立高中數(shù)學(xué)必修二立體幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題

1、名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)立體幾何初步一、柱、錐、臺(tái)、球的圖形（ 1）棱柱：（ 2）棱錐（ 3）棱臺(tái)：（ 4）圓柱：（ 5）圓錐：（ 6）圓臺(tái)：（ 7）球體：二、空間幾何體的三視圖三視圖：主視圖、左視圖、俯視圖【注：主視圖反映了物體的高度和長(zhǎng)度；俯視圖反映了物體的長(zhǎng)度和寬度；左視圖反映了物體的高度和寬度?！咳?、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法特點(diǎn)：原來(lái)與 x 軸平行的線段仍然與x 平行且 長(zhǎng)度不變 ；原來(lái)與 y 軸平行的線段仍然與y 平行， 長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。四、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積（ 1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（ 2）特殊幾何體表面積公式（ c 為底面周長(zhǎng)， h 為

2、高， h為斜高， l 為母線）S直棱柱側(cè)面積chS2rhS正棱錐側(cè)面積ch'圓柱側(cè)12S圓錐側(cè)面積rlS正棱臺(tái)側(cè)面積1 (c1c2 )h'S圓臺(tái)側(cè)面積(rR)l2S圓柱表2r rlS圓錐表r rlS圓臺(tái)表r 2rlRlR 2（ 3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱ShV圓柱Shr 2 hV錐1 ShV圓錐1 r 2 h33V臺(tái)1( S'S' S S) hV圓臺(tái)1 (S'S' S S) h1 ( r 2rR R2 )h333（ 4）球體的表面積和體積公式：V球 =4R3； S球面 =4 R23五、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)

3、在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)?！?A l, B l , A, Bl】公理 2：經(jīng)過(guò)不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。【】名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行等角定理： 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。1、空間直線之間的位置關(guān)系：共面直線（相交直線、平行直線）異面直線（ 1）異面直線所成角 ：作平行，令兩線相交，所得銳角或直角，即所成角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90° ，若兩條異面直線所成的角是直角，這

4、兩條異面直線互相垂直。（ 2）求異面直線所成角步驟：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。證明作出的角即為所求角利用三角形來(lái)求角2、空間直線與平面之間的位置關(guān)系直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)； 【 a】直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)； 【 a A】直線與平面平行一一沒(méi)有公共點(diǎn)； 【 a 】注：直線與平面相交或平行統(tǒng)稱(chēng)為直線在平面外3、平面與平面之間的位置關(guān)系：兩平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)；【 】?jī)善矫嫦嘟挥幸粭l公共直線；【 B】六、空間中的平行問(wèn)題1、直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線

5、與此平面平行?！揪€線平行線面平行】線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行， 經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。 【線面平行線線平行】2、平面與平面平行的判定及其性質(zhì)（ 1）兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行?！揪€面平行面面平行】如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交 直線對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行?！揪€線平行面面平行】垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，（ 2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行?！久婷嫫叫芯€面平行】如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。

6、【面面平行線線平行】七、空間中的垂直問(wèn)題1、線線、面面、線面垂直的定義兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直。線面垂直： 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直， 就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。平面和平面垂直： 如果兩個(gè)平面相交， 所成的二面角 （從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角） ，就說(shuō)這兩個(gè)平面垂直。2、垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交 直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。面

7、面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理： 如果兩個(gè)平面互相垂直， 那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。八、 空間角問(wèn)題1、直線與直線所成的角兩平行直線所成的角：規(guī)定為0 。兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。兩條異面直線所成的角： 過(guò)空間任意一點(diǎn) O，分別作與兩條異面直線 a，b 平行的直線 a，b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。2、直線和平面所成的角平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0o。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定

8、為90o 。平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。求斜線與平面所成角（思路類(lèi)似于求異面直線所成角）：“ 一作，二證，三計(jì)算”。（ 1）作斜線上任意一點(diǎn)到面的垂線；并得到射影；（ 2）連接斜線、垂線、射影構(gòu)成三角形；（ 3）根據(jù)三角形算出斜線與平面的夾角。3、二面角和二面角的平面角（ 1）二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。（ 2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi) 分別作 垂直于 棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。（

9、 3）直二面角：平面角是 直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角（ 4）求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過(guò)這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法： 已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過(guò)兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角例 .下面幾何體中，過(guò)軸的截面一定是圓面的是（）A. 圓柱B.圓錐C.球D. 圓臺(tái)分析： 圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形，球的軸截面是圓面，所以A、B、D 均不正確 .答案： C例 . 已知一個(gè)正方形的直觀圖

10、是一個(gè)平行四邊形，其中有一邊長(zhǎng)為4，則此正方形的面積是（）A.16B.64C.16或 64D.都不對(duì)分析：根據(jù)直觀圖的畫(huà)法，平行于 x 軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于一半，于是長(zhǎng)為4 的邊如果平行于x 軸，則正方形邊長(zhǎng)為4，面積為平行于 y 軸，則正方形邊長(zhǎng)為8，面積是64.y 軸的線段變?yōu)樵瓉?lái)的16，邊長(zhǎng)為 4 的邊如果名師總結(jié)優(yōu)秀知識(shí)點(diǎn)答案： C例 . 關(guān)于 “斜二測(cè)畫(huà)法 ”，下列說(shuō)法不正確的是（）A. 原圖形中平行于x 軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于x軸，長(zhǎng)度不變B. 原圖形中平行于y 軸的線段，其對(duì)應(yīng)線段平行于1y軸，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2C.在畫(huà)與直角坐標(biāo)系xOy 對(duì)應(yīng)的 x O時(shí)，y x O必y須

11、是 45°D. 在畫(huà)直觀圖時(shí)，由于選軸的不同，所得的直觀圖可能不同分析： 在畫(huà)與直角坐標(biāo)系xOy 對(duì)應(yīng)的 xO時(shí)y， xO也y可以是135°，所以C 不正確 .答案： C例 . 一個(gè)三角形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出來(lái)的直觀圖是邊長(zhǎng)為2 的正三角形， 則原三角形的面積是（）A. 26B. 46C.3D. 都不對(duì)分析： 直觀圖的面積為：；由斜二測(cè)法中直觀圖和原圖面積關(guān)系得直觀，原三角形的面積=原圖答案： A例 . 一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為 1 的等腰梯形，則該平面圖形的面積等于（）12B. 12C.1 2D.22A.222直觀原圖（分析： 直觀圖的面積為：；由斜二測(cè)法中直觀圖和原圖面積關(guān)系得，原三角形的面積=.答案： D例（ 2007 寧夏模擬，理6）長(zhǎng)方體AC 1 的長(zhǎng)、寬、高分別為3、 2、 1，從 A 到 C1 沿長(zhǎng)方體的表面的最短距離為（）A.13B.210C.32D.23答案： C例 .（ 2005 湖南數(shù)學(xué)競(jìng)賽，9）若干個(gè)棱