高等數(shù)學(xué)上38方程的近似解

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁).(xss 單調(diào)增加函數(shù)單調(diào)增加函數(shù).12dxyds 故故弧微分公式弧微分公式sks 0lim曲線曲線c在點(diǎn)在點(diǎn)m處的曲率處的曲率.dsdk 曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式.)1(232yyk 復(fù)習(xí)上頁下頁結(jié)束返回首頁d)(xfy ,曲率中心曲率中心 d.1曲率半徑曲率半徑 k xyo.曲率圓曲率圓上頁下頁結(jié)束返回首頁基本思想aa1 xyo1：確定根的隔離區(qū)間：確定根的隔離區(qū)間2：以隔離區(qū)間端點(diǎn)作為：以隔離區(qū)間端點(diǎn)作為根的初始近似值，再用根的初始近似值，再用一些方法加以改善精度一些方法加以改善精度bb12aba 3.8 方程的近似解方程的近似解( ) , ( )( )0(

2、)( , )f xa bf af bf xa b 設(shè)設(shè)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，則則方方程程在在內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、問題的提出求近似實(shí)根的步驟：求近似實(shí)根的步驟：確定根的大致范圍確定根的大致范圍根的隔離區(qū)間根的隔離區(qū)間 , , a ba b確確定定一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間使使所所求求的的根根是是位位于于這這個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)的的實(shí)實(shí)根根區(qū)區(qū)間間稱稱為為所所求求實(shí)實(shí)根根的的唯唯一一隔隔離離區(qū)區(qū)間間問題：問題：高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確高次代數(shù)方程或其他類型的方程求精確根一般比較困難根一般比較困難,希望尋求方程近似根的有效計(jì)希望尋求方程近似根的有效計(jì)算方法算方法

3、3.8 方程的近似解方程的近似解上頁下頁結(jié)束返回首頁軸交點(diǎn)的大概位置軸交點(diǎn)的大概位置定出它與定出它與的圖形，然后從圖上的圖形，然后從圖上如圖，精確畫出如圖，精確畫出xxfy)( 以以根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似根的隔離區(qū)間的端點(diǎn)作為根的初始近似值值，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得，逐步改善根的近似值的精確度，直至求得滿足精確度要求的近似實(shí)根滿足精確度要求的近似實(shí)根常用方法常用方法二分法和切線法（牛頓法）二分法和切線法（牛頓法）上頁下頁結(jié)束返回首頁二、二分法區(qū)間區(qū)間即是這個(gè)根的一個(gè)隔離即是這個(gè)根的一個(gè)隔離，于是，于是內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根在在且方程且方程，上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間

4、在區(qū)間設(shè)設(shè),),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf ；，那末，那末如果如果110)( f作法：作法：11 , ().2aa bbf 取取的的中中點(diǎn)點(diǎn)，計(jì)計(jì)算算,)()(1111bbaaff 同號(hào)，那末取同號(hào)，那末取與與如果如果);(210)()(111111ababbabfaf ，且，且，即知，即知由由 上頁下頁結(jié)束返回首頁,)()(1111 baabff同號(hào)，那末取同號(hào)，那末取與與如果如果);(211111ababba 及及也有也有 總之，總之，);(211111ababba 且且時(shí)，可求得時(shí)，可求得當(dāng)當(dāng) 二、二分法區(qū)間區(qū)間即是這個(gè)根的一個(gè)隔離即是這個(gè)根的一個(gè)隔離，于是，于是

5、內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根在在且方程且方程，上連續(xù)，上連續(xù)，在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè),),()(0)()(,)(babaxfbfafbaxf 作法：作法：上頁下頁結(jié)束返回首頁);(21)(21,2222211211ababbababa 且且時(shí)時(shí)，可可求求得得當(dāng)當(dāng)復(fù)復(fù)上上述述做做法法，作作為為新新的的隔隔離離區(qū)區(qū)間間，重重以以).(21,ababbannnnnn 且且可求得可求得次次如此重復(fù)如此重復(fù) 小于小于的近似值，那末其誤差的近似值，那末其誤差作為作為或或如果以如果以)(21abbannn 上頁下頁結(jié)束返回首頁例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實(shí)根的近似

6、值的實(shí)根的近似值用二分法求方程用二分法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xxxxf令令.),()(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在顯然顯然xf, 9 . 02 . 23)(2 xxxf. 0)(, 049. 1 xf,),()(內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在故故xf如圖如圖至多有一個(gè)實(shí)根至多有一個(gè)實(shí)根0)( xf上頁下頁結(jié)束返回首頁, 06 . 1)1(, 04 . 1)0( ff.1 , 00)(內(nèi)有唯一的實(shí)根內(nèi)有唯一的實(shí)根在在 xf0,1, 0,1.ab取取即即是是個(gè)個(gè)隔隔離離區(qū)區(qū)間間一一計(jì)算得計(jì)算得:; 1, 5 . 0, 055. 0)(, 5 . 01111 baf故故 ;75.

7、 0, 5 . 0, 032. 0)(,75. 02222 baf故故 ;75. 0,625. 0, 016. 0)(,625. 02333 baf故故 ;687. 0,625. 0, 0062. 0)(,687. 04444 baf故故 上頁下頁結(jié)束返回首頁;687. 0,656. 0, 0054. 0)(,656. 05555 baf故故 ;672. 0,656. 0, 0005. 0)(,672. 06666 baf故故 ;672. 0,664. 0, 0025. 0)(,664. 07777 baf故故 ;672. 0,668. 0, 0010. 0)(,668. 08888 baf故

8、故 ;672. 0,670. 0, 0002. 0)(,670. 09999 baf故故 .671. 0,670. 0, 0001. 0)(,671. 010101010 baf故故 .671. 0670. 0 .10,671. 0,670. 03 其誤差都小于其誤差都小于作為根的過剩近似值作為根的過剩近似值作為根的不足近似值作為根的不足近似值即即上頁下頁結(jié)束返回首頁三、切線法( )( ) ,( ) , ( )( )0( )( , ) , fxfxa bf xa bf af bf xa ba b 設(shè)設(shè)在在上上具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則方方程程且且及及在在上上保保持持定定號(hào)號(hào)在在內(nèi)內(nèi)有有唯唯

9、一一個(gè)個(gè)的的實(shí)實(shí)根根 ，是是根根的的一一個(gè)個(gè)隔隔離離區(qū)區(qū)間間定義定義用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從用曲線弧一端的切線來代替曲線弧，從而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做而求出方程實(shí)根的近似值，這種方法叫做切線切線法（牛頓法）法（牛頓法）上頁下頁結(jié)束返回首頁如圖，如圖，0010(,()( )xfxxxf xx 在在縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的那那個(gè)個(gè)端端點(diǎn)點(diǎn)（此此端端點(diǎn)點(diǎn)記記作作作作切切線線，這這切切線線與與軸軸的的交交點(diǎn)點(diǎn)的的橫橫坐坐標(biāo)標(biāo)比比更更接接近近方方與與號(hào)號(hào)程程的的根根同同,0ax 令令).)()(000 xxxfxfy 則切線方程為則切線方程為abxyoab 1x)(xfy 0)(, 0)(

10、0)(, 0)( xfxfbfaf上頁下頁結(jié)束返回首頁作切線，作切線，在點(diǎn)在點(diǎn))(,(11xfx.)()(1112xfxfxx 得根的近似值得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值如此繼續(xù)，得根的近似值)1()()(111 nnnnxfxfxx.,)()(:0bxxfbf 可記可記同號(hào)同號(hào)與與如果如果注意注意,)()(0001xfxfxx 得得令令, 0 yabxyoab 1x)(xfy 2x上頁下頁結(jié)束返回首頁例例.10,04 . 19 . 01 . 1323 使誤差不超過使誤差不超過的實(shí)根的近似值的實(shí)根的近似值用切線法求方程用切線法求方程xxx解解, 4 . 19 . 01 . 1)(23 xx

11、xxf令令. 0)1(, 0)0(.1 , 0 ff是一個(gè)隔離區(qū)間是一個(gè)隔離區(qū)間上，上，如圖，在如圖，在1 , 0, 02 . 26)( xxf, 09 . 02 . 23)(2 xxxf1o上頁下頁結(jié)束返回首頁( )(1)fxf 與與同同號(hào)號(hào)，. 10 x令令代入代入(1),得得;738. 0)1()1(11 ffx;674. 0)738. 0()738. 0(738. 02 ffx;671. 0)674. 0()674. 0(674. 03 ffx;671. 0)671. 0()671. 0(671. 04 ffx計(jì)算停止計(jì)算停止.10,671. 03 其誤差都小于其誤差都小于得根的近似值為得根的近似值為1o上頁下頁結(jié)束返回首頁四、小結(jié)求方程近似實(shí)根的常用方法求方程近似實(shí)根的常用方