用向量計算空間角PPT精選文檔

1、.1用向量計算空間角.2直線直線a、b是異面直線，經過空間任意一點是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直，分別引直線線 ，我們把直線，我們把直線 和和 所成的銳角（或直角）所成的銳角（或直角）叫做異面直線叫做異面直線a和和b所成的角。所成的角。/bb/a, aab異面直線所成角的范圍是異面直線所成角的范圍是 。2,0平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角；直線和這個平面所成的角；由定義知，直線與平面所成的角由定義知，直線與平面所成的角00， 2一、幾類空間角的定義及范圍一、幾類空間角的定義及范圍1.1.異面異

2、面直線所成角直線所成角2.2.直線和平面所成角直線和平面所成角特別地，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；特別地，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角一條直線和平面平行，或在平面內，我們說它們所成的角是是0 0角。角。.31.1.求異面直線所成角的公式：求異面直線所成角的公式： 其中其中 是異面直線是異面直線 上的方向向量。上的方向向量。 ba ,ba,2.2.求線面角大小的公式：求線面角大小的公式： nOAnOAn ,OAcossin其中其中 是平面的法向量。是平面的法向量。 ncoscos, a b 二、空間角的向量計算二、空間

3、角的向量計算oAn 如圖，設平面如圖，設平面的法向量為的法向量為 ，直線，直線AO與平面所與平面所成的角為成的角為 . .則則n nnOAd點點A到平面到平面的距離的距離d為：為：.4例例1 1：如右圖，直三棱柱：如右圖，直三棱柱A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC中，中，BCA=90BCA=90, ,點點D D1 1、F F1 1分別是分別是A A1 1B B1 1、A A1 1C C1 1的中點，若的中點，若BC=CA=CCBC=CA=CC1 1，求，求BDBD1 1與與AFAF1 1所成的角的余弦值所成的角的余弦值. .A1C1F1B1D1ABC解： 如圖建立空間直角坐標系，

4、取BC=CA=CC1=1 xyz則B （1,0,0) A（0,1,0）11111(,1) ;(0,1)222DF1BD 11(,1) ;221(0,1) ;2AF （1 1）求異面直線所成的角）求異面直線所成的角 所以直線BD1與AF1所成的角的余弦值10301030252643111111AFBDAFBDAF,BDcos設異面直線BD1與AF1所成的角的角為 ，則1030cos.5例例2：如圖，在長方體：如圖，在長方體AC1中，棱中，棱AB=BC=3，棱，棱BB1=4，點，點E是是CC1的中點的中點 。 求求ED與平面與平面A1B1C所成角的大小所成角的大小的正弦的正弦值值.B1A1D1C1

5、CDEA解：如圖，建立空間直角坐標系， xyz由題意知： 11BA=（3，0，0）； 1( 0 , 3 ,4 )B C 設平面A1B1C的法向量為 =（x，y，z）則 n zyxzyxCBnBAn4300430300111令z=3，則 =（0，4，3）， n （2 2）求直線和平面所成的角）求直線和平面所成的角 BD （0，3，0）； E （3，3，2）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）。 DE=（3，0，2）.6CB1BA1D1C1DEAxyz設DE與面A1B1C所成角為 ，則 65136nDEnDESin =|cos|= ,DE n 即 ED與平面A1B1C

6、所成角的大小為65136.7 在二面角的棱上棱上任取一點，過這點在二面角的兩個面內兩個面內做垂直于棱垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。二面角的范圍是0，（1） 二面角及二面角的平面角：二面角及二面角的平面角： 從一條直線出發(fā)的兩個半平面構成的圖形叫二面角。 二面角的大小可用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。 3.3.二面角：二面角： .8cos =21,nn2121nnnn如圖1中，cos=圖2中, cos= cos =21,nn2121nnnn圖12n1nl圖22n1nl（2 2）求二面角大小的公式：）求二面角大小的公式： 21n ,nc

7、oscos其中其中 分別是二面角的兩個半平面的法向量。分別是二面角的兩個半平面的法向量。 21,nn 用向量法求空間角回避了在空間圖形中尋找線線角、線用向量法求空間角回避了在空間圖形中尋找線線角、線面角、二面角的平面角這一難點。體現(xiàn)了向量思想在立體幾面角、二面角的平面角這一難點。體現(xiàn)了向量思想在立體幾何中的重要地位，更體現(xiàn)了何中的重要地位，更體現(xiàn)了“借數(shù)言形借數(shù)言形”的數(shù)學思想。的數(shù)學思想。 注意：建立坐標系后各個點的坐標要寫對，計算要準確。注意：建立坐標系后各個點的坐標要寫對，計算要準確。 二面角余弦值二面角余弦值 的正負取決于二面角是銳二面角還是鈍的正負取決于二面角是銳二面角還是鈍二面角二

8、面角.cos.9例例3：長方體：長方體AC1中，棱中，棱AB=BC=3，BB1=4。 求二面角求二面角B1A1CC1的余弦值。的余弦值。 xyzB1BA1D1C1CDA解：如圖，建立空間直角坐標系. D （0，3，0）； A1（0，0，4）； B1（3，0，4）； C （3，3，0）； C （3，3，0）； D1（0，3，4）. 11BA=（3，0，0）； 1( 0 , 3 ,4 )B C zyxzyxCBnBAn4300430300111令z=3，則x=0,y=4平面A1B1C的法向量為 =（0，4，3） n設平面A1B1C的法向量為 =（x，y，z）則 n）（033-11,DB又平面A1

9、C1C的法向量為 111111DBnDBnDB, ncos又所求二面角為銳二面角故二面角B1A1CC1的大小為 522522.10練習：練習：如圖，已知：直角梯形如圖，已知：直角梯形OABC中，中，OABC， AOC=90，SO平面平面OABC，且，且 OS=OC=BC=1，OA=2.求：求： OS與平面與平面SAB所成角的正弦值；所成角的正弦值； 二面角二面角BASO的余弦值的余弦值; 異面直線異面直線SA和和OB所成角的余弦值所成角的余弦值.則A（2，0，0）；于是我們有OABCS解：如圖建立直角坐標系，xyz=（2，0，-1）；SA=（-1，1，0）；AB=（1，1，0）；OB=（0，0

10、，1）；OSB（1，1，0）；S（0，0，1），C（0，1，0）； O（0，0，0）；.11020zxyx令x=1，則y=1，z=2；從而)2 , 1 , 1 (n36612,cossinnOSnOSnOS設面SAB的法向量),(zyxn SAnABn,顯然有OABCSxyz.12OBSAOBSAOB,SAcos）（ 3510252所以直線SA與OB所成角的余弦值為510.由知面SAB的法向量 =（1，1，2） 1n又OC面AOS，OC 是面AOS的法向量，令)0 , 1 , 0(2OCn則有61,cos212121nnnnnn由于所求二面角為銳二面角66二面角BASO的余弦值為OABCSxy

11、z.13zPQBCDAOxy1.1.如圖所示，在四棱錐如圖所示，在四棱錐P-ABCDP-ABCD中，中，ABABCD,ABCD,ABAD,AB=4AD,AB=4，AD= AD= ，CD=2CD=2，PAPA平面平面ABCD,PA=4.ABCD,PA=4.（1 1）求證：）求證：BDBD平面平面PAC;PAC;（2 2）點）點Q Q為線段為線段PBPB的中點，求直線的中點，求直線QCQC與平面與平面PACPAC所成角的所成角的正弦值正弦值. .22.14BACDA1C1B1zOxy2.2.如圖所示，正三棱柱如圖所示，正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的所有棱長都為的所有棱

12、長都為2 2，D D為為CCCC1 1的中點，求二面角的中點，求二面角A-AA-A1 1D-BD-B的余弦值的余弦值. .15zABCDA1C1B1D1xy3.3.如圖所示如圖所示, ,在平行六面體在平行六面體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,平面平面ABCDABCD與平面與平面D D1 1C C1 1CDCD垂直垂直, ,且且DD1 1DC=60DC=60,DC=DD,DC=DD1 1=2,DA= , ADC=90=2,DA= , ADC=90, ,求異面直線求異面直線A A1 1C C與與ADAD1 1所成角的余弦值。所成角的余弦值。3.164.4.如圖所示如圖所示, ,在四棱柱在四棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,側棱側棱A A1 1A A底面底面ABCDABCD，ABDC,ABDC,ABAD,AD=DC=1,AAABAD,AD=DC=1,AA1 1=AB=2=AB=2，E E為棱的中點為