天津理工大學(xué)大學(xué)物理：靜電場(chǎng)

1、1122122112erqqkf庫(kù)侖定律內(nèi)容庫(kù)侖定律內(nèi)容 在真空中，兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力，其在真空中，兩個(gè)靜止的點(diǎn)電荷之間的相互作用力，其大小與點(diǎn)電荷電量的乘積成正比，與兩點(diǎn)電荷之間距離的大小與點(diǎn)電荷電量的乘積成正比，與兩點(diǎn)電荷之間距離的平方成反比，作用力在兩點(diǎn)電荷之間的連線上，同號(hào)電荷平方成反比，作用力在兩點(diǎn)電荷之間的連線上，同號(hào)電荷互相排斥，異號(hào)電荷互相吸引?；ハ嗯懦?，異號(hào)電荷互相吸引。121212/rre表示單位矢量表示單位矢量庫(kù)侖力滿足牛頓第三定律庫(kù)侖力滿足牛頓第三定律1221ff2041k式中比例系數(shù)式中比例系數(shù)212120mnc1085. 8122122101241er

2、qqf所謂所謂點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷就是相互之間距離遠(yuǎn)大于其本身線度的帶電體。就是相互之間距離遠(yuǎn)大于其本身線度的帶電體。122122112erqqkf真空中的介電常數(shù)真空中的介電常數(shù)3 +2+4+6-2pfq電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 electric field intensity 按照庫(kù)侖定律，在電場(chǎng)中的任一固定點(diǎn)按照庫(kù)侖定律，在電場(chǎng)中的任一固定點(diǎn)p，試驗(yàn)電，試驗(yàn)電荷受到的作用力是和試驗(yàn)電荷的電量成正比的。如果把荷受到的作用力是和試驗(yàn)電荷的電量成正比的。如果把試驗(yàn)電荷的電量增大到試驗(yàn)電荷的電量增大到2、3、4n倍（但仍滿足試驗(yàn)電倍（但仍滿足試驗(yàn)電荷條件），將看到同一地點(diǎn)的荷條件），將看到同一地點(diǎn)的f也增大到也

3、增大到2、3、4n倍，倍，而力的方向不變。若把而力的方向不變。若把q0換成等量異號(hào)電荷，則力的大換成等量異號(hào)電荷，則力的大小不變方向反轉(zhuǎn)。因此對(duì)于電場(chǎng)中的固定點(diǎn)來(lái)說(shuō)，比值小不變方向反轉(zhuǎn)。因此對(duì)于電場(chǎng)中的固定點(diǎn)來(lái)說(shuō)，比值f/ q0 是一無(wú)論大小和方向都與試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)的矢量，是一無(wú)論大小和方向都與試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)的矢量，它是反映電場(chǎng)本身性質(zhì)的，把它定義為電場(chǎng)強(qiáng)度，即它是反映電場(chǎng)本身性質(zhì)的，把它定義為電場(chǎng)強(qiáng)度，即erqqkf200qfe 4 電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上等于位電場(chǎng)中某點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度在數(shù)值上等于位于該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷（于該點(diǎn)的單位正試驗(yàn)電荷（q q0 0= =1 1）所受的電）所受的電場(chǎng)力

4、。電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)力的方向一致場(chǎng)力。電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)力的方向一致（當(dāng)（當(dāng)q q0 0為正值時(shí)）。為正值時(shí)）。單位：?jiǎn)挝唬簄.c-1或或v.m-1 電場(chǎng)強(qiáng)度是電場(chǎng)的屬性，與試驗(yàn)電荷的存在與否電場(chǎng)強(qiáng)度是電場(chǎng)的屬性，與試驗(yàn)電荷的存在與否無(wú)關(guān)，并不因無(wú)試驗(yàn)電荷而不存在，只是由試驗(yàn)電荷無(wú)關(guān)，并不因無(wú)試驗(yàn)電荷而不存在，只是由試驗(yàn)電荷來(lái)反映。來(lái)反映。0qfe 5電場(chǎng)電場(chǎng) 電場(chǎng)強(qiáng)度電場(chǎng)強(qiáng)度 凡有電荷的地方，四周就存在著電場(chǎng)，即凡有電荷的地方，四周就存在著電場(chǎng)，即任何電荷都任何電荷都在自己周圍的空間激發(fā)電場(chǎng)在自己周圍的空間激發(fā)電場(chǎng)，而電場(chǎng)的基本性質(zhì)是，它對(duì)，而電場(chǎng)的基本性質(zhì)是，它對(duì)處在其中的任何其它電荷

5、都有作用力，稱為處在其中的任何其它電荷都有作用力，稱為電場(chǎng)力電場(chǎng)力。因此。因此電荷與電荷之間是通過(guò)電場(chǎng)發(fā)生相互作用的。電荷與電荷之間是通過(guò)電場(chǎng)發(fā)生相互作用的。0qfe 6 0+qrpq0e點(diǎn)電荷電場(chǎng)電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)電荷電場(chǎng)電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng) 在真空中，點(diǎn)電荷在真空中，點(diǎn)電荷q放在坐標(biāo)原點(diǎn)，試驗(yàn)電荷放在放在坐標(biāo)原點(diǎn)，試驗(yàn)電荷放在r 處，由庫(kù)侖定律可知試驗(yàn)電荷受到的處，由庫(kù)侖定律可知試驗(yàn)電荷受到的電場(chǎng)力電場(chǎng)力為為rerqqf2004點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式rerqqfe2004q0，電場(chǎng)強(qiáng)度，電場(chǎng)強(qiáng)度e與與er同向同向q0，電場(chǎng)強(qiáng)度，電場(chǎng)強(qiáng)度e與與er反向反向。7rerqqfe2004說(shuō)明：說(shuō)明：(1

6、)點(diǎn)電荷電場(chǎng)是非均勻電場(chǎng)；點(diǎn)電荷電場(chǎng)是非均勻電場(chǎng)；(2)點(diǎn)電荷電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性；點(diǎn)電荷電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性；(3)e與與r2成反比，當(dāng)成反比，當(dāng)r時(shí)，時(shí)，e0。(4)若若r0，則，則e，這是不可能的。對(duì)于距離點(diǎn)電荷，這是不可能的。對(duì)于距離點(diǎn)電荷太近的點(diǎn)就需要考慮點(diǎn)電荷的大小和形狀，就不能再太近的點(diǎn)就需要考慮點(diǎn)電荷的大小和形狀，就不能再把它看作點(diǎn)電荷了。把它看作點(diǎn)電荷了。+-8場(chǎng)強(qiáng)迭加原理場(chǎng)強(qiáng)迭加原理 電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，它服從于電場(chǎng)強(qiáng)度是矢量，它服從于矢量迭加原理。即如果我們以矢量迭加原理。即如果我們以nfff21,分別表示點(diǎn)電荷分別表示點(diǎn)電荷q1 、 q2 、 qn單獨(dú)存在時(shí)電場(chǎng)施于空間同一單獨(dú)存在

7、時(shí)電場(chǎng)施于空間同一點(diǎn)試驗(yàn)電荷點(diǎn)試驗(yàn)電荷q0的力，則它們同時(shí)存在時(shí)，電場(chǎng)施于該點(diǎn)試驗(yàn)電的力，則它們同時(shí)存在時(shí)，電場(chǎng)施于該點(diǎn)試驗(yàn)電荷的力為荷的力為nffff21將此式除以將此式除以q0002010qfqfqfqfn即得到即得到neeee21 電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的總場(chǎng)強(qiáng)等于各個(gè)點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。這就是該點(diǎn)各自產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。這就是場(chǎng)強(qiáng)迭加原理場(chǎng)強(qiáng)迭加原理。9 同理，在點(diǎn)電荷系同理，在點(diǎn)電荷系q1,q2,qn的電場(chǎng)中，在的電場(chǎng)中，在p點(diǎn)放一試點(diǎn)放一試驗(yàn)電荷驗(yàn)電荷q0，根據(jù)庫(kù)侖力的疊加原理，可知試驗(yàn)電荷受到的，根據(jù)庫(kù)侖力的疊加原

8、理，可知試驗(yàn)電荷受到的作用力為作用力為iiiierqqff2004p點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度iiiierqqfe2004點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)10體密度定義：體密度定義：?jiǎn)挝粏挝惑w積內(nèi)的電荷體積內(nèi)的電荷dvdqvqve0lim面密度定義：面密度定義：?jiǎn)挝粏挝幻娣e上的電荷面積上的電荷dsdqsqse0lim線密度定義：線密度定義：?jiǎn)挝粏挝婚L(zhǎng)度上的電荷長(zhǎng)度上的電荷dldqlqle0lim電荷的連續(xù)分布電荷的連續(xù)分布 從微觀結(jié)構(gòu)看，電荷是集中在一個(gè)個(gè)的微觀粒子（如電子、從微觀結(jié)構(gòu)看，電荷是集中在一個(gè)個(gè)的微觀粒子（如電子、原子核等）上邊。但從宏觀效果看，人們往往把電荷看成是連原子核等

9、）上邊。但從宏觀效果看，人們往往把電荷看成是連續(xù)分布的。根據(jù)不同情況，有時(shí)把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)續(xù)分布的。根據(jù)不同情況，有時(shí)把電荷看成在一定體積內(nèi)連續(xù)分布（體分布）；有時(shí)把電荷看成是在一定曲面上連續(xù)分布的分布（體分布）；有時(shí)把電荷看成是在一定曲面上連續(xù)分布的（面分布）；有時(shí)又把電荷看成是在一條曲線上連續(xù)分布（線（面分布）；有時(shí)又把電荷看成是在一條曲線上連續(xù)分布（線分布）等等。與此相應(yīng)的就需要引入電荷的分布）等等。與此相應(yīng)的就需要引入電荷的體密度、面密度、體密度、面密度、線密度線密度等概念。等概念。11dqpr任意帶電體電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng)任意帶電體電場(chǎng)中的場(chǎng)強(qiáng) 對(duì)于任意帶電體來(lái)講，它的全部電荷分布

10、，都可以被看對(duì)于任意帶電體來(lái)講，它的全部電荷分布，都可以被看作是許多極小的電荷元作是許多極小的電荷元dq的集合。在電場(chǎng)中任一點(diǎn)的集合。在電場(chǎng)中任一點(diǎn)p處，每一處，每一個(gè)電荷元在個(gè)電荷元在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)都可用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式計(jì)算點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)都可用點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)公式計(jì)算rerdqed204 要計(jì)算帶電體的全部電荷分布在要計(jì)算帶電體的全部電荷分布在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，就要對(duì)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，就要對(duì)所有的電荷元產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)求矢量和，由于電荷可以看成是連續(xù)所有的電荷元產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)求矢量和，由于電荷可以看成是連續(xù)分布的，所以可用積分代替求和，即分布的，所以可用積分代替求和，即rerdqede204此關(guān)系式無(wú)論對(duì)于體分布

11、、面分布還是線分布的帶電體都可應(yīng)此關(guān)系式無(wú)論對(duì)于體分布、面分布還是線分布的帶電體都可應(yīng)用，只不過(guò)在具體應(yīng)用時(shí)把電荷元用，只不過(guò)在具體應(yīng)用時(shí)把電荷元dq帶入相應(yīng)的量就可以了。帶入相應(yīng)的量就可以了。12電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算點(diǎn)電荷系：點(diǎn)電荷系：riierqee204rerdqede204計(jì)算的步驟大致如下：計(jì)算的步驟大致如下：任取電荷元任取電荷元dq，寫出，寫出dq在待求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式；在待求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式分解為標(biāo)量表示式；選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式分解為標(biāo)量表示式；進(jìn)行積分計(jì)算；進(jìn)行積分計(jì)算；寫出總的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量表達(dá)式，或求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小寫出

12、總的電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量表達(dá)式，或求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；和方向；在計(jì)算過(guò)程中，可以根據(jù)對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。在計(jì)算過(guò)程中，可以根據(jù)對(duì)稱性來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。帶電體帶電體dqpr13xdlrdexdeydexr0p例例1、 均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。均勻帶電圓環(huán)軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)正電荷設(shè)正電荷q均勻地分布均勻地分布在半徑為在半徑為r的圓環(huán)上。計(jì)算在環(huán)的軸線任一點(diǎn)的圓環(huán)上。計(jì)算在環(huán)的軸線任一點(diǎn)p的電場(chǎng)強(qiáng)度。的電場(chǎng)強(qiáng)度。首先在環(huán)上任取一長(zhǎng)度元首先在環(huán)上任取一長(zhǎng)度元dl，所帶電量為，所帶電量為線密度線密度dldqrqlq2dllqdlrqdldq214xdlrdexdeydexr0pdldqrq2dl

13、rqdldq2設(shè)設(shè)p點(diǎn)與點(diǎn)與dq的距離為的距離為r， dq 在在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小為204rdqderrqdl242015xdlrdexdeydexr0p 各電荷元在各電荷元在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，方向各不相同。根據(jù)其對(duì)稱點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，方向各不相同。根據(jù)其對(duì)稱性，各電荷元的場(chǎng)強(qiáng)在垂直于性，各電荷元的場(chǎng)強(qiáng)在垂直于x軸的那些分矢量軸的那些分矢量dey相互抵消，相互抵消，所以所以p點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)是平行于點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)是平行于x軸的那些分矢量軸的那些分矢量dex的總和的總和cos24cos20rrqdldedeellx此積分要遍布整個(gè)圓環(huán)，因此積分要遍布整個(gè)圓環(huán)，因r與與 都不是變量，因此有都不是

14、變量，因此有l(wèi)dlrqre2cos4120rrqr22cos4120204cosrq16xdlrdexdeydexr0p204cosrqe因因rxcos222rxr得到得到2322030)(44rxqxrqxe17xdlrdexdeydexr0p23220)(4rxqxe環(huán)心處，環(huán)心處，x=0，e=0極遠(yuǎn)處，極遠(yuǎn)處，xr32322)(xrx則有則有203044xqxqxe 此時(shí)，環(huán)上電此時(shí)，環(huán)上電荷可視為全部集中荷可視為全部集中在環(huán)心處的一個(gè)點(diǎn)在環(huán)心處的一個(gè)點(diǎn)電荷。電荷。18例例2 2、均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)圓盤帶電量為、均勻帶電圓盤軸線上一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)圓盤帶電量為q q，半，半徑為

15、徑為r r。解：帶電圓盤可看成許多同心的圓環(huán)組成，取一半徑為解：帶電圓盤可看成許多同心的圓環(huán)組成，取一半徑為r，寬，寬度為度為dr 的細(xì)圓環(huán)帶電量的細(xì)圓環(huán)帶電量drrdq2圓環(huán)面積圓環(huán)面積由前題知，此帶電圓環(huán)的場(chǎng)強(qiáng)由前題知，此帶電圓環(huán)的場(chǎng)強(qiáng)23220)(4xrxdqderxxpedr0dr19rxxpedr0dr由于各帶電圓環(huán)在由于各帶電圓環(huán)在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，均指向強(qiáng)方向相同，均指向x軸的正方軸的正方向，所以總場(chǎng)強(qiáng)就是各細(xì)圓環(huán)在向，所以總場(chǎng)強(qiáng)就是各細(xì)圓環(huán)在p點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的矢量和dee e的方向垂的方向垂直于盤面并沿直于盤面并沿x軸軸的正方向。的正方向。dr

16、rdq223220)(4rxxdq23220)(42rxrdrxrrxrxdx02322220)(2)(2)1 (2220rxx23220)(4xrxdqde20 xxpedrr0dr)1 (2220rxxe 如果如果rx，即對(duì)于，即對(duì)于p點(diǎn)來(lái)說(shuō)，均勻帶電圓盤可視為無(wú)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，均勻帶電圓盤可視為無(wú)限大時(shí)，限大時(shí)，p點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)02e這表明在無(wú)限大這表明在無(wú)限大均勻帶電平面的電場(chǎng)均勻帶電平面的電場(chǎng)中各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均相等，中各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均相等，方向都與平面相垂直，方向都與平面相垂直，正負(fù)由電荷的符號(hào)決正負(fù)由電荷的符號(hào)決定。即此電場(chǎng)為定。即此電場(chǎng)為勻強(qiáng)勻強(qiáng)電場(chǎng)電場(chǎng)。21例例3 均勻帶電直線外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。均勻

17、帶電直線外任一點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)直線長(zhǎng)設(shè)直線長(zhǎng)l，帶電總量，帶電總量q，電，電荷線密度為荷線密度為 ，直線外一點(diǎn)，直線外一點(diǎn)p離開(kāi)直離開(kāi)直線的垂直距離為線的垂直距離為a，p點(diǎn)和直線兩端點(diǎn)和直線兩端的連線與直線之間的夾角分別為的連線與直線之間的夾角分別為 1和和 2 。 以以0為坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)為坐標(biāo)原點(diǎn)，取坐標(biāo)如圖。在直線上任一點(diǎn)處取長(zhǎng)如圖。在直線上任一點(diǎn)處取長(zhǎng)度元度元dl，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是l，dl上所帶電量是上所帶電量是dq。0dlxar12 /2lyp 由于電荷是連續(xù)分布的，可由于電荷是連續(xù)分布的，可把整個(gè)電荷分布劃分成許多電荷把整個(gè)電荷分布劃分成許多電荷元，先求出每一電荷

18、元在給定點(diǎn)元，先求出每一電荷元在給定點(diǎn)p產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，再通過(guò)積分再求出產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，再通過(guò)積分再求出總場(chǎng)強(qiáng)。總場(chǎng)強(qiáng)。22帶電直線的線密度帶電直線的線密度dldqlq 設(shè)設(shè)dl 到到p點(diǎn)的距離是點(diǎn)的距離是r，可知，可知dq 在在p點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)de 的大小為的大小為202044rdlrdqde由圖中可看出由圖中可看出atgatgl)2(微分后得到微分后得到dadl2csc而而222222ctgaalar0dlxar12 /2lyedxedyed2222csc)1 (actga230dlxar12 /2lyedxedyed由于由于de與與x之間的夾角是之間的夾角是 ，所以，所以de沿沿x

19、軸和軸和y軸的兩個(gè)分量為軸的兩個(gè)分量為cosdedexdadl2csc222cscar coscsccsc42220adada04coscos420rdl204rdlde240dlxar12 /2lyedxedyedsindedeydadl2csc222cscar 204rdldesin420rdlda04sin25將此兩式積分，就得到將此兩式積分，就得到xxdeeyydee)sin(sin4120a21cos40dadadex04cosdadey04sin21sin40da)cos(cos4210a可由可由ex和和ey來(lái)確定出來(lái)確定出e的大小和方向。的大小和方向。22yxeee26adlxr

20、120 /2lyedxedyed 特殊情況下，如果此帶電直特殊情況下，如果此帶電直線是無(wú)限長(zhǎng)的，那么由線是無(wú)限長(zhǎng)的，那么由 10， 2 ，可得到，可得到aeeeyx020)sin(sin4120aex)cos(cos4210aey27三三 高斯定理高斯定理 gauss theorem電力線電力線 line of electric force 為形象地了解電場(chǎng)分為形象地了解電場(chǎng)分布，通常引入電力線的概布，通常引入電力線的概念。利用電力線可對(duì)電場(chǎng)念。利用電力線可對(duì)電場(chǎng)中各處場(chǎng)強(qiáng)的分布情況給中各處場(chǎng)強(qiáng)的分布情況給出較直觀的圖像。出較直觀的圖像。 前面講過(guò)電場(chǎng)中的前面講過(guò)電場(chǎng)中的每一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)每一點(diǎn)的場(chǎng)

21、強(qiáng)e都有一定都有一定的方向，使這些的方向，使這些曲線上曲線上的每一點(diǎn)切線方向都與的每一點(diǎn)切線方向都與該點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)該點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)e的方向一的方向一致致，這些曲線就叫做電，這些曲線就叫做電力線。力線。abcaebece28電力線的數(shù)密度電力線的數(shù)密度 為使電力線不只是表示出電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的方向的分布情況，為使電力線不只是表示出電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的方向的分布情況，且表示出場(chǎng)強(qiáng)的大小的分布情況，可引入電力線數(shù)密度的概念。且表示出場(chǎng)強(qiáng)的大小的分布情況，可引入電力線數(shù)密度的概念。在電場(chǎng)中任取一小面積元在電場(chǎng)中任取一小面積元 s與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直。設(shè)穿過(guò)與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)方向垂直。設(shè)穿過(guò) s的電力線有的電力線有 n根，則比值根，

22、則比值 n/ s就叫做該點(diǎn)電力線的數(shù)密度。就叫做該點(diǎn)電力線的數(shù)密度。它的意義就是它的意義就是該點(diǎn)附近單位垂直截面的電力線根數(shù)該點(diǎn)附近單位垂直截面的電力線根數(shù)。在作電力。在作電力線圖時(shí)總是使電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電力線數(shù)密度與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小成線圖時(shí)總是使電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電力線數(shù)密度與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小成正比，即正比，即sesne 電力線稀疏的地方表示場(chǎng)強(qiáng)小，電力線稠密的地方表示電力線稀疏的地方表示場(chǎng)強(qiáng)小，電力線稠密的地方表示場(chǎng)強(qiáng)大。場(chǎng)強(qiáng)大。29 電力線可以借助于一些實(shí)驗(yàn)方法顯示出來(lái)，例如在水電力線可以借助于一些實(shí)驗(yàn)方法顯示出來(lái)，例如在水平玻璃板上撒上一些細(xì)小的石膏顆粒，或在油上浮些草粒，平玻璃板上撒上一些細(xì)小的石

23、膏顆粒，或在油上浮些草粒，它們就會(huì)沿著電力線排列起來(lái)。下面給出的是幾種常見(jiàn)的電它們就會(huì)沿著電力線排列起來(lái)。下面給出的是幾種常見(jiàn)的電場(chǎng)的電力線圖。場(chǎng)的電力線圖。303132電力線的性質(zhì)電力線的性質(zhì)電力線總是起始于正電荷（或來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電電力線總是起始于正電荷（或來(lái)自無(wú)窮遠(yuǎn)處），終止于負(fù)電荷（或伸向無(wú)窮遠(yuǎn)），但不會(huì)在沒(méi)有電荷的地方中斷。荷（或伸向無(wú)窮遠(yuǎn)），但不會(huì)在沒(méi)有電荷的地方中斷。在沒(méi)有點(diǎn)電荷的空間里，任何兩條電力線都不會(huì)相交。在沒(méi)有點(diǎn)電荷的空間里，任何兩條電力線都不會(huì)相交。電力線不會(huì)形成閉合曲線。電力線不會(huì)形成閉合曲線。 注意：描繪電力線的目的是在于能形象地反映電場(chǎng)中場(chǎng)注意：描繪電

24、力線的目的是在于能形象地反映電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的分布情況，并非電場(chǎng)中真有這些實(shí)在的線。強(qiáng)的分布情況，并非電場(chǎng)中真有這些實(shí)在的線。33電通量電通量 利用電力線的圖像有助于對(duì)電通量的理解。在作電力線利用電力線的圖像有助于對(duì)電通量的理解。在作電力線圖時(shí)，應(yīng)使電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電力線數(shù)密度圖時(shí)，應(yīng)使電場(chǎng)中任一點(diǎn)的電力線數(shù)密度 n/ s與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大與該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小成正比，即小成正比，即snees這里這里 s與與e垂直。若規(guī)定其比例系數(shù)為垂直。若規(guī)定其比例系數(shù)為1，則可寫成下列等式，則可寫成下列等式sne或或sen34enss 當(dāng)所取的面元當(dāng)所取的面元 s 與該處場(chǎng)強(qiáng)與該處場(chǎng)強(qiáng)e不垂直時(shí)，則需考慮面不垂直時(shí)，則需考慮面

25、元元 s在垂直于在垂直于e方向上的投影面積方向上的投影面積 s。設(shè)。設(shè)n為面元法線方為面元法線方向的單位矢量，向的單位矢量，n與與e間夾角為間夾角為 ，于是有，于是有cosss由圖中可看出，通過(guò)由圖中可看出，通過(guò) s和和 s的電力線根數(shù)相等。而通過(guò)的電力線根數(shù)相等。而通過(guò) s的電力線根數(shù)為的電力線根數(shù)為cossese所以通過(guò)傾斜面元所以通過(guò)傾斜面元 s的電力線的電力線根數(shù)為根數(shù)為cossensen35cossen 上式右方的物理量稱為電通量：通過(guò)一面元上式右方的物理量稱為電通量：通過(guò)一面元 s的電的電通量定義為該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)通量定義為該點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)e與與 s在垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的投影面在垂直于場(chǎng)強(qiáng)方向的投影面

26、積積 s = s cos 的乘積。的乘積。今后，用今后，用 e表示通過(guò)表示通過(guò) s的電通量，即的電通量，即cossee 為銳角時(shí)，為銳角時(shí)，cos 0， e為正；為正； 為鈍角時(shí)，為鈍角時(shí)，cos 0 ， e為負(fù)；為負(fù)； = /2時(shí)，時(shí)，cos = 0，e =0。36 對(duì)于非無(wú)限小的曲面來(lái)說(shuō)，曲面上場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向一對(duì)于非無(wú)限小的曲面來(lái)說(shuō)，曲面上場(chǎng)強(qiáng)的大小和方向一般是逐點(diǎn)變化的，要計(jì)算電通量，就需要把這曲面分割成許多般是逐點(diǎn)變化的，要計(jì)算電通量，就需要把這曲面分割成許多小面元小面元 s ，并按前式計(jì)算通過(guò)每一個(gè)小面元的電通量，并按前式計(jì)算通過(guò)每一個(gè)小面元的電通量 e后后再迭加起來(lái)，得到通過(guò)整個(gè)

27、曲面再迭加起來(lái)，得到通過(guò)整個(gè)曲面s的總通量的總通量 e 。用數(shù)學(xué)公式來(lái)。用數(shù)學(xué)公式來(lái)表示則有表示則有sseesecos 當(dāng)所有的面元當(dāng)所有的面元 s 趨于無(wú)趨于無(wú)限小時(shí)，上式的求和即化為限小時(shí)，上式的求和即化為沿曲面的積分沿曲面的積分sedsecos37enn 一曲面有正反兩面，與此對(duì)應(yīng)，它一曲面有正反兩面，與此對(duì)應(yīng)，它的法線矢量也有正、反兩種取法。對(duì)于的法線矢量也有正、反兩種取法。對(duì)于單個(gè)曲面或不閉合的曲面，法線矢量的單個(gè)曲面或不閉合的曲面，法線矢量的正向取在朝哪一面無(wú)關(guān)緊要。但閉合曲正向取在朝哪一面無(wú)關(guān)緊要。但閉合曲面則把整個(gè)空間劃分成內(nèi)、外兩部分，面則把整個(gè)空間劃分成內(nèi)、外兩部分，其法線

28、矢量正方向的兩種取向就有了特其法線矢量正方向的兩種取向就有了特定的含義：定的含義：指向曲面外部空間的叫外法指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線線矢量，指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量矢量。對(duì)于一閉合曲面，有對(duì)于一閉合曲面，有sedsecoscossee38enn 指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向曲面外部空間的叫外法線矢量，指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量指向曲面內(nèi)部空間的叫內(nèi)法線矢量。cossee規(guī)定：對(duì)于閉合曲面，總是取它的外法線矢量為正。規(guī)定：對(duì)于閉合曲面，總是取它的外法線矢量為正。在電力線穿出曲面的地方，在電力線穿出曲面的地方， 90o，cos 0, e0,在電力線

29、進(jìn)入曲面的地方，在電力線進(jìn)入曲面的地方， 90o，cos 0, e 0。 sedsecos39高斯定理的表述高斯定理的表述:通過(guò)一個(gè)任意閉合曲面通過(guò)一個(gè)任意閉合曲面s的電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量強(qiáng)度的通量 e ，等于該曲面所包，等于該曲面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和圍的所有電荷電量的代數(shù)和q除除以以0，與閉合面外的電荷無(wú)關(guān)。，與閉合面外的電荷無(wú)關(guān)。用公式來(lái)表示，則有用公式來(lái)表示，則有)(01cos內(nèi)siseqdse這閉合曲面這閉合曲面s習(xí)慣上叫做高斯面。習(xí)慣上叫做高斯面。40高斯定理常寫成矢量形式，令高斯定理常寫成矢量形式，令dsnsd面元矢量面元矢量單位法線矢量單位法線矢量電通量可寫電通量可寫成成

30、sdedsedecos高斯定理可寫成高斯定理可寫成)(01內(nèi)siseqsde41高斯定理的應(yīng)用高斯定理的應(yīng)用 下面我們舉一些應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的例題。在使下面我們舉一些應(yīng)用高斯定理求場(chǎng)強(qiáng)的例題。在使用高斯定理時(shí)我們一定要注意，高斯定理中的用高斯定理時(shí)我們一定要注意，高斯定理中的e是帶電是帶電體系中所有電荷（無(wú)論是在你所取的高斯面內(nèi)還是高斯體系中所有電荷（無(wú)論是在你所取的高斯面內(nèi)還是高斯面外）產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)，而面外）產(chǎn)生的總場(chǎng)強(qiáng)，而q只是對(duì)高斯面內(nèi)的電荷求和。只是對(duì)高斯面內(nèi)的電荷求和。這是因?yàn)楦咚姑嫱獾碾姾蓪?duì)總通量這是因?yàn)楦咚姑嫱獾碾姾蓪?duì)總通量 e沒(méi)有貢獻(xiàn)，但不是沒(méi)有貢獻(xiàn)，但不是對(duì)總的場(chǎng)強(qiáng)沒(méi)有貢獻(xiàn)

31、。對(duì)總的場(chǎng)強(qiáng)沒(méi)有貢獻(xiàn)。)(01內(nèi)siseqsde 能夠直接運(yùn)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)的情形，都必須具有能夠直接運(yùn)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)的情形，都必須具有一定的對(duì)稱性。所以在下面的幾個(gè)例子里，我們首先要作一定的對(duì)稱性。所以在下面的幾個(gè)例子里，我們首先要作對(duì)稱性分析。解題中要求我們特別注意掌握的也正是這個(gè)對(duì)稱性分析。解題中要求我們特別注意掌握的也正是這個(gè)問(wèn)題。問(wèn)題。42均勻帶正電球殼內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)（半徑均勻帶正電球殼內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)（半徑r，帶電，帶電q） 因?yàn)榍驓ず鼙?，其厚度可忽略不?jì)，電荷因?yàn)榍驓ず鼙?，其厚度可忽略不?jì)，電荷q近似地近似地認(rèn)為均勻分布在球面上。由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，所認(rèn)為均勻分布在球面上。由于電

32、荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在空間中任意點(diǎn)以電場(chǎng)強(qiáng)度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在空間中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場(chǎng)點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。即在同一球面上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是相的距離。即在同一球面上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是相等的。等的。根據(jù)電場(chǎng)球?qū)ΨQ性的特點(diǎn)，以球心到場(chǎng)點(diǎn)根據(jù)電場(chǎng)球?qū)ΨQ性的特點(diǎn)，以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一同心球面，則通過(guò)此球的距離為半徑作一同心球面，則通過(guò)此球面的電通量為面的電通量為erdseedssdessse24qrr043 上述分析對(duì)于球面內(nèi)外的場(chǎng)點(diǎn)都是適用的，所以上上述分析對(duì)于球面內(nèi)外

33、的場(chǎng)點(diǎn)都是適用的，所以上式對(duì)于比球殼小的高斯面也是適用的。式對(duì)于比球殼小的高斯面也是適用的。rr0qrrr024qere204rqe 均勻帶電球殼在外部空間所均勻帶電球殼在外部空間所產(chǎn)生的電場(chǎng)，與其上電荷全部集產(chǎn)生的電場(chǎng)，與其上電荷全部集中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)一樣；其中在球心時(shí)產(chǎn)生的電場(chǎng)一樣；其球殼內(nèi)部空間的場(chǎng)強(qiáng)處處為零。球殼內(nèi)部空間的場(chǎng)強(qiáng)處處為零。rr042ere0e44rr0qr0er 可以畫出場(chǎng)強(qiáng)的大可以畫出場(chǎng)強(qiáng)的大小隨半徑小隨半徑r的變化情況，的變化情況，由圖可看出，場(chǎng)強(qiáng)在球由圖可看出，場(chǎng)強(qiáng)在球殼上（殼上（r=r）的數(shù)值有）的數(shù)值有個(gè)突變。個(gè)突變。45 均勻帶正電球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。球體

34、帶電均勻帶正電球體內(nèi)外的場(chǎng)強(qiáng)分布。球體帶電q，半徑為，半徑為r。 在此例里，電場(chǎng)的分布也是球?qū)ΨQ的。我們可把此帶電球在此例里，電場(chǎng)的分布也是球?qū)ΨQ的。我們可把此帶電球體分割成一層層的同心帶電球殼，這樣就可以利用上題的結(jié)果了。體分割成一層層的同心帶電球殼，這樣就可以利用上題的結(jié)果了。 如圖，取高斯面為同心球面包圍球體，如圖，取高斯面為同心球面包圍球體，即場(chǎng)點(diǎn)即場(chǎng)點(diǎn)p在球外，這時(shí)各層球殼上的電荷在球外，這時(shí)各層球殼上的電荷好象全部集中在球心一樣，從而有好象全部集中在球心一樣，從而有204rqe外或或0204rrqe外rrq0p 如果場(chǎng)點(diǎn)如果場(chǎng)點(diǎn)p在球內(nèi)，則所有半徑大于在球內(nèi)，則所有半徑大于r=0p

35、的那些球殼上的電荷對(duì)的那些球殼上的電荷對(duì)p都不起作用，都不起作用，只有半徑小于只有半徑小于r的球殼對(duì)的球殼對(duì)p點(diǎn)有貢獻(xiàn)，而它點(diǎn)有貢獻(xiàn)，而它們上面的全部電荷們上面的全部電荷q又好像集中在球心處又好像集中在球心處一樣，從而有一樣，從而有204rqe內(nèi)0rrqp460rrqp半徑為半徑為r的高斯面包圍的體積是的高斯面包圍的體積是334r其中的電量其中的電量33333433434rrqrqrrqe場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)302044rqrrqe內(nèi)下面來(lái)計(jì)算下面來(lái)計(jì)算q ，因?yàn)?，因?yàn)閹щ娗蝮w的體積為帶電球體的體積為故電荷體密度為故電荷體密度為334334rqrqe334r204rqe內(nèi)470rrqp0rre 球體內(nèi)外球

36、體內(nèi)外e的變化的變化情況如圖?？梢钥闯鲈谇闆r如圖?？梢钥闯鲈谇蝮w內(nèi)部球體內(nèi)部e與與r成正比地成正比地增加；在增加；在r=r處，球體處，球體內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)大小趨于同一內(nèi)外場(chǎng)強(qiáng)大小趨于同一數(shù)值，即場(chǎng)強(qiáng)是連續(xù)的，數(shù)值，即場(chǎng)強(qiáng)是連續(xù)的，并且數(shù)值最大。并且數(shù)值最大。rrrr204rqe外304rqre內(nèi)48 均勻帶正電的無(wú)限長(zhǎng)圓柱面的場(chǎng)強(qiáng)（半徑均勻帶正電的無(wú)限長(zhǎng)圓柱面的場(chǎng)強(qiáng)（半徑r，電荷，電荷面密度面密度 ）。）。 可以看出，這個(gè)體系具可以看出，這個(gè)體系具有軸對(duì)稱性，即在任何垂直有軸對(duì)稱性，即在任何垂直于圓柱面的平面內(nèi)的同心圓于圓柱面的平面內(nèi)的同心圓周上場(chǎng)強(qiáng)的大小都一樣，而周上場(chǎng)強(qiáng)的大小都一樣，而且由于圓柱面

37、是無(wú)限長(zhǎng)，只且由于圓柱面是無(wú)限長(zhǎng)，只要是離開(kāi)軸線的距離比柱面要是離開(kāi)軸線的距離比柱面的長(zhǎng)度小得多的地方，這個(gè)的長(zhǎng)度小得多的地方，這個(gè)帶電圓柱面所產(chǎn)生的電場(chǎng)的帶電圓柱面所產(chǎn)生的電場(chǎng)的方向都垂直于圓柱面，向外方向都垂直于圓柱面，向外呈輻射狀。只要保持呈輻射狀。只要保持r的大小的大小不變，場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)值也不變。不變，場(chǎng)強(qiáng)的數(shù)值也不變。rr49rrl 根據(jù)上面的分析，高斯面應(yīng)取一圓柱面。設(shè)此面長(zhǎng)為根據(jù)上面的分析，高斯面應(yīng)取一圓柱面。設(shè)此面長(zhǎng)為l，半，半徑為徑為r，軸線和無(wú)限長(zhǎng)圓柱面的軸線重合，上下兩底用垂直于柱，軸線和無(wú)限長(zhǎng)圓柱面的軸線重合，上下兩底用垂直于柱面的平面封口，形成閉合面。這樣通過(guò)這閉合面的電

38、通量為面的平面封口，形成閉合面。這樣通過(guò)這閉合面的電通量為下底上底側(cè)面dsedsedsedsesecoscoscoscos在上下兩底，在上下兩底， = /2，cos =0。即通過(guò)上。即通過(guò)上下兩底的電通量為零。在側(cè)面上，各點(diǎn)下兩底的電通量為零。在側(cè)面上，各點(diǎn)e的大小相等，方向處處與面正交。且的大小相等，方向處處與面正交。且e是是常量，常量， cos =1。所以有。所以有rledsedsee2cos側(cè)面?zhèn)让?0rrlrledsedsee2cos側(cè)面?zhèn)让孢@閉合面只包圍長(zhǎng)度這閉合面只包圍長(zhǎng)度l的一段圓柱面，其中的電荷是的一段圓柱面，其中的電荷是2 rl ，所所以按高斯定理有以按高斯定理有0022rl

39、qrle即即rre0如果我們?cè)趫A柱面內(nèi)作同樣的分析，由如果我們?cè)趫A柱面內(nèi)作同樣的分析，由于其內(nèi)部不包圍電荷，因此圓柱面內(nèi)部于其內(nèi)部不包圍電荷，因此圓柱面內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)等于零。即的場(chǎng)強(qiáng)等于零。即0內(nèi)errl51設(shè)圓柱面單位長(zhǎng)度設(shè)圓柱面單位長(zhǎng)度上的電荷為上的電荷為 ，則有，則有rdlrdldldsdsdqdldq22r2即即代入到代入到rre0得到得到re02 由此可見(jiàn)，無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面對(duì)由此可見(jiàn)，無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面對(duì)柱外各點(diǎn)的作用，就像所有電荷全部集中柱外各點(diǎn)的作用，就像所有電荷全部集中在其軸線上的均勻帶電直線一樣。在其軸線上的均勻帶電直線一樣。rrlrrl或或2r52 無(wú)限大均勻帶正電平面薄

40、板的電場(chǎng)（電荷面密度無(wú)限大均勻帶正電平面薄板的電場(chǎng)（電荷面密度 ）sssee 對(duì)于此例的對(duì)稱性分析和上題有相似之處，可以看出：對(duì)于此例的對(duì)稱性分析和上題有相似之處，可以看出：兩側(cè)距平板等遠(yuǎn)的點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小一樣，方向處處與平板垂直。兩側(cè)距平板等遠(yuǎn)的點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小一樣，方向處處與平板垂直。根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的特點(diǎn)，我們可以取高斯面如圖：通過(guò)平面上一小根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的特點(diǎn)，我們可以取高斯面如圖：通過(guò)平面上一小面積面積 s，取一封閉柱面，取一封閉柱面s，柱面的軸線和平面正交，兩底面，柱面的軸線和平面正交，兩底面的面積都等于的面積都等于 s，按高斯定理有，按高斯定理有ee+ s(b)53021coscoscoscosisqds

41、edsedsedse側(cè)面底底側(cè)面上側(cè)面上 = /2，cos =0。即通過(guò)側(cè)面的電通量是即通過(guò)側(cè)面的電通量是零。零。s面內(nèi)所包圍的電荷面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和的代數(shù)和0cos側(cè)面dsesssee n54底面上底面上 =0，cos =1，即，即sesesedsedseedsedsdsedse2coscos212121底底底底底底sssee 12sq因?yàn)橐驗(yàn)樗运?2sse即即02e5502esssee- 12 如果板上所帶的如果板上所帶的是負(fù)電荷，上式也完是負(fù)電荷，上式也完全適用，只是場(chǎng)強(qiáng)方全適用，只是場(chǎng)強(qiáng)方向相反，從兩側(cè)指向向相反，從兩側(cè)指向平板。平板。56 利用上面的結(jié)果，我們也可以求出利用

42、上面的結(jié)果，我們也可以求出真空中帶等量異號(hào)真空中帶等量異號(hào)電荷的一對(duì)無(wú)限大平行平面之間的場(chǎng)強(qiáng)。電荷的一對(duì)無(wú)限大平行平面之間的場(chǎng)強(qiáng)。ab+-按場(chǎng)強(qiáng)迭加原理，有按場(chǎng)強(qiáng)迭加原理，有baeee 由對(duì)稱性可知，除邊緣附近以外由對(duì)稱性可知，除邊緣附近以外e分別為無(wú)限大均勻分別為無(wú)限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)，場(chǎng)強(qiáng)的方向如圖。帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)，場(chǎng)強(qiáng)的方向如圖。兩平面之間兩平面之間00022baeee兩平面外側(cè)兩平面外側(cè)0baeee57ab+-兩平面之間兩平面之間0e兩平面外側(cè)兩平面外側(cè)0e 兩平行平面均勻帶有等值異號(hào)兩平行平面均勻帶有等值異號(hào)電荷時(shí)，如果平面線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩電荷時(shí)，如果平面線度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩平面之間的距離

43、時(shí)，除邊緣外，電平面之間的距離時(shí)，除邊緣外，電場(chǎng)全部集中與兩平面之間，而且是場(chǎng)全部集中與兩平面之間，而且是均勻的。在實(shí)驗(yàn)室中我們常用此產(chǎn)均勻的。在實(shí)驗(yàn)室中我們常用此產(chǎn)生勻強(qiáng)電場(chǎng)。生勻強(qiáng)電場(chǎng)。581. 一一“無(wú)限大無(wú)限大”均勻帶電平面均勻帶電平面a的附近放一與它平行的的附近放一與它平行的“無(wú)限大無(wú)限大”均勻帶電平面均勻帶電平面b，如圖所示。已知，如圖所示。已知a上的電荷面密度為上的電荷面密度為 ，b b上的上的電荷面密度為電荷面密度為2 ，如果設(shè)向右為正方向，則兩平面之間和平面，如果設(shè)向右為正方向，則兩平面之間和平面b外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為外的電場(chǎng)強(qiáng)度分別為00023222e0002222e0000

44、00002,)(23,2)(,)(2,)(dcba2ab兩平面之間兩平面之間 c平面平面b外外592 在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為b的正方形中心處放置一電荷為的正方形中心處放置一電荷為q的點(diǎn)電荷，則正的點(diǎn)電荷，則正方形頂角處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為方形頂角處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小為20202020)(3)(2)(4)(bqdbqcbqbbqaqb245cos20bbx2020202424bqbqxqe b606. 一均勻電場(chǎng)一均勻電場(chǎng)e e的方向與的方向與x 軸同向，如圖所示則通過(guò)圖中半軸同向，如圖所示則通過(guò)圖中半徑為徑為r 的半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為的半球面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為 a.)(.2)(. 2/)(. 0)(222e

45、rdercerba x o e 通過(guò)半球面的通量通過(guò)半球面的通量與通過(guò)圓面的通量相等與通過(guò)圓面的通量相等,因此因此 =0.sedsecos0617.如果一高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和如果一高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和q8.850 10-12c，則可肯定：則可肯定： (a) 高斯面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均為零高斯面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)均為零 (b) 穿過(guò)高斯面上每一面元的電場(chǎng)強(qiáng)度通量均為穿過(guò)高斯面上每一面元的電場(chǎng)強(qiáng)度通量均為1nm2/c (c) 穿過(guò)整個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為穿過(guò)整個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為1nm2/c (d) 以上說(shuō)法都不對(duì)以上說(shuō)法都不對(duì) ca：即使面內(nèi)電荷代數(shù)和為零，高斯面上：即使面內(nèi)電荷代數(shù)和

46、為零，高斯面上e也不一定處處為零。也不一定處處為零。)(01內(nèi)siseqsdec：高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和：高斯面所包圍的體積內(nèi)電荷代數(shù)和q8.85 10-12c ，則，則穿過(guò)穿過(guò)整個(gè)高斯面整個(gè)高斯面的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為的電場(chǎng)強(qiáng)度通量為1nm2/c 629.9.兩個(gè)同心均勻帶電球面，半徑分別為兩個(gè)同心均勻帶電球面，半徑分別為ra 和和rb( (ra rb),),所帶所帶電荷分別為電荷分別為qa和和qb，設(shè)某點(diǎn)與球心相距，設(shè)某點(diǎn)與球心相距r r，當(dāng)，當(dāng)r rb br時(shí)時(shí)rqdrrqur020440qrpr90rrrdrrqdrrqru203044 rrrqrrrrqe 4 430200qrpr

47、當(dāng)當(dāng)rr時(shí)時(shí)rqrrrq0302248)(91計(jì)算電勢(shì)的方法有兩種：計(jì)算電勢(shì)的方法有兩種：利用電勢(shì)的定義式利用電勢(shì)的定義式baabldeu$要注意參考點(diǎn)的選擇，只有電荷分布在有限的空間時(shí)，要注意參考點(diǎn)的選擇，只有電荷分布在有限的空間時(shí)，才能選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢(shì)為零；才能選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電勢(shì)為零；$積分路徑上的電場(chǎng)強(qiáng)度的函數(shù)形式要求已知或可求。積分路徑上的電場(chǎng)強(qiáng)度的函數(shù)形式要求已知或可求。利用電勢(shì)的疊加原理利用電勢(shì)的疊加原理rdqu04$要求電荷的分布區(qū)域是已知的；要求電荷的分布區(qū)域是已知的；$當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域內(nèi)，可以選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為當(dāng)電荷分布在有限的區(qū)域內(nèi)，可以選擇無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為電勢(shì)的零點(diǎn)的；而當(dāng)

48、激發(fā)電場(chǎng)的電荷分布延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)電勢(shì)的零點(diǎn)的；而當(dāng)激發(fā)電場(chǎng)的電荷分布延伸到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，只能根據(jù)具體問(wèn)題的性質(zhì)，在場(chǎng)中選擇某點(diǎn)為電勢(shì)時(shí)，只能根據(jù)具體問(wèn)題的性質(zhì)，在場(chǎng)中選擇某點(diǎn)為電勢(shì)的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。92六六 電勢(shì)的圖示法電勢(shì)的圖示法 等勢(shì)面等勢(shì)面 我們知道，電場(chǎng)的分布可以借助于電力線圖形象地我們知道，電場(chǎng)的分布可以借助于電力線圖形象地描繪，那么電勢(shì)的分布是否也可以形象地描繪出來(lái)呢？描繪，那么電勢(shì)的分布是否也可以形象地描繪出來(lái)呢？實(shí)際上同樣可以，這就是等勢(shì)面圖。實(shí)際上同樣可以，這就是等勢(shì)面圖。 一般說(shuō)來(lái)，靜電場(chǎng)中的電勢(shì)值是逐點(diǎn)變化的，但總有一般說(shuō)來(lái)，靜電場(chǎng)中的電勢(shì)值是逐點(diǎn)變化的，但總有一些點(diǎn)的電勢(shì)彼此相

49、同，而這些電勢(shì)值相同的點(diǎn)，又往往處一些點(diǎn)的電勢(shì)彼此相同，而這些電勢(shì)值相同的點(diǎn)，又往往處在一定的曲面上。例如，點(diǎn)電荷在一定的曲面上。例如，點(diǎn)電荷q產(chǎn)生的電場(chǎng)中電勢(shì)為產(chǎn)生的電場(chǎng)中電勢(shì)為204rqu 電勢(shì)電勢(shì)u只與距離只與距離r有關(guān)，這就是說(shuō)，距有關(guān)，這就是說(shuō)，距q等遠(yuǎn)的點(diǎn)，電勢(shì)值都相同。等遠(yuǎn)的點(diǎn)，電勢(shì)值都相同。pqr93+點(diǎn)電荷e勻強(qiáng)電場(chǎng)帶電體 如圖，點(diǎn)電荷電場(chǎng)中那些電勢(shì)相等的點(diǎn)都處在以如圖，點(diǎn)電荷電場(chǎng)中那些電勢(shì)相等的點(diǎn)都處在以q為中心為中心的球面上，我們把這些電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的平面叫做的球面上，我們把這些電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的平面叫做等勢(shì)面等勢(shì)面.所以點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中所以點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中,等勢(shì)面就是

50、一系列以等勢(shì)面就是一系列以q為中心的同心球面。為中心的同心球面。點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電力線是沿半徑方向的一系列直線，很顯然這點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電力線是沿半徑方向的一系列直線，很顯然這些電力線是與等勢(shì)面處處正交的，電力線的方向指向電勢(shì)降落些電力線是與等勢(shì)面處處正交的，電力線的方向指向電勢(shì)降落的方向。的方向。94縱觀各種等勢(shì)面圖，可得出兩點(diǎn)結(jié)論：縱觀各種等勢(shì)面圖，可得出兩點(diǎn)結(jié)論：靜電場(chǎng)中，當(dāng)電荷沿等勢(shì)面移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力不會(huì)作功靜電場(chǎng)中，當(dāng)電荷沿等勢(shì)面移動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)力不會(huì)作功。這。這是因?yàn)槭且驗(yàn)?(0baabuuqa而在等勢(shì)面上，任意兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差而在等勢(shì)面上，任意兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差0bauu所以所以0abae9

51、5如圖，設(shè)一試驗(yàn)電荷如圖，設(shè)一試驗(yàn)電荷q0沿等勢(shì)面作一任意元位移沿等勢(shì)面作一任意元位移dl，于是電，于是電場(chǎng)力作功場(chǎng)力作功q0eld0cos0edlq這里這里q0 、e、dl都不為零所以必然有都不為零所以必然有0cos即即2 這就是說(shuō)，要使得這就是說(shuō)，要使得e與等勢(shì)與等勢(shì)面上的任意線元面上的任意線元dl都垂直，電場(chǎng)都垂直，電場(chǎng)強(qiáng)度（電力線）與等勢(shì)面就必須強(qiáng)度（電力線）與等勢(shì)面就必須處處正交。處處正交。 與電力線相似，從等勢(shì)面的與電力線相似，從等勢(shì)面的疏密程度也能表示出電場(chǎng)的強(qiáng)弱。疏密程度也能表示出電場(chǎng)的強(qiáng)弱。等勢(shì)面較密集的地方場(chǎng)強(qiáng)大，較等勢(shì)面較密集的地方場(chǎng)強(qiáng)大，較稀疏的地方場(chǎng)強(qiáng)小稀疏的地方場(chǎng)強(qiáng)

52、小。靜電場(chǎng)中，等勢(shì)面與電力線處處正交，靜電場(chǎng)中，等勢(shì)面與電力線處處正交，e的方向指向電勢(shì)降的方向指向電勢(shì)降落的方向落的方向。96七七 電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度之間的關(guān)系電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度之間的關(guān)系電勢(shì)梯度電勢(shì)梯度 梯度一詞，通常指梯度一詞，通常指一個(gè)物理量的空間變化率一個(gè)物理量的空間變化率。用。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是這個(gè)物理量對(duì)空間坐標(biāo)的微商。數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是這個(gè)物理量對(duì)空間坐標(biāo)的微商。 任何空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)，叫做標(biāo)量場(chǎng)。電勢(shì)任何空間坐標(biāo)的標(biāo)量函數(shù)，叫做標(biāo)量場(chǎng)。電勢(shì)u是個(gè)標(biāo)量，它在空間每一點(diǎn)有一定的數(shù)值，所以電是個(gè)標(biāo)量，它在空間每一點(diǎn)有一定的數(shù)值，所以電勢(shì)是個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。在三維空間里，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)沿不同

53、勢(shì)是個(gè)標(biāo)量場(chǎng)。在三維空間里，一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)沿不同方向的變化率不同。方向的變化率不同。97 在任一靜電場(chǎng)中取兩個(gè)彼此靠得很近的等勢(shì)面，電勢(shì)分在任一靜電場(chǎng)中取兩個(gè)彼此靠得很近的等勢(shì)面，電勢(shì)分別是別是u和和u+du，并設(shè)，并設(shè)du 0，即，即2上的電勢(shì)比上的電勢(shì)比1高。我們?cè)诟?。我們?cè)趐1點(diǎn)處作等勢(shì)面點(diǎn)處作等勢(shì)面1的法線，并規(guī)定這法線的正方向指向電勢(shì)增的法線，并規(guī)定這法線的正方向指向電勢(shì)增加的方向。加的方向。n0表示法線方向的單位矢量；兩等勢(shì)面之間的距表示法線方向的單位矢量；兩等勢(shì)面之間的距離離p1p2用用dn表示，顯然表示，顯然dn是這兩個(gè)等勢(shì)面之間的最短距離。是這兩個(gè)等勢(shì)面之間的最短距離。等勢(shì)面上的

54、其它各點(diǎn)，例如等勢(shì)面上的其它各點(diǎn)，例如p1點(diǎn)到點(diǎn)到p3點(diǎn)的距離都恒大于點(diǎn)的距離都恒大于dn 。nd12ldele0nuu+dup1p2p3由圖可知由圖可知cosdldn 即即cosdndl 9812ldelend0nuu+dup1p2p3沿沿dl方向的電勢(shì)增加率是方向的電勢(shì)增加率是cosdndudldu其中其中du/dn是沿是沿n方向上的電勢(shì)增加率。上式說(shuō)明方向上的電勢(shì)增加率。上式說(shuō)明dndudldu 沿沿n0方向上的電勢(shì)增加率大于沿其方向上的電勢(shì)增加率大于沿其它任意方向上的電勢(shì)增加率。它任意方向上的電勢(shì)增加率。此式實(shí)際上是表明了一個(gè)矢量的投影此式實(shí)際上是表明了一個(gè)矢量的投影和它的絕對(duì)值之間的

55、關(guān)系：和它的絕對(duì)值之間的關(guān)系：dl方向上方向上的電勢(shì)增加率的電勢(shì)增加率du/dl就可以看作是矢量就可以看作是矢量du/dn在在dl方向上的分量，此矢量我們方向上的分量，此矢量我們就稱它為就稱它為p1點(diǎn)處的電勢(shì)梯度矢量，通點(diǎn)處的電勢(shì)梯度矢量，通常用常用gradu表示表示(gradient)。 電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)梯度矢量，在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)梯度矢量，在方向上與該點(diǎn)處電勢(shì)增加率最大的方方向上與該點(diǎn)處電勢(shì)增加率最大的方向相同，在量值上等于沿該方向上的向相同，在量值上等于沿該方向上的電勢(shì)增加率。電勢(shì)增加率。99電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度之間的關(guān)系電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)梯度之間的關(guān)系12ldelend0nuu+dup1p2

56、p3 由于電力線的方向亦即電場(chǎng)強(qiáng)度的方向恒與等勢(shì)面由于電力線的方向亦即電場(chǎng)強(qiáng)度的方向恒與等勢(shì)面正交，而且指向電勢(shì)降落的方向，所以正交，而且指向電勢(shì)降落的方向，所以p1點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量量e的方向應(yīng)與的方向應(yīng)與n0的方向相反。當(dāng)單位電荷從電勢(shì)為的方向相反。當(dāng)單位電荷從電勢(shì)為u的的p1點(diǎn)沿法線方向移到電勢(shì)為點(diǎn)沿法線方向移到電勢(shì)為u+du的的p2點(diǎn)時(shí)，應(yīng)用電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)用電場(chǎng)力對(duì)單位正電荷所作的功等于起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的電勢(shì)差的關(guān)系單位正電荷所作的功等于起點(diǎn)和終點(diǎn)之間的電勢(shì)差的關(guān)系babaabuuldea知知duduuudnen)(所以有所以有dnduen式中的負(fù)號(hào)說(shuō)明式中的負(fù)號(hào)說(shuō)明e與與

57、n0的方向相反。的方向相反。100gradundndue0此式說(shuō)明：此式說(shuō)明：在電場(chǎng)中各點(diǎn)的電場(chǎng)在電場(chǎng)中各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度的負(fù)值強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢(shì)梯度的負(fù)值。如果對(duì)上式在任意方向如果對(duì)上式在任意方向dl上取分量，就有上取分量，就有dldudndugraduelcos)(亦即電場(chǎng)強(qiáng)度在亦即電場(chǎng)強(qiáng)度在dl方向上的分量方向上的分量el應(yīng)等于電勢(shì)梯度矢量在應(yīng)等于電勢(shì)梯度矢量在dl方向方向上的分量的負(fù)值。由此可知，在直角坐標(biāo)系中場(chǎng)強(qiáng)上的分量的負(fù)值。由此可知，在直角坐標(biāo)系中場(chǎng)強(qiáng)e沿沿x、y、z三個(gè)方向上的分量分別為三個(gè)方向上的分量分別為zueyuexuezyx, 可以看出，電勢(shì)梯度的單位是伏特可

58、以看出，電勢(shì)梯度的單位是伏特米米-1（vm-1），），所以所以場(chǎng)強(qiáng)也常用這個(gè)單位。場(chǎng)強(qiáng)也常用這個(gè)單位。10112.如圖所示，在點(diǎn)電荷如圖所示，在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中，在以的電場(chǎng)中，在以q為中心、為中心、r為半徑為半徑的球面上，若選取的球面上，若選取p處作為電勢(shì)零點(diǎn)，則與點(diǎn)電荷處作為電勢(shì)零點(diǎn)，則與點(diǎn)電荷q距離為距離為r的的p點(diǎn)的電勢(shì)為點(diǎn)的電勢(shì)為 b.4)(.)(4)().11(4)().11(4)(0000rqudrrqucrrqubrrquaprqrprprprpldeqaupu0) ()11(44020rrqdrrqurrp10213.圖中實(shí)線為某電場(chǎng)中的電場(chǎng)線，虛線表示等勢(shì)（位）面，圖中實(shí)線為

59、某電場(chǎng)中的電場(chǎng)線，虛線表示等勢(shì)（位）面，由圖可看出由圖可看出cbacbacbacbacbacbacbacbauuueeeduuueeecuuueeebuuueeea,)(,)(,)(,)( dabc 電力線的方向指向電勢(shì)降落的方向，電力線的方向指向電勢(shì)降落的方向，因此因此a點(diǎn)的電勢(shì)低，點(diǎn)的電勢(shì)低，c 點(diǎn)的電勢(shì)高。點(diǎn)的電勢(shì)高。 電力線稀疏的地方表示場(chǎng)強(qiáng)小，電電力線稀疏的地方表示場(chǎng)強(qiáng)小，電力線稠密的地方表示場(chǎng)強(qiáng)大，因此力線稠密的地方表示場(chǎng)強(qiáng)大，因此a 點(diǎn)點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大，場(chǎng)強(qiáng)大，c點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)小。點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)小。1036. 如圖所示試驗(yàn)電荷如圖所示試驗(yàn)電荷q， 在點(diǎn)電荷在點(diǎn)電荷+q產(chǎn)生的電場(chǎng)中，沿半產(chǎn)生的電場(chǎng)中，沿半

60、徑為徑為r的整個(gè)圓弧的的整個(gè)圓弧的3/4圓弧軌道由圓弧軌道由a點(diǎn)移到點(diǎn)移到d點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)點(diǎn)的過(guò)程中電場(chǎng)力作功為力作功為_(kāi)；從；從d點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程中，點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)處的過(guò)程中，電場(chǎng)力作功為電場(chǎng)力作功為_(kāi) +q r q a d 作功與路徑無(wú)關(guān)。作功與路徑無(wú)關(guān)。011()4dadaadqqadarradrrr0a0011()44ddqqqqadarr01047 如圖所示，在靜電場(chǎng)中，一電荷如圖所示，在靜電場(chǎng)中，一電荷q=1.6 10-19c沿沿1/4圓弧軌道圓弧軌道從從a點(diǎn)移到點(diǎn)移到b點(diǎn)，電場(chǎng)力做功點(diǎn)，電場(chǎng)力做功3.2 10-15j。當(dāng)質(zhì)子沿。當(dāng)質(zhì)子沿3/4圓弧軌圓弧軌道從道從b點(diǎn)回到點(diǎn)回到a