函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

1、考試要求考試要求1、掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的極值、掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上的極值、閉區(qū)間上的最值的導(dǎo)數(shù)法及一般步驟；閉區(qū)間上的最值的導(dǎo)數(shù)法及一般步驟；2、會(huì)運(yùn)用比較法確定函數(shù)的最值點(diǎn)。、會(huì)運(yùn)用比較法確定函數(shù)的最值點(diǎn)。第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)知識(shí)梳理1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，若內(nèi)，若f(x)0，則，則f(x)為為 若若f(x)0，則則f(x)為為 ，若，若f(x)0，則，則f(x)為為 2如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值的絕對(duì)值 ，那么函數(shù)在這個(gè)范圍，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化內(nèi)變化 ，這

2、時(shí)，函數(shù)的圖象，這時(shí)，函數(shù)的圖象就越“ ”增函數(shù)增函數(shù)常數(shù)常數(shù)減函數(shù)減函數(shù)越大越大越快越快陡峭陡峭基礎(chǔ)知識(shí)梳理3利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1)求f(x)；(2)在定義域內(nèi)解不等式f(x)0和f(x)0；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果確定f(x)的單調(diào)區(qū)間基礎(chǔ)知識(shí)梳理若函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0，這種說(shuō)法是否正確？【思考提示】不正確，函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)遞增，則f(x)0，此處f(x)0，并不是指x在a，b內(nèi)處處有 f(x)0，可能只在某些具體的點(diǎn)處f(x)0.三基能力強(qiáng)化1(2010年高考江蘇卷)函數(shù)f(x)x3 15x233x6的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)三基能力強(qiáng)化2

3、已知對(duì)任意xr，恒有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，g(x)0，則當(dāng)x0)，則f(x)為增函數(shù)的充要條件是_三基能力強(qiáng)化4三次函數(shù)yf(x)ax3x在x(，)內(nèi)是增函數(shù)，則a的取值范圍是_課堂互動(dòng)講練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)在某區(qū)間內(nèi)f(x)0(f(x)0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分條件，而不是必要條件如果出現(xiàn)個(gè)別點(diǎn)使f(x)0，不會(huì)影響函數(shù)f(x)在包含該點(diǎn)的某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性(2)一般地，可導(dǎo)函數(shù)f(x)在(a，b)上是增(減)函數(shù)的充要條件是：對(duì)任意的x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任

4、何子區(qū)間內(nèi)都不恒等于零特別是在已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，要注意等號(hào)是否可以取到課堂互動(dòng)講練(2009年高考全國(guó)卷)已知函數(shù) f(x)x43x26.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)設(shè)點(diǎn)p在曲線yf(x)上，若該曲線在點(diǎn)p處的切線l通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，求l的方程課堂互動(dòng)講練1(2011年高考重慶卷)設(shè)函數(shù)f(x)x3ax29x1(a0.討論討論f(x)的單調(diào)性的單調(diào)性課堂互動(dòng)講練2(2011年高考模擬卷年高考模擬卷)已知函數(shù)已知函數(shù)f(x) 1/2 x2ax(a1)lnx，a1.(1)討論函數(shù)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；的單調(diào)性；(2)證明：若證明：若a0，證明：不等式1+練習(xí)fafa=-3.

5、01+m)(1)nmtmnn1.設(shè)函數(shù) (x)=x-a(x-1)ln(x+1)(x-1,0)1.求 (x)的單調(diào)區(qū)間2. =1方程f(x) t在 1/2,1 上有兩個(gè)實(shí)數(shù)解求 的取值范圍證明：當(dāng)時(shí)，（2、函數(shù)、函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c，過(guò)曲線上的點(diǎn)，過(guò)曲線上的點(diǎn)p(1,f(1)的的切線方程為切線方程為y=3x+1（1）若）若y=f(x)在在x=-2時(shí)有極值，求時(shí)有極值，求f(x)的表達(dá)式；的表達(dá)式；（2）在（）在（1）的條件下，求）的條件下，求y=f(x)在上最大值；在上最大值；（3）若函數(shù)）若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間-2,1上單調(diào)遞增，求上單調(diào)遞增，求b的的取值范圍取值范圍第

6、三節(jié) 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和最值基礎(chǔ)知識(shí)梳理1函數(shù)的極值函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極值的概念：函數(shù)的極值的概念：函數(shù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)xa的函數(shù)值的函數(shù)值f(a)比它在比它在點(diǎn)點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)附近的左側(cè) ，右，右側(cè)側(cè) ，則點(diǎn)，則點(diǎn)a叫做函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)的的 ，f(a)叫做函數(shù)叫做函數(shù)yf(x)的的 f(x)0f(x)0極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)極小值極小值基礎(chǔ)知識(shí)梳理 函數(shù)函數(shù)yf(x)在點(diǎn)在點(diǎn)xb的函數(shù)值的函數(shù)值f(b)比比它在點(diǎn)它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)；而且在點(diǎn)xb

7、附近的左附近的左側(cè)側(cè) ，右側(cè)，右側(cè) ，則點(diǎn)，則點(diǎn)b叫叫做函數(shù)做函數(shù)yf(x)的的 ，f(b)叫叫做函數(shù)做函數(shù)yf(x)的的 極小值點(diǎn)、極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為 ，極大值和極小，極大值和極小值統(tǒng)稱為值統(tǒng)稱為 f(x)0f(x)0極大值點(diǎn)極大值點(diǎn)極大值極大值極值點(diǎn)極值點(diǎn)極值極值基礎(chǔ)知識(shí)梳理(2)求函數(shù)極值的步驟： ； ；檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取 ，如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)f(x)求方程求方程f(x)0的根的根極大值極大值極小值極小值基礎(chǔ)知識(shí)梳理方程f(x)0的根就是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)是否正確？【思考提示

8、】不正確，方程f(x)0的根未必都是極值點(diǎn)基礎(chǔ)知識(shí)梳理2函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在a，b上求最大值與最小值的步驟：(1) (2)求求f(x)在在(a，b)內(nèi)的極值內(nèi)的極值將將f(x)的各極值與的各極值與f(a)，f(b)比較，其中比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.三基能力強(qiáng)化1(2010年山東煙臺(tái)模擬)函數(shù)yx2cosx在0， 上取得最大值時(shí)，x的值為_(kāi)2三基能力強(qiáng)化2(2010年江蘇揚(yáng)州模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)_無(wú)極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)有三

9、個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)有四個(gè)極大值點(diǎn)、無(wú)極小值點(diǎn)三基能力強(qiáng)化3已知f(x)ax3bx2x(a，br且ab0)的圖象如圖所示，且|x1|x2|，則有a，b的正負(fù)情況是_三基能力強(qiáng)化4函數(shù)f(x)x33ax23(a2)x1既有極大值又有極小值，則a的取值范圍是_答案：答案：a2或或a1,f(x)=(x2+ax+1)e1-x, g(x)=若存在若存在x1,x20,1,使得使得|f(x1)-g(x2)|0,求函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)。的極值點(diǎn)。23(1)36( )xaxaxaf xe練習(xí)：若函數(shù)練習(xí)：若函數(shù)y=3a2x-x3在在(-,-1),(1,+)上是減函數(shù)上是減函數(shù),在在

10、(-1,1)上是增函數(shù)，則上是增函數(shù)，則f(x)的極大值、極小值分別的極大值、極小值分別是是 。題型四題型四 用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的解析式用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的解析式例例1、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)x=1,x=-1時(shí)有極值，且時(shí)有極值，且|f(x)-f(-1)|=4,求求a,b的值。的值。題型五題型五 用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的極值例例1、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=|x3-3x|在區(qū)間在區(qū)間0,a的最大值。的最大值。練習(xí)練習(xí)1、求函數(shù)、求函數(shù)f(x)=2x3-3(a-1)x2+1在區(qū)間在區(qū)間1,3上的值上的值域。域。2、已知、已知a0，函數(shù)，函數(shù) 設(shè)設(shè) ，記曲線，記曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線為在點(diǎn)處的切線為l。 （）求）求l的方程；的方程； （）設(shè)）設(shè)l與與x軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為(x2,0)，證明：，證明： 若若 ，則，則 1( ),(0,),axf xxx120 xa210 xa11xa121xxa4、已知函數(shù)、已知函數(shù)f(x)=x3+ x2，數(shù)列，數(shù)列xn( xn 0)的第一項(xiàng)的第