函數(shù)的連續(xù)性66876

1、1微積分微積分i i教師：教師：陳新宏陳新宏單位：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院?jiǎn)挝唬簲?shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21 1、連續(xù)性的定義、連續(xù)性的定義2 2、間斷點(diǎn)的類型、間斷點(diǎn)的類型3 3、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則4 4、最值定理與介值定理、最值定理與介值定理2.6 2.6 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性3復(fù)習(xí)：求極限的方法復(fù)習(xí)：求極限的方法x102xx4 4、三個(gè)充要條件、三個(gè)充要條件除除代入代入3 3、兩個(gè)重要公式、兩個(gè)重要公式5 5、無(wú)窮小量、無(wú)窮小量x x有界變量有界變量= =無(wú)窮小量無(wú)窮小量湊湊6 6、夾逼定理、夾逼定理7 7、等價(jià)無(wú)窮小量的替換、等價(jià)無(wú)窮小量的替換8 8、羅比他法則（、羅比他法

2、則（以后講以后講）4試作下面函數(shù)的圖象試作下面函數(shù)的圖象 21xy xy 2 1113112xxxfxx 11142xxxxxf5x xy yo o2xy （1）x xy yo oxy （2）yax1（3）x xy yo o（4）211可導(dǎo)（光滑可導(dǎo)（光滑)連續(xù)連續(xù)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)6一、函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的連續(xù)性定義定義1 1設(shè)變量設(shè)變量 u u從從初值初值1u變到變到終值終值,2u則則12uu 叫做變量叫做變量 u u 的的改變量（增量）改變量（增量）， 記作：記作：u即即u12uu 增量可正、可負(fù)、可零增量可正、可負(fù)、可零. .設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0

3、x某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義, ,給自變量給自變量x一增量一增量, x函數(shù)相應(yīng)增量為函數(shù)相應(yīng)增量為: :)x(f)xx(fy00 0 xxx0 x xy yo oyx)(xfy 注意注意1. 1. 改變量（增量）改變量（增量）7若若0lim0yx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義, ,定義定義2 2 則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù). .即即0)()(lim000 xfxxfx(1)(1)2 2、連續(xù)函數(shù)、連續(xù)函數(shù) 8例例1.1.驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)xxfsin)(在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù). .證證在點(diǎn)在點(diǎn)0 x給給 x一增量一增量, x則

4、則y00 xsin)xxsin( 2220 xxcosxsin ylimx 0 22200 xxcosxsinlimx 0 所以所以xxfsin)(在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù).由由0 x的任意性知的任意性知,xxfsin)(在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù), ,所以所以xysin為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù).類似可證類似可證xycos為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù).9若記,0 xxx則0 x,xx0)x(f)x(fy0 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x某鄰域內(nèi)有定義某鄰域內(nèi)有定義, ,ylimx 0)x(f)x(flimxx00 0 )x(f)x(flimxx00 若若)()(lim00 xfxfxx(2

5、)(2)則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù). .定義定義3 3 注釋：定義注釋：定義2 2與定義與定義3 3等價(jià)等價(jià)10由定義由定義3 3知知, ,)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù). .).()(lim).3 ; )(lim).2 ; )().10000 xfxfxfxfxxxx)(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù). .)(lim0 xfxx存在存在. .注意注意11例例2.2.討論函數(shù)討論函數(shù)0, 00,1sin)(xxxxxf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性. .解解 , 0)0(1f )(lim20 xfxxxx1sinlim00所以所以)(xf在在0 x處連續(xù)處連

6、續(xù). . )(lim30 xfx0)0(f12例例3.3.討論函數(shù)討論函數(shù)0, 1sin0, 1)(2xxxxxxf在在0 x處的連續(xù)性處的連續(xù)性. .解解 , 1)0(1f)(lim0 xfx) 1(lim20 xxx, 1)(lim0 xfx) 1(sinlim0 xx, 1)(lim0 xfx)0(f1所以所以)(xf在在0 x 處連續(xù)處連續(xù). .（2 2）求極限）求極限左左= =右右= = 1)(lim30 xfx133 3、左、右連續(xù)、左、右連續(xù)若若)()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處左連續(xù)左連續(xù). .若若)()(lim00 xfxfxx則稱

7、函數(shù)則稱函數(shù))(xfy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處右連續(xù)右連續(xù). .)x(f在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處連續(xù)處連續(xù). .)x(f在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處左、右都連續(xù)處左、右都連續(xù). .定理定理1 114例例4.4.討論函數(shù)討論函數(shù)0, 00,11)(1xxexfx在在0 x處的左、右連續(xù)性處的左、右連續(xù)性解解 , 0)0(1f 2xex111lim00所以所以)(xf在在0 x處右連續(xù)，但不左連續(xù)處右連續(xù)，但不左連續(xù). . )(lim30 xfx0)0(f,0 x,1xxe1)(lim0 xfx,0 x,1x01xe)(lim0 xfxxex111lim0115若若)(xf在區(qū)間在區(qū)間( (a a, ,b b) )內(nèi)每一

8、點(diǎn)處都連續(xù)，則稱內(nèi)每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱)(xf在在( (a a, ,b b) )內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在( (a a, ,b b) )內(nèi)連續(xù)，內(nèi)連續(xù)，若若)(xf且在左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)，且在左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)，則稱則稱)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a a, ,b b 上連續(xù)上連續(xù). .若若)(xf在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù), ,則稱則稱)(xf為該區(qū)域內(nèi)的為該區(qū)域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). .定義定義4 416二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處連續(xù)連續(xù). .).()(lim).3 ; )(lim).2 ; )().10000 xfxfxfxfxxxx以

9、上三個(gè)條件以上三個(gè)條件只要有一條不滿足只要有一條不滿足, ,即即)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處間斷處間斷,并稱并稱0 x為函數(shù)為函數(shù))(xf的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).間斷點(diǎn)的分類間斷點(diǎn)的分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)( 特點(diǎn)特點(diǎn): :左、右極限都存在左、右極限都存在 ) ),x(f)x(f),x(f)x(f00000000可去間斷點(diǎn)；可去間斷點(diǎn)；跳躍間斷點(diǎn)；跳躍間斷點(diǎn)；第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)( (特點(diǎn)：左、右極限至少有一個(gè)不存在）特點(diǎn)：左、右極限至少有一個(gè)不存在）)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處處不連續(xù)不連續(xù).函數(shù)函數(shù)17無(wú)定義無(wú)定義,從而間斷從而間斷. .因因xx1lim0,稱稱0 x為函數(shù)為函數(shù)xxf1)

10、(的無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn). .無(wú)定義無(wú)定義,從而間斷從而間斷. .因因0 x時(shí)時(shí), , 函數(shù)值在函數(shù)值在-1-1與與1 1之間變動(dòng)無(wú)限多次之間變動(dòng)無(wú)限多次, ,稱稱0 x為函數(shù)為函數(shù)xxf1sin)(的震蕩間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn). .例例4.4.函數(shù)函數(shù)xxf1)(在在0 x處處例例5.5.函數(shù)函數(shù)xxf1sin)(在在0 x處處18無(wú)定義無(wú)定義, ,但但)(lim1xfx11lim21xxx211lim1xx1x為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn).補(bǔ)充補(bǔ)充2) 1 (f即可連續(xù)即可連續(xù).例例6.6.函數(shù)函數(shù)11)(2xxxf在在1x處處從而間斷從而間斷.yax即即1,21,11)(2xxxxxf為連續(xù)函數(shù)為

11、連續(xù)函數(shù)19例例7.7.判別判別0, 00,sin)(xxxxxf在在0 x處處.)(lim0 xfxxxxsinlim010)0( f0 x為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn). 改變改變1)0(f即可即可. .即即0,10,sin)(xxxxxf為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)練習(xí)一下練習(xí)一下20例例8.8.函數(shù)函數(shù)0, 10, 00, 1)(xxxxxxf在在0 x處處, 0)0(f)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1xyo-111 xy1 xy)(lim0 xfx)(lim0 xfx0 x為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).21例例9.9.設(shè)設(shè), 0, 0, 11si

12、n)(2xxaxxxxf要使要使)(xf在在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)?a解解)0(f,0aa)00( f)(lim20 xax,0aa)00( f11sinlim0 xxx1由結(jié)論知由結(jié)論知, ,當(dāng)當(dāng)1a時(shí)時(shí), ,)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,從而在從而在),(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .只需討論只需討論)(xf在在0 x處連續(xù)處連續(xù), ,22例例11.11.設(shè)設(shè)0,sin10,0,21sin)(xbxxxaxxxxf在其定義域內(nèi)連續(xù)要使，則在其定義域內(nèi)連續(xù)要使，則abab=_=_提高題目提高題目23三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)

13、性1 1、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算、連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算定理定理2 2 若若)(),(xgxf均在均在0 x處連續(xù)，處連續(xù)， 則則).)x(g()x(g)x(f);x(g)x(f);x(g)x(f0 0 都在都在0 x處連續(xù)處連續(xù). .即連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù)即連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商（分母不為零）仍為連續(xù)函數(shù). .多項(xiàng)式函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù). .分式函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)分式函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù). .三角函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)三角函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù). .結(jié)論結(jié)論24定理定理3 300u)x(g 函數(shù)函數(shù))(ufy

14、 在點(diǎn)在點(diǎn)0uu 處連續(xù)處連續(xù), ,即函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換順序即函數(shù)符號(hào)與極限符號(hào)可以交換順序. .則則)x(glim(f)x(g(flimxxxx00 說(shuō)明說(shuō)明( (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))x(gu 在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx 處連續(xù)處連續(xù), ,函數(shù)函數(shù))x( g( fy 在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx 處連續(xù)處連續(xù)25( (反函數(shù)的連續(xù)性反函數(shù)的連續(xù)性) )定理定理4 4上上單調(diào)單調(diào)增加（或減少）且增加（或減少）且連續(xù)連續(xù)，若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在區(qū)間在區(qū)間xi則其反函數(shù)則其反函數(shù))x(fy1 在對(duì)應(yīng)區(qū)間在對(duì)應(yīng)區(qū)間 上上單調(diào)連續(xù)單調(diào)連續(xù). .反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù)反三

15、角函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù). .262 2、初等函數(shù)的連續(xù)性、初等函數(shù)的連續(xù)性（1 1）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的）基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的; ;（2 2）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的）一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的. .)x(flimxx0)x(f0 27例例8.8.求求xxsinlnlim2解解xxsinlnlim202sinln例例9. 9. 求極限求極限 )1ln(lim0 xxx解解xxx)1ln(lim0)1ln(lim10 xxx)1 (limln10 xxxeln1xxx10)1ln(lim28四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性

16、質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1( (最值性最值性) )閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定能夠取得最大值和最小值閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定能夠取得最大值和最小值. .結(jié)論中的兩個(gè)條件結(jié)論中的兩個(gè)條件: : (1) (1) 閉區(qū)間閉區(qū)間; (2); (2)連續(xù)連續(xù). .缺一不可缺一不可. .例如例如, ,xy1(1)(1)在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間(0,1)(0,1)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), ,但沒(méi)有最大值和最小值但沒(méi)有最大值和最小值注意注意(2)(2)在閉區(qū)間【在閉區(qū)間【-1.1-1.1】上，由于不連續(xù)，】上，由于不連續(xù)， 所以沒(méi)有最大值和最小值所以沒(méi)有最大值和最小值. .推論推論( (有界性有界性) )閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界閉區(qū)

17、間上的連續(xù)函數(shù)一定在該區(qū)間上有界. .29性質(zhì)性質(zhì)2 2（介值定理）（介值定理）)(xf設(shè)設(shè)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a a, ,b b 上連續(xù)上連續(xù), , 且且m,m則對(duì)介于則對(duì)介于m m , ,m m 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù)c c, ,則在則在 .cf使使開(kāi)區(qū)間開(kāi)區(qū)間( (a a, ,b b) )內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn),)(xf是是最小值和最大值最小值和最大值, ,在在 a a, ,b b 上的上的cy xy xfy abomm30推論推論（零點(diǎn)存在定理）（零點(diǎn)存在定理）)(xf設(shè)設(shè)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a a, ,b b 上連續(xù)上連續(xù), , 且且)(af與與)(bf異號(hào)異號(hào), ,則則)(xf=0=0在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間( (a a, ,b b) ) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. .（)(xf在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間( (a a, ,b b) ) 內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)）xy xfy aboxy xfy abo31例例11.11.證方程證方程1323 xx在在(0,1)(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)根內(nèi)至少有一個(gè)根. .證證. . 設(shè)設(shè), 13)(23xxxf,1 , 0)(cxf, 1)0(f3) 1 (f, 0) 1