不定積分的概念與性質53565

1、例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函數(shù)數(shù). )0(1ln xxxxln是是x1在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù).如果在區(qū)間如果在區(qū)間i內(nèi)，內(nèi)，定義：定義：可可導導函函數(shù)數(shù))(xf的的即即ix ，都都有有)()(xfxf 或或dxxfxdf)()( ，那那么么函函數(shù)數(shù))(xf就就稱稱為為)(xf導函數(shù)為導函數(shù)為)(xf，或或dxxf)(在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)原原函函數(shù)數(shù). .一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念原函數(shù)存在定理：原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間i內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，簡言之：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).

2、問題：問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？原函數(shù)是否唯一？例例 xxcossin xcxcossin （ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c那那么么在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)存存在在可可導導函函數(shù)數(shù))(xf，使使ix ，都有，都有)()(xfxf . .(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？關于原函數(shù)的說明：關于原函數(shù)的說明：（1）若）若 ，則對于任意常數(shù)，則對于任意常數(shù) ，)()(xfxf ccxf )(都都是是)(xf的的原原函函數(shù)數(shù).（2）若）若 和和 都是都是 的原函數(shù)，的原函數(shù)，)(xf)(xg)(xf則則cxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c證證 )()()()(x

3、gxfxgxf 0)()( xfxfcxgxf )()(（ 為任意常數(shù)）為任意常數(shù)）c任意常數(shù)任意常數(shù)積分號積分號被積函數(shù)被積函數(shù)不定積分的定義：不定積分的定義：在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)，cxfdxxf )()(被積表達式被積表達式積分變量積分變量函函數(shù)數(shù))(xf的的帶帶有有任任意意常數(shù)項的原函數(shù)常數(shù)項的原函數(shù)稱稱為為)(xf在在區(qū)區(qū)間間i內(nèi)內(nèi)的的不定積分不定積分，記為，記為 dxxf)(. .例例1 1 求求.5dxx 解解,656xx .665cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 cxdxx例例3 3 設曲線通過點（設曲線通過點（1，2

4、），且其上任一點處的），且其上任一點處的切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程切線斜率等于這點橫坐標的兩倍，求此曲線方程.解解設曲線方程為設曲線方程為),(xfy 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一個原函數(shù)的一個原函數(shù).,22 cxxdx,)(2cxxf 由曲線通過點（由曲線通過點（1，2）, 1 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 12 xy函函數(shù)數(shù))(xf的的原原函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形稱稱為為)(xf的的積積分分曲曲線線.顯然，求不定積分得到一積分曲線族顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知由不定積分的定義，可知 ),()(xfdxxfdxd ,

5、)()(dxxfdxxfd ,)()( cxfdxxf.)()( cxfxdf結論：結論： 微分運算與求不定積分的運算是微分運算與求不定積分的運算是的的.實例實例 xx 11.11cxdxx 啟示啟示能否根據(jù)求導公式得出積分公式？能否根據(jù)求導公式得出積分公式？結論結論既然積分運算和微分運算是互逆的，既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.)1( 二、二、 基本積分表基本積分表基基本本積積分分表表 kckxkdx()1(是常數(shù)是常數(shù)););1(1)2(1 cxdxx;ln)3( cxxdx說明：說明： , 0 x,ln cxxdx )ln

6、(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( cxxdx,|ln cxxdx dxx211)4(;arctancx dxx211)5(;arcsincx xdxcos)6(;sincx xdxsin)7(;coscx xdx2cos)8( xdx2sec;tancx xdx2sin)9( xdx2csc;cotcx xdxxtansec)10(;seccx xdxxcotcsc)11(;csccx dxex)12(;cex dxax)13(;lncaax xdxsinh)14(;coshcx xdxcosh)15(;sinhcx 例例4 4 求積分求積分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25

7、cx 125125.7227cx 根據(jù)積分公式（根據(jù)積分公式（2）cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf證證 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.（此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）（此性質可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）三、三、 不定積分的性質不定積分的性質 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常數(shù)數(shù)，)0 k例例5 5 求積分求積分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 c 例例6 6 求積分求積分解解.)

8、1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctancxx例例7 7 求積分求積分解解.)1(21222dxxxx dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1cxx 例例8 8 求積分求積分解解.2cos11 dxx dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21cx 說明：說明： 以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表恒等變形，才能使用基本積分表.例例 9 9 已知一曲線已

9、知一曲線)(xfy 在點在點)(,(xfx處的處的切線斜率為切線斜率為xxsinsec2 ，且此曲線與，且此曲線與y軸的交軸的交點為點為)5 , 0(，求此曲線的方程，求此曲線的方程.解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costancxx , 5)0( y, 6 c所求曲線方程為所求曲線方程為. 6costan xxy基本積分表基本積分表(1)不定積分的性質不定積分的性質 原函數(shù)的概念：原函數(shù)的概念：)()(xfxf 不定積分的概念：不定積分的概念： cxfdxxf)()(求微分與求積分的互逆關系求微分與求積分的互逆關系四、四、 小結小結思考題思考題符號函數(shù)符號函數(shù) 0, 10, 00, 1sgn)(xxxxxf在在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？),( 思考題解答思考題解答不存在