機械工程控制基礎(chǔ)(系統(tǒng)數(shù)學模型)2

1、第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型機械工程控制基礎(chǔ)機械工程控制基礎(chǔ) 主講人主講人: :榮軍榮軍 e-mail:rj1219e-mail:rj1219 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型一、數(shù)學模型的基本概念一、數(shù)學模型的基本概念1 1、數(shù)學模型、數(shù)學模型 數(shù)學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部數(shù)學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式，它揭示了系各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學模型靜態(tài)數(shù)學模型：靜態(tài)條件（變量各階導數(shù)為：靜態(tài)條件（變量各階導數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方

2、程。零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。 動態(tài)數(shù)學模型動態(tài)數(shù)學模型：描述變量各階導數(shù)之間關(guān)系：描述變量各階導數(shù)之間關(guān)系的微分方程。的微分方程。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型2、 建立數(shù)學模型的方法建立數(shù)學模型的方法 解析法解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關(guān)系式，建立模型。學規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關(guān)系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方法也稱為法也稱為系統(tǒng)辨識系統(tǒng)辨識。數(shù)學模型應

3、能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時數(shù)學模型應能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。 實驗法實驗法 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型3 3、數(shù)學模型的形式、數(shù)學模型的形式 時間域：微分方程（一階微分方程組）、時間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程差分方程、狀態(tài)方程 復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性頻率域：頻率特性 二、系統(tǒng)的微分方程二、系統(tǒng)的微分方程1 1、定義：時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型。、定義：時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型。2 2、 建立數(shù)學模型的一般步驟建立數(shù)學

4、模型的一般步驟 分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；部件的動態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；輸出變量之間關(guān)系的微分方程； 標準化：右端輸入，左端輸出，導數(shù)降冪排列標準化：右端輸入，左端

5、輸出，導數(shù)降冪排列3 3、 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：質(zhì)量、彈簧和阻尼三個要素：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 質(zhì)量質(zhì)量mf fm m( (t t) )參考點參考點x x ( (t t) )v v ( (t t) )()()(22txdtdmtvdtdmtfm 彈簧彈簧k kf fk k( (t t) )f fk k( (t t) )x x1 1( (t t) )v v1 1( (t t) )x x2 2( (t t) )v v2 2

6、( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型ttkdttvkdttvtvktkxtxtxktf)()()()()()()(2121 阻尼阻尼c cf fc c( (t t) )f fc c( (t t) )x x1 1( (t t) )v v1 1( (t t) )x x2 2( (t t) )v v2 2( (t t) )dttdxcdttdxdttdxctcvtvtvctfc)()()()()()()(2121第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 機械平移系統(tǒng)機械平移系統(tǒng)m mm mf fi i( (t t) )k kc cx xo o( (t t) )f fi i( (t

7、 t) )x xo o( (t t) )0 00 0f fm m( (t t) )f fk k( (t t) )機械平移系統(tǒng)及其力學模型機械平移系統(tǒng)及其力學模型f fc c( (t t) )靜止（平衡）工作點作為靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響零點，以消除重力的影響)()()()()()()()(22txdtdctftkxtftxdtdmtftftfocokokci第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo式中，式中，m m、c c、k k通常均為常數(shù)，故機械平移系統(tǒng)可以通常均為常數(shù)，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描

8、述。由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中階次等于系統(tǒng)中獨立獨立儲能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）儲能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。的數(shù)量。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 彈簧阻尼系統(tǒng)彈簧阻尼系統(tǒng)x xo o( (t t) )0 0f fi i( (t t) )k kc c彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。微分方程。 )()()(tftkxtxdtdcioo)()()(tftftfkci第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 機械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機械旋轉(zhuǎn)

9、系統(tǒng)k k i i( (t t) ) o o( (t t) )0 00 0t tk k( (t t) )t tc c( (t t) )c c粘性液體粘性液體齒輪齒輪j jj j 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量；旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動慣量；k k 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；c c 粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)柔性軸柔性軸第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)()()()()()()()(22tttttdtdjtdtdcttttkttckoocoik)()()()(22tktktdtdctdtdjiooo第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 電阻電阻電氣系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。電氣系統(tǒng)三個基本

10、元件：電阻、電容和電感。r ri i( (t t) )u u( (t t) )()(tritu 電容電容dttictu)(1)(c ci i( (t t) )u u( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 電感電感dttdiltu)()(l li i( (t t) )u u( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q r-l-c r-l-c無源電路網(wǎng)絡無源電路網(wǎng)絡l lr rc cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i( (t t) )r-l-cr-l-c無源電路網(wǎng)絡無源電路網(wǎng)絡dttictudttictidtdltrituoi)(1)

11、()(1)()()(第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型一般一般r r、l l、c c均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。分方程。 )()()()(22tututudtdrctudtdlciooo若若l l=0=0，則系統(tǒng)簡化為：，則系統(tǒng)簡化為：)()()(tututudtdrcioo第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)()(0)(21titituaq 有源電網(wǎng)絡有源電網(wǎng)絡+cr ri i1 1( (t t) )u ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i2 2( (t t) )a adttducrtuoi)()()()(tudttdur

12、cio即：即：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型例：列寫下圖所示機械系統(tǒng)的微分方程例：列寫下圖所示機械系統(tǒng)的微分方程解：解：1)1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為輸入為f(t),f(t),輸出為輸出為x(t)x(t) 2) 2)列寫微分方程，受力分列寫微分方程，受力分析析xmxckxf 3) 3)整理可得：整理可得：fkxxcxm第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 小結(jié)小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意

13、義的分析研究（信息方法）究（信息方法） 。 從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎(chǔ)；中進行實驗模擬的基礎(chǔ)； 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的中所包含的獨立獨立儲能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、儲能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個

14、獨立儲能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間；如果方程的系數(shù)是時間t t的的函數(shù)，則為函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)； q 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性線性是指系統(tǒng)滿足是指系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理，即：，即：)

15、()()(2121xfxfxxf 可加性：可加性：)()(xfxf 齊次性：齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：或：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型疊加疊加 液體系統(tǒng)液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )h h( (t t) )液位系統(tǒng)液位系統(tǒng)設液體不可壓縮，設液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流通過節(jié)流閥的液流是湍流。是湍流。 )()()()()(thtqtqtqdttdhaooia a：箱體截面積；：箱體截面積；第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)()()(tqththdtdai上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)上式為

16、非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時，定的系數(shù)，通流面積不變時， 為常數(shù)。為常數(shù)。q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型式中，式中，a a1 1，a a2 2，a an n和和b b0 0，b b1 1，b bm m為由為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實

17、常數(shù)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實常數(shù)，m mn n。 三、非線性數(shù)學模型的線性化三、非線性數(shù)學模型的線性化1 1、 線性化問題的提出線性化問題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進行處理。微分方程進行處理。 非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導致的非線性傳輸特性；具有于間隙的存在導致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線

18、性關(guān)系等。鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型2 2、非線性數(shù)學模型的線性化、非線性數(shù)學模型的線性化 泰勒級數(shù)展開法泰勒級數(shù)展開法 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )在其平衡點（在其平衡點（x x0 0, , y y0 0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：）附近的泰勒級數(shù)展開式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量 x x= =x x- -x x0 0的項，則：的項，則：)()()(000 xxxxd

19、xxdfxfy0)(xxdxxdfk或：或：y y - - y y0 0 = = y y = = k k x x，其中：，其中：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增增量方程量方程。y y0 0 = = f f ( (x x0 0) )稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程靜態(tài)方程；對多變量系統(tǒng)，如：對多變量系統(tǒng)，如：y y = = f f ( (x x1 1, , x x2 2) )，同樣可采用泰，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。 )()(),(2022101120102021012

20、02101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xkxkyyy增量方程：增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfkxfk其中：其中：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 滑動線性化滑動線性化切線法切線法 0 0 x xy y= =f f( (x x) )y y0 0 x x0 0 x x yy y y非線性關(guān)系線性化非線性關(guān)系線性化a a線性化增量增量方線性化增量增量方程為：程為： y y y y = = x x tgtg 切線法是泰勒級數(shù)切線法是泰勒級數(shù)法的特例。法的特例。3 3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立

21、、系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟步驟 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點； q 列出各組成元件在工作點附近的增量方程；列出各組成元件在工作點附近的增量方程； q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；微分方程； 實例：液位系統(tǒng)的線性化實例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqththdtdai節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )h h( (t t) )液位系統(tǒng)液位系統(tǒng)0000,ioiqhqq解：穩(wěn)態(tài)時：解：穩(wěn)態(tài)時：)(th非線性

22、項的泰勒展開為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型20022000)(! 21)(hhhdhhdhhhdhhdhhhhhhhhdhhdhh0000021)(則：則：iiqqhhhhhdtda000021)(由于：由于：注意到：注意到：hdtdhhdtd)(0)(1)(21)(0tqathhathdtdi所以：所以：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)(1)(21)(0tqathhathdtdi實際使用中，常略去增量符號而寫成：實際使用中，常略去增量符號而寫成：此時，上式中此時，上式中h h( (t t) )和和q qi i( (t t) )均為平衡工作點的增量。均為平衡工作點的增量。4

23、 4、線性化處理的注意事項、線性化處理的注意事項 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關(guān)；線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關(guān)； 線性化是有條件的，必須注意線性化方程適線性化是有條件的，必須注意線性化方程適 用的工作范圍；用的工作范圍； 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間 隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不 能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對 系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作 為非線性

24、問題處理。為非線性問題處理。 ininoutout0 0近似特近似特性曲線性曲線真實特性真實特性飽和非線性飽和非線性ininoutout0 0死區(qū)非線性死區(qū)非線性第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型ininoutout0 0繼電器非線性繼電器非線性ininoutout0 0間隙非線性間隙非線性例：液壓伺服機構(gòu)例：液壓伺服機構(gòu)p31:p31:解：解：1 1）明確系統(tǒng)）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入輸入與輸出：輸入為為x,x,輸出為輸出為y y2)2)列寫原始微分方列寫原始微分方程：程：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型),(21pxqqyaqapycymppp，設3)3)非線性函數(shù)線性化：非線性

25、函數(shù)線性化：4)4)代入方程，整理可得：代入方程，整理可得：xkakykacymcqc)(2),(:) 1 (000qpx設為確定系統(tǒng)預定工作點ppqxxqpxqpxqtaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00級數(shù)形式展開成)(1:)3(qxkkpqc表示成增量化形式第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型四、拉氏變換和拉氏反變換四、拉氏變換和拉氏反變換1 1、拉氏變換、拉氏變換 設函數(shù)設函數(shù)f f( (t t) () (t t 0)0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)且存在一正實常數(shù) ，使得：，使得：0)(limtfett則函數(shù)則函數(shù)f f

26、( (t t) )的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：式中：s s= = + +j j （ ， 均為實數(shù)）；均為實數(shù)）；0)()()(dtetftflsfst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型0dtest稱為稱為拉普拉氏積分拉普拉氏積分；f f( (s s) )稱為函數(shù)稱為函數(shù)f f( (t t) )的拉普拉氏變換或的拉普拉氏變換或象函象函數(shù)數(shù)，它是一個復變函數(shù)；，它是一個復變函數(shù)；f f( (t t) )稱為稱為f f( (s s) )的的原函數(shù)原函數(shù)；l l為拉氏變換的符號。為拉氏變換的符號。2 2、拉氏反變換、拉氏反變換 0,)(21)()(1tdses

27、fjsfltfjjstl l1 1為拉氏反變換的符號。為拉氏反變換的符號。第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型3 3、幾種典型函數(shù)的拉氏變換、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(1(t t) ) 1 10 0t tf f( (t t) )單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt)0)(re(101 )(1)(10ssesdtettlstst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)atetf)(（a a為常數(shù)）為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0 0t tf f( (t t) )1 1)0)(re(,1 0)(0asasdtedteeeltasstatat第二

28、章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)1 10 0t tf f( (t t) )f f( (t t)=sin)=sin t tf f( (t t)=cos)=cos t t-1-10sinsindtettlst0coscosdtettlst由歐拉公式，有：由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型0)re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtlsttjsttj從而：從而：22cossstl同理：同理：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q

29、單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) ( (t t) ) 0 0t tf f( (t t) )單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 1 1 )0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetl)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達法則：由洛必達法則：1lim)(0setl所以：所以：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 1 10 0t tf f( (t t) )單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)1 1000)(ttttf0)re(1)(2000ssdtsesetdttetflststst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系

30、統(tǒng)數(shù)學模型q 單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)re(121)(302ssdtettflst單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0 0t tf f( (t t) )函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。表直接或通過一定的轉(zhuǎn)換得到。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型常用拉氏變換表常用拉氏變換表第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型5 5、拉氏變換的主要定理、拉氏變換的主要定理 疊加定理疊加定理 q 齊次性：齊次性：l l afaf( (t t)=)=alal f f( (t t)，a a為常數(shù)；為常數(shù)；q

31、 疊加性：疊加性：l l afaf1 1( (t t)+)+bfbf2 2( (t t)=)=alal f f1 1( (t t)+)+blbl f f2 2( (t t) a a，b b為常數(shù)；為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。顯然，拉氏變換為線性變換。 實微分定理實微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssfdttdfl第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明：由于證明：由于dttdflssfsf)(1)0()(即：即：)0()()(fssfdttdfl所以：所以：)0()0()0()()()0()0()()(

32、)1(21222nnnnnnffsfssfsdttfdlfsfsfsdttfdl同樣有：同樣有：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)()()()()()(222sfsdttfdlsfsdttfdlssfdttdflnnn當當f f( (t t) )及其各階導數(shù)在及其各階導數(shù)在t t=0=0時刻的值均為零時時刻的值均為零時（零初始條件）：（零初始條件）：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 積分定理積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssfdttfl)(1)(sfsdttfl當初始條件為零時：當初始條件為零時：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型證明：證明：

33、0)()(dtedttfdttflst00)()(dtsetfsedttfststssfsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssfsdttfl同樣：同樣：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)(1)(sfsdttflnn當初始條件為零時：當初始條件為零時： 延遲定理延遲定理 )()(sfetfls設當設當t t00時，時，f f( (t t)=0)=0，則對任意，則對任意0 0，有：，有：函數(shù)函數(shù) f f( (t t- - ) )0 0t tf f( (t t) ) f f( (t t) )f f( (t-t-

34、 ) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 位移定理位移定理 )()(asftfelat例：例：2222cossinsstlstl2222)()(cos)(sinasastelastelatat 初值定理初值定理 )(lim)0()(lim0ssfftfst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型證明：證明：0( )( )limlimlim( )(0 )lim( )(0 )0stssssdf tdf tledtdtdtsf sfsf sf000( )( )limlim( )( )lim00stssstsdf tdf tledtdtdtdf tdf tedtdtdtdt其中其中: :第二章第二

35、章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型初值定理建立了函數(shù)初值定理建立了函數(shù)f f( (t t) )在在t t=0=0+ +處的初值與函處的初值與函數(shù)數(shù)sfsf( (s s) )在在s s趨于無窮遠處的終值間的關(guān)系。趨于無窮遠處的終值間的關(guān)系。 )(lim)0(ssffs即： 終值定理終值定理 若若sfsf( (s s) )的所有極點位于左半的所有極點位于左半s s平面，平面， 即：即：)(limtft存在。則：存在。則：)(lim)()(lim0ssfftfst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型證明：證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssffssfdttdflsss)0()()

36、()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdflstss又由于：又由于：)(lim)(0ssffs)0()(lim)0()(0fssfffs即：即：終值定理說明終值定理說明f f( (t t) )穩(wěn)定值與穩(wěn)定值與sfsf( (s s) )在在s=0s=0時的初值相同。時的初值相同。第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型7 7、求解拉氏反變換的部分分式法、求解拉氏反變換的部分分式法 部分分式法部分分式法如果如果f f( (t t) )的拉氏變換的拉氏變換f f( (s s) )已分解成為下列分量：已分解成為下列分量：f f( (s s)=)=f f1 1( (s s)

37、+)+f f2 2( (s s)+)+ +f fn n( (s s) )假定假定f f1 1( (s s), ), f f2 2( (s s), ), ，f fn n( (s s) )的拉氏反變換的拉氏反變換可以容易地求出，則：可以容易地求出，則：l l-1-1 f f( (s s) = ) = l l-1-1 f f1 1( (s s)+)+l l-1-1 f f2 2( (s s)+)+ +l l- -1 1 f fn n( (s s)= = f f1 1( (t t) + ) + f f2 2( (t t) + ) + + + f fn n( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)

38、數(shù)學模型)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsasbsfnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsasbsf在控制理論中，通常：在控制理論中，通常：為了應用上述方法，將為了應用上述方法，將f f( (s s) )寫成下面的形式：寫成下面的形式：式中，式中，p p1 1，p p2 2，p pn n為方程為方程a a( (s s)=0)=0的根的負值，稱的根的負值，稱為為f f( (s s) )的的極點極點；c ci i= =b bi i / /a a0 0 ( (i i = 0,1,= 0,1, ,m m) )。此時，即可將

39、此時，即可將f f( (s s) )展開成部分分式。展開成部分分式。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 f f( (s s) )只含有不同的實數(shù)極點只含有不同的實數(shù)極點niiinnpsapsapsapsasasbsf12211)()()(ipsiipssfa)()(式中，式中，a ai i為常數(shù)，稱為為常數(shù)，稱為s s = -= -p pi i極點處的留數(shù)。極點處的留數(shù)。)( )()( )()( )()()()(limlimiiipsipsipbpasbsasapssbsapsaii實際常如下計算：實際常如下計算：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型例：求例：求)6(2)(22ssss

40、ssf的原函數(shù)。的原函數(shù)。解：解：23)2)(3(2)6(2)(321222sasasasssssssssssf31)2)(3(2)(0201ssssssssfa158)2(2)() 3(3232sssssssfsa54) 3(2)()2(2223sssssssfsa215431158131)(ssssf即：即：)0(5415831)()(231teesfltftt第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)f f（t t）s10s7s1s2) s (f23解：解：)5s)(2s ( s1s2s10s7s1s2) s (f23其中：其中：p p1 10

41、0、p p2 2-2-2、p p3 3-5-51 . 0|1014312|)( )(0211spsssssbsaa同理：同理：a a2 2=0.5=0.5、a a3 30.60.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反變換為：其反變換為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 f f( (s s) )含有共軛復數(shù)極點含有共軛復數(shù)極點 設共軛復數(shù)根設共軛復數(shù)根p p1 1+j+j、p p2 2 jjjsjsjsjssbsasfjsksbsasfjsk|)( )()()(|)( )()()(21j12j11e|k|k,e|k|

42、k)tcos(e|k|2ekek) t (f1t1t )j(2t )j(1第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)5s2s3s) s (f2解：解：p p1 11+j21+j2、p p2 21 1j2j2)4t2cos(e2)4t2cos(e|k|2) t (fe25 . 0ke25 . 05 . 0 j5 . 0|) s (d) s (nktt14j24j2j1s1則：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 f f( (s s) )含有重極點含有重極點 設設f f( (s s) )存在存在r r重極點重極點- -p p0 0，其余極點均不同，則：，

43、其余極點均不同，則： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsasbsf式中，式中，a ar r+1+1，a an n利用前面的方法求解。利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsapsapsapsapsa第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型0)(001pspssfar0)(002pspssfdsdar0)(! 2102203pspssfdsdar0)()!1(10110pspssfdsdrarrrr第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型tpnnentpsl0)!1()(1101注意到：注意到：)0( )!2()!1

44、()()(10102021011teaeaeatratrasfltftpntprtprrrnr所以：所以：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)23s) 1s (1) s (f解：解：b b（s s）0 0有有 p p1 11 1的三重根、的三重根、p p2 20 0的二重根，所以的二重根，所以f f（s s）可以展開為：可以展開為：2212231121213sksk) 1s (k) 1s (k1sk) s (f23s1) s (f) 1s (故：3s1dsd21k2|s1dsdk1|s1k222131s2121s21132) 1s (1) s (

45、fs3|) 1s (1dsdk1|) 1s (1k0s3220s321tetteetfssssssfttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232從而：從而：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型例：求例：求的原函數(shù)。的原函數(shù)。) 1()2(3)(2ssssf解：解：12)2()(302201sasasasf12132)2)(201ssssssfa2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssfdsda21) 1)(3sssfa1222)2(1)(2ssssf第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)0(2)2()()(21tee

46、tsfltftt于是：于是：8 8、 應用拉氏變換解線性微分方程應用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟求解步驟q 將微分方程通過拉氏變換變?yōu)閷⑽⒎址匠掏ㄟ^拉氏變換變?yōu)?s s 的代數(shù)的代數(shù)方程；方程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達式；達式；q 應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型原函數(shù)原函數(shù)（微分方程的解）（微分方程的解）象函數(shù)象函數(shù)微分方程微分方程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程拉氏反變換拉氏反變換拉氏變換拉氏變換解解代代數(shù)數(shù)方方程程拉氏變換法求解線性微分方程的過

47、程拉氏變換法求解線性微分方程的過程第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 實例實例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設系統(tǒng)微分方程為：設系統(tǒng)微分方程為：若若x xi i ( (t t) ) =1(=1(t t) )，初始條件分別為，初始條件分別為xxo o(0)(0)、x xo o(0)(0)，試求，試求x xo o(t)(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換：解：對微分方程左邊進行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsxsdttxdl)0(5)(5)(5oooxssxdttdxl第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型)0()0()5()()65()(

48、6)(5)(222ooooooxxssxsstxdttdxdttxdl即：即：)(6)(6sxtxloostlsxtxlii1)( 1)()(對方程右邊進行拉氏變換：對方程右邊進行拉氏變換：sxxssxssooo1)0()0()5()()65(2從而：從而：323265)0()0()5()65(1)(2132122sbsbsasasassxxsssssxooo第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型61065121sssa212) 3(12sssa313)2(13sssa)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsb)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsb第

49、二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssxooooo所以：所以：查拉氏變換表得：查拉氏變換表得：當初始條件為零時：當初始條件為零時：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的中，因此，不需

50、要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏氏 變換可以簡單地用變換可以簡單地用s sn n代替代替d dn n/ /dtdtn n得到。得到。 由上述實例可見：由上述實例可見：q 系統(tǒng)響應可分為兩部分：零狀態(tài)響應和零系統(tǒng)響應可分為兩部分：零狀態(tài)響應和零輸輸 入響應入響應 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型五、傳遞函數(shù)五、傳遞函數(shù)1 1、傳遞函數(shù)的概念和定義、傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 在在零初始條件零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變

51、換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。比。 零初始條件：零初始條件：q t t00時，輸入量及其各階導數(shù)均為時，輸入量及其各階導數(shù)均為0 0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即工作狀態(tài)，即t t 0 0 時，輸出量及其各階導數(shù)時，輸出量及其各階導數(shù)也均為也均為0 0；第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 傳遞函數(shù)求解示例傳遞函數(shù)求解示例 q 質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)的傳遞函阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)數(shù) )()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo)()()()(2sfskxscs

52、xsxmsioookcsmssfsxsgio21)()()(所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q r r- -l l- -c c無源電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)無源電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdrctudtdlciooo)()()()(2sususrcsusulcsiooo11)()()(2rcslcssususgio所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型q 幾點結(jié)論幾點結(jié)論

53、 傳遞函數(shù)是復數(shù)傳遞函數(shù)是復數(shù)s s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型，域中的系統(tǒng)數(shù)學模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。與系統(tǒng)的輸入形式無關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)函數(shù)g g( (s s) ) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動態(tài)特性。的固有動態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。輸入輸出特性

54、來描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsxsxsgnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)考慮線性定常系統(tǒng)當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型mmmmbsbsbsb

55、sm1110)(nnnnasasasasn1110)(令：令：)()()()()(snsmsxsxsgio則：則：n n( (s s)=0)=0稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的特征方程特征方程，其根稱為系統(tǒng)的，其根稱為系統(tǒng)的特征特征根根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。n n( (s s) )中中s s的最的最高階次等于系統(tǒng)的階次。高階次等于系統(tǒng)的階次。2 2、特征方程、零點和極點、特征方程、零點和極點 特征方程特征方程式中，式中，k k稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)放大系數(shù)或或增益增益。當當s s=0=0時：時：g g(0)=(0)=b bm m/ /a an n= =k k第

56、二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 從微分方程的角度看，此時相當于所有的導從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數(shù)項都為零。因此數(shù)項都為零。因此k k 反應了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸反應了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。出與輸入的比值。 零點和極點零點和極點 )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsxsxsg將將g g( (s s) )寫成下面的形式：寫成下面的形式： n n( (s s)=)=a a0 0( (s s- -p p1 1)()(s s- -p p2 2) )( (s s- -p pn n)=0)=0的根的根s s= =p pj j ( (j

57、j=1, 2, =1, 2, , , n n) )，稱為傳遞函數(shù)的，稱為傳遞函數(shù)的極點極點；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應曲線的收斂性，即穩(wěn)定性決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，式中，m m( (s s)=)=b b0 0( (s s- -z z1 1)()(s s- -z z2 2) )( (s s- -z zm m)=0)=0的根的根s s= =z zi i ( (i i=1, 2, =1, 2, , , m m) )，稱為傳遞函數(shù)的，稱為傳遞函數(shù)的零點零點；影響瞬態(tài)響應曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性影響瞬態(tài)響應曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點

58、就是系統(tǒng)的特征根。零系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 零、極點分布圖零、極點分布圖 將傳遞函數(shù)的零、將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復平面極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點布圖。圖中，零點用用“o”o”表示，極表示，極點用點用“”表示。表示。 g(s)=g(s)=s+2s+2(s+3)(s(s+3)(s2 2+2s+2)+2s+2)的零極點分布圖的零極點分布圖0 0 1 12 23 31 12 2-1-1-2-2-3-3-1-1-2-2 j j 第二章第

59、二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型3 3、傳遞函數(shù)的幾點說明、傳遞函數(shù)的幾點說明 傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)是 s s 的復變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各的復變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零

60、 時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于 相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律； 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學模型系統(tǒng)數(shù)學模型 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。無法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出 的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 4 4、