機(jī)械工程控制基礎(chǔ)(系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)2

1、第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型機(jī)械工程控制基礎(chǔ)機(jī)械工程控制基礎(chǔ) 主講人主講人: :榮軍榮軍 e-mail:rj1219e-mail:rj1219 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型的基本概念一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1 1、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方

2、程。零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。的微分方程。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2、 建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法 解析法解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)

3、能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3 3、數(shù)學(xué)模型的形式、數(shù)學(xué)模型的形式 時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程差分方程、狀態(tài)方程 復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖 頻率域：頻率特性頻率域：頻率特性 二、系統(tǒng)的微分方程二、系統(tǒng)的微分方程1 1、定義：時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。、定義：時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。2 2、 建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟建立數(shù)學(xué)

4、模型的一般步驟 分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量； 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)傳遞變換過(guò)程，依據(jù)從輸入端開(kāi)始，按照信號(hào)傳遞變換過(guò)程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；部件的動(dòng)態(tài)微分方程； 消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；輸出變量之間關(guān)系的微分方程； 標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端

5、輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列3 3、 控制系統(tǒng)微分方程的列寫控制系統(tǒng)微分方程的列寫 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 質(zhì)量質(zhì)量mf fm m( (t t) )參考點(diǎn)參考點(diǎn)x x ( (t t) )v v ( (t t) )()()(22txdtdmtvdtdmtfm 彈簧彈簧k kf fk k( (t t) )f fk k( (t t) )x x1 1( (t t) )v v1 1( (t t) )x x2 2( (t t) )v v2 2

6、( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型ttkdttvkdttvtvktkxtxtxktf)()()()()()()(2121 阻尼阻尼c cf fc c( (t t) )f fc c( (t t) )x x1 1( (t t) )v v1 1( (t t) )x x2 2( (t t) )v v2 2( (t t) )dttdxcdttdxdttdxctcvtvtvctfc)()()()()()()(2121第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 機(jī)械平移系統(tǒng)機(jī)械平移系統(tǒng)m mm mf fi i( (t t) )k kc cx xo o( (t t) )f fi i( (t

7、 t) )x xo o( (t t) )0 00 0f fm m( (t t) )f fk k( (t t) )機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型f fc c( (t t) )靜止（平衡）工作點(diǎn)作為靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響零點(diǎn)，以消除重力的影響)()()()()()()()(22txdtdctftkxtftxdtdmtftftfocokokci第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo式中，式中，m m、c c、k k通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描

8、述。由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。的數(shù)量。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 彈簧阻尼系統(tǒng)彈簧阻尼系統(tǒng)x xo o( (t t) )0 0f fi i( (t t) )k kc c彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。微分方程。 )()()(tftkxtxdtdcioo)()()(tftftfkci第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械旋轉(zhuǎn)

9、系統(tǒng)k k i i( (t t) ) o o( (t t) )0 00 0t tk k( (t t) )t tc c( (t t) )c c粘性液體粘性液體齒輪齒輪j jj j 旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；k k 扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；c c 粘性阻尼系數(shù)粘性阻尼系數(shù)柔性軸柔性軸第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)()()()()()()()(22tttttdtdjtdtdcttttkttckoocoik)()()()(22tktktdtdctdtdjiooo第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 電阻電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。電氣系統(tǒng)三個(gè)基本

10、元件：電阻、電容和電感。r ri i( (t t) )u u( (t t) )()(tritu 電容電容dttictu)(1)(c ci i( (t t) )u u( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 電感電感dttdiltu)()(l li i( (t t) )u u( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q r-l-c r-l-c無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)l lr rc cu ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i( (t t) )r-l-cr-l-c無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)dttictudttictidtdltrituoi)(1)

11、()(1)()()(第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般一般r r、l l、c c均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。分方程。 )()()()(22tututudtdrctudtdlciooo若若l l=0=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：)()()(tututudtdrcioo第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)()(0)(21titituaq 有源電網(wǎng)絡(luò)有源電網(wǎng)絡(luò)+cr ri i1 1( (t t) )u ui i( (t t) )u uo o( (t t) )i i2 2( (t t) )a adttducrtuoi)()()()(tudttdur

12、cio即：即：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程例：列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程解：解：1)1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為輸入為f(t),f(t),輸出為輸出為x(t)x(t) 2) 2)列寫微分方程，受力分列寫微分方程，受力分析析xmxckxf 3) 3)整理可得：整理可得：fkxxcxm第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 小結(jié)小結(jié) 物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開(kāi)系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研拋開(kāi)系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意

13、義的分析研究（信息方法）究（信息方法） 。 從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)；中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)； 通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的中所包含的獨(dú)立獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元，其液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)

14、獨(dú)立儲(chǔ)能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。 線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t t的的函數(shù)，則為函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng)； q 線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)線性線性是指系統(tǒng)滿足是指系統(tǒng)滿足疊加原理疊加原理，即：，即：)

15、()()(2121xfxfxxf 可加性：可加性：)()(xfxf 齊次性：齊次性：)()()(2121xfxfxxf或：或：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型疊加疊加 液體系統(tǒng)液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )h h( (t t) )液位系統(tǒng)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，設(shè)液體不可壓縮，通過(guò)節(jié)流閥的液流通過(guò)節(jié)流閥的液流是湍流。是湍流。 )()()()()(thtqtqtqdttdhaooia a：箱體截面積；：箱體截面積；第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)()()(tqththdtdai上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)上式為

16、非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。為非線性系統(tǒng)。 ：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)， 為常數(shù)。為常數(shù)。q 線性系統(tǒng)微分方程的一般形式線性系統(tǒng)微分方程的一般形式 )()()()()()()()(111101111txbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型式中，式中，a a1 1，a a2 2，a an n和和b b0 0，b b1 1，b bm m為由為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)

17、常數(shù)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，m mn n。 三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1 1、 線性化問(wèn)題的提出線性化問(wèn)題的提出 線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系 統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性 微分方程進(jìn)行處理。微分方程進(jìn)行處理。 非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻 尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由 于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有 鐵芯的電感，電流與電壓的非線

18、性關(guān)系等。鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2 2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化 泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法 函數(shù)函數(shù)y y= =f f( (x x) )在其平衡點(diǎn)（在其平衡點(diǎn)（x x0 0, , y y0 0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為：）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為： 3003320022000)()(! 31)()(! 21 )()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfdxxxxdxxdfxfxfy略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量 x x= =x x- -x x0 0的項(xiàng)，則：的項(xiàng)，則：)()()(000 xxxxd

19、xxdfxfy0)(xxdxxdfk或：或：y y - - y y0 0 = = y y = = k k x x，其中：，其中：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增增量方程量方程。y y0 0 = = f f ( (x x0 0) )稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程靜態(tài)方程；對(duì)多變量系統(tǒng)，如：對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y y = = f f ( (x x1 1, , x x2 2) )，同樣可采用泰，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)獲得線性化的增量方程。勒級(jí)數(shù)展開(kāi)獲得線性化的增量方程。 )()(),(2022101120102021012

20、02101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xkxkyyy增量方程：增量方程：),(20100 xxfy 靜態(tài)方程：靜態(tài)方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfkxfk其中：其中：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 滑動(dòng)線性化滑動(dòng)線性化切線法切線法 0 0 x xy y= =f f( (x x) )y y0 0 x x0 0 x x yy y y非線性關(guān)系線性化非線性關(guān)系線性化a a線性化增量增量方線性化增量增量方程為：程為： y y y y = = x x tgtg 切線法是泰勒級(jí)數(shù)切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。法的特例。3 3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立

21、、系統(tǒng)線性化微分方程的建立 步驟步驟 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)；確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)； q 列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程；列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程； q 消除中間變量，得到以增量表示的線性化消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；微分方程； 實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化 )()()(tqththdtdai節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥節(jié)流閥q qi i( (t t) )q qo o( (t t) )h h( (t t) )液位系統(tǒng)液位系統(tǒng)0000,ioiqhqq解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：)(th非線性

22、項(xiàng)的泰勒展開(kāi)為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型20022000)(! 21)(hhhdhhdhhhdhhdhhhhhhhhdhhdhh0000021)(則：則：iiqqhhhhhdtda000021)(由于：由于：注意到：注意到：hdtdhhdtd)(0)(1)(21)(0tqathhathdtdi所以：所以：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)(1)(21)(0tqathhathdtdi實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：此時(shí)，上式中此時(shí)，上式中h h( (t t) )和和q qi i( (t t) )均為平衡工作點(diǎn)的增量。均為平衡工作點(diǎn)的增量。4

23、 4、線性化處理的注意事項(xiàng)、線性化處理的注意事項(xiàng) 線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)； 線性化是有條件的，必須注意線性化方程適線性化是有條件的，必須注意線性化方程適 用的工作范圍；用的工作范圍； 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間 隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不 能通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)能通過(guò)泰勒展開(kāi)進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì) 系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作 為非線性

24、問(wèn)題處理。為非線性問(wèn)題處理。 ininoutout0 0近似特近似特性曲線性曲線真實(shí)特性真實(shí)特性飽和非線性飽和非線性ininoutout0 0死區(qū)非線性死區(qū)非線性第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型ininoutout0 0繼電器非線性繼電器非線性ininoutout0 0間隙非線性間隙非線性例：液壓伺服機(jī)構(gòu)例：液壓伺服機(jī)構(gòu)p31:p31:解：解：1 1）明確系統(tǒng)）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入輸入與輸出：輸入為為x,x,輸出為輸出為y y2)2)列寫原始微分方列寫原始微分方程：程：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型),(21pxqqyaqapycymppp，設(shè)3)3)非線性函數(shù)線性化：非線性

25、函數(shù)線性化：4)4)代入方程，整理可得：代入方程，整理可得：xkakykacymcqc)(2),(:) 1 (000qpx設(shè)為確定系統(tǒng)預(yù)定工作點(diǎn)ppqxxqpxqpxqtaylorppxxppxx0000),(),(,)2(00級(jí)數(shù)形式展開(kāi)成)(1:)3(qxkkpqc表示成增量化形式第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型四、拉氏變換和拉氏反變換四、拉氏變換和拉氏反變換1 1、拉氏變換、拉氏變換 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f f( (t t) () (t t 0)0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)且存在一正實(shí)常數(shù) ，使得：，使得：0)(limtfett則函數(shù)則函數(shù)f f

26、( (t t) )的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：式中：s s= = + +j j （ ， 均為實(shí)數(shù)）；均為實(shí)數(shù)）；0)()()(dtetftflsfst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型0dtest稱為稱為拉普拉氏積分拉普拉氏積分；f f( (s s) )稱為函數(shù)稱為函數(shù)f f( (t t) )的拉普拉氏變換或的拉普拉氏變換或象函象函數(shù)數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f f( (t t) )稱為稱為f f( (s s) )的的原函數(shù)原函數(shù)；l l為拉氏變換的符號(hào)。為拉氏變換的符號(hào)。2 2、拉氏反變換、拉氏反變換 0,)(21)()(1tdses

27、fjsfltfjjstl l1 1為拉氏反變換的符號(hào)。為拉氏反變換的符號(hào)。第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3 3、幾種典型函數(shù)的拉氏變換、幾種典型函數(shù)的拉氏變換 q 單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)1(1(t t) ) 1 10 0t tf f( (t t) )單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)0100)( 1ttt)0)(re(101 )(1)(10ssesdtettlstst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)atetf)(（a a為常數(shù)）為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)0 0t tf f( (t t) )1 1)0)(re(,1 0)(0asasdtedteeeltasstatat第二

28、章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù) 正弦及余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)1 10 0t tf f( (t t) )f f( (t t)=sin)=sin t tf f( (t t)=cos)=cos t t-1-10sinsindtettlst0coscosdtettlst由歐拉公式，有：由歐拉公式，有： tjtjtjtjeeteejt21cos21sin第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型0)re(112121sin2200ssjsjsjdteedteejtlsttjsttj從而：從而：22cossstl同理：同理：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q

29、單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) ( (t t) ) 0 0t tf f( (t t) )單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù) 1 1 )0(1lim)0(0)(0tttt且)1 (1lim1lim)(000sstesdtetl)()1 (lim)1 (1lim00seesss由洛必達(dá)法則：由洛必達(dá)法則：1lim)(0setl所以：所以：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)） 1 10 0t tf f( (t t) )單位速度函數(shù)單位速度函數(shù)1 1000)(ttttf0)re(1)(2000ssdtsesetdttetflststst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系

30、統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)02100)(2ttttf0)re(121)(302ssdtettflst單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0 0t tf f( (t t) )函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型常用拉氏變換表常用拉氏變換表第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型5 5、拉氏變換的主要定理、拉氏變換的主要定理 疊加定理疊加定理 q 齊次性：齊次性：l l afaf( (t t)=)=alal f f( (t t)，a a為常數(shù)；為常數(shù)；q

31、 疊加性：疊加性：l l afaf1 1( (t t)+)+bfbf2 2( (t t)=)=alal f f1 1( (t t)+)+blbl f f2 2( (t t) a a，b b為常數(shù)；為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。顯然，拉氏變換為線性變換。 實(shí)微分定理實(shí)微分定理 0)()0( ),0()()(ttfffssfdttdfl第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型00)(0)()(dtsedttdfsetfdtetfststst證明：由于證明：由于dttdflssfsf)(1)0()(即：即：)0()()(fssfdttdfl所以：所以：)0()0()0()()()0()0()()(

32、)1(21222nnnnnnffsfssfsdttfdlfsfsfsdttfdl同樣有：同樣有：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)()()()()()(222sfsdttfdlsfsdttfdlssfdttdflnnn當(dāng)當(dāng)f f( (t t) )及其各階導(dǎo)數(shù)在及其各階導(dǎo)數(shù)在t t=0=0時(shí)刻的值均為零時(shí)時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：（零初始條件）：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 積分定理積分定理 0)()0(,)0()()()1()1(tdttffsfssfdttfl)(1)(sfsdttfl當(dāng)初始條件為零時(shí)：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型證明：證明：

33、0)()(dtedttfdttflst00)()(dtsetfsedttfststssfsf)()0()1(0)(10)(1dtetfstdttfsst)0(1)0(1)(1)()1()1(1nnnnfsfssfsdttfl同樣：同樣：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)(1)(sfsdttflnn當(dāng)初始條件為零時(shí)：當(dāng)初始條件為零時(shí)： 延遲定理延遲定理 )()(sfetfls設(shè)當(dāng)設(shè)當(dāng)t t00時(shí)，時(shí)，f f( (t t)=0)=0，則對(duì)任意，則對(duì)任意0 0，有：，有：函數(shù)函數(shù) f f( (t t- - ) )0 0t tf f( (t t) ) f f( (t t) )f f( (t-t-

34、 ) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 位移定理位移定理 )()(asftfelat例：例：2222cossinsstlstl2222)()(cos)(sinasastelastelatat 初值定理初值定理 )(lim)0()(lim0ssfftfst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型證明：證明：0( )( )limlimlim( )(0 )lim( )(0 )0stssssdf tdf tledtdtdtsf sfsf sf000( )( )limlim( )( )lim00stssstsdf tdf tledtdtdtdf tdf tedtdtdtdt其中其中: :第二章第二

35、章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型初值定理建立了函數(shù)初值定理建立了函數(shù)f f( (t t) )在在t t=0=0+ +處的初值與函處的初值與函數(shù)數(shù)sfsf( (s s) )在在s s趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。 )(lim)0(ssffs即： 終值定理終值定理 若若sfsf( (s s) )的所有極點(diǎn)位于左半的所有極點(diǎn)位于左半s s平面，平面， 即：即：)(limtft存在。則：存在。則：)(lim)()(lim0ssfftfst第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型證明：證明：)0()(lim)0()(lim)(lim000fssffssfdttdflsss)0()()

36、()(lim)(lim0000ffdtdttdfdtedttdfdttdflstss又由于：又由于：)(lim)(0ssffs)0()(lim)0()(0fssfffs即：即：終值定理說(shuō)明終值定理說(shuō)明f f( (t t) )穩(wěn)定值與穩(wěn)定值與sfsf( (s s) )在在s=0s=0時(shí)的初值相同。時(shí)的初值相同。第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型7 7、求解拉氏反變換的部分分式法、求解拉氏反變換的部分分式法 部分分式法部分分式法如果如果f f( (t t) )的拉氏變換的拉氏變換f f( (s s) )已分解成為下列分量：已分解成為下列分量：f f( (s s)=)=f f1 1( (s s)

37、+)+f f2 2( (s s)+)+ +f fn n( (s s) )假定假定f f1 1( (s s), ), f f2 2( (s s), ), ，f fn n( (s s) )的拉氏反變換的拉氏反變換可以容易地求出，則：可以容易地求出，則：l l-1-1 f f( (s s) = ) = l l-1-1 f f1 1( (s s)+)+l l-1-1 f f2 2( (s s)+)+ +l l- -1 1 f fn n( (s s)= = f f1 1( (t t) + ) + f f2 2( (t t) + ) + + + f fn n( (t t) )第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)

38、數(shù)學(xué)模型)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsasbsfnnnnmmmm)()()()()(2101110nmmmpspspscscscscsasbsf在控制理論中，通常：在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將為了應(yīng)用上述方法，將f f( (s s) )寫成下面的形式：寫成下面的形式：式中，式中，p p1 1，p p2 2，p pn n為方程為方程a a( (s s)=0)=0的根的負(fù)值，稱的根的負(fù)值，稱為為f f( (s s) )的的極點(diǎn)極點(diǎn)；c ci i= =b bi i / /a a0 0 ( (i i = 0,1,= 0,1, ,m m) )。此時(shí)，即可將

39、此時(shí)，即可將f f( (s s) )展開(kāi)成部分分式。展開(kāi)成部分分式。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 f f( (s s) )只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)niiinnpsapsapsapsasasbsf12211)()()(ipsiipssfa)()(式中，式中，a ai i為常數(shù)，稱為為常數(shù)，稱為s s = -= -p pi i極點(diǎn)處的留數(shù)。極點(diǎn)處的留數(shù)。)( )()( )()( )()()()(limlimiiipsipsipbpasbsasapssbsapsaii實(shí)際常如下計(jì)算：實(shí)際常如下計(jì)算：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：求例：求)6(2)(22ssss

40、ssf的原函數(shù)。的原函數(shù)。解：解：23)2)(3(2)6(2)(321222sasasasssssssssssf31)2)(3(2)(0201ssssssssfa158)2(2)() 3(3232sssssssfsa54) 3(2)()2(2223sssssssfsa215431158131)(ssssf即：即：)0(5415831)()(231teesfltftt第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)f f（t t）s10s7s1s2) s (f23解：解：)5s)(2s ( s1s2s10s7s1s2) s (f23其中：其中：p p1 10

41、0、p p2 2-2-2、p p3 3-5-51 . 0|1014312|)( )(0211spsssssbsaa同理：同理：a a2 2=0.5=0.5、a a3 30.60.65s6 . 02s5 . 0s1 . 0) s (ft5t2e6 . 0e5 . 01 . 0) t (f其反變換為：其反變換為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 f f( (s s) )含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn) 設(shè)共軛復(fù)數(shù)根設(shè)共軛復(fù)數(shù)根p p1 1+j+j、p p2 2 jjjsjsjsjssbsasfjsksbsasfjsk|)( )()()(|)( )()()(21j12j11e|k|k,e|k|

42、k)tcos(e|k|2ekek) t (f1t1t )j(2t )j(1第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)5s2s3s) s (f2解：解：p p1 11+j21+j2、p p2 21 1j2j2)4t2cos(e2)4t2cos(e|k|2) t (fe25 . 0ke25 . 05 . 0 j5 . 0|) s (d) s (nktt14j24j2j1s1則：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 f f( (s s) )含有重極點(diǎn)含有重極點(diǎn) 設(shè)設(shè)f f( (s s) )存在存在r r重極點(diǎn)重極點(diǎn)- -p p0 0，其余極點(diǎn)均不同，則：，

43、其余極點(diǎn)均不同，則： )()()()()()(101110nrrmmmmpspspsbsbsbsbsasbsf式中，式中，a ar r+1+1，a an n利用前面的方法求解。利用前面的方法求解。)()()()()(11001002001nnrrrrrpsapsapsapsapsa第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型0)(001pspssfar0)(002pspssfdsdar0)(! 2102203pspssfdsdar0)()!1(10110pspssfdsdrarrrr第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型tpnnentpsl0)!1()(1101注意到：注意到：)0( )!2()!1

44、()()(10102021011teaeaeatratrasfltftpntprtprrrnr所以：所以：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例例 求所示象函數(shù)的原函數(shù)求所示象函數(shù)的原函數(shù)23s) 1s (1) s (f解：解：b b（s s）0 0有有 p p1 11 1的三重根、的三重根、p p2 20 0的二重根，所以的二重根，所以f f（s s）可以展開(kāi)為：可以展開(kāi)為：2212231121213sksk) 1s (k) 1s (k1sk) s (f23s1) s (f) 1s (故：3s1dsd21k2|s1dsdk1|s1k222131s2121s21132) 1s (1) s (

45、fs3|) 1s (1dsdk1|) 1s (1k0s3220s321tetteetfssssssfttt32123)(13) 1(1) 1(213)(2232從而：從而：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型例：求例：求的原函數(shù)。的原函數(shù)。) 1()2(3)(2ssssf解：解：12)2()(302201sasasasf12132)2)(201ssssssfa2 2) 1() 1)(3() 1()3( 2132)2)(2202sssssssssdsdsssfdsda21) 1)(3sssfa1222)2(1)(2ssssf第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)0(2)2()()(21tee

46、tsfltftt于是：于是：8 8、 應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程 求解步驟求解步驟q 將微分方程通過(guò)拉氏變換變?yōu)閷⑽⒎址匠掏ㄟ^(guò)拉氏變換變?yōu)?s s 的代數(shù)的代數(shù)方程；方程； q 解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表 達(dá)式；達(dá)式；q 應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型原函數(shù)原函數(shù)（微分方程的解）（微分方程的解）象函數(shù)象函數(shù)微分方程微分方程象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程拉氏反變換拉氏反變換拉氏變換拉氏變換解解代代數(shù)數(shù)方方程程拉氏變換法求解線性微分方程的過(guò)

47、程拉氏變換法求解線性微分方程的過(guò)程第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 實(shí)例實(shí)例)()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo設(shè)系統(tǒng)微分方程為：設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若若x xi i ( (t t) ) =1(=1(t t) )，初始條件分別為，初始條件分別為xxo o(0)(0)、x xo o(0)(0)，試求，試求x xo o(t)(t)。解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換：解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換： )0()0()()(222ooooxsxsxsdttxdl)0(5)(5)(5oooxssxdttdxl第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型)0()0()5()()65()(

48、6)(5)(222ooooooxxssxsstxdttdxdttxdl即：即：)(6)(6sxtxloostlsxtxlii1)( 1)()(對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：sxxssxssooo1)0()0()5()()65(2從而：從而：323265)0()0()5()65(1)(2132122sbsbsasasassxxsssssxooo第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型61065121sssa212) 3(12sssa313)2(13sssa)0()0(323)0()0()5(1ooooxxssxxsb)0()0(232)0()0()5(2ooooxxssxxsb第

49、二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型) 0( ) 0() 0(2) 0() 0(3 312161)(3232texxexxeetxtootootto)0312161)(32teetxtto3)0()0(22)0()0(333122161)(sxxsxxssssxooooo所以：所以：查拉氏變換表得：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：當(dāng)初始條件為零時(shí)：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的中，因此，不需

50、要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。值就可得到微分方程的全解。 q 如果所有的初始條件為零，微分方程的拉如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏氏 變換可以簡(jiǎn)單地用變換可以簡(jiǎn)單地用s sn n代替代替d dn n/ /dtdtn n得到。得到。 由上述實(shí)例可見(jiàn)：由上述實(shí)例可見(jiàn)：q 系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸輸 入響應(yīng)入響應(yīng) 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型五、傳遞函數(shù)五、傳遞函數(shù)1 1、傳遞函數(shù)的概念和定義、傳遞函數(shù)的概念和定義 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 在在零初始條件零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變

51、換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。比。 零初始條件：零初始條件：q t t00時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0 0；q 輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即工作狀態(tài)，即t t 0 0 時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為也均為0 0；第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)求解示例傳遞函數(shù)求解示例 q 質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)的傳遞函阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)數(shù) )()()()(22tftkxtxdtdctxdtdmiooo)()()()(2sfskxscs

52、xsxmsioookcsmssfsxsgio21)()()(所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q r r- -l l- -c c無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù) )()()()(22tututudtdrctudtdlciooo)()()()(2sususrcsusulcsiooo11)()()(2rcslcssususgio所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型q 幾點(diǎn)結(jié)論幾點(diǎn)結(jié)論

53、 傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型， 其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)， 與系統(tǒng)的輸入形式無(wú)關(guān)。與系統(tǒng)的輸入形式無(wú)關(guān)。 若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)函數(shù)g g( (s s) ) 決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。的固有動(dòng)態(tài)特性。 傳遞函數(shù)通過(guò)系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)傳遞函數(shù)通過(guò)系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān) 系來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的系來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的 輸入輸出特性來(lái)描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。輸入輸出特性

54、來(lái)描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)的一般形式傳遞函數(shù)的一般形式)()()()()()()()()(111101111mntxbtxdtdbtxdtdbtxdtdbtxatxdtdatxdtdatxdtdimimimmimmonononnonn)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsxsxsgnnnnmmmmio考慮線性定常系統(tǒng)考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型mmmmbsbsbsb

55、sm1110)(nnnnasasasasn1110)(令：令：)()()()()(snsmsxsxsgio則：則：n n( (s s)=0)=0稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的特征方程特征方程，其根稱為系統(tǒng)的，其根稱為系統(tǒng)的特征特征根根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。n n( (s s) )中中s s的最的最高階次等于系統(tǒng)的階次。高階次等于系統(tǒng)的階次。2 2、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn) 特征方程特征方程式中，式中，k k稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)放大系數(shù)或或增益增益。當(dāng)當(dāng)s s=0=0時(shí)：時(shí)：g g(0)=(0)=b bm m/ /a an n= =k k第

56、二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此數(shù)項(xiàng)都為零。因此k k 反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。出與輸入的比值。 零點(diǎn)和極點(diǎn)零點(diǎn)和極點(diǎn) )()()()()()()(210210nmiopspspsazszszsbsxsxsg將將g g( (s s) )寫成下面的形式：寫成下面的形式： n n( (s s)=)=a a0 0( (s s- -p p1 1)()(s s- -p p2 2) )( (s s- -p pn n)=0)=0的根的根s s= =p pj j ( (j

57、j=1, 2, =1, 2, , , n n) )，稱為傳遞函數(shù)的，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)極點(diǎn)；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，式中，m m( (s s)=)=b b0 0( (s s- -z z1 1)()(s s- -z z2 2) )( (s s- -z zm m)=0)=0的根的根s s= =z zi i ( (i i=1, 2, =1, 2, , , m m) )，稱為傳遞函數(shù)的，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)零點(diǎn)；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)

58、就是系統(tǒng)的特征根。零系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。 零、極點(diǎn)分布圖零、極點(diǎn)分布圖 將傳遞函數(shù)的零、將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)布圖。圖中，零點(diǎn)用用“o”o”表示，極表示，極點(diǎn)用點(diǎn)用“”表示。表示。 g(s)=g(s)=s+2s+2(s+3)(s(s+3)(s2 2+2s+2)+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖的零極點(diǎn)分布圖0 0 1 12 23 31 12 2-1-1-2-2-3-3-1-1-2-2 j j 第二章第

59、二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型3 3、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明 傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常 系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函 數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)； 傳遞函數(shù)是傳遞函數(shù)是 s s 的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各 項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相 等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)； 傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零

60、 時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于 相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能 反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律； 第二章第二章 系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型 傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系， 無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。 一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出 的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。 4 4、