微積分基本定理

1、微積分基本定理2 . 4 . 1 ,1,.,211033dxxdxxxxf例如分對于有些定積卻比較麻煩的值計(jì)算但直接用定積分的定義非常簡單雖然被積函數(shù)現(xiàn)從前面的學(xué)習(xí)中可以發(fā).dxx121定定義義計(jì)計(jì)算算請請你你嘗嘗試試?yán)糜枚ǘǚe積分分幾乎不可能幾乎不可能.?,?,.和和定定積積分分的的聯(lián)聯(lián)系系我我們們先先來來探探究究一一下下導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)呢呢利利用用這這種種聯(lián)聯(lián)系系求求定定積積分分我我們們能能否否內(nèi)內(nèi)在在的的聯(lián)聯(lián)系系呢呢這這兩兩個個概概念念之之間間有有沒沒有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)和和定定積積分分的的概概念念中中兩兩個個最最基基本本和和最最重重要要學(xué)學(xué)我我們們已已經(jīng)經(jīng)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)了了微微積積分分另另外外方方法法求

2、求定定積積分分呢呢加加簡簡便便、有有效效的的有有沒沒有有更更那那么么直直接接用用定定義義計(jì)計(jì)算算 ?stvts,sb, atstvt,.tss, 16.1嗎嗎表表示示、你你能能分分別別用用內(nèi)內(nèi)的的位位移移為為設(shè)設(shè)這這個個物物體體在在時時間間段段的的速速度度時時刻刻它它在在任任意意由由導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的概概念念可可知知運(yùn)運(yùn)動動規(guī)規(guī)律律是是物物體體的的一一個個作作變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動動的的如如圖圖探探究究 0ta1t1itit1nt ntb ba1h1hihihnhnsis1s tss stso16.1圖圖 .stv,來求位移由我們還可以利用定積分另一方面 .asbss,atbttsss,即處的函數(shù)值

3、之差處與在是函數(shù)物體的位移顯然.nabttt,t ,t,t ,t,t ,t,t ,t:nb, abttttta1iin1ni1i2110ni1i10 每個小區(qū)間的長度均為個小區(qū)間等分成將區(qū)間用分點(diǎn) .tsnabttsttvhs,tv,tv,t ,t,t1i1i1iii1ii1i物體所作的位移作勻速運(yùn)動體近似地以速度可以認(rèn)為物的變化很小上在很小時當(dāng)pdcots1its itsisiht1itit tss 26.1圖圖 . ttstdpctanhs,tspd,ppd,pttss,26.11iii1i1i于是的斜率等于切線導(dǎo)數(shù)的幾何意義知由點(diǎn)處的切線是點(diǎn)為對應(yīng)的上與設(shè)曲線圖從幾何意義上看n1iin1

4、iihss, 16.1可得物體總位移結(jié)合圖. ttsttv1in1in1i1i,b, a,t,n,的分劃就越細(xì)區(qū)間越小即越大顯然1in1in1in1in1i1itvnablims.sttsttv由定積分的定義有的近似程度就越好與1in1intsnablim .dttsdttvbaba .asbsdttsdttvsbaba有結(jié)合 .asbsb, atstv,tss,分分就就是是物物體體的的位位移移上上的的定定積積在在區(qū)區(qū)間間那那么么律律是是物物體體的的運(yùn)運(yùn)動動規(guī)規(guī)如如果果作作變變速速直直線線運(yùn)運(yùn)動動的的上上式式表表明明 .afbf|xfdxxf,|xfafbf,bababa即即記記成成我我們們常

5、常常常把把為為了了方方便便 .xf,.xfxfxfdxxf,ba法法則則從從反反方方向向求求出出算算導(dǎo)導(dǎo)公公式式和和導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的四四則則運(yùn)運(yùn)運(yùn)運(yùn)用用基基本本初初等等函函數(shù)數(shù)的的求求我我們們可可以以通通常常的的函函數(shù)數(shù)是是找找到到滿滿足足的的關(guān)關(guān)鍵鍵計(jì)計(jì)算算定定積積分分微微積積分分基基本本定定理理表表明明 又叫做又叫做這個結(jié)論叫做這個結(jié)論叫做那么那么并且并且上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)是區(qū)間是區(qū)間如果如果一般地一般地),calculusoftheoremlfundamenta(.afbfdxxf,xfxf,b, axf,ba微積微積分基本定理分基本定理leibniznewton(萊布尼茲公式萊布尼茲

6、公式牛頓牛頓).formula .dxx1x22;dxx11:131221計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分例例 ,x1xln1因?yàn)榻?121|xlndxx1所以.2ln1ln2ln ,x1x1, x2x222因?yàn)閐xx1xdx2dxx1x23123131231312x1|x.32213119.xdxsin,dxxsin,dxxsin:22020計(jì)算下列定積分計(jì)算下列定積分例例00|xcosdxxsin, xsinxcos因?yàn)榻?;20coscos22|xcosdxxsin ; 2cos2cos202|xcosdxxsin0 0 .00cos2cos:0,還可能是還可能是也可能取負(fù)值也可能取負(fù)值定積

7、分的值可能取正值定積分的值可能取正值可以發(fā)現(xiàn)可以發(fā)現(xiàn) ;,),36.1(x1且等于曲邊梯形的面積且等于曲邊梯形的面積定積分的值取正值定積分的值取正值圖圖軸上方時軸上方時當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于 .,),46.1(x2反數(shù)反數(shù)的相的相且等于曲邊梯形的面積且等于曲邊梯形的面積定積分的值取負(fù)值定積分的值取負(fù)值圖圖軸下方時軸下方時當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于oxy211xsiny 36. 1圖圖oxy112xsiny 46.1圖圖 .xx),56.1(0,xx3軸下方的曲邊梯形面積軸下方的曲邊梯形面積邊梯形的面積減去位于邊梯形的面積減去位于軸上方的曲軸上方的曲且等于位于且等于位于圖圖定積分的值為定積分的值為時時積積形面形面梯梯曲邊曲邊下方的下方的軸軸梯形的面積等于位于梯形的面積等于位于軸上方的曲邊軸上方的曲邊當(dāng)位于當(dāng)位于.,.,成成果果分分中中最最重重要要、最最輝輝煌煌的的微微積積分分基基本本定定理理是是微微積積可可以以毫毫無無夸夸張張地地說說科科學(xué)學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)的的成成為為一一門門影影響響深深來來使使微微積積分分學(xué)學(xué)蓬蓬勃勃發(fā)發(fā)展展起起它它分分學(xué)學(xué)中中最最重重要要的的定定