定積分的概念與性質(zhì)

1、6.1 6.1 定積分的概念與性質(zhì)定積分的概念與性質(zhì)6 6.1.1.1 1 定積分的概念定積分的概念6 6.1.1.2 2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)例例1 1曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積由區(qū)間上的由區(qū)間上的連續(xù)曲線，連續(xù)曲線， 軸與直線軸與直線， 所圍成的平面圖形稱(chēng)為曲邊梯所圍成的平面圖形稱(chēng)為曲邊梯形形ba,)0)()(xfxfyax bx x1.1.引例引例為計(jì)算曲邊梯為計(jì)算曲邊梯形的面積，形的面積，可按下述方法進(jìn)行：可按下述方法進(jìn)行：bbaa6.1.6.1.1 1 定積分的概念定積分的概念(1)(1)用分點(diǎn)用分點(diǎn)把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間：其中第個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度為其中第個(gè)小區(qū)間長(zhǎng)度

2、為nnxxxxxa 1210, 2 , 1(1ixxxiiii10,xx21,xx，nnxx,1，b),nn梯形的面積記為梯形的面積記為 . .曲邊梯形的面曲邊梯形的面積等于積等于 過(guò)每一分點(diǎn)作軸的垂過(guò)每一分點(diǎn)作軸的垂線，把曲邊梯形分成線，把曲邊梯形分成 個(gè)小曲邊梯形，個(gè)小曲邊梯形，其中第個(gè)小曲邊其中第個(gè)小曲邊1, 2 , 1nixixniiaaabbaabbniia1（2 2）在每一小區(qū)間）在每一小區(qū)間 內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)，以為底邊、為高作，以為底邊、為高作小矩作，其面積小矩作，其面積 iixx ,1), 2 , 1(niiix)(ifiiixfs)(), 2 , 1(ni當(dāng)當(dāng) 很小時(shí)，很

3、小時(shí)， , ,曲邊梯形曲邊梯形的面積近似地等于所有小矩形面積之和的面積近似地等于所有小矩形面積之和ixiisaaabbniiniiinxfss11)(3)(3)如果分點(diǎn)個(gè)數(shù)如果分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增大無(wú)限增大( (即即 ) )，且趨于且趨于零時(shí)，的極限就是零時(shí)，的極限就是曲邊梯形的面曲邊梯形的面積，即積，即ninixxmax1nsaabbsiixnxxnifss1)(limlim00 例例2 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程） 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔,21tt上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物

4、體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.思路思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值分過(guò)程求得路程的精確值（1）分割）分割212101tttttttnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路

5、程的精確值定義定義6.16.1設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義用點(diǎn)，義用點(diǎn)， 把把區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間：區(qū)間分為個(gè)小區(qū)間：)(xfba,bxxxxxann1210ba,n), 2 , 1(1nixxxiiiiixx ,1),(1iiiixx記在每一小區(qū)間記在每一小區(qū)間上任取一點(diǎn)，上任取一點(diǎn)，niiinxfs1)(10,xx，21,xx，nnxx,1，稱(chēng)為積分和稱(chēng)為積分和2.2.定積分的概念定積分的概念如果當(dāng)如果當(dāng) 無(wú)限增大，且無(wú)限增大，且 中最大者中最大者 時(shí)，的極限存在，時(shí)，的極限存在，且極限值與的劃分方法及點(diǎn)的取法無(wú)且極限值與的劃分方法及點(diǎn)的取法無(wú)關(guān)，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上關(guān)，則稱(chēng)函數(shù)在區(qū)間上

6、可積可積，此極，此極限值稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的限值稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分定積分，記作，即記作，即nix)max(01inixxxnsi)(xfba,ba,)(xfba,baxxfd)(baxniixfxxf1)(limd)(0，其中稱(chēng)為其中稱(chēng)為被積函數(shù)被積函數(shù)，稱(chēng)為，稱(chēng)為積分區(qū)間積分區(qū)間；稱(chēng)為稱(chēng)為積分下限積分下限，稱(chēng)為，稱(chēng)為積分上限積分上限，稱(chēng)為，稱(chēng)為積分變量積分變量，稱(chēng)為，稱(chēng)為被積表達(dá)式被積表達(dá)式)(xfba,abxxxfd)(被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和由定義由定義6.1. 6.1. 例例1 1，例，例

7、2 2所討論的問(wèn)題可所討論的問(wèn)題可分別敘述為分別敘述為(1)(1)曲邊梯形的面積是曲邊方曲邊梯形的面積是曲邊方程在區(qū)間上的定積分，即程在區(qū)間上的定積分，即aabbs)(xfy ba,baxxfsd)(2)(2)變速直線運(yùn)動(dòng)的路程變速直線運(yùn)動(dòng)的路程s s可表示為可表示為d21( )ttsv tt (1) (1) 函數(shù)在區(qū)間上的定積分是函數(shù)在區(qū)間上的定積分是積分和的極限，如果這一極限存在，則它是積分和的極限，如果這一極限存在，則它是一個(gè)確定的常量它只與被積函數(shù)和積一個(gè)確定的常量它只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量使用的字母分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量使用的字母的選取無(wú)關(guān)的選取無(wú)關(guān))(xfba,)

8、(xfba,babattfxxfd)(d)(. .對(duì)于定積分的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：對(duì)于定積分的概念，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(2)(2)在定積分的定義，總是假設(shè)，在定積分的定義，總是假設(shè)，如果如果，我們規(guī)定，我們規(guī)定ba ab abbaxxfxxfd)(d)(，(6.1.2)(6.1.2)即互換定積分的上、下限，定積分要變號(hào)即互換定積分的上、下限，定積分要變號(hào)如果，由如果，由(6.1.2)(6.1.2)可得可得ba aaxxf0d)(. .(3)(3)可以證明：如果在區(qū)間上可可以證明：如果在區(qū)間上可積，則在區(qū)間上有界，即函數(shù)積，則在區(qū)間上有界，即函數(shù)有界是其可積的必要條件有界是其可積的必要條件)(x

9、fba,ba,)(xf)(xf這一結(jié)論也可以敘述為：如果函數(shù)這一結(jié)論也可以敘述為：如果函數(shù)在區(qū)間上無(wú)界，則在上不可在區(qū)間上無(wú)界，則在上不可積積)(xf)(xfba,ba,小結(jié)：小結(jié)：定積分的實(shí)質(zhì)定積分的實(shí)質(zhì)：特殊和式的極限：特殊和式的極限定積分的思想和方法：定積分的思想和方法：分割分割化整為零化整為零求和求和積零為整積零為整取極限取極限精確值精確值定積分定積分求近似以直（不變）代曲（變）求近似以直（不變）代曲（變）取極限取極限性質(zhì)性質(zhì)1 1被積表達(dá)式中的常數(shù)因子可以提被積表達(dá)式中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前，即到積分號(hào)前，即babaxxfkxxkfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)2 2兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等

10、于各函兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的積分等于各函數(shù)積分的代數(shù)和，即數(shù)積分的代數(shù)和，即bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)()(，6.1.6.1.2 2 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)代這一結(jié)論可以推廣到任意有限多個(gè)函數(shù)代數(shù)和的情況數(shù)和的情況性質(zhì)性質(zhì)3 3對(duì)任意的點(diǎn)，有對(duì)任意的點(diǎn)，有bacabcxxfxxfxxfd)(d)(d)(c這一性質(zhì)稱(chēng)為定積分的可加性，應(yīng)注意，這一性質(zhì)稱(chēng)為定積分的可加性，應(yīng)注意， 的任意性，意味著不論的任意性，意味著不論 還是還是 這一性質(zhì)均成立這一性質(zhì)均成立cbac,ba,c性質(zhì)性質(zhì)4 4如果在區(qū)間上，恒有如果在區(qū)間上，恒有，則，則ba,)(

11、)(xgxfbabaxxgxxfd)(d)(性質(zhì)性質(zhì)5 5如果被積函數(shù)，則如果被積函數(shù)，則baabxd1)(xf性質(zhì)性質(zhì)6 6如果函數(shù)在上有最大值如果函數(shù)在上有最大值和最小值，則和最小值，則)(xfba,mmbaabmxxfabm)(d)()(性質(zhì)性質(zhì)7(7(積分中值定理積分中值定理) )如果函數(shù)在區(qū)間如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得上連續(xù)，則在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得ba,ba,baabfxxf)(d)(),(ba， 這一性質(zhì)的幾何意義是這一性質(zhì)的幾何意義是: :由曲線，軸和直由曲線，軸和直線，所圍成的曲邊線，所圍成的曲邊梯形面積等于區(qū)間上某梯形面積等于區(qū)間上某個(gè)矩形的面積，這個(gè)矩形的

12、個(gè)矩形的面積，這個(gè)矩形的底是區(qū)間，其高為區(qū)間底是區(qū)間，其高為區(qū)間 內(nèi)某一點(diǎn)處的函值內(nèi)某一點(diǎn)處的函值 . . )(xfy xax bx ba,ba,ba,)(f由上式得到的由上式得到的，稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的平均值稱(chēng)為函數(shù)在區(qū)間上的平均值baxxfabfd)(1)()(xfba,性質(zhì)性質(zhì)8 8如果函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間如果函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間 上上連續(xù)且為奇函數(shù)，那么連續(xù)且為奇函數(shù)，那么)(xf, a a( )d0aaf xx如果函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間如果函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間 上連續(xù)且上連續(xù)且為偶函數(shù)，那么為偶函數(shù)，那么)(xf, a a0( )d2( )daaaf xxf xxyxxxxa21. +1,=-1, =2 試試用用定