求證：平面pab平面efg.證明：peec,pffd,efcd,又cdab,efab.又ef平面pab,ef平面pab.同理可證eg平面pab.又efege,平面pab平面efg.10已知正方形abcd,如圖(1)e,f分別是ab,cd的中點,將ade沿de折起,如圖(2)所示,求證：bf平面ade.證明：e,f分別為ab,cd的中點,ebfd.又ebfd,四邊形ebfd為平行四邊形,bfed.de平面ade,而bf平面ade,bf平面ade.層級二應試能力達標1若直線l不平行于平面,且l,則()a內的所有直線與l異面b內不存在與l平行的直線c內存在唯一的直線與l平行d內的直

14、線與l都相交解析：選b若在平面內存在與直線l平行的直線,因l,故l,這與題意矛盾2在正方體efgh­e1f1g1h1中,下列四對截面彼此平行的一對是()a平面e1fg1與平面egh1b平面fhg1與平面f1h1gc平面f1h1h與平面fhe1d平面e1hg1與平面eh1g解析：選a畫出相應的截面如圖所示,即可得答案3已知p是正方體abcd­a1b1c1d1的棱dd1上任意一點(不是端點),則在正方體的12條棱中,與平面abp平行的有()a3個b6個c9個 d12個解析：選a因為棱ab在平面abp內,所以只要與棱ab平行的棱都滿足題意,即a1b1,d1c1,dc.4a,b是直

15、線l外的兩點,過a,b且和l平行的平面有()a0個 b1個c無數個 d以上都有可能解析：選d若ab與l平行,則和l平行的平面有無數個；若ab與l相交,則和l平行的平面沒有；若ab與l異面,則和l平行的平面有一個5已知三棱柱abc­a1b1c1,d,e,f分別是棱aa1,bb1,cc1的中點,則平面def與平面abc的位置關系是_解析：d,e,f分別是棱aa1,bb1,cc1的中點,在平行四邊形aa1b1b與平行四邊形bb1c1c中,deab,efbc,de平面abc,ef平面abc.又deefe,平面def平面abc.答案：平行6.如圖是一幾何體的平面展開圖,其中abcd為正方形,e

16、,f,g,h分別為pa,pd,pc,pb的中點在此幾何體中,給出下面四個結論：平面efgh平面abcd；直線pa平面bdg；直線ef平面pbc；直線ef平面bdg.其中正確的序號是_解析：作出立體圖形,可知平面efgh平面abcd；pa平面bdg；efhg,所以ef平面pbc；直線ef與平面bdg不平行答案：7.如圖所示,在正方體abcd­a1b1c1d1中,s是b1d1的中點,e,f,g分別是bc,dc和sc的中點求證：平面efg平面bdd1b1.證明：如圖所示,連接sb,sd,f,g分別是dc,sc的中點,fgsd.又sd平面bdd1b1,fg平面bdd1b1,fg平面bdd1b

17、1.同理可證eg平面bdd1b1,又eg平面efg,fg平面efg,egfgg,平面efg平面bdd1b1.8.如圖,已知底面是平行四邊形的四棱錐p­abcd,點e在pd上,且peed21,在棱pc上是否存在一點f,使bf平面aec？若存在,請證明你的結論,并說出點f的位置；若不存在,請說明理由解：當f是棱pc的中點時,bf平面aec.證明如下：取pe的中點m,連接fm,則fmce.因為fm平面aec,ec平面aec,所以fm平面aec.由empeed,得e為md的中點,連接bm,bd,設bdaco,則o為bd的中點連接oe,則bmoe.因為bm平面aec,oe平面aec,所以bm平

18、面aec.又因為fm平面bfm,bm平面bfm,fmbmm,所以平面bfm平面aec,所以平面bfm內的任何直線與平面aec均沒有公共點又bf平面bfm,所以bf與平面aec沒有公共點,所以bf平面aec.22.3&2.2.4直線與平面平行的性質、平面與平面平行的性質預習課本p5861,思考并完成以下問題1線面平行的性質定理是什么？ 2面面平行的性質定理是什么？ 3面面平行還有哪些性質？ 1直線與平面平行的性質(1)文字語言：一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(2)圖形語言：(3)符號語言：ab.點睛定理中有三個條件：直線a和平面平行,即a；直線a

19、在平面內,即a；平面,相交,即b.三個條件缺一不可2平面與平面平行的性質(1)文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行(2)圖形語言：(3)符號語言：ab.點睛(1)已知兩個平面平行,雖然一個平面內的任何直線都平行于另一個平面,但是這兩個平面內的所有直線并不一定相互平行,它們可能是平行直線,也可能是異面直線,但不可能是相交直線(2)該定理提供了證明線線平行的另一種方法,應用時要緊扣與兩個平行平面都相交的第三個平面1判斷下列命題是否正確(正確的打“”,錯誤的打“×”)(1)若直線a平面,直線a直線b,則直線b平面()(2)若直線a平面,則直線a與平面內任意一條

20、直線都無公共點()(3)若,則平面內有無數條互相平行的直線平行于平面()答案：(1)×(2)(3)2梯形abcd中,abcd,ab平面,cd平面,則直線cd與平面內的直線的位置關系只能是()a平行b平行或異面c平行或相交 d異面或相交解析：選b由題意,cd,則平面內的直線與cd可能平行,也可能異面3過正方體abcd­a1b1c1d1的頂點a1,c1,b的平面與底面abcd所在的平面的交線為l,則l與a1c1的位置關系是_解析：由于平面abcd平面a1b1c1d1,平面a1b1c1d1平面a1c1ba1c1,平面abcd平面a1c1bl,所以la1c1.答案：平行線面平行性質

21、的應用典例如圖,p是平行四邊形abcd所在平面外的一點,m是pc的中點,在dm上取一點g,過點g和ap作平面,交平面bdm于gh.求證：apgh.證明如圖,連接ac,交bd于點o,連接mo.四邊形abcd是平行四邊形,點o是ac的中點又點m是pc的中點,apom.又ap平面bdm,om平面bdm,ap平面bdm.平面pahg平面bdmgh,ap平面pahg,apgh.線面平行的性質和判定經常交替使用,也就是通過線線平行得到線面平行,再通過線面平行得線線平行利用線面平行的性質定理解題的具體步驟：(1)確定(或尋找)一條直線平行于一個平面；(2)確定(或尋找)過這條直線且與這個平行平面相交的平面；

22、(3)確定交線；(4)由性質定理得出線線平行的結論活學活用如圖所示,已知兩條異面直線ab與cd,平面mnpq與ab,cd都平行,且點m,n,p,q依次在線段ac,bc,bd,ad上,求證：四邊形mnpq是平行四邊形證明：ab平面mnpq,且過ab的平面abc交平面mnpq于mn,abmn.又過ab的平面abd交平面mnpq于pq,abpq,mnpq.同理可證npmq.四邊形mnpq為平行四邊形.面面平行性質的應用典例如圖所示,已知三棱柱abc­abc中,d是bc的中點,d是bc的中點,設平面adb平面abca,平面adc平面abcb,判斷直線a,b的位置關系,并證明解直線a,b的位置

23、關系是平行平面abc平面abc,平面adb平面abca,平面adb平面abcad,ada,同理可得adb.又d是bc的中點,d是bc的中點,dd綊bb,而bb綊aa,dd綊aa,四邊形aadd為平行四邊形,adad,因此ab.利用面面平行的性質定理判斷兩直線平行的步驟(1)先找兩個平面,使這兩個平面分別經過這兩條直線中的一條；(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出)；(3)再找一個平面,使這兩條直線都在這個平面上；(4)由定理得出結論活學活用如圖,平面平面,ab,cd是兩異面直線,且a,c,b,c,m,n分別在線段ab,cd上,且.求證：mn.證明：如圖,過點a作aecd,aee,

24、連接be,在平面abe內作mpbe,mp交ae于p,連接np,de,則.,.平面平面,平面acdeed,平面acdeac,aced,pned.pn,ed,pn.pmbe,pm,be,pm.又pmpnp,平面pmn平面.mn平面pmn,mn.平行關系的綜合應用典例在正方體abcd­a1b1c1d1中,如圖(1)求證：平面ab1d1平面c1bd；(2)試找出體對角線a1c與平面ab1d1和平面c1bd的交點e,f,并證明：a1eeffc.證明(1)因為在正方體abcd­a1b1c1d1中,ad綊b1c1,所以四邊形ab1c1d是平行四邊形,所以ab1c1d.又因為c1d平面c1

25、bd,ab1平面c1bd.所以ab1平面c1bd.同理b1d1平面c1bd.又因為ab1b1d1b1,ab1平面ab1d1,b1d1平面ab1d1,所以平面ab1d1平面c1bd.(2)如圖,連接a1c1交b1d1于點o1,連接ao1與a1c交于點e.又因為ao1平面ab1d1,所以點e也在平面ab1d1內,所以點e就是a1c與平面ab1d1的交點；連接ac交bd于o,連接c1o與a1c交于點f,則點f就是a1c與平面c1bd的交點下面證明a1eeffc.因為平面a1c1c平面ab1d1eo1,平面a1c1c平面c1bdc1f,平面ab1d1平面c1bd,所以eo1c1f.在a1c1f中,o1

26、是a1c1的中點,所以e是a1f的中點,即a1eef；同理可證ofae,所以f是ce的中點,即cffe,所以a1eeffc.(1)在遇到線面平行時,常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運用線面平行的性質(2)要靈活應用線線平行、線面平行和面面平行的相互聯系、相互轉化在解決立體幾何中的平行問題時,一般都要用到平行關系的轉化轉化思想是解決這類問題的最有效的方法活學活用如圖,在正方體abcd­a1b1c1d1中,點n在bd上,點m在b1c上,且cmdn.求證：mn平面aa1b1b.證明：如圖,作mpbb1交bc于點p,連接np,mpbb1,.bdb1c,dncm,b1mbn,n

27、pcdab.np平面aa1b1b,ab平面aa1b1b,np平面aa1b1b.mpbb1,mp平面aa1b1b,bb1平面aa1b1b,mp平面aa1b1b.又mp平面mnp,np平面mnp,mpnpp,平面mnp平面aa1b1b.mn平面mnp,mn平面aa1b1b.層級一學業(yè)水平達標1若直線l平面,則過l作一組平面與相交,記所得的交線分別為a,b,c,那么這些交線的位置關系為()a都平行b都相交且一定交于同一點c都相交但不一定交于同一點d都平行或交于同一點解析：選a因為直線l平面,所以根據直線與平面平行的性質知la,lb,lc,所以abc,故選a.2.如圖,已知s為四邊形abcd外一點,g

28、,h分別為sb,bd上的點,若gh平面scd,則()aghsabghsdcghscd以上均有可能解析：選b因為gh平面scd,gh平面sbd,平面sbd平面scdsd,所以ghsd,顯然gh與sa,sc均不平行,故選b.3在空間四邊形abcd中,e,f,g,h分別是ab,bc,cd,da上的點,當bd平面efgh時,下列結論中正確的是()ae,f,g,h一定是各邊的中點bg,h一定是cd,da的中點cbeeabffc,且dhhadggcdaeebahhd,且bffcdggc解析：選d由于bd平面efgh,由線面平行的性質定理,有bdeh,bdfg,則aeebahhd,且bffcdggc.4已知

29、a,b,c為三條不重合的直線,為三個不重合的平面,現給出四個命題：；a； a.其中正確的命題是()a bc d解析：選c與有可能相交；正確；有可能a；有可能a.故選c.5已知平面平面,p是,外一點,過點p的直線m與,分別交于a,c兩點,過點p的直線n與,分別交于b,d兩點,且pa6,ac9,pd8,則bd的長為()a16 b24或c14 d20解析：選b由得abcd.分兩種情況：若點p在,的同側,則,pb,bd；若點p在,之間,則有,pb16,bd24.6.如圖,在正方體abcd­a1b1c1d1中,ab2,點e為ad的中點,點f在cd上若ef平面ab1c,則線段ef的長度等于_解析

30、：在正方體abcd­a1b1c1d1中,ab2,ac2.又e為ad的中點,ef平面ab1c,ef平面adc,平面adc平面ab1cac,efac,f為dc的中點,efac.答案：7過三棱柱abc­a1b1c1的任意兩條棱的中點作直線,其中與平面abb1a1平行的直線共有_條解析：記ac,bc,a1c1,b1c1的中點分別為e,f,e1,f1,則直線ef,e1f1,ee1,ff1,e1f,ef1均與平面abb1a1平行,故符合題意的直線共有6條答案：68已知a,b表示兩條直線,表示三個不重合的平面,給出下列命題：若a,b,且ab,則；若a,b相交且都在,外,a,b,則；若a,

31、a,則；若a,a,b,則ab.其中正確命題的序號是_解析：錯誤,與也可能相交；正確,設a,b確定的平面為,依題意,得,故；錯誤,與也可能相交；正確,由線面平行的性質定理可知答案：9.如圖,s是平行四邊形abcd所在平面外一點,m,n分別是sa,bd上的點,且,求證：mn平面sbc.證明：在ab上取一點p,使,連接mp,np,則mpsb.sb平面sbc,mp平面sbc,mp平面sbc.又,npad.adbc,npbc.又bc平面sbc,np平面sbc,np平面sbc.又mpnpp,平面mnp平面sbc,而mn平面mnp,mn平面sbc.10.如圖所示,四邊形abcd是矩形,p平面abcd,過bc

32、作平面bcfe交ap于點e,交dp于點f,求證：四邊形bcfe為梯形證明：四邊形abcd是矩形,bcad.ad平面apd,bc平面apd,bc平面apd.又平面bcfe平面apdef,bcef,adef.又e,f是apd邊上的點,efad,efbc.四邊形bcfe是梯形層級二應試能力達標1已知平面,直線a,b,c,若a,b,c,abc,且a,b,c,則平面與的位置關系是()a平行b相交c平行或相交 d以上都不對解析：選c由題意可知,平面內不一定有兩條相交直線與平面平行,所以平面與有可能平行,也有可能相交2已知直線a平面,直線b平面,則()aab ba與b異面ca與b相交 da與b無公共點解析：選d由題意可知直線a與平面無公共點,所以a與b平行或異面,所以兩者無公共點3已知平面平面,a,b,則直線a,b的位置關系是()a平行 b相交c異面 d平行或異面解析：選d平面平面,平面