微積分學PPt標準課件06第6講常數(shù)項級數(shù)審斂法

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程腳本編寫、教案制作：劉楚中 彭亞新 鄧愛珍 劉開宇 孟益民 第二章 數(shù)列的極限與常數(shù)項級數(shù)的含義。和極限。正確理解語言描述數(shù)列的會用了解數(shù)列極限的概念， nn念和性質(zhì)。量的概收斂準則。熟悉無窮小熟悉數(shù)列極限的性質(zhì)和。極限或簡單的極限證明限運算法則計算數(shù)列的以及極式”法、“夾逼定理”能熟練運用“放大不等性質(zhì)。件以及收斂級數(shù)的基本必要條性質(zhì)。掌握級數(shù)收斂的理解常數(shù)項級數(shù)概念和別法。收斂判判別法。掌握交錯級數(shù)熟悉常數(shù)項級數(shù)的收斂級數(shù)的斂散性。數(shù)、熟悉等比級數(shù)、調(diào)和級p本章學習要求：一.正項級數(shù)的審斂法二.任意項級數(shù)的斂散性常數(shù)項級數(shù) 正項級數(shù) 交錯級數(shù)任意項級數(shù)一般項級數(shù)

2、一.正項級數(shù)的審斂法正項級數(shù)收斂的充要條件比較判別法達朗貝爾比值判別法柯西根值判別法1.正項級數(shù)的定義若級數(shù)1nnu則稱之為正項級數(shù).滿足, ) , 2 , 1( 0nun 實質(zhì)上應是非負項級數(shù)收斂 1nnu2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)sn 有界.它的部分和數(shù)列 正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增加的 單調(diào)有界的數(shù)列必有極限 在某極限過程中有極限的量必界級數(shù)是否收斂？1121nn該級數(shù)為正項級數(shù), 又有nn21121(n =1, 2, )故 當n 1 時, 有nkknkkns1121121即其部分和數(shù)列 sn 有界, 從而, 級數(shù). 1211收斂nn解解21121121n1211n 例13.

3、正項級數(shù)斂散性的比較判別法且 0 un vn ( n = 1, 2, ) , 11nnnnvu 與設有正項級數(shù) . , (1)11收斂則收斂若nnnnuv . , (2)11發(fā)散則發(fā)散若nnnnvu大收小收, 小發(fā)大發(fā).記,1nkknus,1nkknvg 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 sn gn證證 (1) , , 1有界則部分和收斂若nnngv , 1也有界的部分和從而nnnsu . 1收斂故級數(shù)nnu記,1nkknus,1nkknvg 0 un vn (n = 1, 2, ) 0 sn gn , , 11nnnnnvsu從而無界則部分和發(fā)散若 . , 1發(fā)散故級數(shù)也無界的部

4、分和nnnvg證證 (2)判斷級數(shù)13sin2nnnx的斂散性. ( 0 x 0 ) 的斂散性.當 p1時, p 級數(shù)為調(diào)和級數(shù):, 11nn它是發(fā)散的.當 0 p 1 時, 按 1, 2, 22, 23, , 2n, 項 7151413121111pppppnpn而12121213121ppppp對 p 級數(shù)加括號, 不影響其斂散性：ppp1519181 pppp41414141ppp715141ppp1519181ppp818181 2112141pp3 112181pp故當 p 1 時, p 級數(shù)收斂.綜上所述: 當 p 1 時, p 級數(shù)收斂. 當 p 1 時, p 級數(shù)發(fā)散. ,數(shù)的

5、每一項均級數(shù)加括號后生成的級于是 p , 121 1應項為公比的等比級數(shù)的相小于以pr4.比較判別法的極限形式;, 2 , 1( 0 ,nvn且設和為兩個正項級數(shù) ,lim ). 0則若開始或從某一項nnnvun . , 0 ) 1 (11具有相同的斂散性與時nnnnvu. , 0 )2(11收斂收斂時nnnnuv. , )3(11發(fā)散發(fā)散時nnnnuv 由于nnnvulim( 0 0, n 0, 當 n n 時,成立，即 nnvunnnvuv)()(不妨取，2nnnvuv232運用比較判別法可知,11 nnnnvu 與具有相同的斂散性.證證(1) , , 00時當則nnn當 0 0, 當 n

6、 n 時, , 1 即nnvu故由比較判別法, 當 = 0 時,. 11收斂收斂nnnnuv證證(2),0 nnvu 由于nnnvulim( = ) m 0 (不妨取 m 1) , 1 mvunn即由比較判別法,發(fā)散 1nnv證證(3)故發(fā)散 1nnu n 0, 當 n n 時,當 = 時, 0 vn 0 為常數(shù)).因為111lim22nann( 即 = 1 為常數(shù) )又11nn是調(diào)和級數(shù), 它是發(fā)散的,1221nan發(fā)散.解解原級數(shù)故 例4 . ! )2(! ! 2! 1 1的斂散性判別級數(shù)nnn解解! )2() ! ( ! )2(! ! 2! 1 nnnnnun) 12()2)(1(21n

7、nnnvnn)2)(1(21,211)2)(1(21lim 2nnnn而,210 即由比較判別法及 p 級數(shù)的收斂性可知： . , )2)(1(2111從而原級數(shù)收斂收斂nnnvnn 例55.達朗貝爾比值判別法 , lim , 11則存在極限為正項級數(shù)設nnnnnuuu(1) 1 ( 包括 = ) 時, 級數(shù)發(fā)散；(3) = 1 時, 不能由此斷定級數(shù)的斂散性.判別級數(shù)122nnnx的斂散性, 其中, x 0 為常數(shù).222)1(21) 1(limlimnxnxuunnnnnn即 = x2 , 由達朗貝爾判別法：解解記，22nxunn則2222) 1(limxnxnn 需要討論 x 的取值范圍

8、 例6當 0 | x | 1 時, 1 時, 1, 級數(shù)發(fā)散.當 | x | =1 時, = 1, 但原級數(shù)此時為121221nnnnnx這是 n = 2 的 p 級數(shù), 是收斂的.綜上所述, 當 0 1 時, 原級數(shù)發(fā)散.)0( . ! 1xnnxnnn的斂散性判別級數(shù)解解這是一個正項級數(shù):),0( ! xnnxunnn! ) 1(! ) 1(limlim111nxnnnxuunnnnnnnn,11limexnxnn1)( ; , 0 原級數(shù)收斂時當ex1)( ; , 原級數(shù)發(fā)散時當xe , 1)( 時當ex , , 1euun 又故 . , 0lim ,原級數(shù)發(fā)散從而nnu 單調(diào)增加有上界

9、,以 e 為極限. 1, 11e1nnnnuu 例7 . 2lim nnn求 , 2 ,2 1而為正項級數(shù)則級數(shù)令nnnnnnu 1),21 ( 212 2 ) 1(limlim11即nnnnnnnnuu由達朗貝爾比值判別法知該正項級數(shù)收斂. 由級數(shù)收斂的必要條件得 . 02lim nnn 例8解解 達朗貝爾( daiember jean le rond )是法國物理學家、數(shù)學家。1717年11月生于巴黎，1783年10月卒于巴黎。 達朗貝爾是私生子，出生后被母親遺棄在巴黎一教堂附近，被一憲兵發(fā)現(xiàn)，臨時用該教堂的名字作為嬰兒的名字。后被生父找回，寄養(yǎng)在一工匠家里。 達朗貝爾少年時就讀于一個教會

10、學校，對數(shù)學特別感興趣。達朗貝爾沒有受過正規(guī)的大學教育，靠自學掌握了牛頓等大科學家的著作。1741年24歲的達朗貝爾因研究工作出色進入法國科學院工作。1754年成為法國科學院終身院士。 達朗貝爾在力學、數(shù)學、天文學等學科都有卓著的建樹。達朗貝爾的研究工作偏向于應用。1743年提出了被稱之為達朗貝爾原理的 “作用于一個物體的外力與動力的反作用之和為零” 的研究結果。達朗貝爾建立了將動力學問題轉(zhuǎn)化為精力學問題的一般方法。1747年在研究弦振動問題時得到了一維波動方程的通解，被稱為達朗貝爾解。1752年首先用微分方程表示場。 達朗貝爾終身未婚。1776年由于工作不順利，加之好友勒皮納斯小姐去世，使他

11、陷入極度悲傷和失望中。達朗貝爾去世后，由于他反宗教的表現(xiàn)，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。6. 柯西根值判別法 , lim , 1則存在極限為正項級數(shù)設nnnnnuu(1) 1 ( 包括 = )時, 級數(shù)發(fā)散；(3) = 1 時, 不能由此斷定級數(shù)的斂散性.)0( . 1 12aaannn的斂散性判別級數(shù)解解 . , 21 , 1 1顯然是發(fā)散的原級數(shù)為時當na , 11lim1lim , 10 22aaaaaannnnnnn時當 , 11111lim1lim , 1 22aaaaaannnnnnnn時當 . , 1 0 原級數(shù)收斂時且故aa例10 判別1nnax的斂散性. ( x 0, a 0

12、為常數(shù)) 記則 ,nnaxunnnnnnaxulimlim解解axaxnlim即: , 由柯西根值判別法ax當 x a 時, . , 1級數(shù)發(fā)散ax當 0 x a 時, . , 1級數(shù)收斂ax當 x = a 時, = 1, 但axnnnnaxu limlim11lim n故此時原級數(shù)發(fā)散.（級數(shù)收斂的必要條件）例11當 0 x a 時, 原級數(shù)收斂;當 x a 時, 原級數(shù)發(fā)散.綜上所述,1.交錯級數(shù)及其斂散性交錯級數(shù)是各項正負相間的一種級數(shù),nnuuuuu14321) 1(或nnuuuuu) 1(4321其中, un 0 ( n = 1 , 2 , ).它的一般形式為(萊布尼茲判別法)11)

13、 1(nnnu滿足條件:(1) (2) un un+1 ( n =1, 2, ) 則交錯級數(shù)收斂, 且其和 s 的值小于 u1 .0limnnu(級數(shù)收斂的必要條件) 若交錯級數(shù)(單調(diào)減少)12212432112mmmmuuuuuuus122mmus0 (由已知條件)證明的關鍵在于它的極限是否存在？只需證級數(shù)部分和 sn 當 n 時極限存在.ms2證證1) 取交錯級前 2m 項之和mmmuuuuuus21243212)()()(2124321mmuuuuuu由條件 (2) ：得 s2m 及)()(543212uuuuusm121222)(uuuummm由極限存在準則： . , lim12uss

14、smm且存在un un+1, un 0,2) 取交錯級數(shù)的前 2m +1 項之和12212432112mmmmuuuuuuus由條件1) :故 , 0limnnu)(limlim12212mmmmmuss綜上所述, 有。，且 lim1usssnn122mmussusmmmm122limlim討論級數(shù)1) 1(nnn的斂散性.這是一個交錯級數(shù)：nun1又01limlimnunnn1111nnunnu由萊布尼茲判別法, 該級數(shù)是收斂.解解例12 . ! ! )2(! ! ) 12() 1( 11的斂散性判別級數(shù)nnnn解解! ! )2)(22(! ! ) 12)(12(! ! )2(! ! ) 1

15、2(1nnnnnnun, ! ! )2(! ! ) 12(nunn: )0( 11 可得又由不等式abbaba214365 2232212nnnnun122nn325476 1222nn! ! )1(2! ! )2(nn) 12(1nun, 0121lim ,1210 nnunn且從而由萊布尼茨判別法, 原級數(shù)收斂. , 0lim nnu故例13 萊布尼茨萊布尼茨friedrich. leibniz (16461716年) 萊布尼茨 (16461716年) 是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列的科學家。他研究法律，在答辯了關于邏輯的論文后，得到哲學學士學位。1666年以論文論組合的藝術獲得阿爾特

16、道夫大學哲學博士學位，同時獲得該校的教授席位。 1671年，他制造了他的計算機。1672 年 3月作為梅因茲的選帝侯大使，政治出差導巴黎。這次訪問使他同數(shù)學家和科學家有了接觸，激起了他對數(shù)學的興趣。可以說，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂數(shù)學。 1673年他到倫敦，遇到另一些數(shù)學家和科學家，促使他更加深入地鉆研數(shù)學。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入各種政治活動，但他的科學研究工作領域是廣泛的，他的業(yè)余生活的活動范圍是龐大的。 除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學家、法學家、歷史學家、語言學家和先驅(qū)的地質(zhì)學家，他在邏輯學、力學、數(shù)學、流體靜力學、氣體學、航海學和計算機方面做了重要工作。雖然

17、他的教授席位是法學的，但他在數(shù)學和哲學方面的著作被列于世界上曾產(chǎn)生過的最優(yōu)秀的著作中。他用通信保持和人們的接觸，最遠的到錫蘭（ceylon）和中國。 他于1669年提議建立德國科學院，從事對人類有益的力學中的發(fā)明和化學、生理學方面的發(fā)現(xiàn) （ 1700 年柏林科學院成立）。 萊布尼茨從1684年開始發(fā)表論文，但他的許多成果以及他的思想的發(fā)展，實際上都包含在他從1673年起寫的，但從未發(fā)表過的成百的筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一個課題跳到另一個課題，并隨著他的思想的發(fā)展而改變他所用的記號。有些是它在研究格雷戈里、費馬、帕斯卡、巴羅的書和文章時，或是試圖將他們的思想納入自己處理微積分的

18、方式時所出現(xiàn)的簡單思想。 1714年萊布尼茨寫了微分學的歷史和起源，在這本書中，他給出了一些關于自己思想發(fā)展的記載，由于他出書的目的是為了澄清當時加于他的剽竊罪名，所以他可能不自覺地歪曲了關于他的思想來源的記載。不管他的筆記本多么混亂，都揭示了一個最偉大的才智，怎樣為了達到理解和創(chuàng)造而奮斗。 特別值得一提的是：萊布尼茨很早就意識到，微分與積分（看作是和）必定是相反的過程；1676 年 6月 23日的手稿中，他意識到求切線的最好方法是求 dy/dx ，其中 dy， dx 是變量的差，dy/dx 是差的商。萊布尼茨的工作，雖然富于啟發(fā)性而且意義深遠，但它是十分零亂不全的，以致幾乎不能理解。幸好貝努

19、利兄弟將他的文章大大加工，并做了大量的發(fā)展工作。1716年，他無聲無息地死去。2.任意項級數(shù)及其斂散性(1) 級數(shù)的絕對斂和條件收斂 . , | 11是絕對收斂的則稱原級數(shù)收斂若級數(shù)nnnnuu . , | , 111是條件收斂的則稱原級數(shù)發(fā)散但收斂若級數(shù)nnnnnnuuu ( 即絕對收斂的級數(shù)必定收斂 )證證 un | un |2|0nnnuuu, | 1收斂已知nnu, )| ( 1收斂故nnnuu從而. |)| ( 11收斂nnnnnnuuuu . , | 11必收斂則級數(shù)收斂若nnnnuu(1) 1 (包括 = ) 時, 級數(shù)發(fā)散.(3) = 1 時, 不能由此斷定級數(shù)的斂散性.(達朗

20、貝爾判別法)則存在若設有級數(shù) , |lim , 11nnnnnuuu解解331cos|nnxun由 p 級數(shù)的斂散性：. 113收斂nn, | 1收斂故nnu即原級數(shù)絕對收斂. 判別級數(shù)13cosnnx的斂散性.為常數(shù)）（ x例14記nnnxxu1| )1 (| )1 (|lim|lim111nnnnnnnnxxxxuu1| , 11 | , |1lim11xxxxxxnnn解解判別11nnnxx的斂散性, 其中, x 1為常數(shù).例15當 | x | 1 時, = | x | 1 時, = 1, 此時不能判斷其斂散性.由達朗貝爾判別法：但 | x | 1 時,011lim|limnnnnnxxu原級數(shù)發(fā)散.級數(shù)1111) 1(nnn是否絕對收斂?1111) 1(1nnn解解由調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性可知, 11