均值不等式應(yīng)用(技巧)

1、均值不等式應(yīng)用（技巧）.均值不等式2.若a,b若a,bR ,則 a2b22ab (2)若 a,bR,則a b2.ab(2)若 a, b R,則a b2,則ab（當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取21.( 1)若 a,b則abRa D =)R1X 1時(shí)取“=”)當(dāng)且僅當(dāng)a b2 2a L （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）22、ab （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）3.若X0 ,則0,則X1X 一X1-2 （當(dāng)且僅當(dāng)3.若 ab（當(dāng)且僅當(dāng)b時(shí)取X12 （當(dāng)且僅當(dāng)X 1時(shí)取“=”）Xa b時(shí)取“=”)若ab4.若 a, bR ,則(a b)222 .2a L (當(dāng)且僅當(dāng)2b時(shí)取“=”)-2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)取“=”）注：

2、（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（3）均值定理在求最值、（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用一：求最值例1:求下列函數(shù)的值域(1) y = 3 2 + 2p1(2) y= X + -X解：(1) y= 3x 2 + 2p(2)當(dāng) X>0 時(shí)，y = X +1 2X X =2；1當(dāng) XV 0 時(shí)，y = X + - =(XX - ) X1-=2X值域?yàn)?, 2 U 2 ,+)解題技巧:技巧一：湊項(xiàng)5例1 :已知X

3、,求函數(shù)y 4x 241的最大值。4 532 2X =苗值域?yàn)镴6 , +)解：因4x 5O ,所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又QX 4,15 4x 0,y 4x 24x 5(4 2)g 1 不是常數(shù)，所以對(duì) 4x 2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng), 4x 55 4x 132 3 15 4x當(dāng)且僅當(dāng)5 4x1，即X 1時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)X 1時(shí)，ymax 1。5 4x評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1當(dāng)I時(shí)，求y x(8 2x)的最大值。解析：由I 二知，；J,利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x

4、) 8為定值，故只需將 y x(8 2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。A = X8-2x)冷皆(E- 2x) < Cz + SA)3 8當(dāng): ,即卩X = 2時(shí)取等號(hào) 當(dāng)X = 2時(shí)，y x(8 2x)的最大值為 &評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)O3 ,求函數(shù)y24x(32x)的最大值。解： O3 3 2x22x 3 2X0 y 4x(3 2x)2 2x(3 2x)2當(dāng)且僅當(dāng)2x3 2x,即 X3 0, 3時(shí)等號(hào)成立。4 2技巧三：分離2例3求y 1)的值域。解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有(

5、X+ 1 )的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng)，1 ,即-1 時(shí)，y 2(X 1)59 (當(dāng)且僅當(dāng)X= 1時(shí)取“=”號(hào))。技巧四：換元解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元,t=x + 1,化簡(jiǎn)原式在分離求最值。y (t 1)27(t 1+10 =t 4tt當(dāng) 1,即 t=_. I 時(shí),t Y 5(當(dāng)t=2即X= 1時(shí)取“=”號(hào))。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開再利用不等式求最值。化為ymg(x)B(A 0, B 0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。af (x) X的單調(diào)性。X(1) y2X 3x 1 Z I(X 0) (2)y2x

6、3 (3) y2sin X1,xSin X(0,)2 .已知0X 1 ,求函數(shù)y x(1 x)的最大值.；3. 0X -,求函數(shù)y . x(2 3x)的最大值. 3例：求函數(shù)X y5一的值域。yK4解：令X24 t(t2),則yX5 E1 1t -(t 2)X24.X 4t因t0,t 11 ,但t1解得t1不在區(qū)間2,故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。tt因?yàn)镴y t1在區(qū)間1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y總技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)t25所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,2練習(xí)求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，X的值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿

7、足a b 2 ,則3a3b的最小值是分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過程，而且3a 3b定值，因此考慮利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正數(shù)，3a3b 2 3a 3b2.3a b6當(dāng)3a3b時(shí)等號(hào)成立，由ab2及 3a3b得a b1即當(dāng)a b 1時(shí)，3a 3b的最小值是611變式：右 log 4 X log4 y 2 ,求的最小值.并求x,y的值Xy技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。192 :已知X 0, y 0 ,且1，求X y的最小值。X y錯(cuò)解:Qx0, y 0 ,且 1 - 1 , X y 丄-Xy 2 廈 2歷 12 故 Xy

8、 min 12。X yX yV Xy錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在X y Xy等號(hào)成立條件是X y ,在X等號(hào)成立條件是9y在利用均值不等式處理問題時(shí),列出等號(hào)成立條件19即y 9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此,是解題的必要步驟,而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：Q X0,y9x10 6 10 16 y當(dāng)且僅當(dāng)9x時(shí)，上式等號(hào)成立，又y可得4, y 12 時(shí),y min16 。變式： （1）若 X, y R 且 2x y1 ,求丄的最小值已知a, b, x, y R且aXX y的最小值X y技巧七、已知X , y為正實(shí)數(shù)，且X 2 + 2 = 1,求X 1 + y 2的最大

9、值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式a 2 + b 2ab同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)中y2前面的系數(shù)為，X.1 + y2 1+yF面將x,分別看成兩個(gè)因式:1.1 + 丁÷y22 + y22( 2 + y2)2即X 1+y 2技巧八：已知 a, b為正實(shí)數(shù)，2b+ ab+ a = 30,求函數(shù)y=ab的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑,是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題,再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來說，這種途徑是可行的;二是直接用基本 不等式，對(duì)本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的

10、途徑進(jìn)行。、丄30 2b法一：a= T+T， ab30 2bb + 122 b + 30b b=由 a> 0 得，OV bv 15=2 (t + ¥ )+ 34 t + ¥ 216t = 8t2令 t = b+1, 1v tv 16, ab= 2t + 34t 31法二：由已知得：30 ab= a + 2b v a + 2b 2 2 ab 30 ab 2 2 ab即b= 3, a= 6時(shí)，等號(hào)成立。. ab 18 y 占當(dāng)且僅當(dāng)t = 4,令 U= I ab貝U u2+ 22 U 30 0, 52 U 32Jab 3 2 , ab 18,* y屆點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式a

11、 b . ab (a, b R )的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；如何由已知不等式2ab a 2b 30 (a,bR )出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式a bab (a,b R ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含 ab的不等式，進(jìn)而解得 ab的范圍.2變式：1.已知a>0，b>0， ab (a + b) = 1,求a + b的最小值。2.若直角三角形周長(zhǎng)為1 ,求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知解法一:X, y為正實(shí)數(shù)，3x+ 2y = 10,求函數(shù) W= 3x + 2ya+ b2 2若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系,的最值.a +b ,本

12、題很簡(jiǎn)單3x + 2y 2( 3x ) 2+( 2y ) 2 =2 3x + 2y = 2 5解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W>0, W= 3x + 2y + 2 3x 2y = 10+ 2 3x 2y 10+ ( 3x ) 2 ( 2y ) 2 = 10+ (3x + 2y) = 20 W20 = 2 5變式：求函數(shù)y2-1 52x(1 X -)的最大值。2 2解析：注意到2x 1與5 2x的和為定值。y2( 2x1522x)242、._(2x 1)(52x)4(2x 1)(5 2x)8又y 0,所以0y

13、22當(dāng)且僅當(dāng)2x1=52x ,即 X3時(shí)取等號(hào)。2故 ymax2 2。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊覀兝镁挡坏仁角笞钪禃r(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造 條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1.已知a, b,c為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：a2b2c2ab bc Ga1)正數(shù) a, b, C 滿足 a + b+ C = 1 ,求證：(1 a)(1 b)(1 C) 8abcIII例 6：已知 a、b、C R ,且 a b C 1。求證：1118a b C分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“ 2 ”連乘，又1 a b C 2 bc，可由此變形入手。a a a解：Qa、 b、CIabC學(xué)。同理羋I 2abC上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得1 1 1 1 1 1a b Ca2 , abC8。當(dāng)且僅當(dāng)ab c -時(shí)取等號(hào)。3應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題19例：已知X 0, y 0且 -X y1 ,求使不等式X y m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。解:y k,x0,