電動力學(xué)預(yù)備知識

1、電動力學(xué)electrodynamics主講：主講： 姜姜 孟孟 瑞瑞引引 言言 introduction 電動力學(xué)的研究對象是電磁場的基本性質(zhì)、電動力學(xué)的研究對象是電磁場的基本性質(zhì)、運(yùn)動規(guī)律以及它和帶電物質(zhì)之間的相互作用。運(yùn)動規(guī)律以及它和帶電物質(zhì)之間的相互作用。 電動力學(xué)的研究內(nèi)容是闡述宏觀電磁場理論，電動力學(xué)的研究內(nèi)容是闡述宏觀電磁場理論，主要從實驗定律中總結(jié)電磁場的普遍規(guī)律，建立主要從實驗定律中總結(jié)電磁場的普遍規(guī)律，建立maxwells equations。討論穩(wěn)恒電磁場、電磁波。討論穩(wěn)恒電磁場、電磁波傳播、電磁波輻射及電動力學(xué)的參考系問題。傳播、電磁波輻射及電動力學(xué)的參考系問題。學(xué)習(xí)電動

2、力學(xué)課程的主要目標(biāo)：學(xué)習(xí)電動力學(xué)課程的主要目標(biāo)： 1） 掌握電磁場的基本規(guī)律，加深對電掌握電磁場的基本規(guī)律，加深對電磁場性質(zhì)和時空概念的理解；磁場性質(zhì)和時空概念的理解； 2） 獲得本課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些獲得本課程領(lǐng)域內(nèi)分析和處理一些基本問題的初步能力，為以后解決實際問題基本問題的初步能力，為以后解決實際問題打下基礎(chǔ)；打下基礎(chǔ)； 3） 通過電磁場運(yùn)動規(guī)律和狹義相對論通過電磁場運(yùn)動規(guī)律和狹義相對論的學(xué)習(xí)，更深刻領(lǐng)會電磁場的物質(zhì)性。的學(xué)習(xí)，更深刻領(lǐng)會電磁場的物質(zhì)性。以電動力學(xué)為基礎(chǔ)的應(yīng)用領(lǐng)域：以電動力學(xué)為基礎(chǔ)的應(yīng)用領(lǐng)域：在生產(chǎn)實踐和科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域內(nèi)，存在著大量和電磁場有關(guān)的問題。 例如電力系統(tǒng)、凝

3、聚態(tài)物理、天體物理、粒子例如電力系統(tǒng)、凝聚態(tài)物理、天體物理、粒子加速器等，都涉及到不少宏觀電磁場的理論問題。加速器等，都涉及到不少宏觀電磁場的理論問題。在迅變情況下，電磁場以電磁波的形式存在，其應(yīng)在迅變情況下，電磁場以電磁波的形式存在，其應(yīng)用更為廣泛。無線電波、熱輻射、光波、用更為廣泛。無線電波、熱輻射、光波、x x射線和射線和射線等都是在不同波長范圍內(nèi)的電磁波，它們都射線等都是在不同波長范圍內(nèi)的電磁波，它們都有共同的規(guī)律。因此，掌握電磁場的基本理論對于有共同的規(guī)律。因此，掌握電磁場的基本理論對于生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗都有重大的意義。生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗都有重大的意義。學(xué)習(xí)參考書：學(xué)習(xí)參考書：1、電

4、動力學(xué)、電動力學(xué) 郭碩鴻郭碩鴻 編著編著2、電動力學(xué)、電動力學(xué) 汪德新汪德新 編著編著 科學(xué)出版社科學(xué)出版社3、電動力學(xué)、電動力學(xué) 吳壽煌吳壽煌 丁士章丁士章 編編 西安交通大學(xué)出版社西安交通大學(xué)出版社 4、經(jīng)典電動力學(xué)、經(jīng)典電動力學(xué) 蔡圣善蔡圣善 朱朱 耘耘 編著編著 復(fù)旦大學(xué)出版社復(fù)旦大學(xué)出版社預(yù)備知識預(yù)備知識 preliminary nowledge主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)（梯度、散度、旋度）三、幾個重要定理及公式三、幾個重要定理及公式一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)1. 矢量的加、減矢量的加、減:矢量的加、減，滿足平行四邊形法則。矢量的加、減

5、，滿足平行四邊形法則。以兩矢量為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形的對角線以兩矢量為鄰邊作平行四邊形，則平行四邊形的對角線就是這兩個矢量的和或差。就是這兩個矢量的和或差。如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個矢量如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個矢量的和的和(差差)的分量等于這兩個矢量對應(yīng)分量的和的分量等于這兩個矢量對應(yīng)分量的和(差差)。設(shè)設(shè)123aaaaijk，123bbbbijk，則則112233()()()ababababijk本書中直角坐標(biāo)的三個單位矢量分別用本書中直角坐標(biāo)的三個單位矢量分別用x , y , z 表示，表示，通用方法是通用方法是 再加上表示坐標(biāo)軸名稱的角標(biāo)。

6、再加上表示坐標(biāo)軸名稱的角標(biāo)。2. 矢量的乘法矢量的乘法:（1）兩個矢量的點(diǎn)乘）兩個矢量的點(diǎn)乘兩個矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個標(biāo)量，稱為標(biāo)積或內(nèi)積。兩個矢量的點(diǎn)乘，乘積是一個標(biāo)量，稱為標(biāo)積或內(nèi)積。設(shè)設(shè)cos( , )cos( , )aba ba ba ba b，123xyzbeb eb eb，則則1231231 1223 3() ()xyzxyza ea ea ebeb eb eaba ba ba b如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個矢量如果已知兩矢量在直角坐標(biāo)系中的分量，則這兩個矢量的標(biāo)積等于這兩個矢量對應(yīng)分量的乘積之和。的標(biāo)積等于這兩個矢量對應(yīng)分量的乘積之和。123xyza ea ea

7、ea一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)（2）兩個矢量的叉乘）兩個矢量的叉乘兩個矢量的叉乘，乘積是一個矢量，稱為矢積或兩個矢量的叉乘，乘積是一個矢量，稱為矢積或外積。其大小等于以兩矢量為鄰邊所作平行四邊外積。其大小等于以兩矢量為鄰邊所作平行四邊形的面積，方向滿足右手螺旋法則。形的面積，方向滿足右手螺旋法則。sin( , )aba ba babab一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)則則123123123123() ()xyzxyzxyza ea ea ebeb eb eeeeaaabbbab設(shè)設(shè)123xyzbeb eb eb123xyza ea ea ea，由以上計算公式可以得到：由以上計算公式可以得到： abb a

8、一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)3. 三個矢量的乘積三個矢量的乘積:（1）三個矢量的混合積）三個矢量的混合積三個矢量的混合積是一個標(biāo)量，其絕對值等于以這三個三個矢量的混合積是一個標(biāo)量，其絕對值等于以這三個矢量為棱的平行六面體的體積。矢量為棱的平行六面體的體積。，則則三矢量的混合積一定是先叉乘，后點(diǎn)乘。否則無意義。三矢量的混合積一定是先叉乘，后點(diǎn)乘。否則無意義。123xyzc ec ec ec123123123()aaabbbcccab c注意注意:設(shè)設(shè)123xyzbeb eb eb123xyza ea ea ea，()ab c一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)利用行列式的性質(zhì)，可以證明以下結(jié)論：利用行列式的性質(zhì)

9、，可以證明以下結(jié)論：()()()()()() ab cbcacabacbbaccb a（混合積）（混合積）（2）三個矢量的叉乘）三個矢量的叉乘()?abc()abc，必定處于，必定處于a和和垂直于矢量垂直于矢量()abb 所決定的平面內(nèi)所決定的平面內(nèi)，可以用可以用a和和b的線性組合來表示。的線性組合來表示。acbab一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)一、矢量代數(shù)計算公式為：計算公式為：()()()cabab（三個矢量的叉乘）（三個矢量的叉乘）注意：注意：()() abccab()()()abcc a bb c a即：即：三個矢量的叉乘，可以表示為括號內(nèi)兩矢量的線性組合，括三個矢量的叉乘，可以

10、表示為括號內(nèi)兩矢量的線性組合，括號外的矢量與括號內(nèi)距離較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項為號外的矢量與括號內(nèi)距離較遠(yuǎn)的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項為正，與較近的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項為負(fù)。正，與較近的矢量點(diǎn)乘作為系數(shù)的一項為負(fù)?！斑h(yuǎn)交近攻遠(yuǎn)交近攻”形象地記做：形象地記做：c bc a在自然界中，許多問題是定義在確定空間區(qū)域上在自然界中，許多問題是定義在確定空間區(qū)域上的，在任何時刻，該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量的，在任何時刻，該區(qū)域上每一點(diǎn)都有確定的量與之對應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個場。如與之對應(yīng)，我們稱在該區(qū)域上定義了一個場。如電荷在其周圍空間激發(fā)的電場，電流在周圍空間電荷在其周圍空間激發(fā)的電場，電流在

11、周圍空間激發(fā)的磁場等。激發(fā)的磁場等。二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)場的概念：場的概念：（梯度、散度和旋度的概念）（梯度、散度和旋度的概念）撇開物理含義，若一個量是空間坐標(biāo)和時間的函撇開物理含義，若一個量是空間坐標(biāo)和時間的函數(shù)，則這個量叫做場。數(shù)，則這個量叫做場。 如果某個物理量是標(biāo)量，空間每一點(diǎn)都對應(yīng)如果某個物理量是標(biāo)量，空間每一點(diǎn)都對應(yīng)著該物理的一個確定數(shù)值，則稱此空間為標(biāo)量場。著該物理的一個確定數(shù)值，則稱此空間為標(biāo)量場。如電勢場、溫度場等。如電勢場、溫度場等。 如果某物理量是矢量，空間每一點(diǎn)都存在著如果某物理量是矢量，空間每一點(diǎn)都存在著它的大小和方向，則稱此空間為矢量場。如電場、它的大小

12、和方向，則稱此空間為矢量場。如電場、速度場等。速度場等。 若場中各點(diǎn)處的物理量與時間無關(guān)，就稱為若場中各點(diǎn)處的物理量與時間無關(guān)，就稱為恒定場。恒定場。 若物理量與坐標(biāo)無關(guān)，就稱為均勻場。若物理量與坐標(biāo)無關(guān)，就稱為均勻場。 二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)（1）方向?qū)?shù)）方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)方向?qū)?shù)是標(biāo)量函數(shù)變化率，它的數(shù)值與所取變化率，它的數(shù)值與所取( )x在一點(diǎn)處沿某方向在一點(diǎn)處沿某方向le的方向有關(guān)。在不同的方向上的方向有關(guān)。在不同的方向上/ l的值是不同的。的值是不同的。1. 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場的梯度:(gradient of scalar field)的空間的空間le/ l由于從

13、一點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個方向，即標(biāo)量場在一點(diǎn)處的由于從一點(diǎn)出發(fā)，有無窮多個方向，即標(biāo)量場在一點(diǎn)處的（2）梯度）梯度方向?qū)?shù)有無窮多個。方向?qū)?shù)有無窮多個。二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)ne設(shè)等勢面的法線方向為設(shè)等勢面的法線方向為，由幾何關(guān)系可知，電勢沿等勢，由幾何關(guān)系可知，電勢沿等勢面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，等于面的法線方向的方向?qū)?shù)最大，等于/ n。由此引入梯度。由此引入梯度的概念。記作：的概念。記作：gradnen注意：注意：梯度是一個矢量，其大小為最大梯度是一個矢量，其大小為最大的空間變化率，方向指的空間變化率，方向指向標(biāo)量增向標(biāo)量增pp1p2nele等值面 等值面1c2c加最快的方向。

14、所以說，標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。加最快的方向。所以說，標(biāo)量場的梯度是一個矢量場。二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)增加的方向。增加的方向。它指向它指向（3）任意方向的方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：）任意方向的方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：是等值面是等值面ne1c上上p點(diǎn)法線方向單位矢量。點(diǎn)法線方向單位矢量。le表示過表示過p2 點(diǎn)的任一方向。點(diǎn)的任一方向。顯見，當(dāng)顯見，當(dāng)210 , 0 pppp .cosnl 時，時，所以所以coslnpp1p2nele等值面 等值面1c2c二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)該式表明：該式表明：cosgradnlleeelnndgraddgraddle l l由此不難得到：由此

15、不難得到：這是標(biāo)量場微分的計算公式。這是標(biāo)量場微分的計算公式。即：即：le方向上的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。方向上的方向?qū)?shù)等于梯度在該方向上的投影。（4）在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式：）在直角坐標(biāo)系中梯度的計算公式：gradxyzeeexyz二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)2. 矢量場的散度矢量場的散度:（divergence of vector field）設(shè)閉合面設(shè)閉合面s所包圍的體積為所包圍的體積為v表示平均單位體積內(nèi)所發(fā)出的場線的條數(shù)。表示平均單位體積內(nèi)所發(fā)出的場線的條數(shù)。0v 只包圍一點(diǎn)時，上式的極限稱為矢量場只包圍一點(diǎn)時，上式的極限稱為矢量場 f 在該點(diǎn)的散度。在該點(diǎn)的散

16、度。，則，則而而 可見，散度就是空間某點(diǎn)處單位體積所發(fā)出的場線的條數(shù)?？梢?，散度就是空間某點(diǎn)處單位體積所發(fā)出的場線的條數(shù)。（1）概念：）概念：當(dāng)當(dāng)vsdsf二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)（2）在直角坐標(biāo)系中散度的計算公式：）在直角坐標(biāo)系中散度的計算公式：divyxzfffxyzf（3）積分變換式）積分變換式高斯定理高斯定理（gausss theorem）它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對該曲面所包它能把一個閉合曲面的面積分轉(zhuǎn)為對該曲面所包圍體積的體積分，反之亦然。圍體積的體積分，反之亦然。vvddivdsfsf二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)3. 矢量場的旋度矢量場的旋度:設(shè)閉合曲線設(shè)閉合曲線

17、l所圍面積為所圍面積為s，則矢量場，則矢量場 f 沿有向閉合曲線沿有向閉合曲線（1）概念：）概念：（rotation of vector field）l的環(huán)流為的環(huán)流為dlfl，設(shè)想將閉合曲線縮小到空間某一點(diǎn)，設(shè)想將閉合曲線縮小到空間某一點(diǎn)附近，那么以閉合曲線附近，那么以閉合曲線l為界的面積為界的面積 逐漸縮小，逐漸縮小，s也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作也將逐漸減小，一般說來，這兩者的比值有一極限值，記作ldlfssl0dlimlf二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀即單位面積平均環(huán)流的極限。它與閉合曲線的形狀無關(guān)，但顯然依賴于以閉

18、合曲線為界的面積法線方無關(guān)，但顯然依賴于以閉合曲線為界的面積法線方向向 ，ne為矢量場為矢量場 f 的旋度。且規(guī)定的旋度。且規(guī)定矢量場的旋度是矢量，其方向與矢量場的旋度是矢量，其方向與dl 的環(huán)繞的環(huán)繞方方向構(gòu)向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。成右手螺旋關(guān)系。ne的方向與的方向與dl 的環(huán)繞方的環(huán)繞方向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。向構(gòu)成右手螺旋關(guān)系。為此定義為此定義所以：所以：nsesdlimrotl0lff二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)（2）在直角坐標(biāo)系中旋度的計算公式：）在直角坐標(biāo)系中旋度的計算公式：（3）積分變換式）積分變換式斯托克斯定理斯托克斯定理（stokes theorem）rotxyzxyzeeexy

19、zffff它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為它能把對任意閉合曲線邊界的線積分轉(zhuǎn)換為該閉合曲線為界的任意曲面的面積分，反之亦然。界的任意曲面的面積分，反之亦然。nseslimd)(rotd0slsflf二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)4. 算符算符:在直角坐標(biāo)系中，在直角坐標(biāo)系中，xyzeeexyz 算符是一個矢性微分算符，在不同坐標(biāo)系中形式不同。算符是一個矢性微分算符，在不同坐標(biāo)系中形式不同。所以，有所以，有()xyzeeexyz同樣，同樣，divffrotffgradxyzeeexyz二、矢量分析基礎(chǔ)二、矢量分析基礎(chǔ)1. 定理定理:三、定理及公式三、定理及公式（1）標(biāo)量場的梯

20、度必為無旋場）標(biāo)量場的梯度必為無旋場()0 （2）矢量場的旋度必為無散場）矢量場的旋度必為無散場()0 f（梯度的旋度恒等于（梯度的旋度恒等于0）（旋度的散度恒等于（旋度的散度恒等于0），則必存在一個矢量場，則必存在一個矢量場 a ，（4）無散場可由一個矢量場的旋度來表示。即：）無散場可由一個矢量場的旋度來表示。即：0f fa成立。成立。（3）無旋場可由一個標(biāo)量場的梯度來表示。即：）無旋場可由一個標(biāo)量場的梯度來表示。即：0f，則必存在一個標(biāo)量場，則必存在一個標(biāo)量場 f使使成立。成立。如果如果如果如果使使三、定理及公式三、定理及公式2. 公式公式: （ 附錄附錄p.343）() ()() fff()() fff（1）先根據(jù)）先根據(jù)算符的微分特性，依次將算符的微分特性，依次將它作用到每一個場它作用到每一個場量上，并標(biāo)上角標(biāo)。即：將表達(dá)式寫成幾項微分之和。量上，并標(biāo)上角標(biāo)。即：將表達(dá)式寫成幾項微分之和。()()() 三、定理及公式三、定理及公式（2）將各項中的）將各項中的算符算符作用到所選定的場量上，將其余場作用到所選定的場量上，將其余場量移到量移到算符的作用范圍之外，同時根據(jù)算符的作用范圍之外，同時根據(jù)算符的矢量特算符的矢量特性，檢查每一項的矢量性。性，檢查每一項的矢量性。（3）將）將算符的角標(biāo)去掉。算符的角標(biāo)去掉。() () 三、定理及公式三、定理及公